El documento presenta un resumen de los métodos de Euler y Heun para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que el método de Euler divide el intervalo en subintervalos de igual tamaño y aproxima la solución mediante una ecuación de primer orden, mientras que el método de Heun mejora esta aproximación usando una regla del trapecio. Finalmente, incluye ejemplos numéricos para ilustrar la aplicación de ambos métodos.

1. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
Unidad 6: Ecuaciones diferenciales
Sea [a, b] el intervalo en donde se quiere hallar la solución de un problema de valor inicial enunciado
como:
( , ( ))
dy
f x y x a x b
dx
   .
Donde a es el valor inicial con f(a) conocido y b es el valor final con f(b) desconocido.
Se divide el intervalo [a, b] en N subintervalos (de igual tamaño) de forma que *ix a i h 
i = 0,1, …, N-1. Donde h recibe el nombre de tamaño de paso.
b a
h
N


1. Euler
1 ( , )i i i iy y hf x y  
1k kx x h  
Ejemplo I:
Resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria con h = 0,05 ' 2 3 1; (1) 5y x y y   
0 0(1,2) ?; 1; 5y x y   . Si el valor real puede ser calculado con la siguiente ecuación encuentre el
error en cada iteración.
3 3
2 38 1
3 9 9
x
x e e
y

  
Desarrollo:
1 0
1 0 0 0
Iteración 1: 1 0,05 1,05
*(2 3 1) 5 0,05(2*1 3*5 1) 4,4
x x h
y y h x y
    
        
13 3 3*1,05 3
1
1
2 38 1 2*1,05 38 1
Valor real: 4,45
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 4,45 - 4,4
Error: *100 *100 1,12%
Valor real 4,45
x
x e e e e
y
 
      
 
2 1
2 1 1 1
Iteración 2: 1,05 0,05 1,1
*(2 3 1) 4,4 0,05(2*1,05 3*4,4 1) 3,9
x x h
y y h x y
    
        

2. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
23 3 3*1,1 3
2
2
2 38 1 2*1,1 38 1
Valor real: 3,97
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,97 - 3,9
Error: *100 *100 1,76%
Valor real 3,97
x
x e e e e
y
 
      
 
3 2
3 2 2 2
Iteración 3: 1,11 0,05 1,15
*(2 3 1) 3,9 0,05(2*1,1 3*3,9 1) 3,47
x x h
y y h x y
    
        
33 3 3*1,15 3
3
3
2 38 1 2*1,15 38 1
Valor real: 3,57
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,57 - 3,47
Error: *100 *100 2,8%
Valor real 3,57
x
x e e e e
y
 
      
 
4 3
4 3 3 3
Iteración 4: 1,15 0,05 1,2
*(2 3 1) 3,47 0,1(2*1,15 3*3,47 1) 3,1
x x h
y y h x y
    
        
43 3 3*1,2 3
4
4
2 38 1 2*1,2 38 1
Valor real: 3,22
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,22 - 3,1
Error: *100 *100 3,72%
Valor real 3,22
x
x e e e e
y
 
      
 
Iteración x y Error
0 1 - -
1 1,05 4,40000 1,017%
2 1,1 3,89500 1,947%
3 1,15 3,47075 2,780%
4 1,2 3,11514 3,506%
Ejemplo II:
Resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria mediante Euler con h = 0,1
0 0' 2 3 1; (1) 5; (1,2) ?; 1; 5y x y y y x y      
Desarrollo:

3. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
1 0
1 0 0 0
2 1
2 1 1 1
Iteración 1: 1 0,1 1,1
*(2 3 1) 5 0,1(2*1 3*5 1) 3,8
Iteración 2: 1,1 0,1 1,2
*(2 3 1) 3,8 0,1(2*1,1 3*3,8 1) 2,98
(1,2) 2,98
x x h
y y h x y
x x h
y y h x y
y
    
        
    
        

