Matematicas con bloques o posicion de un elemento en un array multidimensional. Block math or Position of an element in a multidimensional array.

1. Matemáticas de bloques
o
Posicion de un elemento en un array
multidimensional
Author:
lrcvs / Xkrouhn
01.06.2015

2. Agradecimientos:
A los amigos de: http://www.freebasic.net/forum
En orden alfabético:
dodicat
fxm
Richard
Por el interés y desarrollo delprogramacon FreeBasic.

3. La matemática de bloques es un juego de niños
Como vemos en la figura,los bloques,se componende elementos,que
son la unidad de trabajo con los bloques.
1 elemento = 1 unidad
Con los elementos,podemos crear filas o columnas.
La fila, es un conjunto de elementos agrupados horizontalmente.
La columna,es un conjunto de elementos agrupadosverticalmente.
Agrupando filas o columnas,formamos superficies o niveles.
Si unimos varios niveles,obtenemosun bloque.

4. Las Dimensiones
Algunas películas de ciencia ficción con temática espacial,casisiempre
suelen decir que esta en una u otra dimensión
Definamos las dimensiones1D,2D, 3D, 4D, 5D y 6D....
1D: esta formada por filas O columnas de elementos.
2D: esta formada por filas Y columnas de elementos.
3D: esta formada por filas Y columnas,agrupados en niveles o capas.
4D: esta formado por variosbloques 3D, agrupados en filas.
5D: esta formado por variosbloques 3D,agrupados en filas Y
columnas.

5. 6D: esta formado por variosbloques 3D,agrupados en filas Y columnas
Y niveles.
Uniendo bloques sucesivamente formaríamos7D,8D, 9d, etc, etc..
Estas tres figuras son equivalentes,todas tienen 27 elementos.Las
podemostransformarde varias formas (dimensiones,bloques,1D, 2D,
3D...) distintas,pero siguen teniendo los mismos elementos,pues son
todas equivalentes,mantienenel mismo numero de elementos.

6. Los conceptos
En este trabajo,las posicionesde los elementos,filas, columnasy
niveles,los contaremos delsiguiente modo:
Filas, Columnas,Niveles y Bloques o Dimensiones
1 = Filas, siemprede arriba a bajo.
2 = Columnas,siemprede izquierdaa derecha
3 = Niveles,siempre de arriba abajo.
4 = Bloques o dimensiones,de izquierda a derechay de arriba a bajo.
Una observación muyimportante:
“El numero de filas <= al numero de columnas.”
Si fuese de otra forma, estos cálculos serian erróneos

7. Calculo de las posiciones
Datos a conocer:
Los datos del bloque unidad:
FU = Numero de filas del bloque unidad
CU = Numero de columnasdel bloque unidad
NU = Numero de niveles del bloque unidad
BU = Numero de bloques igualesal bloque unidad
Los datos de la posicion delelemento a buscar:
PF = Posicion fila
PC = Posicion Columna
PN = Posicion Nivel
PB = Numero de Bloque
Formula generalpara calcular la posicion delelemento a buscar=
((PF - 1) * CU) + PC + ((FU * CU * (PN - 1))) + ((FU * CU * NU) * (PB - 1))
Esta formula,es el resultadode unir los distintos niveles de calculo de
la posicion de un elemento,dependiendode la disposiciónde los
bloques unidad.

8. Ejemplo 1
Usando la formula generalpodemos calcular la posicion de un
elemento en una tabla o nivel 2D
Datos del bloque unidad delejemplo:
FU = 5 CU = 6 NU = 1 BU = 1 Elementos= 5 * 6 * 1 * 1 = 30
Datos del elemento a buscar:
PF = 4 PC = 5 PN = 1 PB = 1
Posicion delelemento =
((PF - 1) * CU) + PC + ((FU * CU * (PN - 1))) + ((FU * CU * NU) * (PB – 1))
((4 – 1) * 6) + 5 + ((5 * 6 * (1 – 1))) + ((5 * 6 * 1) * (1 – 1)) = 23
Tambien podemos calcular delsiguiente modo:
Posicion 2D = ((PF - 1) * CU) + PC
Sustituyendolas variables por sus valores,obtenemos igualmente la
posicion en un sistema 2D:
((4 – 1) * 6) + 5 = 23

