saul

1. Tema: ANÁLISIS VECTORIAL
FÍSICA

2. OBJETIVOS
 Usar una herramienta matemática llamada vector.
 Diferenciar las operaciones escalares de las vectoriales.
 Emplear los diversos métodos para sumar vectores.
𝒂
𝒗
𝑭𝒈
𝑭𝒓𝒆𝒂𝒄
𝑭𝒂𝒄

3. ¿Qué es el análisis vectorial ?
Es el campo de las matemáticas que se
encarga del estudio de los Vectores.
En el fútbol:
En la Natación:
¿Qué podría representar el
vector de color morado?
En los videojuegos : Para programar los movimientos de un
personaje los conocimientos del análisis vectorial son muy
importantes.
Clic en video
¿Qué podría representar el
vector de color verde?
En la naturaleza que nos rodea, muchos
fenómenos físicos están relacionados con
el análisis vectorial.
¿Qué podría
representar el vector
de rojo ?
¿Qué podría
representar el vector
de azul ?

4. Un vector es una herramienta matemática que permite representar una serie de magnitudes físicas, tales
como el vector posición ,
VECTOR
velocidad, aceleración, fuerza,
𝒈
el momento de una fuerza ,etc.

5. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN
VECTOR
A
B
A: Origen
B: Extremo
Notación
𝐴: se lee “el vector A”
Línea de
acción
+𝑋
𝜽
𝑨
: Dirección
1. Módulo
Es el valor numérico del vector; geométricamente representa
el tamaño del vector .
Notación: 𝐴 o 𝐴: se lee “el módulo del vector 𝐴"
𝐴
10𝑢
Del gráfico:
𝐴 = 10 𝑢
Nota: El módulo de un vector siempre es
positivo.
𝑜 𝐴 = 10 𝑢
1𝑢
1𝑢
𝐵
𝐶
𝐷
Del gráfico:
𝐵 = 𝐶 =
3 𝑢 2 𝑢
𝐷 =
𝐷 = 25 𝑢
4𝑢
3𝑢
42 + 32
Aplicamos Teorema de Pitágoras:
→ 𝐷 = 5 𝑢
Se representa mediante un segmento de
recta orientado (flecha).

6. +𝑋
2. Dirección (𝜽)
Ángulo en sentido antihorario que inicia en el semieje
X positivo (+X) y termina en la ubicación del vector.
𝐴
+𝑋
𝜃 = 60°
𝐵
+𝑋
𝜃 = 150°
𝐶
+𝑋
𝜃 = 90°
𝐸
𝜃 = 0°
𝐷
+𝑋
𝜃 = 180°
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN
VECTOR
A
B
A: Origen
B: Extremo
Notación
𝐴: se lee “el vector A”
Línea de
acción
+𝑋
𝜽
𝑨
: Dirección
Se representa mediante un segmento de
recta orientado (flecha).

7. ALGUNOS TIPOS DE VECTORES
vectores colineales
Son aquellos vectores contenidos en una misma
líneas de acción
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
vectores paralelos
Son aquellos vectores contenidos en líneas de
acción paralelas (se pueden ubicar en una
misma línea de acción)
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
vectores coplanares
Es el conjunto de vectores contenidos en un mismo
plano.
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
vectores concurrentes
Es aquel conjunto de vectores cuyas líneas de acción se
cortan en un mismo punto).
𝐴
𝐵
𝐶
𝑐𝑜𝑛𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

8. REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR
Considere un vector 𝐴 en el plano cartesiano:
(1; 1)
6
1
1 7
𝒀
𝑿
𝐴
𝐴 =
7; 6 − 1; 1
Entonces:
𝐴 =
7 − 1 ; 6 − 1
𝐴 = 𝐴 = 6; 5
𝐴𝑋 𝐴𝑌
𝐴𝑋
𝐴𝑌
𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜
𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
(7; 6)
Donde:
𝐴𝑋: 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋
𝐴𝑌: 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌
aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo
sombreado:
𝐴 = 𝐴𝑋
2
+ 𝐴𝑌
2
Entonces:
𝐴 = 62 + 52 𝐴 = 61
−

