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MATERIALES PARA INGENIERÍA 1
Introducción a las propiedades, las aplicaciones y el diseño
Michael F. Ashby David R. H. Jones

CONSTANTES FíSICAS (SI)
CONVERSIÓN DE UNIDADES - GENERAL
* N. del T. No es una unidad del SI.
** N. del T. Antigua unidad de peso empleada para medir mercurio líquido.
*** N. del T. Troy y Avoirdupois, son sistemas históricos ingleses de unidades de masa. Troy se sigue empleando para
pesar metales preciosos. Avoirdupois es el sistema habitual en Estados Unidos.
**** N. del T. El carat es una unidad de masa empleada para medir piedras preciosas.
Cero absoluto de temperatura
Número de Avogadro, NA
Base de los logaritmos naturales, e
Constante de Boltzmann, k
Carga del electrón
Constante de Faraday, F
Constante de los gases, R
Momento magnético del electrón
Permisividad en el vacío,ε0
Constante de Planck, h
Masa en reposo del electrón
Masa en reposo del neutrón
Masa en reposo del protón
Unidad atómica de masa unificada*
Velocidad de la luz en el vacío
Volumen de un mol de gas perfecto en condiciones normales
(a 0 °C y una atmósfera de presión o 1,013 × 105
N m–2
)
–273,2 °C
6,022 × 1023
mol–1
2,718
1,381 × 10–23
J K–1
1,602 × 10–19
C
9,649 × 104 C mol–1
8,314 J mol–1
K–1
9,274 × 10–24
A m–2
8,854 × 10–12 F m–1
6,626 × 10–34
J s
9,110 × 10–31
kg
1,675 × 10–27 kg
1,673 × 10–27
kg
1,661 × 10–27
kg
2,998 × 108 m s–1
22,4 × 10–3
m3
mol–1
aprox.
Ángulo 1 rad = 57,30°
Divisa UK £1 ~ US $1,7 en 2005
Densidad 1 g cm–3
= 1 Mg m–3
Coeficiente de difusión 1 cm2
s–1
= 10–4
m2
s–1
Viscosidad dinámica 1 P = 0,1 N m–2 s
Fuerza 1 kgf
1 lbf
1 dina
= 9,807 N
= 4,448 N
= 10–5
N
Longitud 1 milla
1 pie
1 pulgada
1 Å
= 1,609 km
= 304,8 mm
= 25,4 mm
= 0,1 nm
Masa 1 tonelada larga (long ton)
1 tonelada métrica (Tm)
1 tonelada corta (short ton)
1 flask (Hg)**
1 libra (masa)
1 onza, oz (troy)***
1 onza, oz (avoirdupois)***
1 carat****
= 1,017 Mg
= 1,000 Mg
= 0,908 Mg
= 34,50 kg
= 0,454 kg
= 31,103 g
= 28,35 g
= 0,20 g
Intensidad de tensiones 1 ksi √in = 1,10 MN m–3/2
Energía superficial 1 erg cm–2
= 1 mJ m–2
Temperatura 1 °F
32 °F equivale a 0°C
= 0,556 K
Volumen 1 galón UK
1 galón US
1 litro
= 4,546 × 10–3
m3
= 3,785 × 10–3
m3
=10–3 m3

MATERIALES PARA INGENIERÍA 1
Introducción a las propiedades, las aplicaciones y el diseño
Michael F. Ashby David R. H. Jones
Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México
Department of Engineering, University of Cambridge, UK

Título de la obra original:
Engineering Materials I. An Introduction to Properties, Applications and Design
Edición original en lengua inglesa:
Elsevier Butterworth-Heinemann
Linacre House, Jordan Hill, Oxford OX2 8DP 30 Corporate Drive, Burlington, MA 01803
Copyright © 2005 All rights reserved.
Versión española traducida por:
Juan Baselga Llidó* (Coordinador)
Dr. Ciencias Químicas
Julio Bravo de Pedro**
Javier González Benito**
Elena Gordo Odériz**
Dr. Ingeniero de Minas
Belén Levenfeld Laredo**
José Manuel Torralba Castelló*
Dr. Ingeniero de Minas y Dr. Ingeniero de Arma-
mento y Material
Alejandro Várez Álvarez**
Catedráticos (*) y Profesores Titulares (**) de Universidad del Departamento de Ciencia e Ingeniería de Materiales e
Ingeniería Química, Universidad Carlos III de Madrid
MAQUETACIÓN: Reverté-Aguilar, S. L.
Propiedad de:
EDITORIAL REVERTÉ, S. A.
Loreto, 13-15. Local B
08029 Barcelona. ESPAÑA
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Fax: (34) 93 419 51 89
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o parcial de esta obra, por cualquier medio o proce-
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to informático, queda rigurosamente prohibida, salvo
excepción prevista en la ley. Asimismo queda prohibi-
da la distribución de ejemplares mediante alquiler o
préstamo públicos, la comunicación pública y la trans-
formación de cualquier parte de esta publicación
(incluido el diseño de la cubierta) sin la previa autori-
zación de los titulares de la propiedad intelectual y de
la Editorial. La infracción de los derechos menciona-
dos puede ser constitutiva de delito contra la propie-
dad intelectual (Art. 270 y siguientes del Código
Penal). El Centro Español de Derechos Reprográficos
(CEDRO) vela por el respeto a los citados derechos.
© Editorial Reverté, S. A., 2008
Edición en papel:
ISBN: 978-84-291-7255-3 Volumen 1
ISBN: 978-84-291-7257-7 Obra completa
Edición e-book (PDF):
ISBN: 978-84-291-9432-6
# 1299

Índice
Introducción general xi
1. Los materiales de ingeniería y sus propiedades 1
1.1 Introducción 2
1.2 Ejemplos de selección de materiales 4
A. Precio y disponibilidad 15
2. El precio y la disponibilidad de los materiales 17
2.1 Introducción 18
2.2 Datos sobre los precios de los materiales 18
2.3 Utilización de los materiales 20
2.4 Materiales ubicuos 21
2.5 Crecimiento exponencial del consumo de los materiales 22
2.6 Disponibilidad de recursos 23
2.7 El futuro 25
2.8 Conclusión 26
B. Los módulos de elasticidad 29
3. Los módulos de elasticidad 31
3.2 Definición de tensión 32
3.3 Definición de deformación 35
3.4 Ley de Hooke 36
3.5 Medida del módulo de Young 37
3.6 Valores del módulo de Young 39
4. Enlace atómico 43
4.2 Enlaces primarios 45
4.3 Enlaces secundarios 49
4.4 Estado condensado de la materia 51
4.5 Fuerzas interatómicas 51
5. Empaquetamiento atómico en los sólidos 55
5.2 Empaquetamiento de átomos en cristales 56
5.3 Estructuras compactas y energías del cristal 56

vi Índice
5.4 Cristalografía 58
5.5 Índices de los planos 60
5.6 Índices de las direcciones 61
5.7 Otras estructuras cristalinas sencillas importantes 62
5.8 Empaquetamiento de átomos en polímeros 64
5.9 Empaquetamiento de átomos en vidrios inorgánicos 65
5.10 La densidad de los sólidos 66
6. Bases físicas del módulo de Young 73
6.2 El módulo de los cristales 74
6.3 Elastómeros y temperatura de transición vítrea 76
6.4 Materiales compuestos 78
6.5 Resumen 81
7. Casos prácticos de diseño limitado por el módulo 85
7.1 Caso práctico 1: el espejo de un telescopio, incluyendo
la selección del material para minimizar la deflexión
del disco por su propio peso 86
7.2 Caso práctico 2: selección de materiales para producir
una viga de una rigidez dada con el mínimo peso 91
7.3 Caso práctico 3: selección de materiales para minimizar
el coste de una viga de una rigidez dada 93
C. Límite elástico, resistencia a la tracción y ductilidad 97
8. Límite elástico, resistencia a la tracción y ductilidad 99
8.2 Elasticidad lineal y no lineal; comportamiento anelástico 100
8.3 Curvas de carga-alargamiento características del comportamiento no elástico (plástico) 101
8.4 Curvas de tensión-deformación verdaderas para flujo plástico 103
8.5 Trabajo por deformación plástica 106
8.6 Ensayo de tracción 106
8.7 Datos 107
8.8 Ensayo de dureza 108
8.9 Revisión de los términos mencionados en este capítulo y algunas relaciones útiles 111
9. Dislocaciones y deslizamiento en cristales 119
9.2 Resistencia de un cristal perfecto 120
9.3 Dislocaciones en cristales 122
9.4 La fuerza que actúa sobre una dislocación 128
9.5 Otras propiedades de las dislocaciones 129