9. Ejemplo 2
Usando la formula generalpodemos calcular la posicion de un
elemento en una tabla o nivel 3D
Datos del bloque unidad delejemplo:
FU = 3 CU = 3 NU = 3 BU = 1 Elementos= 3 * 3 * 3 * 1 = 27
Datos del elemento a buscar:
PF = 3 PC = 3 PN = 3 PB = 1
Posicion delelemento =
((PF - 1) * CU) + PC + ((FU * CU * (PN - 1))) + ((FU * CU * NU) * (PB – 1))
((3 – 1) * 3) + 3 + ((3 * 3 * (3 – 1))) + ((3 * 3 * 3) * (1 – 1)) = 27
Tambien podemos calcular la posiciondelsiguiente modo:
Posicion 3D = ((PF - 1) * CU) + PC + ((FU * CU * (PN - 1)))
Sustituyendolas variables por sus valores,obtenemos igualmente la
posicion en un sistema 3D:
((3 – 1) * 3) + 3 + ((3 * 3 * (3 – 1))) = 27

10. Ejemplo 3
Usando la formula generalpodemos calcular la posicion de un
elemento en una tabla o nivel 4D
Datos del bloque unidad delejemplo:
FU = 3 CU = 3 NU = 3 BU = 3 Elementos= 3 * 3 * 3 * 3 = 81
Datos del elemento a buscar:
PF = 3 PC = 2 PN = 2 PB = 3
Posicion delelemento =
((PF - 1) * CU) + PC + ((FU * CU * (PN - 1))) + ((FU * CU * NU) * (PB – 1))
((3 – 1) * 3) + 2 + ((3 * 3 * (2 – 1))) + ((3 * 3 * 3) * (3 – 1)) = 71
A partir de 3D, siempre usaremosformula general,simplemente
deberemos conocer elnumerode bloques que tenemosen el sistema.

11. Ejemplo 4
Datos del bloque unidad delejemplo:
FU = 3 CU = 3 NU = 3 BU = 9 Elementos= 3 * 3 * 3 * 9 = 243
Datos del elemento a buscar:
PF = 3 PC = 1 PN = 1 PB = 9
Posicion delelemento =
((PF - 1) * CU) + PC + ((FU * CU * (PN - 1))) + ((FU * CU * NU) * (PB – 1))
((3 – 1) * 3) + 1 + ((3 * 3 * (1 – 1))) + ((3 * 3 * 3) * (9 – 1)) = 223

12. Ejemplo 5
Datos del bloque unidad delejemplo:
FU = 3 CU = 3 NU = 3 BU = 27 Elementos = 3 * 3 * 3 * 9 = 729
Datos del elemento a buscar:
PF = 3 PC = 3 PN = 2 PB = 27
Posicion delelemento =
((PF - 1) * CU) + PC + ((FU * CU * (PN - 1))) + ((FU * CU * NU) * (PB – 1))
((3 – 1) * 3) + 3 + ((3 * 3 * (2 – 1))) + ((3 * 3 * 3) * (27 – 1)) = 720

13. Dando la vuelta al problema
En este capitulo,le damos la vuelta al problema,conocemos la
composición(filas, columnas,niveles)del bloque unidad y la posición
del elemento.
Ahora buscaremosla fila, la columna,nively bloque dondese
encuentrael elemento indicado.
Usare pseudocodigospara calcular cadaetapa del proceso,al final de
todos los procesos,hay un programaen Basic, que reúne las distintas
etapas,para calcularla fila del elemento que buscamos.
Si no realizamos las distintas etapas secuencialmente,no podemos
calcular los datos parciales.
El usar pseudocodigos,es por que son muy simples y cada personalos
puede interpretar a su modo, lo mas simple posible.
Estos procesosson generales,sirvenpara todos los casos.

14. Usaremos este ejemplo mas complejo:
Datos que necesitamos de este ejemplo:
F = Numero de filas del bloque unidad = 3
C = Numero de columnas delbloque unidad = 3
N = Numero de niveles delbloque unidad = 3
B = Numero de bloque a buscar
P = Posicion del elemento a buscar = 683
INT = Parte entera Mod = Resto división

15. El BLOQUE
Aquí calculamos elnumero bloquedel elemento a buscar.
CALCULAR_BLOQUE
F=3
C=3
N=3
P=683 “posicion delelemento”
Si P MOD (F*C*N) <> 0 Entonces
B=INT(P/(F*C*N))+1
Sino
B=INT(P/(F*C*N))
Fin Si
Escribir "BLOQUE = ",B
Fin
BLOQUE = 26