9. 𝒀
𝑿
5
1
1
1
1
SUMA VECTORIAL
𝐴
𝐵
La suma de dos o más vectores es otro vector denominado vector RESULTANTE 𝑹 , el cual reemplaza a los
vectores que se suman.
Vamos a sumar dos vectores 𝐴 y 𝐵 que parten del
origen de coordenadas.
4
𝐴 = 5 ; 1
𝐵 = 1 ; 4
𝐴 + 𝐵
=
𝑅
= 5 ; 1 + 1 ; 4
𝑅 = + +
5 1 1 4
;
=
𝑅 ;
6 5
Las componentes del
vector R resultan de la
suma de las respectivas
componentes de los
vectores A y B.
Componente del
vector R en el eje Y
6
5
𝑅
6 ; 5
Se forma un paralelogramo donde el vector R es la
diagonal que parte del origen común de los vectores A y B.
Componente del
vector R en el eje X

10. MÉTODOS PARA SUMAR VECTORES
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
𝐴
𝐵 𝑅
𝜃
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2
𝐴
𝐵
𝑅
Si 𝜃 = 90°
𝐴
𝐴
𝑅 = 𝐴 3
CASOS ESPECIALES:
Cuando los dos vectores presentan igual módulo:
60° 𝐴
𝐴
𝑅 = 𝐴
120°
𝐴
𝐴
𝑅 = 𝐴 2
𝑅 𝑅 𝑅
En estos tres casos particulares la resultante hace el papel
de bisectriz en las figuras mostradas.
𝐧𝐨𝐭𝐚:

11. APLICACIÓN
Dado el conjunto de fuerzas que
actúan sobre la armella ¿Cuál es el
módulo de la resultante?
RESOLUCIÓN
R
30°
60°
2 3 N
5N
2 3 N
30°
60°
30°
30°
60°
2 3 N
5N
2 3 N
5N
6N
6N
𝐹1
2
+ 𝐹2
2
+ 2𝐹1𝐹2
Por el método del paralelogramo:
𝑅 = 𝐹1
2
+ 𝐹2
2
+ 2𝐹1𝐹2 cos 𝜃
= + 62
52 cos 60°
+ 2(5)(6)
+ 36
25
1
2
+ (60) 𝑅 = 91 N
=

12. MÉTODOS PARA SUMAR VECTORES
Método del triángulo
𝐴
𝐵 𝑅
𝜃
𝐵
𝜃
𝐴
𝑅
𝐵
𝐵
𝑅𝑚𝑎𝑥 𝐵
𝑅
Para 𝜃 = 0° ∶ 𝑅𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 + 𝐵
𝐴
𝑅
𝐵
𝐵
𝑅𝑚𝑖𝑛
𝐵
𝑅
Para 𝜃 = 180° ∶ 𝑅𝑚𝑖𝑛 = 𝐴 − 𝐵
Observación:
𝐴
𝐵
𝑅 = 0
Son vectores opuestos: 𝐵 = −𝐴
MÉTODO DEL POLIGONO
𝑅
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Observación:
𝐵
𝐶
𝐷
𝐴
𝑅 = 0

13. 1 u
1 u
1 u
1 u
Tener presente:
En el método del polígono no
importa que vector tomemos
primero, siguiendo los pasos
indicados, siempre se tendrá el
mismo vector resultante.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝑅
1 u
1 u
𝑅 = 𝐵 + 𝐶 + 𝐴
𝐴
𝐵
𝐶 𝑅
1 u
1 u
𝑅 = 𝐶 + 𝐵 + 𝐴
𝐴
𝐵
𝐶
𝑅
1 u
1 u
𝑅 = 𝐶 + 𝐴 + 𝐵
𝐴
𝐶
𝑅
𝐵

14. APLICACIÓN
RESOLUCIÓN
Según el gráfico:
𝑨
𝑩
𝑪
𝑬 𝑭
𝑫
𝑮
Por definición de vector resultante:
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 + 𝐺
𝟎 𝟎
𝑅 = 0
∴

15. APLICACIÓN
Si la máxima y mínima resultante de
dos vectores es 7 u y 3 𝑢, calcule el
módulo del vector resultante cuando
ambos vectores sean perpendiculares.
RESOLUCIÓN
Según el dato del problema
𝑅𝑚𝑎𝑥 = 7
𝑅𝑚𝑖𝑛 = 3
𝐴 = 5 u
𝐵 = 2 u
Ahora usamos el teorema
de Pitágoras:
𝑅 = 52 + 22
𝑅 = 29 u
= 𝐴 + 𝐵
= 𝐴 − 𝐵
+
10 = 2𝐴
𝑅 = 25 + 4
Sean dos vectores 𝐴 y 𝐵, nos piden
determinar el módulo del vector
resultante cuando son
perpendiculares.
𝑅
𝐴
𝐵
Piden: 𝑅