Índice vii
10. Métodos de endurecimiento y deformación plástica de policristales 131
10.2 Mecanismos de endurecimiento 132
10.3 Endurecimiento por disolución sólida 132
10.4 Endurecimiento por precipitación y dispersión 133
10.5 Endurecimiento por trabajo en frío 135
10.6 Resistencia al deslizamiento de las dislocaciones 135
10.7 Deformación plástica en policristales 136
10.8 Consideraciones finales 139
11. Aspectos vinculados al flujo plástico 141
11.2 La aparición de cedencia y el límite elástico a cizalladura, k 142
11.3 Análisis del ensayo de dureza 144
11.4 La inestabilidad plástica: estricción en cargas a tracción 145
12. Casos prácticos de diseño según el límite elástico 153
12.2 Caso práctico 1. Diseño elástico: materiales para muelles 154
12.3 Caso práctico 2. Diseño plástico: materiales para una vasija a presión 159
12.4 Caso práctico 3. Plasticidad con gran deformación: laminación de metales 160
D. Fractura rápida y tenacidad 167
13. Fractura rápida y tenacidad 169
13.2 Criterio energético para la fractura rápida 170
13.3 Valores de Gc y Kc 175
14. Micromecanismos de la fractura rápida 181
14.2 Mecanismos de propagación de una grieta, 1: desgarro dúctil 182
14.3 Mecanismos de propagación de una grieta, 2: clivaje 184
14.4 Materiales compuestos, incluida la madera 186
14.5 Fragilidad de las aleaciones 187
15. Casos prácticos de fractura rápida 191
15.2 Caso práctico 1: fractura rápida en un tanque de amoniaco 192
15.3 Caso práctico 2: explosión de una ventana de presión
de polimetacrilato de metilo durante un ensayo hidrostático 195
15.4 Caso práctico 3: agrietamiento de una camisa de espuma
de poliuretano en un tanque de metano líquido 198
15.5 Caso práctico 4: colapso de la barandilla de madera de una terraza 202

viii Índice
16. Probabilidad de fractura en los materiales frágiles 209
16.2 Estadística de la resistencia y distribución de Weibull 212
16.3 Caso práctico: agrietamiento de la camisa de espuma de poliuretano
de un tanque de metano líquido 216
E. Fallo por fatiga 221
17. Fallo por fatiga 223
17.2 Comportamiento a fatiga de componentes sin grietas 224
17.3 Comportamiento a fatiga de componentes preagrietados 228
17.4 Mecanismos de fatiga 230
18. Diseño según la fatiga 237
18.2 Datos de la fatiga en componentes sin grietas 238
18.3 Concentración de tensiones 239
18.4 Factor de sensibilidad a la entalla 240
18.5 Datos de la fatiga en uniones soldadas 241
18.6 Técnicas para mejorar el comportamiento a fatiga 242
18.7 Diseño para evitar ciclos a fatiga 244
18.8 Comprobación de vasijas a presión frente al agrietamiento por fatiga 246
19. Casos prácticos de diseño a fatiga 251
19.2 Caso práctico 1: fatiga a alto número de ciclos de un componente
no agrietado –fallo de un tubo de órgano 252
19.3 Caso práctico 2: fatiga a bajo número de ciclos de un componente
no agrietado –fallo de la argolla de sujeción de un sumergible 259
19.4 Caso práctico 3: fatiga de un componente agrietado –la seguridad de la máquina Stretham 264
F. Deformación por fluencia y fractura 271
20. Fluencia y fractura por fluencia 273
20.2 Ensayo de fluencia y curvas de fluencia 277
20.3 Relajación por fluencia 280
20.4 Daño por fluencia y fractura por fluencia 282
20.5 Materiales resistentes a la fluencia 283
21. Teoría cinética de la difusión 287
21.2 La difusión y la ley de Fick 289

Índice ix
21.3 Coeficientes de difusión 293
21.4 Mecanismos de difusión 294
22. Mecanismos de fluencia y materiales resistentes a la fluencia 299
22.2 Mecanismos de fluencia: metales y cerámicos 300
22.3 Mecanismos de fluencia: polímeros 307
22.4 Selección de materiales resistentes a la fluencia 309
23. El álabe de una turbina: un caso práctico de diseño limitado por la fluencia 311
23.2 Propiedades del álabe de una turbina 313
23.3 Superaleaciones base níquel 314
23.4 Desarrollos de ingeniería: enfriamiento del álabe 318
23.5 Desarrollos futuros: metales y materiales compuestos de matriz metálica 319
23.6 Desarrollos futuros: cerámicas de alta temperatura 321
23.7 Rentabilidad 322
G. Oxidación y corrosión 325
24. Oxidación de los materiales 327
24.2 La energía de oxidación 328
24.3 Velocidades de oxidación 329
24.4 Datos 332
24.5 Micromecanismos 332
25. Casos prácticos de oxidación seca 337
25.2 Caso práctico 1: fabricación de aleaciones inoxidables 338
25.3 Caso práctico 2: protección de álabes de turbina 339
25.4 Operaciones de unión: un apunte final 343
26. Corrosión húmeda de los materiales 345
26.2 Corrosión húmeda 346
26.3 La diferencia de potencial como fuerza impulsora de la oxidación húmeda 347
26.4 Velocidad de oxidación húmeda 350
26.5 Ataque localizado 350
27. Casos prácticos de corrosión húmeda 357
27.2 Caso práctico 1: protección de tuberías subterráneas 358
27.3 Caso práctico 2: materiales para un tejado ligero de una fábrica 360
27.4 Caso práctico 3: sistemas de escape de gases en automóviles 363

x Índice
H. Fricción, abrasión y desgaste 367
28. Fricción y desgaste 369
28.2 Fricción entre materiales 370
28.3 Valores de los coeficientes de rozamiento 373
28.4 Lubricación 374
28.5 Desgaste de materiales 375
28.6 Propiedades superficiales e intrínsecas 377
29. Casos prácticos de fricción y desgaste 381
29.2 Caso práctico 1: diseño de cojinetes lisos 382
29.3 Caso práctico 2: materiales para esquíes y trineos 385
29.4 Caso práctico 3: elastómeros de alta fricción 387
I. Diseñando con metales, cerámicos, polímeros y materiales compuestos 391
30. Diseño con materiales 393
30.2 Metodología del diseño 396
31. Caso práctico final: materiales y energía en el diseño de coches 399
31.2 Coches y energía 400
31.3 Medios para economizar la energía 400
31.4 Materiales en el coche 402
31.5 Materiales alternativos 402
31.6 Métodos de producción 408
31.7 Conclusiones 410
Apéndice: Símbolos y fórmulas 411
Referencias 419
Índice 421

