Matematica1

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
Lógica matemática y teoría de conjuntos 2
Lógica matemática y teoría de
conjuntos
Unidad I

Temario
Unidad I Lógica matemática y teoría de conjuntos
Lógica matemática
¿Qué es una proposición?
Tipos de proposiciones
Operadores lógicos
Operadores lógicos: Actividad de aprendizaje
Tablas de valores de verdad
Leyes lógicas
Funciones y polinomios booleanos
Mini y Maxi Términos
Aplicación
Teoría de los conjuntos
Teoría de conjuntos
Definición de conjunto
Subconjunto
Subconjunto (inclusión de conjuntos)
Igualdad de conjuntos
Diagramas de ven
Operaciones con conjuntos
Unión entre conjuntos
Intersección de conjuntos
Diferencia entre conjuntos: sus propiedades y aplicaciones
Complementación

Introducción
Esta unidad aporta los conocimientos matemáticos para entender, inferir, aplicar y
desarrollar modelos matemáticos tendientes a resolver problemas en el área de las
ciencias. Su estructura conceptual se fundamenta en el Álgebra Lineal.
El estudiante resolverá problemas utilizando las técnicas básicas de lógica proposicional
y la teoría de conjuntos, recurriendo a sus leyes y diagramas.
Las unidades temáticas que se despliegan en este módulo, tienen carácter teórico-
práctico, pues contribuyen a lograr una interrelación apropiada entre la dirección
racional y emocional del comportamiento de los estudiantes, desarrollan rasgos del
carácter y hábitos del pensar, estimulan la movilidad de los procesos del pensamiento,
favorecen la coherencia y precisión al expresar una idea del lenguaje común al
matemático y viceversa y capacitan para la valoración crítica del trabajo, tanto propio
como de sus condiscípulos.
Es importante, desde la definición de las proposiciones lógicas, contextualizar el
contenido con los procesos vitales-escolares y propiciar la lectura de conceptos y
relaciones de la Lógica Proposicional con las demás ciencias. A partir de las
proposiciones y su valor de verdad, se desarrollan las operaciones lógicas básicas tales
como: la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional, el bicondicional, para
concluir si se trata de tautologías, contradicciones o contingencias.
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y
relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como
objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una
herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática, por lo que
contribuye a la construcción del resto de objetos y estructuras de interés en
matemáticas: números, funciones, figuras geométricas y en conexión con la Lógica
Matemática permite estudiar los fundamentos de aquella.
En esta unidad la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para la
determinación de conjuntos por extensión y por descripción, así como para la
realización de las operaciones básicas referidas a: unión, intersección, complemento,
diferencia, diferencia simétrica y conjunto potencia.
Objetivos
- Resolver problemas utilizando las técnicas básicas de la lógica matemática y la
teoría de conjuntos.
- Resolver circuitos lógicos en serie y paralelo por medio de Lógica Matemática.
- Resolver problemas que impliquen operaciones y propiedades de conjuntos,
utilizando leyes y diagrama.

- Operar con conjuntos y aplicar sus propiedades para resolver problemas lógicos
reales.
Contenidos
Dentro del módulo se abordarán los siguientes conceptos y definiciones:
I. Lógica Matemática
• 1.1. Proposiciones
• 1.2. Operadores lógicos
• 1.3. Orden de los operadores lógicos
• 1.4. Tablas de verdad
• 1.5. Tautología, contradicción y contingencia
• 1.6. Equivalencia e implicación lógica
• 1.7. Leyes del álgebra de las proposiciones y aplicaciones
II. Teoría de conjuntos
• 2.1. Definición, elementos
• 2.2. Conjunto finito, conjunto vacío
• 2.3. Cardinal de un conjunto
• 2.4. Subconjunto
• 2.5. Igualdad de conjuntos
• 2.6. Diagrama de Venn
• 2.7. Operaciones con conjuntos
• 2.7.1. Unión
• 2.7.2. Intersección
• 2.7.3. Complementación
• 2.7.4. Diferencia, sus propiedades y aplicaciones
Lógica matemática
¿Qué es una proposición?
Ejemplo
p. Hoy es lunes (en dependencia del día en cuestión es verdadero o falsa)
q. (2+3) ² = 4 + 9 (falso)
r. Lima es una ciudad de la costa del Perú. (verdadero)

