Guía de clase Bloque 1 segundo grado

66
MATEMÁTICAS 2
GUÍA DE CLASE
EDUCACIÓN SECUNDARIA
Esta guía pertenece a ___________________________________________________
Escuela Secundaria _____________________________________________________
Respetables alumnos y padres de familia:
Esta guía de clase se ha elaborado con las sugerencias de los Profesores de Matemáticas
de la Región Centro de Chihuahua, con el fin de apoyar en el estudio a nuestros alumnos,
de tal manera, que puedan utilizarla como la base de los conocimientos y habilidades que
en clase deben adquirir.
Es importante que en el trabajo de iniciación se promueva el esfuerzo individual de los
alumnos, así como el trabajo colaborativo para llegar al conocimiento, en ocasiones con
explicaciones sencillas del profesor y promoviendo que todos los alumnos hagan
aportaciones para la solución de los problemas, ya que el aprendizaje solamente es
adquirido de manera individual. Recordemos que no es el médico el que sana, es el
paciente, así mismo, no es el maestro el que aprende, es el alumno, con su muy particular
aptitud, interés, dedicación, esfuerzo, responsabilidad, participación, etcétera.
Una catedrática de la Universidad decía a sus alumnos:
“Nada se aprende, nada se enseña, si no es por la repetición y el ejercicio. Son necesarios
cientos, miles de ensayos para aprender verdaderamente lo que se estudia. Si por orgullo o
pereza nos olvidamos de esta necesidad, nuestra ineptitud nos hará aprender duramente
que la naturaleza no se deja violentar o apresurar”
SUGERENCIAS PARA EL USO DE LA GUÍA
Lee y
comprende
los conceptos
que vienen
encerrados
en los
recuadros.
Escribe
un
resumen
de lo
que leas.
Memoriza los
conocimientos
que se
necesiten
memorizar.
Resuelve las
actividades
de clase de
la guía.
Comparte los
conocimientos
con tus
compañeros.

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¡ÉXITO!
ÍNDICE
BLOQUE 1 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Problemas
multiplicativos
• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la
misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un
número natural a una potencia de exponente negativo.
4
10
Figuras y
cuerpos
• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre
dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las
relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos
y paralelogramos.
• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las
condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.
15
23
Medida • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de
figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y
pirámides.
26
Proporcionalida
d y funciones
• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje,
como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué
porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una
cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés
compuesto.
30
34
Nociones de
probabilidad
• Comparación de dos o más eventos de azar a partir de sus
resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable
que…” “es menos…”
36
Análisis y
representación
de datos
• Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles
para comparar dos conjuntos de datos.
38
Problemas
aditivos
• Resolución de problemas que impliquen suma de monomios y
polinomios.
• Resolución de problemas que impliquen resta de monomios y
polinomios.
41
45
Problemas
multiplicativos
• Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a
partir de empleo de modelos geométricos.
48
Medida
• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos,
prismas y pirámides rectos.
• Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos
o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las
relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y
pirámides.
51
55
Proporcionalida
d y funciones
• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa
mediante diversos procedimientos.
59
Nociones de
probabilidad
• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para
un acercamiento a la probabilidad frecuencial.
62

66
Problemas
multiplicativos
• Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de
las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y
cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.
• Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de
expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
65
68
Figuras y
cuerpos
• Formulación de una regla que permita calcular la suma de los
ángulos interiores de cualquier polígono.
• Análisis y explicitación de las características de los polígonos que
permiten cubrir el plano.
74
76
Medida • Relación entre el decímetro cúbico y el litro 80
Proporcionalida
d y funciones
• Representación algebraica y análisis de una relación de
proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables
con las cantidades que intervienen en dicha relación.
81
Análisis y
representación
de datos
• Búsqueda, organización y presentación de información en
histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de
frecuencia), según el caso y análisis de la información que
proporcionan.
• Análisis de propiedades de la media y mediana.
89
92
Patrones y
ecuaciones
• Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las
reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general en
lenguaje algebraico de una sucesión.
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la
resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d
y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación,
utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y
negativos.
97
103
Medida • Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y
análisis de sus relaciones.
112
Proporcionalida
d y funciones
• Análisis de las características de una gráfica que representa una
relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.
• Análisis de situaciones problemáticas asociados a fenómenos de la
física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe
variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación
de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la
forma
y = ax + b
116
123
Análisis y
representación
de datos
• Resolución de situaciones de medias ponderadas. 126
Patrones y
ecuaciones
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la
resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes
enteros, utilizando el método más pertinente. Suma y resta,
igualación o sustitución.
• Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con
coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de
129
137

66
sus gráficas con la solución del problema.
Figuras y
cuerpos
• Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y
explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como
triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
144
Medida • Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de
arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
150
Proporcionalida
d y funciones
• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas
a diversos fenómenos.
• Análisis de los efectos al cambiar la función y = mx + b en la gráfica.
155
157
Nociones de
probabilidad
• Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y
teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.
160
Hay dos clases de persona - me dijo en cierta ocasión mi abuelo – los que trabajan y
los que se adjudican el mérito. Él me aconsejó que tratara de estar en el primer grupo, ya
que es ahí donde hay menos competencia.

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PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
CONOCIMIENTOS
MULTIPLICACIÓN DE NÚMERO ENTEROS. POSITIVOS Y NEGATIVOS
PROBLEMA: Observa las siguientes tablas de multiplicación, en donde el producto
va disminuyendo en la primera tabla y aumentando en la segunda. Deduce las leyes
de los signos de la multiplicación.
POR +3 +2 +1 0 -1 -2 -3
+5 15 10 5 0 -5 -10 -15
POR +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3
-3 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9
Con base en las multiplicaciones anteriores completa lo siguiente:
Si multiplicamos dos números del mismo signo el resultado tiene signo
____________
Si multiplicamos dos números de diferente signo el resultado tiene signo __-
_________
Las leyes de los signos de la multiplicación son las siguientes:
a) Un número entero positivo por otro positivo, el resultado es positivo: (+5)(+3) = +15
b) Un número entero positivo por otro negativo, el resultado es negativo: (+5)(-3) = -15
c) Un número entero negativo por otro positivo, el resultado es negativo: (-3)(+5) = -15
d) Un número entero negativo por otro negativo, el resultado es positivo: (-3)(-3) = + 9
FORMAS DE REPRESENTAR UNA MULTIPLICACIÓN
Con el signo por: 5 x -3 = Con un punto: 5 • -3 = Con paréntesis: (5) (-3) =
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa las tablas de multiplicar y escribe enseguida las leyes de los signos.
POR 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
7
BLOQUE 1