Introducción general
Al estudiante
La innovación en ingeniería a menudo significa el uso inteligente de un nuevo material –nuevo para una
aplicación determinada, pero no necesariamente nuevo (aunque sí algunas veces) en el sentido de desarro-
llado recientemente. Los clips de plástico y los álabes cerámicos de las turbinas representan intentos de
mejorar con polímeros y con cerámicos lo que previamente se hacía con metales. Y los desastres en inge-
niería con frecuencia están causados por un mal uso de los materiales. Cuando una cucharilla de plástico se
comba mientras se remueve el té, o cuando un avión cae al suelo porque aparecen fisuras en su cola, se
debe a que los ingenieros que los diseñaron emplearon materiales equivocados o no entendieron las propie-
dades de éstos. Por ello es vital que el ingeniero profesional conozca cómo se seleccionan los materiales y
sepa cuál se ajusta a las demandas del diseño –demandas económicas y estéticas, así como de resistencia
y durabilidad. El diseñador debe comprender las propiedades de los materiales y sus limitaciones.
Este libro presenta una amplia introducción a estas propiedades y limitaciones. No nos hace expertos
en materiales, pero puede enseñarnos cómo hacer una elección sensata de un material, cómo evitar los
errores que, en el pasado, han producido bochorno o tragedia, y dónde encontrar una ayuda más detallada.
En el índice se aprecia que los capítulos están organizados en grupos, de los que cada uno describe una
clase particular de propiedades: módulo elástico, tenacidad a la fractura, resistencia a la corrosión, etcétera.
Cada grupo de capítulos comienza con la definición de la propiedad, explicando cómo se mide y propor-
cionando los datos que se emplearán para resolver problemas relacionados con el diseño con materiales.
Luego se pasa a la ciencia básica que subyace detrás de cada propiedad y se muestra cómo se puede usar
este conocimiento fundamental para seleccionar los materiales con mejores propiedades. Cada grupo fina-
liza con un capítulo de casos prácticos en los que la comprensión y los datos para cada propiedad se apli-
can a problemas ingenieriles prácticos que atañen a los materiales.
Al final de cada capítulo hay una serie de ejemplos; cada uno de ellos se ha elegido para consolidar o
desarrollar algunos aspectos específicos tratados en el texto. Mientras un capítulo determinado esté todavía
fresco en la mente se debe intentar hacer los ejemplos propuestos. De esta forma estaremos seguros de
dominar cada aspecto tratado.
Ningún ingeniero pretende aprender o recordar tablas y listas de valores de propiedades de los materia-
les, pero se debería intentar recordar los órdenes de magnitud de estas cantidades. Los fruteros saben que
“un kilo de manzanas es aproximadamente 10 manzanas” –las pesan, pero su conocimiento les evita come-
ter errores tontos que les podrían costar dinero. De forma análoga, un ingeniero debería conocer que “la
mayoría de los módulos de elasticidad están comprendidos entre 1 y 103
GN m–2
y en torno a 102
GN m–2
para los metales” –en cualquier diseño real se necesita un valor exacto, que se obtiene a partir de las espe-
cificaciones de los suministradores, pero el conocimiento de los órdenes de magnitud evita errores de uni-
dades o cometer equivocaciones absurdas y costosas. Para ayudar en esta tarea, al final del libro se ha
añadido una lista de definiciones importantes y fórmulas que se deberían conocer, o ser capaz de deducir, y
un resumen de los órdenes de magnitud de las propiedades de los materiales.
Al profesor
Este libro es un curso de Materiales de Ingeniería para estudiantes de ingeniería sin conocimientos previos
en la materia. Está diseñado para enlazar con las enseñanzas de diseño, mecánica y estructuras, y para satis-
facer las necesidades de los estudiantes de ingeniería de un primer curso de materiales, enfatizando las apli-
caciones de diseño.

xii Introducción general
El texto es conciso a propósito. Cada capítulo está diseñado para cubrir el contenido de unos 50 minu-
tos de clase, y deja tiempo para demostraciones y gráficos. El texto ofrece casos prácticos que aplican el
material de las clases precedentes. Hay ejemplos para el estudiante al final de cada capítulo.
Se ha hecho un esfuerzo para reducir el análisis matemático al nivel más sencillo posible, aunque man-
teniendo la comprensión física esencial y llegando a resultados que, aunque aproximados, son útiles. Pero
se han evitado descripciones sencillas: la mayoría de los casos prácticos y de los ejemplos realizan análisis
y utilizan datos para llegar a las soluciones numéricas de problemas reales o postulados. Este nivel de aná-
lisis, y estos datos, son similares a los que deberían emplearse en los estudios preliminares para la selec-
ción de un material o en los análisis de un diseño (o del fallo de un diseño). Es necesario indicar a los
estudiantes que el siguiente paso debería requerir un análisis mecánico más preciso y detallado y el
empleo de datos de los suministradores de materiales o hallados en ensayos de laboratorio. Los datos de
los materiales varían de una forma notoria. Las tablas de datos aproximados, como las que se dan aquí,
aunque útiles nunca deberían utilizarse en los diseños reales.
Agradecimientos
Los autores y los editores agradecen a los propietarios de los derechos de reproducción el permiso para
reproducir sus fotografías en las siguientes figuras: 1.3, Rolls-Royce Ltd; 1.5, Catalina Yachts Inc; 7.1,
Photo Labs, Royal Observatory, Edinburgh; 9.11, Dr Peter Southwick; 31.7, Group Lotus Ltd; 31.2 Photo
credit to Brian Garland © 2004, cortesía de Volkswagen.

Recursos adicionales
Los siguientes recursos adicionales están disponibles en Internet para los profesores que adopten o reco-
mienden este libro de texto para su uso en clase. Los detalles y el acceso a estos recursos están disponibles
en http://books.elsevier.com/manuals
Manual del profesor
El manual con las respuestas a los ejercicios del texto principal está disponible para ser descargado.
Banco de imágenes
Para su empleo en diapositivas y presentaciones de clase está disponible un banco de imágenes descarga-
bles de las figuras del libro en versión PDF.
Seminarios on-line sobre ciencia de los materiales
Acompañan al libro una serie de seminarios on-line sobre ciencia de los materiales. Han sido desarrolla-
dos en la Universidad New South Wales (UNSW), de Australia, por Alan Crosky, Mark Hoffman, Paul
Munroe y Belinda Allen, basándose en ediciones previas. Este grupo está particularmente dedicado al
uso efectivo e innovador de la tecnología en la enseñanza. Se dieron cuenta del potencial del entorno on-
line para enseñar materiales de ingeniería a sus estudiantes, y han desarrollado y utilizado estos semina-
rios durante varios años en la UNSW. Los resultados de este trabajo también han sido publicados y pre-
sentados extensamente.
Los seminarios se han diseñado para estudiantes de ciencia de los materiales y de otras disciplinas,
como ingeniería civil o mecánica, que desean cursar Materiales como asignatura optativa o de libre confi-
guración. Son ideales como material auxiliar para los programas de enseñanza reglada y pueden utilizarse
como repaso rápido para estudiantes de cursos más avanzados de ciencia de los materiales. Una selección
adecuada de los seminarios disponibles puede servir también como texto elemental o de iniciación para
estudiantes de otras facultades o escuelas.
El software se ha desarrollado como una herramienta de autoaprendizaje por pasos; está separado en
módulos de aprendizaje basados en los conceptos clave de la ciencia de materiales. Para una mayor infor-
mación sobre el acceso a estos seminarios y las condiciones de su uso, visitar la página web http://
books.elsevier.com/manuals
Sobre los autores de los seminarios
Alan Crosky es profesor asociado de la Escuela de Ciencia e Ingeniería de Materiales en la UNSW. Sus
especialidades como docente incluyen metalurgia, materiales compuestos y fractografía.
Belinda Allen es diseñadora y responsable de Material Gráfico para Educación en el Educational Deve-
lopment and Technology Centre, UNSW. Da soporte de producción, es consultora de la comunidad acadé-
mica, y diseña y presenta talleres y recursos online en producción de imágenes y diseño de páginas web.

xiv Recursos adicionales
Mark Hoffman es profesor asociado en la Escuela de Ciencia e Ingeniería de Materiales en la UNSW.
Sus especialidades docentes incluyen fractura, simulación numérica, comportamiento mecánico de mate-
riales y gestión.
Paul Munroe ejerce como profesor en la Escuela de Ciencia e Ingeniería de Materiales y es Director de
la Unidad de Microscopía Electrónica en la UNSW. Sus especialidades como docente son los mecanismos
de deformación y endurecimiento de los materiales, y la caracterización cristalográfica y microestructural.