2. Heun
1 1 1( ) [ ( , ) ( , )]
2
i i i i i i
h
y y x f x y f x y    
1 0 0 0 1 1( ) ( ) [ ( , ( )) ( , ( ))]
2
h
y x y x f x y x f x y x  
1 0 0 0 1 0 0 0( ) [ ( , ) ( , ( , ))]
2
h
y x y f x y f x y hf x y   
En este método primero se predice un y mediante Euler el cual es ocupado en la regla del trapecio para
disminuir el error.
Ejemplo I:
Resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria con h = 0,05 ' 2 3 1; (1) 5;y x y y   
0 0(1,2) ?; 1; 5y x y   . Si el valor real puede ser calculado con la siguiente ecuación encuentre el
error en cada iteración.
3 3
2 38 1
3 9 9
x
x e e
y

  
Desarrollo:
     
1 0
1 0 0 0
1 0 0 0 1 1
Iteración 1: 1 0,05 1,05
( , ) 5 0,05*[2*1 3*5 1] 4,4
0,05
( , ) ( , ) 5 2*1 3*5 1 2*1,05 3*4,4 1 4,45
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
      
   
                
   
13 3 3*1,05 3
1
1
2 38 1 2*1,05 38 1
Valor real: 4,45
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 4,45 - 4,45
Error: *100 *100 0%
Valor real 4,45
x
x e e e e
y
 
      
 

4. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
     
2 1
2 1 1 1
2 1 1 1 2 2
Iteración 2: 1,05 0,05 1,1
( , ) 4,45 0,05*[2*1,05 3*4,45 1] 3,94
0,05
( , ) ( , ) 4,45 2*1,05 3*4,45 1 2*1,1 3*3,94 1 3,98
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
      
   
                
   
23 3 3*1,1 3
2
2
2 38 1 2*1,1 38 1
Valor real: 3,97
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,97 - 3,98
Error: *100 *100 0,25%
Valor real 3,97
x
x e e e e
y
 
      
 
     
3 2
3 2 2 2
3 2 2 2 3 3
Iteración 3: 1,1 0,05 1,15
( , ) 3,98 0,05*[2*1,1 3*3,98 1] 3,54
0,05
( , ) ( , ) 3,98 2*1,1 3*3,98 1 2*1,15 3*3,54 1 3,58
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
      
   
                
   
33 3 3*1,15 3
3
3
2 38 1 2*1,15 38 1
Valor real: 3,57
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,57 - 3,58
Error: *100 *100 0,28%
Valor real 3,57
x
x e e e e
y
 
      
 
     
4 3
4 3 3 3
4 3 3 3 4 4
Iteración 4: 1,15 0,05 1,2
( , ) 3,58 0,05*[2*1,15 3*3,58 1] 3,2
0,05
( , ) ( , ) 3,58 2*1,15 3*3,58 1 2*1,2 3*3,2 1 3,24
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
      
   
                
   
43 3 3*1,2 3
4
4
2 38 1 2*1,2 38 1
Valor real: 3,22
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,22 - 3,24
Error: *100 *100 0,62%
Valor real 3,22
x
x e e e e
y
 
      
 
Iteración x y Error
0 1 - -
1 1,05 4,44750 0,051%
2 1,1 3,97628 0,099%

5. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
3 1,15 3,57507 0,143%
4 1,2 3,23416 0,181%
Ejemplo II: Use el método de Heun para hallar una solución aproximada del problema de valor inicial:
'( ) 2
(0) 1
y x xy
y


Aproxime el valor de y(0,5), con h = 0,1
Desarrollo:
   
1 0
1 0 0 0
1 0 0 0 1 1
Iteración 1: 0 0,1 0,1
( , ) 1 0,1*[2*(0)*(1)] 1
0,1
( , ) ( , ) 1 2*0*1 2*0,1*1 1,01
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
    
   
         
   
   