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POR 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
-5
2.- Calcula los siguientes productos aplicando las leyes de los signos.
(+4)(+2) = ______
(+4)(+1) = ______
(+4)(0) = ______
(+4)(-1) = ______
(+4)(-2) = ______
3.- Usa números positivos y negativos para representar cada situación con
multiplicación.
En el futbol americano, 5 fauls de 4 yardas cada uno: (5)( ) = -20
Sueldo de 2 días de trabajo por $250 cada uno:…..._______________________
3 pérdidas de $50 cada una:……………….………..._______________________
4 fauls de 15 yardas cada uno:………………………._______________________
Aumento de 5 veces la temperatura 4°C:………….._______________________
4.- Resuelve los siguientes problemas y escribe el resultado correcto.
Leyes de los signos de la multiplicación
( + )( + ) = ____ ( + )( - ) = ____ ( - )( - ) = ____ ( - )( + ) = ____
(-3)(+4) = ______
(-3)(+3) = ______
(-3)(+2) = ______
(-3)(1) = ______
(-3)(0) = ______
(4)(-20) = ______
(-10)(+3) = ______
(3)(-1) = ______
(-4.5)(3) = ______
(-8)(0) = ______
1.- En un juego de azar, una persona
perdió $90 cuatro veces seguidas y en
siete ocasiones ganó $60 cada vez.
¿Cuál es el estado de sus cuentas?
_______
2.- En una mina, una calesa baja a razón
de 7 metros por segundo. ¿Dónde se
hallará a los 10 segundos con respecto
al nivel de la estación?_____________
3.- El producto de dos números es -25.
Si esos dos números son multiplicados
por -8, ¿cuál será el nuevo producto?
___________
4.- Pensé un número. Al multiplicarlo
por -6 y enseguida restarle 42 obtuve 0.
¿Qué número pensé?__________
7.- ¿Qué números multiplicados da 6 y
sumados resulta -5?
_____ y _____

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5.- Resuelve las siguientes multiplicaciones indicadas. Primero multiplica los
signos.
9 x 2 = ______ (+8)(-3 ) = ______ ( -5)(-3) = ______
(-5)(-8) = ______ (+2)(+1) = ______ (a)(-b) = ______
(-4.2)(+3) = ________ (-7)(-7) = ______ (0.40)(- 0.75) = ______
(-2)(+ 5)(- 8) = ______ (-5)² = __________ (+3)(+4)(-1) = ______
(4)(-1)(- 2) = ______ (35)(1)(- 2) = _______ (-3)² = ______
(-4)² = ______ (+40)(-40) = _______ (-20)(-20)(-20) =
______
6.- Escribe en las líneas el número correcto que falta.
5.- ¿Qué números multiplicados da +16 y
sumados resulta +8?
_____ y _____
6.- ¿Qué números multiplicados da 10 y
sumados resulta +7?
_____ y ______
8.- ¿Qué números multiplicados da -20 y
sumados resulta 1?
_____ y _____
9.- Rosa compró 4 kilos de manzanas y 5
kilos de naranjas. El kilo de manzana
cuesta $18 y el kilo de naranja cuesta $12.
Si pagó con un billete de $500, ¿cuánto
recibió de cambio?_______________
10.- Si una deuda se considera como un
número negativo. Martha adeuda $500 a
cada una de las cinco tiendas donde le
fían.
¿Cuánto adeuda a las cinco tiendas?........
(__)
a) $500
b) $2 500
c) -$2 500
d) -$500

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(-7)(3) = ______ (___)(___) = 14 (-7)(6) = ______
(-2)(___) = 12 (___)(___) = -40 (-7)(4) = ______
(____)(-8) = -16 (___)(___) = 25 (-2)(___) = 20
(____)(____) = -21 (___)(___)= -15 (-2)(8) = _____
7.- Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones, si n = 3. Ejemplo:
20 - 4n = 20 - 4(3) = 20 - 12 = 8
3n = _________________________ 2n - 1 =
______________________________
2n = _________________________ -2n = _____________________________
2n + 6 = _________________________ -5n + 8 =
_____________________________
3n + 1 = _________________________ -3n - 50 =
_____________________________
6n – 3n = ________________________ -4n =
________________________________
5n – 20 = ________________________ -3n + 60 =
____________________________
8.- Las personas que fueron al súper de compras, observaron en la entrada una lista de precios
que se encontraban en oferta. Observa las ofertas y resuelve los problemas que enseguida se
plantean.
¡OFERTAS!
ARTÍCULO PRECIO POR UNIDAD
Jabón para baño $6.00
Nescafé $34.00
Jugo de piña $12.00
Crema $27.00
Rastrillo $23.00
1.- Mario compró 2 rastrillos y 4 jabones
para baño.
¿Cuánto pagó en total?___________
2.- Rosa compró 3 jabones para baño, 1
nescafé y 7 jugos de piña.
3.- Iván compró 4 rastrillos, 9 jabones para
baño y 3 cremas.
6.- La mamá de Mario compró 8 jabones
para baño, 2 nescafés, 7 jugos de piña, 2
cremas y 4 rastrillos. Si pagó con un billete
de $500.00
¿Cuánto le dieron de cambio?________

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DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. POSITIVOS Y NEGATIVOS
PROBLEMA: Completa las siguientes tablas de división, en donde se puede observar que el
cociente o resultado va disminuyendo y deduce las leyes de los signos de la división. Deduce las
leyes de los signos de la división.
ENTRE 15 10 5 0 -5 -10 -15
5 3 2
÷ -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9
-3 5 4
La multiplicación y la división son dos operaciones inversas, por lo tanto, las leyes
de los signos de la división serán inversos a los de la multiplicación.
( + )( + ) = + Su inverso es ( + ) ÷ ( + ) = +
( + )( - ) = - Su inverso es ( - ) ÷ ( - ) = +
( - )( - ) = + Su inverso es ( + ) ÷ ( - ) = -
( - )( + ) = - Su inverso es ( - ) ÷ ( + ) = -
En la multiplicación y en la división,
cuando son dos signos iguales con los
que se opera, el resultado es positivo.
Cuando son dos signos diferentes el
resultado es negativo.
4.- Elena compró 10 jabones, 3 nescafés y
20 jugos de piña.
5.- Amada compró 5 jabones para baño, 5
jugos de piña y 1 crema. Si pagó con un
billete de $200.00
¿Cuánto le dieron de cambio?________

