Este documento trata sobre fracciones algebraicas. Explica que una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Detalla cómo operar con fracciones algebraicas siguiendo las leyes aritméticas comunes, pero usando el mínimo común múltiplo de polinomios en lugar de números reales cuando se suma o resta fracciones. También cubre conceptos como fracciones equivalentes, simplificación de fracciones, y el cálculo del mínimo común múltiplo de polinomios.

1. FRACCIONES
ALGEBRAICAS

2. FRACCIONES ALGEBRAICAS
 FRACCIÓN ALGEBRAICA
 Es el cociente de dos polinomios.
 P(x) / Q(x)
 Para operar con fracciones se siguen las leyes aritméticas, con la diferencia
ahora que el mcm de los denominadores es el mcm de polinomios, no de
números reales.
 FRACCIONES EQUIVALENTES
 Dos fracciones, P(x) / Q(x) y M(x) / N(x) son equivalentes si:
 P(x) M(x)
 ----- = ------ , lo que implica que P(x).N(x) = Q(x).M(x)
 Q(x) N(x)
 Ejemplo
 x2 – 1 x – 1
 ---------------- y --------
 x2 – 2.x + 3 x – 2

3. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
 Para que una fracción racional P(x) / Q(x) se pueda simplificar debe haber, al
menos un factor común entre P(x) y Q(x).
 Ejemplo 1
 x3 – 8 (x - 2).(x2 + 2.x + 4) x2 + 2.x + 4
 --------  Factorizando  ---------------------------- = -------------------
 x2 – 4 (x + 2).(x – 2) x + 2
 Si un polinomio está dividido por un monomio, dicho monomio divide a todos
y cada uno de los monomios del polinomio. NO SE PUEDE SIMPLIFICAR UN
MONOMIO DEL POLINOMIO CON EL MONOMIO DIVISOR
 x3 + x2 + 2.x + 4
 ------------------------ = x3 + 2.x + 4 MUY MAL OPERADO
 x2

4.  EJEMPLO_2
 Sea P(x) (x – 2).(x – 3).(x + 3)2
 ------ = --------------------------------
 Q(x) (x + 2).(x + 3).(x – 3)3
 Eliminamos de la expresión los factores comunes, quedando:
 P(x) (x – 2).(x + 3)
 ------ = ----------------------
 Q(x) (x + 2).(x – 3)2
 EJEMPLO_3
 Sea P(x) x5 + x4 – 8.x3 – 5.x2 + 25.x – 14
 ------ = ------------------------------------------- , que factorizamos:
 Q(x) x3 – 4.x2 + 5.x – 2
 P(x) (x – 1)2 .(x – 2 ).(x2 + 5.x + 7)
 ------ = ---------------------------------------- = x2 + 5.x + 7
 Q(x) (x – 1)2 .(x – 2 )

5. Común denominador Para multiplicar o dividir fracciones NO se precisa realizar el m.c.m. o
común denominador de los denominadores.
 Para sumar o restar fracciones es obligatorio realizar el m.c.m. o común
denominador de los denominadores.
 Para sumar o restar fracciones el común denominador de los denominadores
puede ser el producto de los mismos (no el m.c.m.). Pero no es nada
recomendable.
 Para sumar o restar fracciones el común denominador debe ser el
m.c.m. de los denominadores.
 Ejemplo
 x – 2 x + 4 (x + 2).(x – 2) + (x – 3).(x + 4)
 ----------- + ------------------- = ----------------------------------------- = ………
 (x – 3)2 (x – 3).(x+2) (x – 3)2 .(x+2)

6. Mínimo común múltiplo: MCM
 MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más polinomios, es el menor
de los polinomios múltiplos comunes.
 Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos
los polinomios con el mayor exponente que presenten.
 Ejemplo_1
 Hallar el MCM de los polinomios:
 P(x) = (x – 3)2 .(x + 2)3
 Q(x) = (x – 3)3 .(x + 2). (x + 1)
 MCM = (x – 3)3 .(x + 2)3 .(x + 1)

7.  Ejemplo_2
 Hallar el MCM de los polinomios:
 P(x) = (x – 3)2 .(x + 2)
 Q(x) = (x + 3)3 .(x – 2). (x + 1)
 MCM = (x – 3)2 .(x + 2). (x + 3)3 .(x – 2). (x + 1)
 Ejemplo_3
 Hallar el MCM de los polinomios:
 P(x) = (x – 3)5
 Q(x) = (x – 3) . (x + 1)
 MCD = (x – 3)5 (x + 1)

8. Operaciones con fracciones
 Ejemplo_1
 x 4 - x x + 4 - x 4
 ------- + -------------- = --------------- = ----------
 x – 3 x – 3 x – 3 x – 3
 Ejemplo_2
 1 x + 2 1 x + 2
 ------- + ------------------ = ----------- + ------------------- =
 x – 3 x2 – 9 (x – 3) (x + 3).(x – 3)
 x + 3 x + 2 2.x + 5 2.x + 5
 ------------------- + ------------------ = -------------------- = ---------------
 (x – 3).(x + 3) (x – 3).(x + 3) (x + 3).(x – 3) x2 – 9

9.  Ejemplo_3
 x 7.x - 9 x 7.x - 9
 ------- -- ------------------ = ----------- -- -------------------- =
 x – 3 x2 – 2x – 3 x – 3 (x – 3).(x + 1)
 M.c.m. =(x – 3).(x + 1)
 x. (x+1) - (7.x – 9 ) x2 + x – 7.x + 9 x2 - 6.x + 9
 = ---------------------------- = ------------------------ = ------------------- =
 (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1)
 Se factoriza el numerador siempre que sea posible:
 (x – 3).( x – 3) x – 3
 = --------------------- = ---------- , que es la solución simplificada.
 (x – 3).(x + 1) x + 1

10.  Ejemplo_4
 x x2 – 9 x.(x2 – 9) x.(x + 3).(x – 3) x.(x + 3)
 ------- . ----------- = ------------------ = --------------------- = -------------
--
 x – 3 x + 1 (x – 3).(x +1) (x – 3).(x +1) x + 1
 Ejemplo_5
 x2 – 4 x2 – 9 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3)
 --------- . ----------- = --------------------------------------- = (x – 2).(x – 3)
 x + 3 x + 2 (x + 3).(x +2)
 Ejemplo_6

 x – 4 9 – y2 (x – 4).(3 + y).(3 – y) 3 – y
 -------- . ------------ = ------------------------------ = ----------
 y + 3 x2 – 16 (y + 3).(x + 4).(x – 4) x + 4


11.  Ejemplo_7
 x – 1 x + 3 (x – 1).(x + 1) x2 – 1
 ------- : ----------- = ------------------ = ----------
 x – 3 x + 1 (x – 3).(x + 3) x2 – 9
 Ejemplo_8
 x2 – 4 x – 2 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3)
 --------- : ----------- = --------------------------------------- = (x + 2).(x +
3)
 x – 3 x2 – 9 (x – 3).(x – 2)
 Ejemplo_9

 x – y x2 – y2 (x – y).(x + y) 1
 ---------- : ----------- = ------------------------------------ = -----------------
-
 y2 – x2 x + y (y + x).(y – x).(x + y).(x – y) (y + x).(y – x)