Capítulo 1
Los materiales de ingeniería y sus propiedades
Contenidos
1.1 Introducción 2

2 Capítulo 1 Los materiales de ingeniería y sus propiedades
1.1 Introducción
Se dice que existen más de 50 000 materiales disponibles para el ingeniero. En el diseño
de una estructura o dispositivo, ¿cómo elegirá el ingeniero entre un menú tan amplio el
material más adecuado? Los errores pueden causar desastres. Durante la Segunda Guerra
Mundial, un tipo de barco mercante fabricado por soldadura sufrió grandes pérdidas pero
no causadas por el enemigo, sino a causa de que se partió por la mitad en el mar: la tena-
cidad a la fractura del acero, en particular la de las soldaduras 1-1, era muy pequeña.
Más recientemente, tres aviones Comet se perdieron antes de que se cayera en la cuenta
de que el valor de diseño de la resistencia a la fatiga –para los marcos de las ventanillas–
era superior a la del material elegido. El lector mismo tendrá experiencias negativas a
causa de un mal diseño en aparatos de plástico: sus frecuentes fallos se deben a que el
que los diseñó probablemente no consideró el bajo módulo que tienen los polímeros. En
la Tabla 1.1 se listan estas propiedades de los materiales junto con otras que debe consi-
derar el diseñador a la hora de elegir un material. Muchas de estas propiedades segura-
mente serán familiares al lector y se presentarán con algunos ejemplos en este capítulo.
Son la base de este primer curso de materiales.
Tabla 1.1 Tipos de propiedades.
Económicas Precio y disponibilidad
Reciclabilidad
Físicas Densidad
Mecánicas Módulos
Límite elástico y resistencia a la tracción
Dureza
Tenacidad a la fractura
Resistencia a la fatiga
Resistencia a la fluencia
Amortiguamiento de las vibraciones
Térmicas Conductividad térmica
Calor específico
Coeficiente de expansión térmica
Eléctricas y magnéticas Resistividad
Constante dieléctrica
Permeabilidad magnética
Interacción con el entorno Oxidación
Corrosión
Desgaste
Producción Facilidad de fabricación
Unión
Acabado
Estéticas Color
Textura
Aspecto

1.1 Introducción 3
En este primer curso también trataremos los distintos tipos de materiales que se
muestran en la Tabla 1.2 y en la Figura 1.1. La mayoría de los componentes de ingeniería
están fabricados con metales y aleaciones, más que con ningún otro tipo de material.
Pero, de forma creciente, los polímeros son cada vez más atractivos para el diseñador a
causa de que ofrecen una buena combinación de propiedades. Y basta con leer un perió-
dico para cerciorarse de que las cerámicas, aún en desarrollo en el mundo, son un tipo de
material de ingeniería emergente que permite fabricar motores más eficientes desde el
punto de vista térmico, cuchillos más afilados y cojinetes con menos fricción. El inge-
niero puede combinar las mejores de estas propiedades para producir materiales com-
puestos (el más típico es la fibra de vidrio), que también ofrecen un atractivo conjunto de
propiedades. Y finalmente no podemos ignorar los materiales naturales, como la madera
o la piel, que poseen propiedades que –incluso con los desarrollos científicos actuales en
ciencia de materiales– son difíciles de superar.
Tabla 1.2 Tipos de materiales.
Metales y aleaciones Hierro y aceros
Aluminio y sus aleaciones
Cobre y sus aleaciones
Níquel y sus aleaciones
Titanio y sus aleaciones
Polímeros Polietileno (PE)
Polimetacrilato de metilo (PMMA)
Poliamidas –nailon– (PA)
Poliestireno (PS)
Poliuretano (PU)
Policloruro de vinilo (PVC)
Politereftalato de etilenglicol (PET)
Polieteretercetona (PEEK)
Resinas epoxi (EP)
Elastómeros, como el caucho natural (NR)
Cerámicos y vidrios*
Alúmina –esmeril, zafiro– (Al2O3)
Magnesia (MgO)
Sílice (SiO2), vidrio y silicatos
Carburo de silicio (SiC)
Nitruro de silicio (Si3N4)
Cemento y hormigón
Materiales compuestos Polímeros reforzados con fibra de vidrio (GFRP)
Polímeros reforzados con fibras de carbono (CFRP)
Polímeros cargados
Cermets
Materiales naturales Madera
Piel
Algodón, lana, seda
Hueso
*
Las cerámicas son cristalinas, inorgánicas, no metálicas. Los vidrios son sólidos no
cristalinos (o amorfos). La mayoría de los vidrios para ingeniería son no metálicos, pero
hoy existe un gran número de vidrios metálicos con propiedades útiles.

En este capítulo ilustraremos con varios ejemplos cómo el diseñador selecciona los
materiales que le proporcionan las propiedades necesarias.
1.2 Ejemplos de selección de materiales
Un típico destornillador (Figura 1.2) tiene una varilla, acabada plana, de acero al car-
bono, un metal. El acero se elige por su alto módulo. El módulo refleja la resistencia
del material frente a la deflexión elástica o el doblado. Si se hace la varilla de un mate-
rial distinto, por ejemplo un polímero como el polietileno, tendería a doblarse dema-
Figura 1.1 Tipos de materiales de ingeniería de los que están hechas las cosas.
Metales
y aleaciones
Materiales
compuestos
Polímeros cargados
CFRP GFRP
Neumáticos
con cordones
de acero
Cementos reforzados
con fibras
Cermets
Cerámicas
y
vidrios
Polímeros
Figura 1.2 Destornilladores típicos, con varilla de acero y mango de polímero (plástico).

siado. Un alto módulo es uno de los criterios de selección de un material para esta
aplicación, pero no el único. La varilla ha de tener, además, un alto límite elástico. Si
no lo tiene se doblará o torcerá cuando se gire con fuerza (los malos destornilladores lo
hacen). Además, debe tener una gran dureza, porque si no se dañará con la cabeza del
tornillo. En conjunto, el material de la varilla, incluyendo su extremo plano, no sólo
debe cumplir estos requisitos sino que además ha de soportar una posible rotura –el
vidrio, por ejemplo, tiene un alto módulo, un alto límite elástico y una gran dureza,
pero no es una buena elección para esta aplicación porque es muy frágil. De forma más
precisa, diremos que posee una baja tenacidad a la fractura; la del acero es alta, pues
se deforma antes de romperse.
El mango del destornillador es de un polímero o plástico, en este caso polimetacrilato
de metilo, también conocido como PMMA, “plexiglas” o “perspex”. El mango tiene una
sección mayor que la varilla, por lo que su posible torsión, y por tanto su módulo, impor-
tan menos. No sería muy conveniente un elastómero blando (otro polímero) porque su
módulo es demasiado bajo, aunque un recubrimiento fino de caucho podría ser útil gra-
cias a su elevado coeficiente de fricción, evitando que se deslice. Antiguamente, por
supuesto, los mangos de las herramientas se hacían de otro polímero natural –madera– y,
quitando importancia al volumen consumido por año, la madera aún es el polímero más
importante disponible para el ingeniero. La madera se remplaza por PMMA porque éste
se reblandece con la temperatura y se puede moldear de forma sencilla y darle formas
complejas. Es fácil de fabricar para esta aplicación. También se elige por cuestiones
estéticas: su aspecto, su textura, son adecuados; además, su densidad es baja, por lo que
no hace pesado al destornillador. Por último, el PMMA es barato, lo que permite que el
producto final tenga un precio razonable.
Vayamos a un segundo ejemplo (Figura 1.3), tomado de la ingeniería de diseño de
materiales avanzados para turbinas de motores de grandes aviones. El aire es forzado a
pasar (y entrar) al motor a través de la turbina, suministrando empuje aerodinámico. El
aire se comprime en los álabes del compresor, se mezcla con el combustible y se quema
en la cámara de combustión. Los gases expansionados mueven los álabes, que proporcio-
nan energía a la turbina y a los álabes de compresión, y finalmente pasan a la parte poste-
rior y contribuyen al empuje.
Los álabes de turbina son de una aleación de titanio, un metal. Tienen suficiente
módulo, límite elástico y tenacidad a la fractura. Pero el metal también tiene que resistir
a la fatiga (causada por cargas alternativas rápidas), debe tener buena resistencia al des-
gaste superficial (provocado por el golpeteo de gotas de agua o pájaros) y ser resistente
a la corrosión (importante en ambientes próximos al mar por la posible entrada de sal
pulverizada al motor). Por último, la densidad es un factor extremadamente importante
por razones evidentes: cuanto más pesado sea el motor, menos carga podrá llevar el
avión. En un esfuerzo por reducir aún más el peso se han probado álabes de polímeros
reforzados con fibra de carbono (CFRP), cuya densidad es la mitad que la del titanio.
Pero los CFRP no cubren todos los requerimientos de un álabe de turbina, ya que el
golpe de un pájaro los rompería. La solución podría ser revestir con metal un álabe de
CFRP.
Volviendo a los álabes de turbina de la zona más caliente del motor, éstos deben satis-
facer aún más requerimientos. El combustible debe quemarse a la temperatura más alta
posible, para optimizar el rendimiento. La primera fila de álabes (los llamados HP1)