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1.- Resuelve las siguientes divisiones. Primero divide los signos.
35 ÷ 7 = 100 ÷ (-25) = -25 ÷ (-1) = 18 ÷ (-2) =
-20 ÷ (-1) = 65 ÷ (-13) = -15 ÷ (-1) = 24 ÷ 4 =
-35 ÷ 7 = -100 ÷ 25 = -20 ÷ (-4) = -8 ÷ 4 =
-36 ÷ (-9) = -33 ÷ 11 = 28 ÷ (-7) = -4 ÷ 4 =
35 ÷ (-7) = -100 ÷ (-25) = - 8 ÷ (-2) = 20 ÷ (-1) =
-40 ÷ (-5) = -63 ÷ (-7) = -76 ÷ (-19) = 156 ÷ (-12) =
-35 ÷ (-7) = -25 ÷ 1 = -54 ÷ 9 = -112 ÷ (-8) =
2.- Encuentra el número que falta.
_____ ÷ 5 = 4 9 ÷ _____ = 3 - 4 ÷ ____ = - 2
_____ ÷ - 7 = 2 -15 ÷ _____ = 5 ____ ÷ 7 = - 7
_____ ÷ - 3 = 5 - 6 ÷ _____ = 3 - 18 ÷ _____ = 6
_____ ÷ 18 = - 5 -9 ÷ _____ = - 3 - 65 ÷ _____ = - 13
3.- Resuelve los siguientes problemas.
1.- Un submarino se sumerge hacia el
fondo del agua a -2 metros por segundo.
¿Cuánto tiempo tardará para llegar a los
-100 metros de profundidad?
____________________
2.- Las ventas de una tienda cambiaron
-18 puntos en 3 días. ¿Cuál fue el
promedio del cambio cada día?
____________________
3.- Un avión cambia de altitud -5025
metros en 15 minutos.
¿Cuánto bajó en cada minuto?
____________
4.- Un minero desciende en una mina -48
metros en 16 minutos. ¿Cuál es el
promedio del descenso por minuto?
_______________
5.- Una familia reporta en su balance
mensual los siguientes movimientos:
Enero $170, Febrero $-30, Marzo $80 y
Abril $-20.
¿Cuál es el promedio en el balance
mensual por los cuatro meses?
____________________
7.- Iván gana $8 200 al mes y Fernando
gana $3 600.
Por cuánto tiene que multiplicar Fernando
su dinero para ganar lo mismo que Iván?
10.- El papá de Mario les reparte a sus 5
hijas $8 270.00
¿Cuánto dinero recibe cada hija?
__________
¿Cuánto dinero deberá tener el papá de
Mario para que a cada una de sus hijas le

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PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
6.- Una persona hizo en el banco los
siguientes movimientos mensuales entre
depósitos y retiros: Enero $7350, Febrero
$-850, Marzo $-1450, y abril $ 6150.
¿Cuál es el promedio en el balance
mensual? _________________________
8.- El área de una recámara es de 30 m² y
el área de otra es de 12 m².
¿Por cuánto se tiene que multiplicar el
área de la recámara chica para tener un
área igual que la recámara mayor?
___________________
9.- El papá de Fernando les reparte a sus
tres hijos $5 274.00 y le toca $1 758.00 a
cada uno.
¿Cuánto dinero recibirá cada uno si lo que
tiene para repartir son $10 548?
___________

66
5
5
2 + 3 5
6
• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base
y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una
potencia de exponente negativo.
POTENCIACIÓN
PROBLEMA: Encuentra el área del cuadrado y el volumen del cubo.
La potenciación es una operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo tantas
veces como lo indique el exponente.
A = 4² = (4)(4) = 16 V = 4³ = (4)(4)(4) = 64
Recuerda que una multiplicación se puede expresar de las siguientes maneras: Con el signo por
solo cuando sean números, con paréntesis y con un punto, y si son letras, una enseguida de otra.
5 x 5 (5)(5) 5 • 5 Esto es 5 por 5
(a)(b) a • b ab Esto es a por b
PRODUCTOS DE POTENCIAS ENTERAS CON UNA MISMA BASE
PROBLEMA: Multiplica las siguientes potencias que tienen una misma base.
(4²)(4³) = (4)(4)•(4)(4)(4) = 4
(a²)(a³) = (a)(a)•(a)(a)(a) = a
(b)(b²)(b³) = (b)•(b)(b)•(b)(b)(b) = b
De esta manera podemos generalizar que: “Para multiplicar dos potencias que tengan la
misma base, los exponentes se suman”.
(4² x 4³) = 4 = 4
¿Cuáles serán los resultados de los siguientes productos que tienen la misma base?
4
4
4
4
4
BASE
EXPONENTE
POTENCIA4 ³ = 64

66
5
5
5
5 5
6
(y³)(y²) = ______
(b²)(b³)(b ) = _______
1.- Multiplica como en el ejemplo.
(3²)(3³) = (3)(3)(3)(3)(3) = 3
(2³)(2²) = __________________________ (2²)(2²) = ________________________
(a³)(a²) = _________________________ (x)(x) = _________________________
(10²)(10³)= _______________________ (y²)(y²) = ________________________
(8²)(8²) = _________________________ (4²)(4) = ________________________
(x³)(-x²) = _________________________ (-y³)(y) = ________________________
(-6)² (-6)³ = ______________________ (10³)(10³) = ______________________
2.- Multiplica directamente.Ejemplos: (a²) (a³) = a (2y)² (2y)³ = (2y) = 32y
(8²)(8³) = ________ (2³)(2³) = _______ (3²)(3²) = ________
(m³)(m²) = ________ (x³)(x²) = ________ (10²)(10²) = ________
(a²) (a²) = ________ (x)(x) = ________ 10³)(10²) = ________
(x²)(x) = _______ (y)(y³) = ________ (y²)(y²) = ________
(-y²)(-y²) = _______ (-a³)(a²) = ________ (m³)(-m²) = ________
(2x)² (2x)³ = _______ (2m)³ (2m)² = ________ (2x)³(2x)³ = ________
(x³)(x³) = _______ (a²)(a) = ________ (20²)(20²) = ________
3.- Multiplica como en el ejemplo: (2²)(2³) = 2 = 32
(3²)(3³) = ________ (x³)(x²) = _________
(2²)(2²) = ________ (a²)(a²) = ________
(9³)(9²) = ________ (x²)(x³) = __________

66
5
(10)(10³) = _______ (-y²)(-y²) = ________
(8²)(8) = _________ (x²)(x²) = _________
(4³)(4³) = _________ (y³)(y²) = _________
(6²)(6) = ________ (x²)(x³)(x³) = ________
4.- Multiplica directamente. Ejemplo: (-2a²) (+5a³) = - 10a
(5a²)(8a³) = ________ (7x³)(2x³) = _______ (3x²)(3x²) = ________
(4m³)(5m²) = ________ (3x³)(4x²) = ________ (3x²)(7x³) = ________
(3a²)(5a²) = ________ (4x³)(2x) = ________ (5x)(6x) = ________
(-9x²)(-3x) = _________ (-2y)(-4y³) = ________ (-1y²)(-8y²) = _______
(-7y²)(-4y²) = ________ (-6x³)(-2 x²) = ________ (-3m³)(-2m²) = _______
(3x²)(+3x³) = _________ (-2m³)(-2m²) = ________ (9x³)(9x³) = ________
(4x³)(-x) = _________ (+6a)(-a) = ________ (+5x³)(+4x²) = ________
5.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2²)(2²)?______________
a) 8 b) 16 c) 32 d) 4
6.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (4²)(4³)?______________
a) 64 b) 1 024 c) 256 d) 4 096
7.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²)(3)?______________
a) 27 b) 9 c) 243 d) 81
a) 27 b) 9 c) 243 d) 81
9.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2³)(2³)?______________
a) 32 b) 128 c) 64 d) 36
a) 27 b) 9 c) 243 d) 81
a) 100 b) 625 c) 125 d) 3 125
12.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10²)(10)?______________
a) 20 b) 100 c) 10 000 d) 1 000