16. Dado un vector lo reemplazamos por dos o más vectores, a
los cuales llamaremos vectores componentes.
𝒀
𝑿
𝐴
𝐴𝑌
𝐴𝑋
Donde:
𝐴𝑋 ∶ componente X del vector 𝐴.
𝐴𝑌 ∶ componente Y del vector 𝐴.
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
𝐴𝑌
𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦
El vector A es la resultante de sus componentes 𝐴𝑋 y 𝐴𝑌
Los módulos de las componentes se determinan como:
𝑨𝑿 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝑨𝒀 = 𝑨 𝐬𝐞𝐧 𝜽
𝜃
A ello se denomina DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
de un vector.
Se puede descomponer a un vector, en dos componentes
con direcciones mutuamente perpendiculares.

17. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:
45°
45°
53°
37°
60°
30°
3k
4k
5k k
k
k 2
k
k 3
2k
Generalmente la descomposición rectangular se realiza con triángulos rectángulos conocidos:
74°
16°
7k
24k
25k

18. APLICACIÓN
RESOLUCIÓN
Determine el módulo de la
resultante de los vectores dados
(𝐴 = 10 𝑢; 𝐵 = 7 2 𝑢 ).
𝐴
𝐵
45°
53° 𝑋
𝑌
calculo de 𝑅
𝑅 = 12 + 12
𝑅 = 2 𝑢
45°
53°
𝐴
𝐵
Realizamos la descomposición rectangular de los vectores mostrados.
10𝑢
6𝑢
8𝑢
7 2 𝑢
7𝑢
7𝑢 𝑅𝑥 = 1𝑢
𝑅𝑦 = 1𝑢
𝑅
𝑌
𝑌
𝑋
𝑋
Determinando los módulos de las componentes:
𝑅 = 𝑅𝑥
2
+ 𝑅𝑦
2

19. El vector unitario de un vector 𝐴, denotado
como μA se define como aquel vector que tiene
igual dirección que el vector A y cuyo módulo es
igual a la unidad.
𝐴
𝜇
1 u
1 u
1 u
1 u
𝐴 = 4 𝜇
𝐴 = 𝐴 𝜇
𝜇 =
𝐴
𝐴
Ejemplo
Hallar un vector unitario de la misma dirección que
el vector .
VECTOR UNITARIO
Sabemos que:
𝜇 =
𝑣
𝑣
Calculo del modulo:
Luego:

20. C U R S O D E F Í S I C A
( A S M 2 0 2 0 )
Los componentes rectangulares del vector A
pueden expresarse en función de los vectores
unitarios: 𝑖 y 𝑗 .
Por ejemplo:
𝑌
𝑋
𝐴
𝜃
𝐴𝑌
𝐴𝑋
𝐴𝑋 = 𝐴𝑋𝑖 𝐴𝑌 = 𝐴𝑌𝑗
Ejemplo
Consideremos el siguiente vector 𝐶 en el plano XY ¿Cuál
es la expresión del vector usando los vectores unitarios?
𝑌
𝑋
2 9
1
11
𝐶
(2 ; 11)
(9 ; 1)
el vector C se puede representar con sus componentes
rectangulares:
𝐶 =
𝐶 = Expresión cartesiana del vector C
luego:
𝐶 =
Expresión del vector C en función
de vectores unitarios
𝐴 = 𝐴𝑋𝑖 + 𝐴𝑌𝑗
Expresión en función
de vectores unitarios
del vector A
9; 1 − (2; 11)
(7; −10)
7i − 10j
A los ejes de coordenadas cartesianas X e Y, se
asocia vectores unitarios característicos:
𝑌
𝑋
−𝑋
+𝑖
−𝑖
−𝑗
+𝑗
𝑖 = 𝑗 = 1
𝐶𝑌
𝐶𝑋

21. APLICACIÓN RESOLUCIÓN
Para los vectores mostrados, determine la
resultante.
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
X
Y
1 u
1 u
Realizando la descomposición
rectangular de los vectores C y D:
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
1 u
1 u
5
1
5
4
3
1
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
Piden
= 0𝑖
𝐶 =
𝐷 =
3𝑖 − 4𝑗
− 4𝑗
− 𝑗
+ 0𝑗
𝑅
−5𝑖
5𝑖
= 3𝑖
𝐴
𝐵
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 =
= 3𝑖 − 4𝑗
+1𝑗