2 1
2 1 1 1
2 1 1 1 2 2
Iteración 2: 0,1 0,1 0,2
( , ) 1,01 0,1*[2*(0,1)*(1,01)] 1,03
0,1
( , ) ( , ) 1,01 2*0,1*1,01 2*0,2*1,03 1,04
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
    
   
         
   
   
3 2
3 2 2 2
3 2 2 2 3 3
Iteración 3: 0,2 0,1 0,3
( , ) 1,04 0,1*[2*(0,2)*(1,04)] 1,08
0,1
( , ) ( , ) 1,04 2*0,2*1,04 2*0,3*1,08 1,094
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
    
   
         
   
   
4 3
4 3 3 3
4 3 3 3 4 4
Iteración 4: 0,3 0,1 0,4
( , ) 1,094 0,1*[2*(0,3)*(1,094)] 1,16
0,1
( , ) ( , ) 1,094 2*0,3*1,094 2*0,4*1,16 1,17
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
    
   
         
   
   
5 4
5 4 4 4
5 4 4 4 5 5
Iteración 5:
0,4 0,1 0,5
( , ) 1,17 0,1*[2*(0,4)*(1,17)] 1,27
0,1
( , ) ( , ) 1,17 2*0,4*1,17 2*0,5*1,27 1,28
2 2
x x h
y y hf x y
h
y y f x y f x y
    
    
   
         
   
3. Taylor de orden superior
El método de Taylor sirve para funciones y(x) tales que sean N veces continuamente diferenciables en el
intervalo [a, b] y exista 𝑦^((𝑛+1)).

6. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
2
1 ' '' ...
2! !
N
N
i i i i i
h h
y y y h y y
N
     
3.1. Orden dos
Ejemplo I:
Resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria con h = 0,05 ' 2 3 1; (1) 5y x y y   
0 0(1,2) ?; 1; 5y x y   . Si el valor real puede ser calculado con la siguiente ecuación encuentre el
error en cada iteración.
3 3
2 38 1
3 9 9
x
x e e
y

  
Desarrollo:
El método de Taylor de orden 2 es:
2
1 ' ''
2!
i i i i
h
y y y h y   
Luego se necesita calcular y’’
' (2 3 1) 2 3 1
'' 2 3*(2 3 1) 6 9 1
dy d x y dx dy d
y x y x y
dx dx dx dx dx
 
            
La fórmula queda
2
1 (2 3 1) ( 6 9 1)
2!
i i i i i i
h
y y x y h x y        
1 0
2 2
1 0 0 0 0 0
Iteración 1: 1 0,05 1,05
0,05
(2 3 1) ( 6 9 1) 5 (2*1 3*5 1)*0,05 ( 6*1 9*5 1) 4,45
2! 2
x x h
h
y y x y h x y
    
                
13 3 3*1,05 3
1
1
2 38 1 2*1,05 38 1
Valor real: 4,45
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 4,45 - 4,45
Error: *100 *100 0%
Valor real 4,45
x
x e e e e
y
 
      
 
2 1
2
2 1 1 1 1 1
2
Iteración 2: 1,05 0,05 1,1
(2 3 1) ( 6 9 1)
2!
0,05
4,45 (2*1,05 3*4,45 1)*0,05 ( 6*1,05 9*4,45 1)* 3,98
2
x x h
h
y y x y h x y
    
        
       

7. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
23 3 3*1,1 3
2
2
2 38 1 2*1,1 38 1
Valor real: 3,97
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,97 - 3,98
Error: *100 *100 0,25%
Valor real 3,97
x
x e e e e
y
 
      
 
3 2
2
3 2 2 2 2 2
2
Iteración 3: 1,1 0,05 1,15
(2 3 1) ( 6 9 1)
2!
0,05
3,98 (2*1,1 3*3,98 1)*0,05 ( 6*1,1 9*3,98 1) 3,58
2
x x h
h
y y x y h x y
    
        
       