66
6
6 18 18
15 15
2 x 3
3 x 2 6
4
5
6
4
7 21 14
a) 100 000 b) 1 000 c) 10 000 d) 1 000 000
13.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10³)(10³)?______________
a) 1 000 b) 100 c) 100 000 d) 1 000 000
POTENCIA DE UNA POTENCIA
PROBLEMA: El profesor de matemáticas nos pidió que encontráramos el resultado de las
siguientes operaciones, y que estableciéramos la regla general para obtenerlo.
(3²)³ Aquí el exponente ³ nos indica que 3² los vamos a tomar como factor tres
veces.
Esto es: (3²)(3²)(3²) = 3
Por lo tanto, podemos deducir que para elevar una potencia a otra potencia, los exponentes
se multiplican. (3²)³ = 3 Ejemplos:
(5³) = 5 Porque: (5³)(5³)(5³)(5³)(5³)(5³) = 5
(x³ x² )³ = x Porque: x³ x³ x³ x² x² x² = x
(x³ y²) = x y Porque se multiplican los exponentes
1- Resuelve las siguientes expresiones como en el ejemplo.
(x²)³ = (x²)(x²)(x²) = x = x (x³)² = ______________________________
(x²)² = __________________________ (b²) = _____________________________
(y³)² = __________________________ (m )³ = ____________________________
2.- Resuelve las siguientes potencias de potencias y obtén el resultado final. Ejemplo.
(2²)³ = 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 (2³)³ = __________________________
(2²)² = ____________________________ (2²) = _________________________
(10²)³ = ___________________________ (10³)³ = _________________________
1.- En la central de abastos, una bodega
vendió 8³ pedidos de 8² cajas cada uno y en
cada caja hay 8¹ botellas con 1 litro de aceite.
¿Cuántas botellas vendió?_____________
2.- Una librería envió 5³ cajas con 5² libros
cada una para una biblioteca.
¿Cuántos libros envió en total?_________

66
=
4 4 x 2 8
5
4 5 7
4 12 8 4
5 6 7
5 10
= 3 - 2
4=
7 = 10 3 - 7
= 10 - 4
=
1
10
4
- 1 - 2 - 3 - 4
01
= 4
SISTEMA
DECIMAL
3.- Encuentra el resultado de las siguientes potencias de potencias. Ejemplo
(x²) = x = x (b³)² = ____________________
(a²)² = ___________________ (y³) = ____________________
(x ) = __________________ (b²) = ____________________
4.- Encuentra las potencias resultantes. Ejemplo.
(x³ y²) = x y (x² y³)³ = _______________ (b³ c )² = ____________
(a³ b ) = ___________ (x³ y² ) = _______________ (a² b)³ = _____________
(a³ b³ ) = ____________ (x³ y² )² = _______________ (a² b³) = __________
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE UNA MISMA BASE
PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias con una misma base y establece la
regla para efectuarla.
4³ (4)(4)(4)
4² (4)(4)
PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias con una misma base en donde el
exponente del numerador es mayor que el del denominador.
10³
10
Cuando en una división nos resulta una potencia negativa, la convertimos en positiva
dejando como denominador el 1 y pasándola como potencia positiva al denominador.
Esto se explica por lo siguiente: (NOTA: Todo término a la 0 potencia es igual a 1)
10³ 10² 10 10 10 10 10 10
1000 100 10 1
1
10
_1_
100
1_
1000
1__ 1_
10000 10
4 REGLA: Para dividir potencias que tengan la
misma base, restamos los exponentes.

66
= =
= =
= =
14
8
= x
=
=
=
8
5
=
=
=
10
4
12
6
6
7
4
35
22
8 =
=
6
7 6
10
6 4
9
=
=
=
=
1.- Divide como en el ejemplo. 4³ (4)(4)(4)
4² (4)(4)
8³ 3³
8² 3¹
x³ y_
x² y²
2.- Encuentra el resultado de calcular las siguientes divisiones. Ejemplo: x
x
y³ a² y³ x_
y² a¹ y² x
x³ y³ b _ w_
x¹ y² b w
x³ y³ c x_
xº y³ c x
2.- Encuentra el resultado de calcular los siguientes cocientes. Indica todo en
positivo.
10³_ w²_ y³_
10 w y
x²_ a_ x_
x a x
FIGURAS Y CUERPOS
• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas
paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las
medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
= = 4³ˉ² = 4¹ = 4
== =
= =
6

66
PROBLEMA: Demuestra que “los ángulos opuestos por el vértice, a y b, son iguales”
Si recortamos el ángulo b opuestos y lo sobreponemos en su opuesto a, comprobamos que las
medidas de ambos ángulos coinciden exactamente.
< a = < b
Por ser opuestos por el vértice
Cuando se cruzan dos rectas de un lado a otro se forman rectas transversales, originando ángulos
opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.
d
a c
b
1.- Encuentra la medida de los ángulos que se indican.
a ________
b ________
x ______
y ______
155°
Calca y recorta lo que corresponde al
ángulo b y sobreponlo en el ángulo a.
b
a
G
F
E
49°
y
x
99°
36°
a
25°
b
c
b
a
51°
a y c son ángulos opuestos por el vértice. Y
también b y d.
a y d son ángulos adyacentes porque comparten el mismo
vértice y un lado. Y también d y c, c y b, a y b.
Los ángulos adyacentes son suplementarios porque
suman 180° (a + d = 180°)
E ________
F ________
G ________
a ________
b ________
c ________

66
2.- En el siguiente dibujo se presentan dos rectas que al cortarse forman ángulos opuestos por el
vértice y ángulos adyacentes suplementarios porque suman 180°. Observa el dibujo y contesta las
preguntas.
3.- En Santa Bárbara, Chihuahua, para ir del pueblo a la Mina Clarines, hay un camino que al
cruzarse con la carretera de terracería forman ángulos como los que se representan en el
siguiente dibujo. Observa el dibujo y contesta las preguntas.
4.- El profesor Vicente les planteó a sus alumnos el siguiente:
PROBLEMA: El siguiente dibujo representa el cruce de dos vías del ferrocarril.
¿Cuál es el valor del ángulo representado por la letra x?_______________
5.- La sombra que proyecta la antena de la televisión de una casa, forma con el marco de una
puerta ángulos como se muestran en el siguiente dibujo. Observa y contesta las preguntas.
c
b
a135°
132°
x
c
ba
100°
c b
a 40°
¿Cuál es la medida del ángulo c?______
¿Cuál es la medida del ángulo a?______
¿Cuál es la medida del ángulo b?______
MINA
CLARINES
¿Cuál es la medida del ángulo c?______
¿Cuál es la medida del ángulo a?______
¿Cuál es la medida del ángulo b?______
¿Hasta cuántos ángulos identificas
que se forman en el dibujo?.............. ________
¿Cuál es la medida del ángulo c?..........______
¿Cuál es la medida del ángulo a?..........______
¿Cuál es la medida del ángulo b?...........______

