definición y guia para aprender sobre matrices

1. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 1
Matrices
Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números que consiste en m filas y n
columnas.
 

















mn
n
n
n
mmmm
mn
a
a
a
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aA
.
.
.....
.
.
.
3
2
1
4321
34333231
24232221
14131211
Se conoce como una matriz de tamaño m x n. También se le conoce al tamaño como el Orden de
la matriz. Las entradas de una matriz consisten de cada número que forma parte de la misma.
Para la entrada aij se denomina i al subíndice de la fila y j al subíndice de la columna.
Ejemplo:








254
132
A Tamaño= 2 x 3
Entradas = 6
Definición:
Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas y de columnas.
Ejemplo:
1) 







03
41
A 2)














185
324
402
B 3)
















5219
6073
302/11
10180
C
Tamaño u Orden A = 2 x 2 B = 3 x 3 C = 4 x 4
Entradas a = 4 b = 9 c = 16

2. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
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Ejemplo #1: Construya una matriz con entradas: a22 = -1, a13 = 4, a31 = a21 = -2 y
cero en todas las demás entradas












002
012
400
A Tamaño = 3 x 3 Entradas = 9
Ejemplo #2: Construya una matriz con entradas: a52 = 5, a34 = -2, a13 = a31 = a12 = 7,
a42 = a33 = a21 = 6 y uno en todas las demás entradas.

















1151
1161
2617
1116
1771
B Tamaño u Orden = 5 x 4 Entradas = 20
Definición: Matriz Aumentada
Una matriz aumentada es una matriz derivada de un sistema de ecuaciones donde cada ecuación
está escrita en forma estándar con el término constante a la derecha.
Ejemplo: Dado el siguiente sistema escríbalo como matriz aumentada.








132
222
13
zyx
zyx
zyx
Solución:













1
2
1
321
212
131

3. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 3
Definición: Matriz de Coeficientes
Una matriz de coeficientes es una matriz derivada de los coeficientes de un sistema de
ecuaciones pero sin incluir los términos constantes.
Ejemplo: Dado el siguiente sistema escríbalo como matriz de coeficientes.








132
222
13
zyx
zyx
zyx
Solución:
=













321
212
131
Práctica: Escriba la matriz aumentada y la matriz de coeficientes para los siguientes sistemas de
ecuaciones.
Matriz en Forma Escalonada por Renglones (Row - Echelon Form)
Una matriz está en forma escalonada por filas si tiene las siguientes propiedades:
1) Cualquier fila formada enteramente de ceros se presentan en la parte inferior de la matriz.
2) Por cada fila que NO este formada enteramente de ceros, la primera entrada diferente de
cero es 1 (llamado 1 inicial).
3) Para dos filas sucesivas (diferentes de ceros), el 1 inicial del renglón más alto está más a
la izquierda que el 1 inicial de la fila más bajo.

4. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
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Ejemplo de Matriz escalonada por renglón.












100
210
131
Matriz Escalonada por Renglones Reducida
Una matriz en forma escalonada por renglones esta en forma escalonada por renglones
reducida si toda columna que tenga un 1 inicial tiene ceros es toda posición arriba y abajo del
lado inicial.
Ejemplo:











2100
5010
3001
Igualdad de Matrices
Definición:
Las matrices A = [aij] y B = [bij] son iguales si y solo si tienen el mismo tamaño y aij = bij para
cada i y para cada j. Esto significa que las entradas correspondientes son iguales.
Si 











hg
fe
dc
ba
entonces a = e b = f c = g d = h

5. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 5
Ejemplo#1: Encuentre el valor de las siguientes variables
















