Este documento trata sobre cálculo diferencial e integral. Explica la definición de antiderivada y cómo encontrarlas usando reglas como la regla de la potencia. Proporciona ejemplos de cómo calcular antiderivadas de funciones como x3, x2 y x4/3 usando estas reglas. También cubre conceptos como la notación de Leibniz y cómo la integral indefinida es un operador lineal.

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 3: APLICACIONES EN INGENIERÍA
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. INTEGRALES

4. ANTIDERIVADA
DEFINICIÓN

5. EJEMPLO 1:
Encuentre una antiderivada de la función en ( )3
( ) 4 ,f x x= − 
Buscamos una función F que satisfaga ( ) 3
' 4F x x=
( ) 4
F x x=
( ) 4
6F x x= +
( ) 4
F x x C= + Siendo C cualquier constante
si una función f tiene una antiderivada, tendrá una familia de ellas, y cada miembro de esta familia puede
obtenerse de uno de ellos mediante la suma de una constante adecuada.
A esta familia de funciones le llamamos la antiderivada general de f.

6. EJEMPLO 2:
Encuentre una antiderivada de la función en ( )2
( ) ,f x x= − 
Buscamos una función F que satisfaga ( ) 2
'F x x=
( ) ( )3 2
' 3F x x F x x= → =
( ) 31
3
F x x=
Siendo C cualquier constante( ) 31
3
F x x C= +

7. NOTACIÓN EN LAS ANTIDERIVADAS
( )2 31
3
xA x x C= +
NOTACIÓN DE LEIBNIZ
2 31
3
x dx x C= +
3 4
4x dx x C= +
( ) ( )xD f x dx f x C= +
( ) ( )xD f x dx f x=

8. ANTIDERIVADA
TEOREMA: Regla para la Potencia
( )
1
1
1
1 1
r
r r
x
x
D C r x x
r r
+
 
+ = + = + + 
1dx x C= +
Utilizaremos el término
integral indefinida

9. EJEMPLO
Encuentre la antiderivada general de
4
3
( )f x x=
7
3 74
3 3
3
7 7
3
x
x dx C x C= + = +

10. ANTIDERIVADA
TEOREMA
( )( )Cos Sin( )xD x C x− + =
( )( )Sin Cos( )xD x C x+ =

11. ANTIDERIVADA
TEOREMA: La integral indefinida es un operador lineal

12. EJEMPLO
( )2
3 4x x dx+
( )2 2
3 4 3 4x x dx x dx xdx+ = +  
( )2 2
3 44 3 x xx x dx d xdx= ++  
( )
2
2
2
3
13 4 3 4
3 2
x x d C
x
x
x
C
   
= + + +   
  
+


( ) ( )1 2
2 3 2
3 2 3 44x x d x x C Cx = + + ++
( ) 3 22
3 4 2x x Cx x dx =+ + +

13. ANTIDERIVADA
TEOREMA: Regla Generalizada de la Potencia

14. EJEMPLO
( ) ( )
304 3
3 4 3x x x dx+ +
( )( ) ( )
( )
( )
31
30
314
'
31
3
31
g x
g x g x dx C
x x
C
  = +
+
= +

( )
( )'
u g x
du g x dx
=
=
1
, 1
1
r
r u
u du C r
r
+
= +  −
+

15. EJEMPLO
( ) ( )
53 2
6 6 12x x x dx+ +
( )
3
2
6
3 6
u x x
du x dx
= +
= +
( ) ( )2 2
6 12 2 3 6 2x dx x dx du+ = + =
( ) ( )
53 2 5
6 6 12 2x x x dx u du+ + = 
( ) ( )
53 2 5
6 6 12 2x x x dx u du+ + = 
( ) ( )
53 52
6 6 12 2x ux x dx u d+ + = 
( ) ( )
53 2
6
6 6 1 2
6
2x
u
dx Cx x
 
= + 

+ +


( ) ( )
53 2
6
6 6 1 2
3
2
u
Cx x x dx =+ ++
( ) ( )
( )2
63
53
6 6 12
6
3
Kx x x dx
x x+
=+ + +

16. PREGUNTAS