soporta temperaturas de 950 ºC, por lo que se requiere de ellos una buena resistencia a la
fluencia y a la oxidación. Para esta exigente aplicación se utilizan superaleaciones a base
de níquel, de composición y estructura compleja, que son la cúspide de la pirámide de
esta avanzada tecnología.
Un ejemplo que también permite analizar distintos requisitos son las bujías de un
motor de combustión interna (Figura 1.4). Los electrodos que producen la chispa deben
soportar fatiga térmica (cambios bruscos de temperatura), desgaste (causado por la ero-
sión de la chispa), y corrosión y oxidación, a causa de los gases de la parte alta de los
cilindros, que contienen compuestos nocivos como el azufre. Para estos electrodos se uti-
lizan aleaciones de wolframio porque cumplen todas estas propiedades.
El aislante de la zona central del electrodo es un ejemplo de material no metálico –en
este caso alúmina, una cerámica. Se elige por sus propiedades como aislante eléctrico y
porque posee una buena resistencia a la fatiga térmica, a la corrosión y a la oxidación (ya
es un óxido).
El uso de materiales no metálicos ha crecido de manera rápida en la industria de con-
sumo. Nuestro siguiente ejemplo, un barco de recreo (Figura 1.5), muestra cómo los
polímeros, los materiales compuestos artificiales y las fibras han sustituido a los materia-
les “tradicionales” como el acero, la madera y el algodón. Un casco de yate típico es de
GFRP, fabricado en un molde único; el GFRP tiene un buen aspecto y, a diferencia del
acero o la madera, no se oxida ni sirve de alimento a moluscos y gusanos. El mástil se
hace de aleaciones de aluminio, más ligeras que la madera para una resistencia dada; los
Figura 1.3 Corte transversal de una turbina de motor de aviación.

mástiles de alta tecnología se hacen hoy reforzando la aleación con fibra de carbono o de
boro (materiales compuestos artificiales). Las velas, antiguamente hechas con algodón
natural, ahora se hacen de nailon, Teryleno o Kevlar, y para el cordaje se han sustituido
los hilos de algodón por polímeros. Por último, polímeros como el PVC se utilizan de
manera generalizada en guardabarros, anoraks, boyas y cubrebotes.
Se han mencionado tres materiales compuestos artificiales: GFRP, CFRP (más caro)
y las aleaciones reforzadas con fibra de boro (BFRP, mucho más caras). La variedad de
materiales compuestos es cada vez mayor y sigue creciendo (Figura 1.1); durante la
próxima década crecerá aún más, compitiendo con el acero y el aluminio en muchas apli-
caciones tradicionales de estos metales.
Se han mencionado las propiedades mecánicas y físicas de los materiales de ingenie-
ría, pero ahora se han de comentar otros aspectos de igual importancia: el precio y la dis-
ponibilidad.
La Tabla 1.3 muestra una clasificación somera de los precios de los materiales. Los
materiales estructurales utilizados a gran escala –madera, cemento, hormigón y acero
estructural– cuestan entre 50 y 500 libras esterlinas (entre 90 y 900 dólares norteamerica-
nos) por tonelada. Muchos materiales que pueden satisfacer los requerimientos estructu-
rales –níquel o titanio, por ejemplo– quedan totalmente excluidos para estas aplicaciones
por su precio.
El valor añadido en la ingeniería ligera o media es mayor, por lo que las restricciones
económicas a la hora de elegir los materiales son menores –la mayor proporción del
coste de una estructura está asociada a los costes de personal o a su producción y fabrica-
ción. Los aceros inoxidables, la mayoría de las aleaciones de aluminio y casi todos los
polímeros cuestan entre 500 y 5000 libras esterlinas (entre 900 y 9000 dólares norteame-
Figura 1.4 Bujía de motor de gasolina, con cuerpo cerámico y electrodo de wolframio.

ricanos) por tonelada. Es en este sector del mercado donde existe mayor competencia
entre los materiales y, por tanto, hay mayor espacio para la imaginación en el diseño.
Aquí los polímeros y compuestos compiten directamente con los metales, y las nuevas
cerámicas estructurales (carburo de silicio y nitruro de silicio) compiten con ambos en
algunas aplicaciones.
El siguiente grupo a considerar son los materiales desarrollados para aplicaciones de
altas prestaciones, algunas de las cuales ya se han mencionado: superaleaciones a base de
níquel (para álabes de turbina), wolframio (para electrodos de bujías) y materiales com-
puestos especiales, como el CFRP. El rango de precios de estos materiales es de 5000 a
50 000 libras esterlinas (entre 9000 y 90 000 dólares norteamericanos) por tonelada.
Éstos son los llamados materiales de alta tecnología, en proceso de investigación activa,
y de los que aún se pueden esperar avances y mejoras. Aquí también la competencia con
los nuevos materiales es intensa.
Figura 1.5 Un yate de recreo, con casco de material compuesto (GFRP), mástil de aleación de
aluminio y velas de fibra sintética de polímero.

Por último, tenemos los metales preciosos y las gemas, también utilizados amplia-
mente en ingeniería: oro para microcircuitos, platino en catalizadores, zafiros en cojine-
tes y diamantes en herramientas de corte. El rango de sus precios va de 50 000 a más de
100 000 000 libras esterlinas (entre 90 000 y 180 000 000 dólares norteamericanos) por
tonelada.
Como ejemplo de cómo el precio y la disponibilidad afectan a la selección de un
material para una determinada aplicación, consideremos los materiales utilizados en la
construcción de puentes en Cambridge y de qué modo han evolucionado al pasar los
siglos. Tal y como nos muestra la foto del Queens’ Bridge (Figura 1.6), hasta hace 150
años era bastante corriente el uso de la madera para la construcción de puentes. Era
barata y se podían encontrar vigas de madera de alta calidad con grandes secciones pro-
cedentes de bosques naturales. También la piedra, como muestra la foto del Clare Bridge
(Figura 1.7), era muy utilizada. En el siglo XVIII, la disponibilidad de la fundición, con
un coste de ensamblado relativamente bajo, permitió construir numerosos puentes, como
el Magdalene Bridge (Figura 1.8). El desarrollo de la metalurgia de finales del siglo XIX
posibilitó la construcción de grandes estructuras de acero dulce para construir puentes
como el Garret Hostel Lane Bridge (Figura 1.10). Esta evolución ilustra con claridad
cómo la disponibilidad repercute en la selección de los materiales.
Hoy día, la madera, el acero y el hormigón armado se utilizan con frecuencia e indis-
tintamente en estructuras, como consecuencia de la pequeña diferencia en su precio. La
elección de uno de los tres materiales está directamente relacionada con el tipo de estruc-
tura que quiera construir el arquitecto: recia y sólida (piedra), estructuralmente eficiente
(acero), ligera y elegante (hormigón pretensado).
El diseño en ingeniería, por tanto, implica muchas consideraciones (Figura 1.11). La
elección de un material debe conciliar ciertos criterios vinculados a las propiedades de
volumen y de superficie (p.ej. resistencia a la tracción y a la corrosión), pero también ha
Tabla 1.3 Clasificación de los materiales por precios.
Tipo de uso Material Precio por tonelada
Libras esterlinas Dólares EE.UU.
Construcción Madera, hormigón, acero
estructural
50-500 90-900
Ingeniería
ligera y media
Metales, aleaciones y polímeros
para aviones, automóviles,
electrodomésticos …
500-5000 900-9000
Materiales
especiales
Aleaciones para álabes de
turbina, materiales compuestos
avanzados (CFRP, BFRP), etc.
5000-50 000 9000-90 000
Metales
preciosos, etc.
Cojinetes de zafiro, contactos de
plata, microcircuitos de oro …
50 000-
10 000 000
90 000-
18 000 000
Diamantes
industriales
Herramientas de corte y pulido >100 000 000 >180 000 000

Figura 1.6 Puente de madera en el Queens’ College, de Cambridge, una reconstrucción de 1902
del puente original construido en 1749 con diseño de William Etheridge.
Figura 1.7 Clare Bridge, construido en 1640, uno de los puentes más antiguos de Cambridge;
se supone que fue una ruta de escape de los “college” en tiempos de la peste.