66
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES, ALTERNOS INTERNOS Y ALTERNOS EXTERNOS
PROBLEMA: Calca y recorta la circunferencia dibujada abajo y colócala exactamente sobre la
otra circunferencia. Observa que la medida de los ángulos coincide. Compara la medida de los
ángulos y demuestra que:
a b
c d
e f
g h
a = e b = f c = g d = h Por ser correspondientes.
c = f d = e Por ser alternos internos.
a = h b = g Por ser alternos externos.
1.- En las siguientes rectas paralelas, escribe parejas de ángulos que cumplen con lo que se
indica enseguida, compara la medida de los ángulos que se forman y contesta las preguntas que
se te hacen.
Opuestos por el vértice: ________, ________, ________, ________.
Suplementarios: _________, _________, _________, _________,
_________, _________, _________, __________.
Alternos internos: __________, __________
Alternos externos: __________, __________
Si en el dibujo anterior, el ángulo a mide 45°:
¿Cuánto mide el ángulo b? _______ ¿Cuánto mide el ángulo f? _______
¿Cuánto mide el ángulo c? _______ ¿Cuánto mide el ángulo g? _______
¿Cuánto mide el ángulo d? ________ ¿Cuánto mide el ángulo h? _______
b a
c d
f e
g h

66
¿Cuánto mide el ángulo e? _______
2.- Observa el siguiente dibujo en donde P y Q son paralelas.
3.- Escribe la medida de los ángulos formados en las siguientes rectas si 3x + 2x = 180°
5.- Corta las siguientes rectas paralelas con una transversal, mide con el transportador uno de los
ángulos que se forman y escribe a los otros su medida.
6.- Encuentra la medida del ángulo x, sabiendo que M y N son paralelas.
ÁNGULOS INTERNOS DEL TRIÁNGULO
e f
c d
a b
3x 2x
Q
P
150°
N
M
x
49°
dc
g h
a
123° f b
¿Cuánto mide cada uno de los
siguientes ángulos?
c = _________ b = _________
a = _________ d = _________
f = _________ g = _________
h = _________
a = _______ b = _______
c = _______ d = _______
e = _______ f = ______

66
PROBLEMA: Demuestra que los ángulos internos de un triángulo suman 180°.
Con el papel doblado, a partir del dibujo de un triángulo podemos ver de manera
informal que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
b
a c a + b + c = 180°
Porque forman un ángulo llano.
Un ángulo es la porción indefinida de plano limitada por dos líneas. Para medir un
ángulo se coloca el transportador de tal manera que los grados señalados en él,
nos den la medida del ángulo.
Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano
1.- Mide con el transportador los ángulos internos de cada triángulo y suma sus
medidas.
180°145°90°25°

66
2.- Encuentra la medida de los ángulos que faltan en cada uno de los triángulos que
aparecen en las figuras y escríbela en el ángulo interno que señala cada flecha.
5.- Encuentra la medida del ángulo a del siguiente triángulo, y enseguida mide con
transportador los ángulos internos del cuadrado, para que demuestres que la suma
de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360°.
a
y
69°
31°
36°
cd
ba
45°
90°
90°
23°
15°
60°
90°
45°
32°
4.- Observa la siguiente figura:
¿Cuánto mide el ángulo y?........................ (____)
a) y = 111° b) y = 30°
c) y = 90° d) y = 21°
3.- En un triángulo, dos de sus ángulos
internos miden 25° y 50°. ¿Cuánto mide
el otro ángulo?... (___)
a) 75°
b) 105°
c) 130°
d) 285°

66
90 + 45 + _____ = 180° a + b + c + d = _________________
(180)(2) = 360°
6.- Encuentra el valor de la medida de los ángulos faltantes en los siguientes
triángulos o cuadriláteros.
b = ______
a = ______
b = ______
x = ______
b = ______
a = ______
a = ______
b = ______
135°
106°
a
b
58°
a
52°
b
32°
36°
ab 72°
46°a
38°
b
90°
90°
90°x
a b
d c
a = ______
a = ______
b = ______
c = ______
d = ______

66
7.- En el patio de la escuela los maestros dibujaron un triángulo como el siguiente:
8.- En la prueba de matemáticas la maestra nos planteó el siguiente:
PROBLEMA: Encuentra la medida de los ángulos internos del siguiente triángulo si
sabemos que el ángulo R mide 145° y el ángulo A mide 55°.
9.- La siguiente figura representa un terreno triangular en el que pasan tres calles
por cada uno de sus lados.
Encuentra la medida de los ángulos a y b que se forman en el terreno.
10.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 30° y 90°.
b
a
150°
C
B
A
R
b 132°40°
a
x = ______
x = ______
y = ______
90° 45°
x
y
90°45°
125°
88° 88°
x
¿Cuánto mide el ángulo b?__________
¿Cuánto mide el ángulo a?__________
¿Cuánto mide el ángulo B?__________
¿Cuánto mide el ángulo C?__________
¿Cuánto mide el ángulo b?__________
¿Cuánto mide el ángulo a?__________

66
¿Cuál es la medida del tercer ángulo?.................................._______
14.- Encuentra la medida del ángulo Ω del triángulo que se forma en las siguientes
rectas.
a) 50°
b) 45°
c) 60°
d) 55°
FIGURAS Y CUERPOS
• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad
y unicidad en las construcciones.
TRAZO DE UN TRIÁNGULO CON REGLA Y COMPÁS
PROBLEMA: Traza un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 4 cm y 3 cm.
1.- Trazo con regla uno de sus lados, cualquiera que sea. En este caso puede ser el lado que
mide 5 cm y lo llamamos lado AB.
2.- Tomo con el compás la medida del otro lado (4 cm) y apoyando el compás en uno de los
extremos del lado AB, trazamos un arco hacia uno de los lados del lado AB.
3.- Tomo con el compás la medida del tercer lado del triángulo (3 cm) y apoyando el compás en el
otro extremo del lado AB, trazamos otro arco que corte al arco que habíamos trazado.
4.- Trazo el lado que va del punto A al punto donde se cruzaron los arcos.
5.- Trazo el lado que va del punto B al punto donde se cruzaron los arcos.
Ω
80°
135°
Ω = ___________

66
1.- Resuelve los siguientes problemas geométricos.
2.- Observa la siguiente figura y contesta.
3.- Mariana tiene tres conjuntos de tres palitos con las medidas que se muestran enseguida, para
construir con cada uno, un triángulo. Dibuja enseguida los triángulos que si podrá dibujar Mariana.
A B C
¿En cuál de los casos no se pudo dibujar el triángulo, y por qué?__________________________
C
B
1.- Traza un triángulo equilátero
cuyos lados midan 3 cm.
2.- Traza un triángulo isósceles
cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 5
cm.
3.- Traza un triángulo escaleno
cuyos lados midan 2 cm, 3 cm y 4
cm.
A
17.8
¿Cuántas unidades mide AB? _______
¿Cuántas unidades mide BC? _______
¿Cuántas unidades mide AC? _______
¿Cuánto mide AB + BC? _______
¿AB + BC es mayor que AC, Sí o No? ________
¿AC + BC es mayor que AB, Sí o No? ________