45
16
52
1
wz
yx
Solución:
x = 6 z + 2 = 5
z = 5 – 2
z = 3
y – 1 = -1 w – 5 = -4
y = -1 + 1 w = -4 + 5
y = 0 w = 1
Ejemplo #2: Encuentre el valor de las siguientes variables






















gh
wz
yx
3
3
42
5
11
12
72
6
5
132
Tamaño = 3 x 2 Entradas = 6
Solución:
2x – 3 = 1 z – 5 = 5 6 = 2 – 4h y – 1 = -1 2w + 7 = -3 12 = 3g
2x = 4 z = 10 4 = -4h y = 0 2w = - 10 g = 4
X = 2 h = -1 w = - 5
Transpuesta de una Matriz

6. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 6
Definición:
La transpuesta de una matriz A de tamaño m x n se denota AT, es la matriz n x m cuya i-ésima
fila es la i-ésima columna de A.
Nota Importante: La transpuesta se obtiene intercambiando las filas por las columnas.
Ejemplos: Encuentre la traspuesta.
1)











134
221
056
B Solución:













120
325
416
T
B
2) 




 

105
923
A Tamaño = 2 x 3
Solución:











19
02
53
T
A Tamaño = 3 x 2
Práctica: Halle AT
de las siguientes matrices.
1) 




 

70
52
A 5)











0
2
1
E
2) 







311
52/13
B 6)











100
010
001
F

7. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
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3) 








320
02/52
C 7)













225
016
1035
G
4)  37D 8) 







12
13
H
Suma y Resta de Matrices
Definición:
Para sumar o restar matrices deben ser del mismo tamaño y el proceso que se lleva a cabo
consiste en sumar o restar las entradas correspondientes.




















hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
Ejemplos.
1) 



























 
49
37
8454
3643
85
34
44
63
2)


















































32
33
82
)3(046
)2(552
)4(4)1(1
34
25
41
06
52
41
Práctica: Dada la matrices A, B, C y D. Realice las siguientes operaciones sumas y restas.












224
601
532
A 







31
13
B 




 

23
45
C











105
023
127
D

8. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 8
1) A + D = 5) B + D =
2) B + C = 6) A – D =
3) D – A = 7) B – C =
4) C – B = 8) C – A =
Propiedades de la Suma de Matrices
1) A + B = B + A Propiedad Conmutativa
2) A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa
3) A + 0 = 0 + A = A Matriz Identidad
Propiedades de la Multiplicación por un Escalar (k)
1) k(A+B) = k A + k B
2) (k +1)A = k A + A1
3) k (LA) =(k L)A
4) 0A = 0
5) k 0 = 0
Ejemplos:
1)






















41216
884
02024
134
221
056
4
2) 






 

2
3
142163
14
3
2397

9. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 9
Multiplicación de Matrices
Sea A una matriz m x n y B una matriz n x p. Entonces el producto AB es la matriz C m x p cuya
entrada cij se obtiene mediante la multiplicación y la suma de productos entre las filas 1 y
columna 1 …. Columna n y fila n.
Ejercicio: Determine si las siguientes matrices con los tamaños dados se pueden multiplicar. De
poder hacerlo determine el tamaño de la matriz resultante.
Tamaño Matriz ¿Se puede multiplicar? Matriz Resultante
1) (3 x 7) x (7 x 4) = Sí 3 x 4
2) (2 x 1) x (2 x 1) No N/A
3) (1x 4) x (4 x 4) Sí 1 x 4
4) (2 x 5) x (3 x 6) No N/A
Práctica: Determine si las siguientes matrices con los tamaños dados se pueden multiplicar. De poder
hacerlo determine el tamaño de la matriz resultante.
Tamaño Matriz ¿Se puede multiplicar? Matriz Resultante
1) (5 x 1) x (1 x 2) =
2) (9 x 7) x (4 x 7)
3) (4 x 4) x (4 x 4)
4) (3 x 2) x (8 x 2)
Ejemplo: Multiplique la siguiente matriz.
1) 











 21
03
10
11
x

10. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 10
Solución:
(2 x 2) x (2 x 2) = Se puede multiplicar porque el número de columnas de la primera
matriz es igual al número de filas de la segunda.
La matriz resultante es una matriz 2x2 





2221
1211
aa
aa
a11 = (1)(3) + 1(-1) = 3 – 1 = 2
a12 = (1)(0) + 1(2) = 0 + 2 = 2
a21 = (0)(3) + (-1)(-1) = 0 + 1 = 1
a22 = (0)(0) + (-1)(2) = 0 – 2 = -2 Solución = 





 21
22
Práctica: Realice las operaciones indicadas (si es posible) dadas las siguientes Matrices.