33 3 3*1,15 3
3
3
2 38 1 2*1,15 38 1
Valor real: 3,57
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,57 - 3,58
Error: *100 *100 0,28%
Valor real 3,57
x
x e e e e
y
 
      
 
4 3
2
4 3 3 3 3 3
2
Iteración 4: 1,15 0,05 1,2
(2 3 1) ( 6 9 1)
2!
0,05
3,58 (2*1,15 3*3,58 1)*0,05 ( 6*1,15 9*3,58 1) 3,24
2
x x h
h
y y x y h x y
    
        
       
43 3 3*1,2 3
4
4
2 38 1 2*1,2 38 1
Valor real: 3,22
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,22 - 3,24
Error: *100 *100 0,62%
Valor real 3,22
x
x e e e e
y
 
      
 
Iteración x y Error
0 1 - -
1 1,05 4,44750 0,051%
2 1,1 3,97628 0,099%
3 1,15 3,57507 0,143%
4 1,2 3,23416 0,181%
Ejemplo II: Calcular la aproximación a y(1) mediante el método de Taylor de orden 2.con y(0) = 2 y h
= 0,5.
2
' ,con (0) 2y y x y  
Desarrollo:

8. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
2
1 (2 3 1) ( 6 9 1)
2!
i i i i i i
h
y y x y h x y        
2
2' ( )
'' 2 2
dy d y x dy
y x y x x
dx dx dx

      
Iteración 1:
2 2
2 2 2 2
1 0 0 0 0 0 0 1
0,5
( ) ( 2 ) 2 (2 0 )*0,5 (2 0 2*0)* 3,25( 0 0,5)
2! 2!
h
y y y x h y x x x              
Iteración 2:
2 2
2 2 2 2
2 1 1 1 1 1 1 2
0,5
( ) ( 2 ) 3,25 (3,25 0.5 )*0,5 (3,25 0,5 2*0,5)* 5( 0,5 0,5)
2! 2!
(1) 5
h
y y y x h y x x x
y
              

3.2. Orden tres
2 3
1 ' '' '''
2! 3!
i i i i i
h h
y y y h y y    
Ejemplo I: Resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria con h = 0,05
' 2 3 1; (1) 5;y x y y    0 0(1,2) ?; 1; 5y x y   . Si el valor real puede ser calculado con la
siguiente ecuación encuentre el error en cada iteración.
3 3
2 38 1
3 9 9
x
x e e
y

  
El método de Taylor de orden 3 es:
2 3
1 ' '' '''
2! 3!
i i i i i
h h
y y y h y y    
Luego se necesita calcular y’’ e y’’’
' (2 3 1) 2 3 1
'' 2 3*(2 3 1) 6 9 1
dy d x y dx dy d
y x y x y
dx dx dx dx dx
 
            
'' ( 6 9 1) 6 9 1
''' 6 9*(2 3 1) 18 27 3
dy d x y dx dy d
y x y x y
dx dx dx dx dx
  
             
La fórmula queda
 
2 3
1 (2 3 1) ( 6 9 1) 18 27 3
2! 3!
i i i i i i i i
h h
y y x y h x y x y           

9. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
 
 
1 0
2 3
1 0 0 0 0 0 0 0
2 3
Iteración 1: 1 0,05 1,05
(2 3 1) ( 6 9 1) 18 27 3
2! 3!
0,05 0,05
5 (2*1 3*5 1)*0,05 ( 6*1 9*5 1) 18*1 27*5 3 4,45
2 6
x x h
h h
y y x y h x y x y
    
           
          
13 3 3*1,05 3
1
1
2 38 1 2*1,05 38 1
Valor real: 4,45
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 4,45 - 4,45
Error: *100 *100 0%
Valor real 4,45
x
x e e e e
y
 
      
 
 
 