Figura 1.8 Magdalen Bridge, construido en 1823 en el lugar del antiguo puente Saxon sobre el
Cam. El actual puente de fundición soportaba, hasta hace muy poco, cargas muy
superiores a las previstas por los diseñadores. Por fortuna, el puente ha sido bien
restaurado recientemente.
Figura 1.9 Típico puente de acero dulce de mediados del siglo XX; camino recomendado para
llegar a la posada “Fort St. George”.

Figura 1.10 Puente peatonal de hormigón armado en el camino de Garret Hostel. Una inscripción
grabada en su proximidad reza: “Este puente fue donado en 1690 por la familia
Trusted, miembros de Trinity Hall. Fue diseñado por Timothy Guy Morgan, un
estudiante pregraduado del Jesus College que murió ese año”.
Figura 1.11 Cómo las propiedades de los materiales de ingeniería afectan la manera de diseñar productos.
Propiedades
Diseño
Intrínsecas Atribuidas
Propiedades
mecánicas
de volumen
Precio
y disponibilidad
Propiedades
superficiales
Propiedades
estéticas, apariencia,
textura, tacto
Propiedades
de volumen
no mecánicas
Propiedades de
producción, facilidad
de manufactura,
fabricación,
unión, acabado

de poder fabricarse con facilidad, ser atractivo para los potenciales consumidores y com-
petir económicamente con otros materiales alternativos. En el próximo capítulo se consi-
deran los aspectos económicos involucrados en la elección; en los últimos capítulos el
análisis de las otras propiedades.

Parte A
Precio y disponibilidad

Capítulo 2
El precio y la disponibilidad de los materiales
Contenidos
2.3 Utilización de los materiales 20
2.5 Crecimiento exponencial del consumo
de los materiales 22
2.7 El futuro 25
2.8 Conclusión 26
Ejemplos 27

18 Capítulo 2 El precio y la disponibilidad de los materiales
2.1 Introducción
En el primer capítulo se presentó la gama de propiedades requeridas por el ingeniero de
diseño para los materiales de ingeniería y la variedad de materiales disponibles que pro-
porcionan esas propiedades. Se terminó mostrando cómo el precio y la disponibilidad de
los materiales son importantes y con frecuencia primordiales en la selección de los mate-
riales para una aplicación particular. En este capítulo se examinan con mayor detalle los
aspectos económicos de los materiales.
2.2 Datos sobre los precios de los materiales
En la Tabla 2.1 aparecen diferentes materiales y su coste relativo por unidad de peso. Los
materiales más caros –diamante, platino, oro– están en la parte superior, mientras que los
más baratos –fundición, madera, cemento– están en la parte inferior. Estos datos, eviden-
temente, son importantes al seleccionar un material. ¿Cómo mantenernos informados
sobre los cambios de precio de los materiales y qué los controla?
Los periódicos The Financial Times y Wall Street Journal dan información diaria sobre
los precios de algunos materiales. Las revistas especializadas proporcionan listas más
amplias de los precios actuales. Una publicación de este tipo es el Procurement Weekly,
que informa de los precios actuales de los materiales básicos, junto con los precios de
seis meses y un año atrás. Todas las industrias de fabricación toman estos datos o algunos
equivalentes para tener una guía de los precios y sus tendencias.
La Figura 2.1 muestra la variación del precio de dos materiales –cobre y caucho.
Estas fluctuaciones de precio a corto plazo tienen poco que ver con la escasez o abundan-
cia real de los materiales. Están causadas por pequeñas diferencias entre la oferta y la
demanda, incrementadas por la especulación en el mercado de las materias primas. La
naturaleza volátil del mercado de bienes de gran consumo da lugar a grandes cambios en
periodos de pocos días –ésta es una razón que atrae a los especuladores– y poco es lo que
un ingeniero puede hacer para prever estos cambios. Los factores políticos también son
extremadamente importantes –en 1978 hubo escasez de cobalto por los ataques de la
guerrilla a los mineros en Zaire, el principal productor mundial de cobalto; el bajo precio
del aluminio y de los diamantes en 1995 se debió en parte a que Rusia inundó el mercado
de estos materiales al final de la Guerra Fría.
Los cambios a largo plazo son de diferentes tipos. Reflejan, en parte, el coste real (en
inversión de capital, mano de obra y energía) de la extracción, del transporte del mineral
y de su procesado para obtener el material de ingeniería. La inflación y los elevados cos-
tes de la energía, así como la necesidad de extraer cada vez más materiales, como el
cobre, de minerales pobres, lógicamente elevan los precios; cuanto menos enriquecido
sea el mineral en el metal a extraer, más maquinaria y energía se requiere para triturar la
roca que contiene el metal y concentrarlo hasta niveles en que pueda ser extraído.
A largo plazo, pues, es importante conocer qué materiales son abundantes y cuáles
los que probablemente van a escasear. También es importante conocer nuestro grado de
dependencia de los materiales.

Tabla 2.1 Precio relativo aproximado por tonelada (acero dulce = 100).
Material Precio relativo $
Diamantes industriales
Platino
Oro
Plata
CFRP (material 70% del coste, fabricación 30%)
Cobalto/carburo de wolframio “cermets”
Wolframio
Aleaciones de cobalto
Aleaciones de titanio
Aleaciones de níquel
Poliimidas
Carburo de silicio (cerámica fina)
Aleaciones de magnesio
Nailon 66
Policarbonato
PMMA
Magnesia, MgO (cerámica fina)
Alúmina, Al2O3 (cerámica fina)
Acero de herramientas
GFRP (material 60% del coste, fabricación 40%)
Aceros inoxidables
Cobre deformado (láminas, tubos, barras)
Cobre, lingotes
Aleaciones de aluminio, deformado (láminas, barras)
Aluminio, lingotes
Latón, deformado (láminas, tubos, barras)
Latón, lingotes
Epoxi
Poliéster
Vidrios
Espumas poliméricas
Zinc, deformado (láminas, tubos, barras)
Zinc, lingotes
Plomo, deformado (barras, láminas, tubos)
Plomo, lingotes
Caucho natural
Polipropileno
Polietileno de alta densidad
Poliestireno
Maderas duras
Polietileno de baja densidad
Policloruro de vinilo
Contrachapado
Aceros de baja aleación
Acero dulce, deformado (ángulos, láminas, barras)
Fundición
Hierro, lingotes
Maderas blandas
Hormigón, reforzado (vigas, columnas, planchas)
Gasóleo
Cemento
Carbón
200 m
5 m
2 m
150 000
20 000
15 000
5000
7000
10 000
20 000
8000
7000
1000
1500
1000
700
3000
3000
500
1000
600
400
400
400
300
400
400
1000
500
400
1000
400
350
250
200
300
200
200
250
250
200
300
200
130
100
90
70
70
50
50
20
20

2.3 Utilización de los materiales
La forma en que se usan los materiales en un país industrializado es bastante estándar. Se
consume acero, hormigón y madera en la construcción; acero y aluminio en ingeniería en
general; cobre en conductores eléctricos; polímeros en artículos de consumo; y aproxi-
madamente en las mismas proporciones. Entre los metales, el acero es con diferencia el
más utilizado: el 90 por ciento de todos los metales producidos en el mundo es acero.
Pero los no metales, como la madera y el hormigón, superan al acero –se emplean
incluso en mayor cantidad.
En torno al 20 por ciento del gasto total se emplea en materiales de ingeniería. La
Tabla 2.2 muestra cómo se distribuye este gasto. El hierro y el acero, y sus materias pri-
Figura 2.1 Fluctuaciones recientes en el precio del cobre y del caucho.
S O N D E F M A M
£
TM
–1
£
TM
–1
S O
Cobre Caucho
N D E F M A M
1200
1100
1000 900
1000
1100
Tabla 2.2 Importe de los materiales de ingeniería,
materia prima y “semis”: porcentaje del
coste total.
Hierro y aceros
Madera y sus productos
Cobre
Plásticos
Plata y platino
Aluminio
Caucho
Níquel
Zinc
Plomo
Estaño
Pasta/papel
Vidrio
Wolframio
Mercurio
Otros
27
21
13
9,7
6,5
5,4
5,1
2,7
2,4
2,2
1,6
1,1
0,8
0,3
0,2
1,0