Operadores lógicos
Llamados también conectores lógicos, son palabras que sirven para enlazar
proposiciones simples o cambiar el valor de verdad de una proposición.
Tablas de valores de verdad
https://youtu.be/wh7HWLN2E3A

Leyes lógicas
Una ley lógica es una proposición verdadera.
Involución
La negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición.
Idempotencia de la conjunción
La conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.
La doble implicación y la implicación
La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca.

La diferencia simétrica y la doble implicación
La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación.
Correspondencia de la lógica combinacional.
Una función lógica presenta una correspondencia “uno a uno” con un circuito lógico o
con una tabla de verdad.
Ejemplo

Funciones y polinomios booleanos
En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada Álgebra de Boole.
Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta álgebra es posible modelar los
llamados Sistemas Digitales. El Álgebra de Boole es un sistema matemático que utiliza
variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 o 1. Y las operaciones
básicas son OR (+) y AND (•). Luego se definen las expresiones de conmutación como
un finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR).
En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tienen los
operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el álgebra normal.
Una Álgebra de Boole Bivalente se define sobre un conjunto de dos elementos B={0,1},
con reglas para los operadores binarios + y . de la siguiente manera:
Función Lógica OR:
x y x + y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Función Lógica AND:
x y x * y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Complemento de los elementos
x
0 1
1. Conmutatividad:
X + Y = Y + X
X • Y = Y • X

2. Asociatividad:
X + (Y + Z ) = (X + Y ) + Z
X • (Y • Z ) = (X • Y ) • Z
3. Distributividad:
X + (Y • Z ) = (X + Y ) • (X + Z )
X • (Y + Z ) = (X • Y ) + (X • Z )
4. Elementos Neutros (Identidad):
X + 0 = X
X • 1 = X
5. Complemento:
6. Dominación:
X + 1 = 1 X • 0 = 0
7. Idempotencia:
X + X = X
X • X = X
Funciones booleanas
Una variable binaria puede tomar el valor 0 o 1. Una función de Boole es una función
formada con variables binarias, dos operadores binarios OR y AND, el operador NOT,
el paréntesis y el signo igual. Para un valor dado de variables, la función puede ser 0 o
1. considérese por ejemplo la función de Boole:
Una función de Boole puede ser representada por medio de una tabla de verdad.

Una función de Boole puede ser transformada de una expresión algebraica a un
diagrama lógico compuesto de compuertas AND, OR y NOT.
Diagrama lógico para:
Ejemplo
Simplifique la siguiente función de Boole al mínimo número de literales:
Respuestas

Mini y maxitérminos
Minitérminos
Una función combinacional distintiva son los minitérminos de “n” variables, y se los
denota como mí. Son funciones booleanas cuya tabla de verdad tiene un “1” en la i-
ésima fila, y un “0” en las restantes.
Forma canónica “suma de mini términos”
Dada una función z de “n” variables, cuya tabla de verdad tiene “1” en las filas a, b, ...,
k, y “0” en las demás. A partir de la definición de mini término, y usando la función
OR, es evidente que:

Ejemplo
Sean las funciones para
caracterizadas por la siguiente tabla de verdad, determinar las funciones booleanas
correspondientes:
Solución: Aplicando el concepto de minitérminos, las funciones buscadas serán:
Ejemplo de minitérminos

Construcción algebraica
Cualquier expresión booleana puede convertirse a su forma canónica “suma de mini
términos” empleando las propiedades del Álgebra de Boole. A esta forma canónica
también suele denominarse “Suma De Productos (SDP)”.
Ejemplo: Encontrar la forma canónica “suma de mini términos” de:
Solución
o bien:
Maxitérminos
Aplicación

Teoría de conjuntos
En el siglo XIX aparece una nueva etapa de desarrollo de la Matemática, en la que
desempeñó un papel fundamental la creación de la teoría de conjuntos por George
Cantor (1845-1918).