2 1
2 3
2 1 1 1 1 1 1 1
2 3
Iteración 2: 1,05 0,05 1,1
(2 3 1) ( 6 9 1) 18 27 3
2! 3!
0,05 0,05
4,45 (2*1,05 3*4,45 1)*0,05 ( 6*1,05 9*4,45 1)* 18*1,05 27*4,45 3 3,98
2 6
x x h
h h
y y x y h x y x y
    
           
          
23 3 3*1,1 3
2
2
2 38 1 2*1,1 38 1
Valor real: 3,97
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,97 - 3,98
Error: *100 *100 0,25%
Valor real 3,97
x
x e e e e
y
 
      
 
 
 
3 2
2 3
3 2 2 2 2 2 2 2
2 3
Iteración 3: 1,1 0,05 1,15
(2 3 1) ( 6 9 1) 18 27 3
2! 3!
0,05 0,05
3,98 (2*1,1 3*3,98 1)*0,05 ( 6*1,1 9*3,98 1) 18*1,1 27*3,98 3 3,58
2 6
x x h
h h
y y x y h x y x y
    
           
          
33 3 3*1,15 3
3
3
2 38 1 2*1,15 38 1
Valor real: 3,57
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,57 - 3,58
Error: *100 *100 0,28%
Valor real 3,57
x
x e e e e
y
 
      
 

10. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
 
 
4 3
2 3
4 3 3 3 3 3 3 3
2 3
1,15 0,05 1,2
(2 3 1) ( 6 9 1) 18 27 3
2! 3!
0,05 0,05
3,58 (2*1,15 3*3,58 1)*0,05 ( 6*1,15 9*3,58 1) 18*1,15 27*3,58 3 3,24
2 6
x x h
h h
y y x y h x y x y
    
           
          
43 3 3*1,2 3
4
4
2 38 1 2*1,2 38 1
Valor real: 3,22
3 9 9 3 9 9
Valor real - Valor aproximado 3,22 - 3,24
Error: *100 *100 0,62%
Valor real 3,22
x
x e e e e
y
 
      
 
Iteración x y Error
0 1 - -
1 1,05 4,44513 0,002%
2 1,1 3,97219 0,004%
3 1,15 3,56979 0,005%
4 1,2 3,22810 0,007%
Ejercicios
I. Resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria con N = 4 0,8
' 4 0,5 ; (0) 2x
y e y y  
0 0(4) ?; 0; 2y x y   .
Encuentre la solución mediante:
a) Euler
b) Heun
c) Taylor de orden 2
Desarrollo:
Datos:
Formula: 0,8
' 4 0,5x
y e y 
x0 = 0
y0 = 2
4 0
1
4
b a
h
N
 
  
y(x=4) = ?

11. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
a) Euler
1
0,8
1
* ( , )
1*(4 0,5 )i
i i i i
x
i i i
y y h f x y
y y e y


 
  
Iteración x y
0 0 2
1 1 5
2 2 11,4
3 3 25,51
4 4 56,84
b) Heun
 
   1
1 1 1
0,8 0,8 0,8
1
* ( , ) ( , )
2
* 4 0,5 4 0,5 1* 4 0,5
2
i i i
i i i i i i
x x x
i i i i i
h
y y f x y f x y
h
y y e y e y e y
  

  
         
Iteración x y´ y
0 0 - 2
1 1 5 6,701
2 2 12,25 16,32
3 3 27,97 37,19
4 4 62,68 83,33
c) Taylor de Orden 2
    
   
2
1
2
0,8 0,8 0,8
1
2
0,8 0,8
1
' ''
2!
4 0,5 3,2 0,5* 4 0,5
2!
4 0,5 1,2 0,25
2!
i i i
i i
i i i i
x x x
i i i i
x x
i i i i
h
y y y h y
h
y y e y h e e y
h
y y e y h e y



  
     
    
Iteración x y
0 0 2
1 1 5,85
2 2 13,89
3 3 31,46
4 4 70,36
II. Resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria con h = 0,125 ' ; (1) 4y x y y  (1,5) ?y  .

12. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
Encuentre la solución mediante:
a) Euler
b) Heun
c) Taylor de orden 2
Desarrollo:
Datos:
Formula: x y
x0 = 1
y0 = 4
h = 0,125
y(x=1,5) = ?
a) Euler
1
1
* ( , )
0,125*( )
i i i i
i i i i
y y h f x y
y y x y


 
 
Iteración x y
0 1 4
1 1,125 4,25
2 1,25 4,539
3 1,375 4,871
4 1,5 5,25
b) Heun
 1 1 1
1 1
* ( , ) ( , )
2
*
2
i i i i i i
i i i i i i i i
h
y y f x y f x y
h
y y x y x y hx y
  
 
  
    
  
Iteración x y´ y
0 1 - 4
1 1,125 4,25 4,349
2 1,25 4,642 4,774
3 1,375 5,115 5,288
4 1,5 5,683 5,909

13. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
c) Taylor de Orden 2
   
   
2
1
2
0,5
1
2
1
' ''
2!
0,5
2!
0,5
2!
i i i i
i i i i i i i
i i i i i
h
y y y h y
h
y y x y h y x y
h
y y x y h x




  
  
  
Iteración x y
0 1 4
1 1,125 4,254
2 1,25 4,548
3 1,375 4,886
4 1,5 5,271
III. Resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria mediante Taylor de Orden 3 con h = 0,25.
2
' ; (0) 2y y y  0 0(4) ?; 0; 2y x y  
Desarrollo:
Datos:
Formula: 2
'y y
x0 = 0
y0 = 2
h = 0,25
y(x=4) = ?
      
     
2 3
1
2 3
2 2 2 2
1
2 3
2 3 3
1
' '' '''
2! 3!
2 6 ( )
2! 3!
2 6
2! 3!
i i i i i
i i i i i i i
i i i i i
h h
y y y h y y
h h
y y y h y y y y
h h
y y y h y y



   
   
   
Iteración x y
0 0 2
1 0,1 2,488
2 0,2 3,276
3 0,3 4,735
4 0,4 8,144
5 0,5 20,71

14. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
IV. Si se drena el agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el
líquido fluirá rápido cuando el tanque esté lleno y despacio conforme se drene. Como se ve la tasa a la
que el nivel del agua disminuye es:
dy
k y
dt
  donde k es una constante que depende de la forma del
agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero de drenaje. La profundidad del agua y
se mide en metros y el tiempo t en minutos. Si k = 0,58, determine cuánto tiempo se requiere para vaciar
el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 1 m. Utilice h = 0,5.
Encuentre la solución mediante:
a) Euler
b) Heun
c) Taylor de orden 2
Desarrollo:
Datos:
Formula: 0,46
dy
y
dt
 
t0 = 0
y0 = 1
h = 0,5
a) Euler
1
1
* ( , )
0,5*( 0,58 )
i i i i
i i i
y y h f t y
y y y


 
  
Iteración t y
0 0 1
1 0,5 0,71
2 1 0,465641
3 1,5 0,267751
4 2 0,117691
5 2,5 0,0182032
6 3 -0,0209234
Al minuto 2,5 se vacía el tanque.

15. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
b) Heun
 1 1 1
1
* ( , ) ( , )
2
* 0,58 ( 0,58 * 0,58 )
2
i i i i i i
i i i i i
h
y y f t y f t y
h
y y y y h y
  

  
       
  
Iteración t y´ y
0 0 - 1
1 0,5 0,71 0,73282
2 1 0,484565 0,507757
3 1,5 0,301111 0,324867
4 2 0,159575 0,184298
5 2,5 0,0598011 0,0865908
6 3 0,00125449 0,0387869
Al minuto 3 se vacía el tanque.
c) Taylor de Orden 2
    