mas, representan la cuarta parte. Los siguientes son la madera y sus productos –amplia-
mente usados en construcciones ligeras. Más de una cuarta parte se emplea en los
metales cobre, plata, aluminio y níquel. Todos los polímeros, incluyendo el caucho,
representan un poco mas del 10 por ciento. Si incluimos metales como el zinc, el estaño,
el wolframio y el mercurio, la lista llega al 99 por ciento del dinero gastado en materia-
les, y se pueden ignorar sin problemas los materiales que no aparecen.
2.4 Materiales ubicuos
La composición de la corteza terrestre
Pasemos ahora de lo que habitualmente se usa a lo que es fácil conseguir. Sólo unos
pocos materiales de ingeniería se sintetizan a partir de los compuestos presentes en la
atmósfera terrestre o en los océanos: el magnesio es un ejemplo. Sin embargo, la mayoría
se obtiene por extracción de sus minerales de la corteza terrestre, concentrándolos sufi-
cientemente para que el material se pueda extraer o sintetizar. ¿Cuán abundantes y exten-
didos son estos materiales de los que tanto se depende? ¿Cuánto cobre, plata, wolframio,
estaño y mercurio en concentraciones útiles contiene la corteza terrestre? Los cinco se
consideran escasos: sus depósitos son relativamente pequeños, y están tan localizados
que para muchos gobiernos tienen importancia estratégica y los reservan.
No todos los materiales están disponibles en pequeñas cantidades. La Tabla 2.3 mues-
tra la abundancia relativa de los elementos “comunes” en la corteza terrestre. La corteza
contiene el 47 por ciento en peso de oxígeno –como el oxígeno es un átomo grande, ocupa
el 96 por ciento del volumen (los geólogos suelen decir que la corteza de la Tierra es oxí-
geno sólido conteniendo un porcentaje pequeño de impurezas). Los elementos silicio y
aluminio son los siguientes en abundancia; de hecho, los materiales sólidos más abundan-
tes a nuestro alcance, con diferencia, son los silicatos y los aluminosilicatos. Otros pocos
metales aparecen en la lista, entre ellos el hierro y el aluminio, que también están entre los
materiales ampliamente utilizados. La lista se extiende hasta el carbono, ya que es la
columna vertebral de prácticamente todos los polímeros, incluso de la madera. En con-
junto, el oxígeno y sus compuestos son “aplastantemente” abundantes –estamos rodeados
de óxidos cerámicos o de sus materias primas para fabricarlos. Algunos materiales están
muy extendidos, en particular el hierro y el aluminio, pero incluso para éstos la concentra-
ción local con frecuencia es pequeña, normalmente demasiado pequeña para que su
extracción sea económica. De hecho, las materias primas para fabricar polímeros se consi-
guen, de momento, más fácilmente que la mayoría de los metales. Hay abundantes depó-
sitos de carbono en la Tierra: a escala mundial extraemos más tonelaje de carbono cada
mes que de hierro en un año, pero de momento sencillamente lo quemamos. Y el segundo
ingrediente de la mayoría de los polímeros –el hidrógeno– es también uno de los elemen-
tos más abundantes. Algunos elementos –el hierro, el aluminio, el silicio, constituyentes
del vidrio y cemento– son abundantes y disponibles. Sin embargo, otros –mercurio, plata,
wolframio– son escasos y están muy localizados, y si la situación no cambia pueden no
durar mucho tiempo.

2.5 Crecimiento exponencial del consumo
de los materiales
¿Cómo podemos calcular el tiempo de vida de un recurso como el mercurio? Igual que
casi todos los materiales, el mercurio se consume a una velocidad que es exponencial con
el tiempo (Figura 2.2), sencillamente porque tanto la población como su nivel de vida
crecen exponencialmente. Esto se analiza de la siguiente forma. Si la velocidad actual de
consumo en toneladas por año es C, entonces el crecimiento exponencial significa que
(2.1)
donde, para velocidades de crecimiento generalmente pequeñas (1 a 5 por ciento al año),
r puede considerarse como la velocidad de crecimiento anual expresada como fracción
porcentual. Integrando resulta
(2.2)
Tabla 2.3 Abundancia de los elementos.
Corteza Océanos Atmósfera
Elemento % peso Elemento % peso Elemento % peso
Oxígeno
Silicio
Aluminio
Hierro
Calcio
Sodio
Potasio
Magnesio
Titanio
Hidrógeno
Fósforo
Manganeso
Flúor
Bario
Estroncio
Azufre
Carbono
47
27
8
5
4
3
3
2
0,4
0,1
0,1
0,1
0,06
0,04
0,04
0,03
0,02
Oxígeno
Hidrógeno
Cloro
Sodio
Magnesio
Azufre
Calcio
Potasio
Bromo
Carbono
85
10
2
1
0,1
0,1
0,04
0,04
0,007
0,002
Nitrógeno
Oxígeno
Argón
Dióxido de carbono
79
19
2
0,04
La masa total de la corteza terrestre hasta una profundidad de 1 km es 3 × 1021
kg; la masa
de los océanos es 1020
kg; la de la atmósfera es 5 × 1018
kg.
dC
d 100
r
C
t
=
0
0
( )
exp
100
⎧ ⎫
−
⎨ ⎬
=
⎩ ⎭
r t t
C C

donde C0 es la velocidad de consumo en un tiempo t = t0. El tiempo en que el consumo
se duplica (tD) se obtiene de la expresión anterior considerando C/C0 = 2, de tal forma
que
(2.3)
El consumo de acero está creciendo menos del 2 por ciento al año –se duplicará aproxi-
madamente cada 35 años. El consumo de polímeros crece aproximadamente un 5 por
ciento al año –se duplicará cada 14 años. Durante la época del “boom” –las décadas de
1960 y 1970– la producción de polímeros aumentó más rápido, alcanzándose un máximo
de un 18 por ciento al año (se duplicaba cada 4 años), pero ahora la velocidad es menor.
2.6 Disponibilidad de recursos
La disponibilidad de un recurso depende de diferentes factores: i) de su localización en
uno o en unos pocos países (lo que puede suponer controles de producción o acciones de
un cártel); ii) del tamaño de las reservas o, de una forma más precisa, del recurso base
(en pocas palabras); y iii) de la energía requerida para su extracción y procesado. La
influencia de los dos últimos (tamaño de las reservas y energía) puede ser estudiada y
anticipar su influencia, dentro de ciertos límites.
El cálculo de la vida del recurso supone una distinción importante entre las reservas y
los recursos. Lo que se entiende por reserva actual son los depósitos conocidos de los
Figura 2.2 Consumo exponencial de los materiales.
Tiempo (años)
100
t0
C0
C
(TM
año
–1
)
dC
dt
r
= C
Área = consumo
entre t0 y t
e
100 70
log 2
D
t
r r
= ≈

que se puede extraer el recurso de forma rentable al precio actual usando la tecnología
disponible. Sin embargo, esto guarda poca relación con la verdadera magnitud del
recurso base; de hecho, ni siquiera son proporcionales.
El recurso base incluye la reserva actual, pero también incluye todos los depósitos
que podrían estar disponibles para la prospección, que pueden estimarse mediante diver-
sas técnicas de extrapolación. También incluye todos los depósitos conocidos y descono-
cidos que actualmente no pueden ser extraídos de forma rentable, pero que –debido a
mayores precios, una mejor tecnología o transporte– podrían estar razonablemente dis-
ponibles en el futuro (Figura 2.3). La reserva es como el dinero en el banco –uno conoce
lo que tiene. El recurso base es más como las posibles ganancias a lo largo de la vida– es
mucho mayor que las reservas, pero menos real (o cierto), y se ha de emplear mayor
esfuerzo para conseguirlo. El recurso base es la medida realista de la disponibilidad total
del material. Los recursos casi siempre son mucho mayores que las reservas, pero debido
a que los datos geofísicos y las proyecciones económicas son pobres, su evaluación está
sujeta a grandes incertidumbres.
Aunque el recurso base es incierto, obviamente es importante tener alguna estima-
ción de cuánto puede durar. Existen estimaciones aproximadas del tamaño del recurso
base y, usándolas, nuestra fórmula exponencial da una estimación de cuánto tardaríamos
en gastar la mitad de los recursos. La vida media es una medida importante: en esta
etapa, los precios deberían aumentar tan bruscamente que las existencias se convertirían
en un gran problema. Para un número elevado de materiales estas vidas medias están
dentro de su tiempo de vida: para la plata, el estaño, el wolframio, el zinc, el plomo, el
mercurio y el petróleo (la fuente de los polímeros) son entre 40 y 70 años. Otros (los más
importantes el hierro, el aluminio y las materias primas de que se hacen la mayoría de las
Figura 2.3 Diferencia entre la reserva y el recurso base, ilustrada por el diagrama de McElvey.
Aumento de las
prospecciones
Tecnología
minera mejorada
Económico
No
económico
Grado de
extracción
mínimo
Recursos base
(incluidas las reservas)
Descenso del grado
de acierto geológico
Descenso
del grado
de viabilidad
económica
Menas
descubiertas
Menas
no descubiertas
Reserva