66
______________________________________________________________________________
El criterio general para poder construir un triángulo es:
“Con tres segmentos se puede formar un triángulo si la suma de la medida de dos lados,
cualesquiera de ellos, siempre es mayor que la medida del otro lado”.
Si tenemos las siguientes ternas de longitudes de segmentos, di con cuáles Sí se puede construir
un triángulo y con cuáles No. Dibuja enseguida un trazo que sí se pueda y demuestra el que no es
posible.
TERNAS Sí o No
(8 cm, 7 cm y 5 cm)
(7 cm, 5 cm y 3 cm)
(4 cm, 4 cm y 3 cm)
(5 cm, 3 cm y 2 cm)
(7 cm, 7 cm y 3 cm)
4.- Trata de trazar un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 2 cm y 2 cm.
5.- Mario compró tres tiras de molduras para colocarlas en una pared en forma de triángulo.
Las molduras miden 1.50 metros, 3.25 metros y 1.60 metros.
¿Podrá Mario formar el triángulo que desea? ______
6.- Traza enseguida tres triángulos diferentes, que tengan cada uno dos lados que midan 3 y 5 cm
respectivamente y mide en los tres el tercer lado.
Demuestra por qué sí pudiste trazar los triángulos.
TRAZO POSIBLE
TRAZO IMPOSIBLE
Explica por qué no es posible realizar el dibujo
de este triángulo: ________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
PRIMER TRIÁNGULO SEGUNDO TRIÁNGULO TERCER TRIÁNGULO

66
7.- Construye varios triángulos que midan de perímetro 12 centímetros cada uno. Utiliza
solamente números enteros.
MEDIDA
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo
áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. FÓRMULAS
PROBLEMA: Escribe las fórmulas para encontrar el área de las siguientes figuras planas.
FIGURA FÓRMULA DEL ÁREA
CUADRADO a²
RECTÁNGULO (b)(h)
TRIÁNGULO bh
2
CÍRCULO ¶ r²
TRAPECIO (B + b)h
2
Las superficies se miden con unidades
cuadradas: m², dm², cm², mm², etcétera.
1 metro cuadrado es un cuadrado que
mide 1 metro por cada lado.

66
1.- Encuentra el área de las siguientes figuras.
2.- Encuentra el área de la parte sombreada en cada una de las siguientes figuras.
8 cm
4 cm
7 cm
8 cm
9 cm
4 cm 6 cm 4 cm
5 cm
12 cm
6 cm
8 cm
6 m
10 cm
4 cm
50 mm
30 mm
16 m
30 m
2.5 m
20 m
8.7 cm
8 cm 12 cm 8 cm24 cm16 cm 6 cm 12 cm 8 cm8 cm 8 cm

66
1.60 m
2.20 m
10 cm
1.- La cortina de una ventana está
representada con la parte sombreada en el
siguiente dibujo. Encuentra el área total de
la ventana y el área que corresponde a la
cortina.
Área total: ______________
Área de la cortina: ______________
2.- La Cartilla Nacional de Salud que mide
12 cm de base por 18 cm de altura, en su
portada tiene una parte de 6 cm de base
por 5 cm de altura, como se muestra en el
siguiente dibujo.
Encuentra el área total de la cartilla y el
área de la parte sombreada.
Área total: ______________
Área sombreada: ______________
Cartilla
Nacional
De
Salud
3.- El tubo circular por donde se extraen los
gases de una mina en Santa Bárbara, está
protegido en su salida por una base circular
de cemento de 4 metros de diámetro.
Encuentra el área del tubo y el área
sombreada que corresponde a la protección
de cemento.
Área del tubo: ______________
Área sombreada: ______________
4.- En un señalamiento circular de
estacionamiento que mide de radio 20 cm, la
letra E abarca una área de 200 cm², tal y como
se muestra en el siguiente dibujo. ¿Cuál es el
área de la parte no sombreada?
Área no sombreada: ______________

66
4.- La fábrica de cajas va a elaborar una caja cúbica con las dimensiones que se muestran en el
siguiente diseño. Escribe las medidas en el desarrollo plano de la caja y encuentra su área total.
5.- El Profesor Cruz pidió a sus alumnos que elaboraran un prisma de base cuadrada con las
siguientes dimensiones. Escribe las medidas en el desarrollo plano y encuentra su área total.
Mina
30 cm Área total: ________
Tubo

66
6.- La maestra Angélica encargó a sus alumnos elaborar una pirámide cuadrangular que mida 10
centímetros por lado en su base y 24 centímetros de altura. Escribe las medidas en el desarrollo
plano representado enseguida y encuentra su área total.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a
una cantidad; como aplicar un porcentaje a una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad
conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.
EL PORCENTAJE
El uso del porcentaje (%) se puede utilizar en muchas situaciones de la vida real, tales como el
aumento en los precios, por la aplicación del impuesto del 16% al valor agregado (IVA), el
aumento a los salarios, la devaluación del precio frente al dólar, etcétera.
Cuando calculamos un porcentaje, lo hacemos encontrando el tanto por ciento de una cantidad.
Tanto por ciento significa tantos de cada cien.
PROBLEMA: Mario prestó $300 con el 6% de interés mensual.
8 cm
20 cm
Área total: ________
Área total: ________

66
¿Cuánto recibirá de pago al término del mes?
Por $100 le pagarán de interés $6.
Por $200 le pagarán de interés $12.
Y por los $300 le pagarán $18. Es decir 6 pesos de cada 100.
Las maneras en que se puede indicar un porcentaje son las siguientes:
PORCENTAJE FRACCIÓN DECIMAL SIGNIFICADO
6%
6_
100 0.06 6 de cada 100
PROBLEMA: Encuentra el 6% de 300.
Para encontrar el porcentaje de cualquier cantidad podemos hacerlo de las siguientes maneras:
a) Multiplicamos 300 por el decimal que significa el porcentaje.
300 x 0.06 = 18
b) Multiplicamos 300 por la fracción que significa el porcentaje.
6_ 6_
100 100
Suponiendo que voy a comer a un restaurante haciendo un consumo de $400.00 a lo que me
aumentan el 16% de IVA. ¿Cuánto es lo que debo pagar en total?
x 300 =de 300 =de 300 =
1800
100
= 18