Según (Díaz González, 2006) el surgimiento de la teoría de conjuntos está íntimamente
ligado a los problemas de la fundamentación de la aritmética de los números reales y a
la demostración de importantes teoremas del Análisis Matemático y de la teoría de las
series trigonométricas. Cantor desarrolló la teoría general de los números ordinales y
cardinales transfinitos, la cual no pudo fundamentar en dos aspectos: la demostración de
que todo conjunto puede ser bien ordenado y de que la hipótesis del continuo es
correcta.
Las paradojas descubiertas en la teoría de conjuntos se sumaron a los problemas ya
conocidos. El estudio de estas paradojas condujo al análisis más profundo de su
estructura lógica y al planteamiento de la interrogante de si las leyes y reglas de la
lógica usual, basadas en el principio del tercero excluido, eran universalmente
aplicables. Los problemas relacionados con la no fundamentación de algunos aspectos
de la teoría de conjuntos, el descubrimiento de paradojas en dicha teoría y ciertos
resultados obtenidos mediante el axioma de selección, trajeron consigo el
cuestionamiento de las demostraciones no constructivas de existencia.
La teoría de conjuntos se había transformado a finales del siglo XIX en fundamento del
edificio matemático, por lo que era muy importante resolver los problemas que se iban
presentando.
El estudio de este tema debe permitir que pueda establecer las relaciones entre
elementos y conjuntos o entre conjuntos; realizar operaciones con conjuntos utilizando
las propiedades correspondientes a cada una de las operaciones estudiadas; trabajar con
seguridad con los diagramas de Venn; demostrar proposiciones relativas a las
operaciones con conjuntos.
Consideremos un conjunto como una colección de objetos. Los componentes
individuales del conjunto se llaman elementos. Un conjunto puede tener una cantidad
finita o infinita de elementos, e incluso no tener elementos.
Definición de conjunto
Un conjunto es una colección de objetos bien definida de cualquier clase que se definen
por extensión o por comprensión o forma descriptiva.
Un conjunto puede determinarse nombrando cada uno de los elementos que lo integran
(por extensión) o por la propiedad que tienen los elementos que lo integran (forma
descriptiva).
• Por extensión: cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del
conjunto y sólo a ellos.
• Por comprensión o forma descriptiva: cuando se da una propiedad que la cumplan
todos los elementos del conjunto y sólo ellos.
Cuando se escribe un conjunto puede hacerse en forma tabular o en forma
constructiva. Consideremos el conjunto A formado por los dígitos pares.
Forma tabular: A = {0, 2, 4, 6,8}

Forma constructiva: A = {x N: x es par y menor que 10}.
Al escribir los elementos no importa el orden en que se haga. Si hay elementos
repetidos en el conjunto, estos se escribirán una sola vez.
El conjunto B = {x/ x = 2n, n N}, es el conjunto de todos los números naturales que
son pares, es un conjunto infinito y puede escribirse en notación tabular como B = {0, 2,
4...}
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto está dado por el número de sus elementos, y se denota |A|
Ejemplificando
• Ø, conjunto vacío, |Ø| =0
• A= {5}, | A | =1
• B= {1, -2}, | B | =2
• C={c,o,r,e,t}, | C | =5
• E= {x/x es múltiplo de 2}, | E | = ∞
• N= {n/n es un número natural}, | N | = ∞
• Z= {n/n es un número entero}, | Z | = ∞
Subconjunto (inclusión de conjuntos)
Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si y solo si, cada elemento de A es
un elemento de B. Se escribe A B. Se dice que el conjunto A está incluido en el
conjunto B.
Representación gráfica de la inclusión de conjuntos
Si P Q, entonces P debe estar dentro de Q o ser igual a Q.
Ejemplo: Sea A el conjunto formado por todos los estudiantes que matricularon en la
carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales en la UNESUM y B el conjunto