   
2
1
2
0,5
1
2
0
1
' ''
2!
0,58 0,29 * 0,58
2!
0,58 0,1624
2!
i i i i
i i i i i
i i i i
h
y y y h y
h
y y y h y y
h
y y y h y




  
     
   
Iteración t y
0 0 1
1 0,5 0,7303
2 1 0,502077
3 1,5 0,31689
4 2 0,17394
5 2,5 0,0732922
6 3 0,015081
Al minuto 3 se vacía el tanque.
V. La reacción química irreversible en la cual dos moléculas de dicromato sólido de potasio (K2Cr2O7),
dos moléculas de agua (H2O) y tres átomos de azufre sólido (S) se combinan para producir tres moléculas
de dióxido gaseoso de azufre (SO2), cuatro moléculas de hidróxido sólido de potasio (KHO) y dos

16. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
moléculas de óxido sólido de cromo (Cr2O3). Para esto, se tiene una ecuación estequiométrica, la cual no
presentaremos por motivos obvios.
Si originalmente se dispone de n1 moléculas de K2Cr2O7, n2 moléculas de H2O y n3 moléculas de S, la
siguiente ecuación diferencial describe la cantidad de x(t) de KOH después del tiempo:
2 2 3
1 2 3
3
2 2 4
dx x x x
k n n n
dt
     
        
     
Donde k es la constante de velocidad de la reacción. Si k = 6,22*10-19
, n1 = n2 = 2*103
y n3 = 3*103
, y
considerando x(0) = 3000 con un tamaño de peso de 1 seg., encuentre la cantidad de KOH a los 3
segundos, mediante:
a) Euler
b) Heun
Desarrollo:
Datos:
Formula: 20 4 3
1,64*10 ( 4000) ( 4000)
dx
x x
dt

   
t0 = 0
x0 = 3000
h = 1
x(t=3) = ?
a) Euler
1
20 4 3
1
* ( , )
1*( 1,64*10 ( 4000) ( 4000) )
i i i i
i i i i
x x h f t x
x x x x



 
    
Iteración t x
0 0 3000
1 1 3016,40
2 2 3031,01
3 3 3044,16
b) Heun
 
 
1 1 1
20 4 3 20 4 3
1
* ( , ) ( , )
2
* ( 1,64*10 ( 4000) ( 4000) ) *( 1,64*10 ( 4000) ( 4000) )
2
i i i i i i
i i i i i i i
h
x x f t x f t x
h
x x x x x h x x
  
 

  
           

17. Universidad Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Ingeniería Civil Industrial
Curso:
Semestre:
Profesor:
Métodos Matemáticos en
Ingeniería (ICI2204)
1-2019
Diego Beneventti
Iteración t x' x
0 0 - 3000
1 1 3016,4 3015,50
2 2 3030,20456 3029,47
3 3 3042,77152 3042,16
Ejercicios Propuestos
I. El movimiento de un sistema acoplado masa-resorte, el cual se muestra en la Figura, está descrito por
la ecuación diferencial ordinaria que sigue:
2
2
0
d x dx
m c kx
dt dt
  
Donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m), t = tiempo (s), m = 20 kg y c = coeficiente
de amortiguamiento (N*s/m). El coeficiente de amortiguamiento c adopta tres valores: 5
(subamortiguado), 40 (amortiguamiento crítico) y 200 (sobreamortiguamiento). La constante de resorte
es k = 20 N/m. La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva esta
ecuación con el uso de un método numérico durante el periodo 0 ≤ t ≤ 15 s. Grafique el desplazamiento
versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento sobre la misma
curva.
II. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad
de un objeto que cae como un paracaidísta, por medio de la ecuación diferencial siguiente:
2dcdv
g v
dt m
 
Donde v es la velocidad (m/s), t = tiempo(s), g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2), cd =
coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m) y m = masa (kg). Resuelva para la velocidad y distancia
que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de arrastre de 0,225 kg/m. Si la altura inicial es de 1 km,
determine en qué momento choca con el suelo.