66
1.- Escribe en la siguiente tabla las diferentes maneras en que se pueden representar cada uno de
los siguientes porcentajes y su significado.
PORCENTAJE FRACCIÓN DECIMAL SIGNIFICADO
15%
4%
.50
.02
18%
44 de cada cien
72_
100
2.- Escribe el significado de cada uno de los siguientes porcentajes y encuentra cada uno
realizando mentalmente la operación.
PROBLEMA SIGNIFICADO RESULTADO
5% de 200
10% de 300
8% de 500
15% de 300
20% de 1 000
3.- Calcula los siguientes porcentajes.
Obtener el 10% de $575.00 _____________
Obtener el 16% de $6 390.00 ____________
Obtener el 8% de 45 naranjas _______________
Obtener el 40% de 1 548 personas ______________
Obtener el 3% de 120 vacas _________________
Obtener el 12% de 450 alumnos _______________
Obtener el 21% de 524 votantes _______________
Obtener el 20% de 590 estudiantes ______________
Obtener el 15% de 250 kilogramos ________________
1.- Iván compró un pantalón que costaba $350 y le
hicieron un descuento del 15%.
¿Cuánto pagó por el pantalón………….. (____)
e) $ 297.50
f) $ 52.50
g) $ 402.50
h) $ 294.00
3.- En una tienda, a un pantalón que vale $350.00
le hacen el 16% de descuento. ¿Cuánto se debe
pagar por el
pantalón?..................................................(____)
a) $ 420.00
b) $ 280.00
c) $ 294.00
d) $ 343.00
5.- Ismael compró una chamarra que inicialmente
tenía un descuento del 30% y que al pagarla le
aumentaron el descuento en un 0.08
¿Qué porcentaje le hicieron en total de
descuento?.............................................. (____)
a) 30%
b) 22%
c) 36%
d) 38%
7.- Una televisión tiene un precio inicial de
$3250.00. ¿Cuál es el precio final del televisor con
el impuesto del IVA que es del
16%?........................................................ (____)
a) $ 3 737.50
b) $ 3 737.00
c) $ 3 770.00
d) $ 3 747.50
2.- Iván compró un pantalón por el que pagó $
230.00 incluido el 15% de IVA.
¿Cuál es el precio del pantalón sin el IVA?
………………………...………….. (____)
a) $ 227.50
b) $ 230.00
c) $ 264.50
d) $ 299.50
4.- En la compra de un televisor se pagaron
$3162.50 con el 16% del IVA incluido. ¿Con
cuál de las siguientes operaciones podemos
encontrar el precio de la televisión sin el IVA?
…….………………………….…… (____)
a) 3 162.50 x 16
b) 3 162.50 – 16
c) 3 162.50 ÷ 1.16
d) 3 162.50 + 1.16
6.- Un comerciante compra el par de botas en
$1600.
¿En cuánto deberá vender cada par para poder
ganarse el 30%?_______________
8.- En este año ha habido productos que han
aumentado hasta el 30% de su precio. Si el
kilogramo de jabón para lavar costaba $18.00,
¿a qué precio se encuentra actualmente ?
_______________

66
2.- Lily Ávila tiene un sueldo de secretaria de
$1800.00 por quincena. Su gasto en la despensa
asciende a $ 1250.00 por quincena. De lo que le
queda, toma el 24% para ropa, 40% para
diversiones y el resto para varios.
PREGUNTAS RESPUESTA
¿Cuánto gasta en ropa?
¿Cuánto gasta en diversiones?
¿Cuánto usa en gastos varios?
1.- El Señor Castruita trabaja para una
compañía de teléfonos. Gana $1500 por
semana. Toma $900.00 para la despensa. De
lo que le queda, toma el 25% para ropa, el 35%
para diversiones y el 40% para gastos varios.
PREGUNTAS RESPUESTA
¿Cuánto usa en gastos diarios?
¿Cuánto gasta en diversiones?
¿Cuánto gasta en ropa?

66
3.- La familia Reyes tiene $1150.00 de ingresos
semanales. Gasta en despensa $790. De lo que
le queda piensa gastar el 10% en diversiones,
el 12% en ropa y el 8% en gastos varios.
¿Cuánto gastará en diversiones? _________
¿Cuánto gastará en ropa? ______________
¿Cuánto gastará en varios? ____________
¿Cuánto le quedará? _______________
4.- El precio de la varilla en septiembre
del 2011 era de $92.00 y en julio de 2012
está a un costo de $105.00
¿Cuál es el incremento? ___________
¿Cuál es el % de incremento? ______
5.- El Profesor Lalo compra un refrigerador que al precio de contado cuesta $5490, pero como lo saca
a crédito le aumentan el 12%.
¿Cuánto va a pagar en total por el refrigerador?___________

66
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional
u otros que requieran procedimientos recursivos.
Bimestre Préstamo
Interés
simple
9%
Adeudo
total
Bimestr
e
Préstamo
inicial y
acumulado
Interés
compuesto
7%
Adeudo
total
1 $7 000 $630 $7 630 1 $7 000 $490.00 $7490
2 $7 000 $630 $8 260 2 $7 490 $524.30 $8014.30
3 $7 000 $630 $8 890 3 $8 014.30 $561.00 $8575.30
1.- Pedí $800 con el 9% de interés simple mensual. ¿Cuál será mi adeudo total a los 3 meses?
MESES PRÉSTAMO
INTERÉS
SIMPLE 9%
ADEUDO
TOTAL
1
2
3
CRECIMIENTO LINEAL
INTERÉS SIMPLE
Crecimiento lineal, es el interés simple
que se cobra por un préstamo. Es lineal
porque existe una diferencia común o
contante entre un término y otro y tiene
un comportamiento lineal.
PROBLEMA: Se piden prestados
$7000, con un interés simple bimestral
del 9%.
CRECIMIENTO EXPONENCIAL
INTERÉS COMPUESTO
Es exponencial porque existe una razón
común entre dos términos. Es el interés
compuesto que se cobra por un préstamo.
PROBLEMA: Se piden prestados $7000,
con un interés compuesto bimestral del
7%.
La constante es $ 630.
Para calcular el 9% de 7000
multiplicamos 7000 x 0.09 = 630
0.09 = = 9 %
9_
100
7 490
7 000
8014.30
7 490
El crecimiento del interés compuesto
siempre cambia: 490; 524.30; 561
= 1.07 Siempre hay una
razón igual.
= 1.07

66
2.- La caja de ahorros de la Escuela “Leyes de Reforma” presta dinero con un interés simple del
6% mensual, mientras que la caja de ahorros de la Escuela “Tierra y Libertad” lo hace con un
interés compuesto de 6% mensual. El Profesor Deberías pide $5000 en la Escuela Leyes de
Reforma, mientras que el profesor Pagas pide la misma cantidad pero en la Escuela Tierra y
Libertad. Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas.
Profesor Deberías Profesor Pagas
Mes Préstamo
Interés
simple
6%
Adeudo
total
Me
s
Préstamo
Interés
compuesto
6%
Adeudo
total
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
a) ¿Qué cantidad debe Deberías a los 6 meses? __________________________
b) ¿Qué cantidad debe Pagas a los 6 meses? ___________________________
c) ¿Cuál es la diferencia entre los dos adeudos a los 8 meses? ____________________
3.- Representa las tablas anteriores
en la siguiente gráfica.
A
D
E
U
D
O
7 100
6 800
6 500
6 200
5 900
5 600
5 300
1 2 3 4 5 6
M E S E S
4.- Pedí $10000 con el 8% de interés compuesto
mensual. ¿Cuál será mi adeudo de 1 a 3 meses?
MES
PRÉSTAMO
INICIAL Y
ACUMULADO
INTERÉS
8%
ADEUDO
TOTAL
1
2
3