formado por todos los estudiantes de la UNESUM, entonces A B.
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si y solo si, todo elemento de uno es elemento del otro. Si A
y B son dos conjuntos iguales, entonces se escribe:
A = B y se cumple que A B y B A, entonces, si E = F, se dice que E es un
subconjunto propio de F.
Ejemplo: Sea A = {3, 5, 9, 15} y B = {9, 15, 3, 5} como tienen los mismos elementos,
aunque no estén escritos en el mismo orden, entonces A = B.
Diagramas de ven
https://youtu.be/4p2v4aa25PE
Los Diagramas de Venn son dibujos que permiten ilustrar las relaciones y las
operaciones con conjuntos. Pueden ser cualquier figura geométrica plana que represente
a un conjunto determinado, referido a un conjunto mayor que lo contiene al cual
llamaremos Conjunto Universo (U).
Representación gráfica de conjuntos. Diagramas de Venn

P = {1, 3, 5, 7}, en el diagrama se cumple que 3 P y 6 P
Unión entre conjuntos
La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A o al conjunto B, o a ambos.
Se escribe A B y se cumple que A B = B A.
Representación gráfica de conjuntos de la unión:
x A B equivale a x A o x B
A y B son conjuntos disjuntos

A está incluido en B, para este caso A B = B

Intersección de conjuntos
https://youtu.be/5KfMiD8vP3A
La intersección entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A y pertenecen a B.
Si A y B son conjuntos disjuntos, para este caso

Si B está incluido en A, para este caso
Diferencia entre conjuntos: sus propiedades y
aplicaciones
https://youtu.be/5KfMiD8vP3A
La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A
que no pertenecen a B.

Se escribe A B.
Si A y B son conjuntos disjuntos, para este caso A B = A y B A = B.
Si A está incluido en B

Complementación
Complemento de un conjunto
Sea U un conjunto universo y A un subconjunto de U, el complemento de A al que
llamaremos Ac es el conjunto de elementos de U que no son elementos de A.
Se tiene
Representación gráfica del complemento de conjuntos

Resumen
En la elaboración de este Módulo, se tuvieron en cuenta, entre otros, los siguientes
aspectos:
1. La contextualización de los contenidos matemáticos en la práctica, al considerar los
principios didácticos del proceso enseñanza-aprendizaje y las relaciones
interdisciplinarias con materias a las cuales la Matemática sirve de base.
2. Se establece un lenguaje claro, preciso, cercano y ameno que sin perder el rigor
científico, le permite al estudiante apropiarse de la base teórico-conceptual necesaria a
través de ilustraciones y ejemplos demostrativos para enfrentarse a la resolución de
variados ejercicios propuestos que garantizan la ejercitación y sistematización de los
contenidos.
Esperamos que esta primera edición contribuya a mejorar las experiencias del
aprendizaje sistemático de las matemáticas a un nivel básico. Agradeceremos todos los
aportes que puedan hacernos para, a su vez, mejorar este instrumento didáctico.
Bibliografía
Instituto de Ciencias Matemáticas, ESPOL. (2010). Fundamentos de Matemática para el
Bachillerato,(2° Ed), Guayaquil, Ecuador. ICM-ESPOL.
Espinoza, E. (2004). Álgebra pre universitaria. Volumen II. (1ª ed.). Lima
Rodríguez, R. A., Aliaga, C. S. (2015). Elementos de Matemática Básica para Carreras
Universitarias. Libro digital contenido en el Soft Ware SUPERSOF
Salinas, G. (2012). Álgebra Superior. (1ª ed.). Riobamba. Editorial Soluciones Gráicas.
Paredes Galván Aníbal. Razonamiento Lógico – matemático. Editorial San Marcos
2006.
Kolman Bernard. Editorial Prentice-Hal (1997) Estructuras de Matemáticas Discretas.
Amufan L. (2010). Matemática Intermedia. U.S. Editorial de Pearson 2012.
Bibliografía complementaria
B.C.1. Fundamentos de Matemática. Ecuador. Editorial ICM-ESPOL 2007 Código
9789978310311

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