 

70
52
A 







311
543
B 








320
02/52
C  37D











0
2
1
E











100
010
001
F













225
016
1035
G 







12
13
H
1) 2C – 6B = 16) 5A =
2) C – 5A = 17) 3B + 2C =
3) 2H + D = 18) AD =
4) DA = 19) DH =
5) HD = 20) AH =
6) HA = 21) BC =
7) BF = 22) GF =
8) GE = 23) B2
=
9) F2
= 24) A2
=
10) A3
= 25) (DA)B =
11) D(AB) = 26) ABE =
12) AHE = 27) DB + DC =
13) BF + FE = 28) ACT
=

11. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
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14) CBT
= 29) (AH)T
=
15) HT
C = 30) AHT
=
Eliminación de Gauss (Sustitución hacia atrás)
El proceso que utilizaremos es el mismo que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones.
Recuerde que se debe trabajar de izquierda a derecha por columnas, usando las operaciones
elementales de renglón para obtener ceros en todas las entradas directamente debajo de los
números 1 iniciales.
Operaciones Elementales sobre Filas
1) Intercambio de dos filas en una matriz.
2) Suma de un múltiplo de una fila de una matriz por una fila diferente de esa matriz.
3) Multiplicación de una fila de una matriz por un escalar diferente de cero.
Notaciones sobre las Filas
Ri ↔ Rj Intercambiar las filas Ri y Rj
kRi Multiplicar la fila Ri por la constante k
kRi + Rj Sumar k veces la fila Ri a la fila Rj (pero la fila
Ri permanece igual)
Pasos para utilizar la eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás
Paso #1: Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
Paso #2: Use operaciones elementales de renglón para reescribir la matriz aumentada en
forma escalonada por renglones.

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Paso #3: Escriba el Sistema de ecuaciones lineales correspondiente a la matriz escalonada
por renglones y use la sustitución hacia atrás para hallar la solución.
Ejemplo: Utilice matriz para resolver el sistema de ecuaciones con la eliminación gaussiana.
1)





82
72
yx
yx
Solución:
= 





8
7
12
21
= 





8
7
12
21
-2R1 + R2 = 





 6
7
30
21
R2/-3 = 





2
7
10
21
=





2
72
y
yx
Sustituyendo: x + 2(2) = 7
x + 4 = 7
x = 7 – 4
x = 3
Solución: (3, 2)
Práctica: Página 580; 55 al 58
Eliminación de Gauss- Jordán
Una matriz está reducida por la eliminación de Gauss-Jordán si es de la forma

13. Universidad de Puerto Rico
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









c
b
a
100
010
001
Matriz Reducida
Una matriz se dice que es una matriz reducida (o escalonada por filas reducida) si se satisface lo
siguiente:
1) Si una fila no consiste solamente en ceros (0), entonces la primera entrada diferente de
cero en la fila, llamada la entrada principal, es 1, mientras que todas las demás entradas
en la columna en la que el 1 aparece son ceros.
2) En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada
diferente de cero de cada fila arriba de él.
3) Todas las filas que consistan únicamente en ceros están en la parte inferior de la matriz.
Estrategia Para Reducir Una Matriz
Para reducir una matriz debemos hacer que la entrada principal sea 1 en la primera fila, un 1 en
la segunda fila, y así sucesivamente hasta llegar a filas de ceros, si los hay. Además, se debe
trabajar de izquierda a derecha ya que el 1 inicial en cada fila debe encontrarse a la izquierda de
los otros 1 iniciales en las filas de abajo.
Ejemplo: Use la eliminación de Gauss- Jordán para resolver el sistema