66
NOCIONES DE PROBABILIDAD
• Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles usando relaciones como:
“es más probable que…”, “es menos probable que…”
PROBABILIDAD
PROBLEMA: Mariana compró 3 boletos para la rifa de un teléfono celular en la que se vendieron
125 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que se gane el celular?
Para calcular una probabilidad, se necesita determinar el espacio muestral.
El espacio muestral está constituido por todos los datos posibles de un evento.
En este caso el espacio muestral es 125.
También se necesita determinar el número de casos favorables, que en este caso es 3, o sea el
número de boletos que compra Mariana.
Por lo tanto, la probabilidad de que Mariana gane el teléfono es
1.- Determina el espacio muestral de los siguientes eventos.
Lanzar una moneda para saber qué cae: _______
Lanzar un dado para ver qué número cae: ______
Hacer 50 boletos para la rifa de un reloj: _______
Meter en una urna 3 canicas rojas, 5 canicas verdes y 12 canicas blancas: ______
En una bolsa hay 10 calcetines negros y 8 azules: _______
En una bolsa se han metido papelitos numerados del 1 al 25: _______
Un televisor se va a rifar con boletos numerados del 1 al 100: _______
2.- Al realizar el experimento aleatorio de lanzar un dado:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga el 5?
¿Cuál es la probabilidad de que caiga un número menor que 5?
3.- Se va a rifar una televisión con cincuenta boletos numerados del 1 al 50.
Encuentra las probabilidades que se piden.
Probabilidad de que gane un número menor que el 5:
Probabilidad de que gane un número que sea un número mayor que el 40:
Probabilidad de que gane el número 7:
Probabilidad de que gane el 5, el 10, el 15, el 20, el 25, el 30, el 35, el 40 o el 45:
_3_
125

66
4.- Al realizar un experimento de lanzar un dado:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 2?
¿Qué es más probable que caiga el 2 ó el 5?
¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 4 o 3?
¿Qué es más probable que caiga el 6 ó el 4 o 3?
¿Cuál es la probabilidad de que 3 o 1 ?
¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 6, 5 o 3?
¿Qué es más probable que caiga el 3 o 1, ó 6, 5 o 3?
7.- Tenemos enseguida las siguientes palabras: MATEMÁTICAS y SECUNDARIA.
Si elijo al azar una letra de cada una de las dos palabras:
¿Cuál es la probabilidad de elegir una U en la palabra SECUNDARIA? _______
¿En cuál palabra es más probable que sea la letra A la que elija? ________________________
¿En cuál palabra es menos probable que sea la letra E la que elija? ________________________
¿En cuál palabra es menos probable que sea la letra T la que elija? ________________________
¿En cuál letra es la misma probabilidad de elegirla? ___________________
8.- En una urna hay 13 bolas blancas, 15 bolas negras, 24 cafés, 13 azules y 14 rojas.
Si saco al azar una de las bolas:
¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola café? _______
¿Cuál bola es menos probable que saque? _________________
¿Cuál bola es más probable que saque? _____________________
¿Qué es más probable sacar, una bola blanca o una bola azul? __________________

66
Ordena todas las probabilidades de mayor a menor: _____, ______, ______, _______ y _______
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
• Análisis de casos en los que la media aritmética o la mediana son útiles para comparar dos
conjuntos de datos.
PROMEDIO Y MEDIANA.
Las medidas de tendencia central son la media aritmética o promedio, la mediana y la moda.
Estas medidas las podemos utilizar cuando necesitamos analizar la información recabada de
alguna situación.
PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA
PROBLEMA: Encuentra el promedio de las siguientes calificaciones de un alumno en el primer
período: 7, 9, 10, 8, 6, 10, 8, 8 y 8.
Promedio = = = 8.2 Promedio = 8.2
El promedio es el valor que se localiza en el punto medio de una lista de datos numéricos. El
promedio se encuentra sumando todos los números y dividiendo la suma entre la cantidad de
casos que forman la lista.
MEDIANA
PROBLEMA: Encuentra la mediana en la siguiente lista.
10, 10, 9, 8, 8, 8, 8, 7, y 6 Mediana: 8
La mediana es el dato que se encuentra ubicado al centro o en medio de una lista después de
haber sido ordenada.
1.- Encuentra el promedio o media aritmética de las siguientes series de números.
SERIE DE NÚMEROS PROMEDIO
8,6
9, 8, 7, 6
3, 4, 8, 9, 11
10, 40, 60, 80, 90, 90
7.5, 8.4, 9.3, 6.8, 9.2
125, 200, 450, 500, 760, 432
4.5, 2.25, 3.75, 3.5, 4.5
7 + 9 +10 + + 8 + 6 + 10 + 8 + 8 + 8
9
74
9

66
1.- Un jugador de
basquetbol durante varios
partidos encestó los
siguientes puntos:
20, 18, 12, 15, 14, 6 y 10.
¿Cuál es su promedio?
________
2.- En la ciudad de Chihuahua a
las 7:30 horas de los primeros días
del mes de enero, se registraron
respectivamente las siguientes
temperaturas:
1°C, 3°C, 2°C, 6°C,
8°C, 8°C, 3°C y 2°C.
¿Cuál es el promedio de estas
temperaturas? __________
3.- La familia Holguín gastó
diariamente en alimentos las
siguientes cantidades:
$120, $140, $95, $123, $240,
$175 y $96.
¿Cuál es el promedio de
gastos diarios? _________
4.- Iván en su carro a
Ciudad Juárez lo hace
cambiando cada hora la
velocidad. Viaja
conservando cada hora
las siguientes
velocidades:
90 km por hora, 110 km
por hora, 140 km por
hora y 115 km por hora.
la velocidad? ____
5.- En una prueba de Matemáticas
que se aplicó a un grupo de primer
grado, cada uno de los alumnos
obtuvieron los siguientes aciertos:
28, 27, 26, 26, 24, 24, 23, 22, 22,
22, 21, 20, 20, 20, 20, 19, 19, 19,
18, 16, 14, 14, 12, 11,
9 y 8.
¿Cuál es el promedio de aciertos
del grupo? __________
¿Cuál es el número que representa
la mediana? ______
6.- Una persona en la sierra
recorrió durante varios días las
siguientes distancias:
7 km, 8 km, 13.5 km, 10 km,
11.5 km, 8 km y 14 km.
kilómetros recorridos?
___________
¿Cuál es el número que
representa la mediana?
___________

66
3.- Analiza la siguiente gráfica y contesta las preguntas que enseguida se hacen.
TEMPERATURA MÁXIMA PROMEDIO DURANTE LAS ESTACIONES DEL AÑO EN LA
CIUDAD DE CHIHUAHUA Y EN CIUDAD OJINAGA
¿En cuál estación la temperatura en Chihuahua fue de 28°? _______________
¿En cuál estación la temperatura en Ojinaga fue de 27°? __________________
¿En cuál estación la temperatura en Chihuahua fue la más alta? __________________
¿En cuál estación hace más calor en ambas ciudades? ___________________
¿Cuál es el promedio de temperatura durante año en Ojinaga? ________
¿Cuál es el promedio de temperatura durante año en Chihuahua? _________
¿Cuál de las dos ciudades es más calurosa? ______________________
¿Cuál es el promedio de las temperaturas del año en ambas ciudades? __________
¿Cuál es el número que representa la mediana de todas las temperaturas de ambas ciudades?
________
Ojinaga
Chihuahua
PRIMAVERA VERANO OTOÑO INVIERNO
ESTACIONES DEL AÑO
38
40
34
36
32
28
30
24
26
20
22
16
18
GRA
DOS
CEN
T
Í
GRA
DOS

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