16. El nivel
Aquí calculamos elniveldel elemento a buscar.
CALCULAR NIVEL
F=3
C=3
N=3
B=26 “numerode bloque donde se encuentrael elemento”
P=683 “posicion delelemento”
Nivel=INT(P/(F*C))+1
Si P MOD (F*C) = 0 Entonces
Nivel = Nivel -1
Sino
Nivel = Nivel
Fin Si
nivel = Nivel-((B-1)*N)
Escribir "NIVEL = ",nivel
Fin
NIVEL = 1

17. La columna
Aquí calculamos elnumero de columna delelemento a buscar.
CALCULAR COLUMNA
C=2 “numero de columna delbloque donde se encuentrael
elemento a buscar”
P=683 “posicion delelemento”
Si P<C Entonces
C=P
Sino
C=P MOD C
Fin Si
Si P MOD C = 0 Entonces
CO=C
Sino
CO=CO
Fin Si
Escribir "COLUMNA= ",CO
Fin
COLUMNA= 2

18. La Fila
Aquí calculamos elnumero de fila del elemento a buscar.
CALCULAR FILA
F=3
C=3
N=3
B=26
P=683
F=INT(((P-CO-((F*C)*(N-1)))/C)+1) <<< Formulapara calcular la fila
Escribir "FILA= ",F
FILA = 3
Tras esta secuencia de calculo,obtenemostodos los datos, el elemento
a buscarse encuentraen:
BLOQUE = 26
NIVEL = 1
COLUMNA= 2
FILA = 3

19. Epilogo
Sigues pensando que la matemática de bloques es un juego de niños?
Que aplicaciones encuentras a estas formulas?
Posibles aplicaciones:
Informática,Robótica,Almacenamiento 3D Automatizado,Criptografía,
Gráficos 3D con númerosenteros.
En informática,se demuestra que todo Vector/Dim 2D, 3D, 4D..., se
puede transformaren un Vector/Dim 1D.
En almacenamiento 3D,sabiendo el numerode filas, columnas y niveles
del almacén,simplemente es necesario indicarla posición y el
programala descompone en numero de fila, numero de columna y
numero de niveldonde se encuentra el objeto a buscar.
Gráficos 3D,podemosindicar un punto 3D, mediante un valor,por
ejemplo el punto 3*3*3, su posición es 27,después descomponemosy
obtenemos X,Y,Z ( Fila, Columna,Nivel).
En criptografía como codificaciónde coordenadas,etc, etc.
Para mas información y ver el inicio de este trabajo en:
http://www.freebasic.net/forum/viewtopic.php?f=3&t=19820
Para escribir comentarios:
lrcvsx@yahoo.com
Dedicado a todas las personas
que tienen curiosidad.

20. Programas en Basic
Programapara calcular la posicion delelemento a buscar.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
cls
input "Filas del bloque unidad= ";ro
input "Columnasdelbloque unidad = ";co
input "Niveles del bloque unidad = ";le
print
input "Posicion Fila = ";a
input "Posicion Columna = ";b
input "Posicion Nivel = ";c
input "Numero de Bloque = ";d
P = ((a - 1) * co) + b + ((ro * co * (c - 1))) + ((ro * co * le) * (d-1))
print "Posicion = ";p
end
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

21. Programapara buscarla fila, columna,nively bloque donde se
encuentraun elemento a buscar.
Datos necesarios:
Filas del bloque unidad
Columnasdel bloque unidad
Niveles del bloque unidad
Posicion a buscar
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
cls
input "Numero de filas del bloque unidad (filas <= columnas) = "; r
input "Numero de columnas delbloque unidad (columnas>= filas) = ";c
input "Numero de niveles del bloque unidad = ";l
input "Posicion a buscar = ";p
h = l
'calcularbloque /bloc
if p mod (r*c*l) <> 0 then
d = int(p/(r*c*l))+1
else
d = int(p/(r*c*l))
end if
'calcularnivel/ level
l = int(p/(r*c))+1
if p mod (r*c) = 0 then l = l-1
'calcularcolumna/ col
if p < c then co = p
if p >= c then co = p mod c
if p mod c = 0 then co = c
'calcularfila / row
f = ((p-co-((r*c)*(l-1)))/c)+1
':::::::::::::::::::::::::::::::::
print
color 12
print "blo = ";d;" fil = ";f; " col = ";co; " niv = ";l-((d-1)*h)
print "blo = ";d;" row = ";f; " col = ";co; " lev = ";l-((d-1)*h)
end

22. Fin