17552
43
932
zyx
yx
zyx
Solución:
X = 1 y = - 1 z = 2
Práctica: Encuentre la solución usando el método de Gauss-Jordán

14. Universidad de Puerto Rico
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1)








83
52
12
zyx
zy
zyx
5)








742
33
36
zyx
zyx
zyx
2)








134
4232
2
zyx
zyx
zyx
6)








32
0
22
zyx
zx
zyx
3)








495
652
1332
zyx
zyx
zyx
7)








4510305
25302015
60201010
zyx
zyx
zyx
4)








72
1732
4
yx
zyx
zyx
8)








1033
4
42
zyx
yx
zy
Práctica Adicional: Página 581; 64 al 84
La Inversa de una Matriz
Definición: Matriz Identidad
La matriz Identidad In, es la matriz de n x n para la cual cada entrada de la diagonal principal es
uno y para la cual todos los otros elementos son ceros (0).
Ejemplo:







10
01
A











100
010
001
B













1000
0100
0010
0001
C
Tamaño A = 2 x 2 B = 3 x 3 C = 4 x 4
Nota Importante: La identidad de una matriz es una matriz que al multiplicarla por la matriz
original, no cambia el resultado.

15. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 15
Definición: Inversa de una Matriz
Sea A una matriz cuadrada de n x n. Si existe una matriz A-1 de tamaño n x n con la propiedad
de que
AA-1 = A-1 A = In, entonces decimos que A-1 es la inversa de A.
Inversa de una matriz 2x2
Si 






dc
ba
A , entonces 









ac
bd
bcad
A
11
.
Si ad – bc = 0, entonces A no tiene inversa.
Ejemplo: Halle la inversa de la siguiente matriz







32
54
A
Solución:














































21
2
5
2
3
42
53
2
1
42
53
1012
1
42
53
)5(2)3(4
111
ac
bd
bcad
A
Práctica: Encuentre la inversa de la matriz si existe.
1) 




 

32
53
A 8) 






97
43
H
2) 







135
52
B 9) 








58
47
I

16. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 16
3) 








48
36
C 10) 






45
3/12/1
J
4) 




 

6.03.0
2.14.0
D 11) 








12
2/32/7
K
5) 







32
51
E 12) 








43
12
L
6) 






97
32
F 13) 








64
32
M
7) 




 

63
126
G 14) 






43
18
N
Inversa de una Matriz n x n
Para hallar la inversa de una matriz 3x3 o mayores construimos la matriz que consiste de las
entradas en el lado izquierdo y a la matriz Identidad al lado derecho.










100
010
001
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Luego usamos las operaciones elementales de filas en esta nueva matriz grande para cambiar el
lado izquierdo a la matriz Identidad. De esta manera el lado derecho se transforma
automáticamente en A-1
.
Práctica: Halle la matriz inversa (si tiene).

17. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 17
1)











041
111
142
A 5)











576
313
475
E
2)












1011
154
321
B 6)











212
411
012
F
3)













321
313
220
C 7)













022
115
023
G
4)











101
233
324
D 8)














2/12/12/1
111412
8109
H
Determinantes
El determinante se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para determinar
si una matriz tiene inversa. El determinante se denota como det(A) y solo se puede determinar si
la matriz es cuadrada.
Determinante de una matriz 2x2
El Determinante de la matriz 2x2 






dc
ba
A está dado por
.||)det( cbad
dc
ba
AA 







18. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 18
Ejemplo: Encuentre el determinante de cada matriz
1) 




 

21
32
A
Solución:
.||)det( cbad
dc
ba
AA 






734)3(1)2(2
21
32
||)det( 




 
 AA
2) 






24
12
B
Solución:
044)1(4)2(2
24
12
||)det( 





 BB
Práctica: Encuentre el determinante de cada matriz.

19. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 19
Determinante de una matriz nxn
Definición de menores y cofactores
Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n > 1.
1) El menor Mij del elemento aij es el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al
eliminar el renglón i y la columna j.
2) El cofactor Cij del elemento aij es Cij = (-1)i + j Mij
Ejemplo: Encuentre todos los menores y cofactores de











104
213
120
A
Solución:
Para hallar el menor M11, se elimina el primer renglón y la primera columna de A y evalúe el
determinante de la matriz resultante
Para hallar el menor M12, se elimina el primer renglón y la segunda columna de A y evalúe el
determinante de la matriz resultante
Continuando en esta forma, se obtienen los menores

20. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 20
M11= -1 M12 = -5 M13 = 4
M21 = 2 M22 = -4 M23 = -8
M31 = 5 M32 = -3 M33 = -6
Para hallar los cofactores utilizamos Cij = (-1)i + j Mij
C11= -1 C12 = 5 C13 = 4
C21 = -2 C22 = -4 C23 = 8
C31 = 5 C32 = 3 C33 = -6
Práctica: Encuentre todos los menores y cofactores de cada matriz
Determinante de una Matriz Cuadrada
Si A es una matriz cuadrada (de tamaño 2x2 o mayor), el determinante de A es la suma
de los elementos de cualquier renglón (o columna) de A multiplicada por sus respectivos
cofactores. Por ejemplo a lo largo del primer renglón obtenemos
|A| = a11C11 + a12C12+…+a1nC1n.

21. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 21
Ejemplo: Encuentre el determinante de











104
213
120
A
Solución:
Dado que este ejercicio lo realizamos anteriormente, encontramos que los cofactores son
C11= -1 C12 = 5 C13 = 4
Por lo tanto utilizando la definición tenemos que
|A| = a11C11 + a12C12+…+a1nC1n.
|A| = 0(-1) + 2(5) + 1(4)
|A| = 10 + 4
|A| = 14
Ejemplo: Halle el determinante de













132
654
123
B
Práctica: Encuentre el determinante de cada matriz

22. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 22
Regla de Cramer
Si un sistema de n ecuaciones lineales tiene una matriz A de coeficientes con un determinante |A|
diferente de cero, la solución del sistema es
||
|| 1
1
A
A
x  ,
||
|| 2
2
A
A
x  , … ,
||
||
A
A
x n
n  .
Nota Importante: Dado el siguiente sistema





222
111
cybxa
cybxa
tenemos que:
Matriz de coeficientes = Det = 





22
11
ba
ba
, 






22
11
bc
bc
Dx , 






22
11
ca
ca
Dy .

23. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 23
Esto significa que el determinante respecto a x se obtiene sustituyendo los coeficientes de las
variables x por los términos constantes. Del mismo modo el determinante respecto a y se obtiene
sustituyendo los coeficientes de las variables y por los términos constantes.
Ejemplo: Use la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema





1153
1024
yx
yx
Solución:
Primero hallamos el determinante D
14620)2(3)5(4
53
24
22
11















ba
ba
D
282250)2(11)5(10
511
210
22
11















bc
bc
Dx
143044)10(3)11(4
113
104
22
11













ca
ca
Dy
Ahora hallamos el valor de cada variable
2
14
28




D
D
x x
1
14
14



D
D
y y
Solucion: x = 2, y = -1

24. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 24
Práctica: Use la regla de Cramer para resolver el sistema.
1)





82
92
yx
yx
2)





2074
33126
yx
yx
3)





123
36
yx
yx

25. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 25
4)





2/36/14/1
13/12/1
yx
yx
5)





2.36.12.1
4.02.14.0
yx
yx
6)





393120
211710
yx
yx
Ejemplo de Aplicación de Matrices

26. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 26

27. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 27
Práctica:

28. Universidad de Puerto Rico
Utuado, Puerto Rico
Preparado por José D. Padín Jiménez Mate 3012 Página 28
Práctica online:
http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/determinante/determinante_right.xhtml