2.7 El futuro 25
cerámicas y los vidrios) tienen grandes recursos base, suficientes para cientos de años,
incluso teniendo en cuenta un crecimiento exponencial continuado.
Ahora hay que considerar el coste de la energía. La extracción de los materiales
requiere energía (Tabla 2.4). Cuando un material empieza a escasear –el cobre es un buen
ejemplo– debe ser extraído de minerales cada vez más pobres. Esto emplea más y más
energía por tonelada de metal cobre producido en las operaciones de extracción, tritura-
ción y concentración del mineral; y estos costes de energía rápidamente empiezan a ser
prohibitivos. El aumento del contenido en energía del cobre mostrado en la Tabla 2.4
refleja el hecho de que los minerales más ricos en cobre se están agotando.
2.7 El futuro
¿Cómo resolveremos el problema de la escasez de los materiales de ingeniería en el
futuro? Obviamente, el camino es
El diseño de materiales eficientes
Muchos diseños actuales emplean más materiales de los que realmente son necesarios, o
usan materiales que pueden escasear cuando algunos de los más abundantes podrían ser-
vir. A menudo, por ejemplo, se busca una propiedad superficial (p. ej. baja fricción, o
alta resistencia a la corrosión); entonces, una película delgada de un material escaso
unido a un sustrato abundante y barato puede sustituir el uso masivo de materiales más
escasos. Otra forma de resolver la escasez de materiales es por
La sustitución
La propiedad, y no el material en sí mismo, es lo que el diseñador busca. A veces un
material disponible puede sustituir a uno escaso, aunque esto normalmente implica
desembolsos considerables (nuevas técnicas de procesado, nuevos métodos de unión,
Tabla 2.4 Contenido en energía aproximado
de los materiales (GJ tonelada–1).
Aluminio
Plásticos
Cobre
Zinc
Acero
Vidrio
Cemento
Ladrillos
Madera
Grava
Petróleo
Carbón
280
85-180
140, subiendo a 300
68
55
20
7
4
2,5-7
0,2
44
29

etc.). Ejemplos de sustitución son la utilización de piedra y madera en lugar de acero y
hormigón en la construcción; la sustitución del cobre por polímeros en fontanería; el
cambio de madera y metales por polímeros en los utensilios domésticos; y del cobre por
aluminio en los cables eléctricos.
Sin embargo, la sustitución presenta limitaciones técnicas. Algunos materiales son
difíciles de sustituir. El platino como catalizador, el helio líquido como refrigerante y
la plata en contactos eléctricos no se pueden sustituir; realizan una función única –son
como las vitaminas de los materiales de ingeniería. En otros casos –la sustitución del
wolframio de los filamentos de las lámparas, por ejemplo– requeriría el desarrollo de
una tecnología nueva, y esto podría llevar muchos años. Finalmente, la sustitución
eleva la demanda del material que reemplaza, que a su vez puede tener existencias
limitadas. La tendencia masiva a sustituir otros materiales por plásticos sobrecarga las
petroquímicas, pues actualmente los plásticos se obtienen del petróleo. Una tercera
aproximación es
El reciclado
El reciclado no es nuevo: los materiales de construcción antiguos se han reciclado
durante milenios; la chatarra metálica se ha reciclado durante siglos; ambas son las prin-
cipales industrias. Reciclar es una labor costosa y ahí está el problema para expandir su
aplicación. Durante los últimos 30 años, el elevado precio de la mano de obra hace que el
reciclado no sea tan económico.
2.8 Conclusión
En conjunto, el problema de los recursos de materiales no es tan crítico como el de la
energía. Algunos materiales son muy abundantes o son renovables (como la madera), y
afortunadamente incluyen a los principales materiales estructurales. En otros casos el
recurso base es pequeño, pero suelen utilizarse en pequeñas cantidades, de modo que
el precio podría incrementarse sin tener un efecto drástico en el precio del producto al
que se incorporan; y en otros casos hay sustitutos. Pero estos ajustes pueden llevar su
tiempo –hasta 25 años si es necesaria una nueva tecnología– y necesitan demasiado
capital. El aumento del precio de la energía significa que los costes relativos de los
materiales cambiarán en los próximos 20 años; los diseñadores deben ser conscientes
de estos cambios y estar pendientes de las oportunidades para usar los materiales de la
forma más eficiente posible. Pero cada vez más los gobiernos están imponiendo objeti-
vos en el reciclado de materiales para una serie muy amplia de bienes de consumo de
producción masiva (tales como automóviles, equipamiento electrónico y electrodo-
mésticos). Ahora, al diseñar un producto los fabricantes deben pensar en su ciclo de
vida completo: no es suficiente que un teléfono móvil trabaje bien durante dos años y
después sea tirado a la basura –también debe ser diseñado para que se pueda desmontar
fácilmente y que sus materiales sean reciclados en los teléfonos móviles de la siguiente
generación.

Ejemplos 27
Impacto ambiental
De igual forma que los materiales de consumo, la producción en masa de bienes de con-
sumo da lugar a dos problemas en el medio ambiente. El primero es el volumen de
basura generada. Los materiales que no son reciclados van finalmente a los vertederos,
que contaminan las aguas subterráneas y son físicamente insostenibles. A no ser que el
porcentaje de materiales reciclados aumente de forma considerable en un futuro
próximo, una proporción importante de paisaje terminará como un vertedero. La segunda
carga es la producción de energía necesaria para extraer y procesar los materiales, y
fabricar y distribuir los bienes que con ellos se hacen. Los combustibles fósiles, como
hemos visto, son recursos finitos, y además su combustión libera dióxido de carbono a la
atmósfera, con serias implicaciones para el calentamiento global. Los gobiernos ya están
fijando límites para las emisiones de dióxido de carbono –y también imponiendo
impuestos al carbón– cuyo efecto global está siendo el aumento del precio de la energía.
Ejemplos
2.1 (a) Actualmente las materias primas A y B se consumen a una velocidad CA y CB en
toneladas por año (CA > CB). Si las dos velocidades de consumo aumentan exponen-
cialmente para producir cada año crecimientos en el consumo, de rA% y rB%, respec-
tivamente (rA < rB), obtener una ecuación para el tiempo que ha de transcurrir,
medido desde hoy, hasta que el consumo anual de B exceda al de A.
(b) En la tabla se presentan cifras del consumo y de la velocidad de crecimiento del
acero, del alumino y de los plásticos. ¿Cuáles serán los tiempos (en años) para que el
consumo de estas materias primas se duplique?
(c) Calcular el número de años necesarios para que el consumo de (a) aluminio y (b)
polímeros exceda al del acero, considerando un crecimiento exponencial continuado.
Respuestas
(a)
(b) Tiempo en que el consumo se duplica: acero, 35 años; aluminio, 23 años; plásticos,
18 años.
(c) Si el crecimiento es exponencial continuado, el aluminio sobrepasaría al acero en
201 años; los polímeros sobrepasarían al acero en 55 años.
Material Consumo actual
(toneladas año–1
)
Velocidad de crecimiento
en el consumo prevista
(% año–1
)
Hierro y acero
Aluminio
Polímeros
3 × 108
4 × 107
1 × 108
2
3
4
A
B A B
C
100
= ln
C
t
r r
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− ⎝ ⎠

2.2 Discutir distintas formas de conservar los materiales de ingeniería, y los problemas técni-
cos y sociales que conllevaría su puesta en práctica.
2.3 (a) Explique qué se entiende por crecimiento exponencial en el consumo de un material.
(b) Un material se consume a una velocidad de C0 toneladas año–1
en el año 2005. Este
consumo aumenta un r% año–1
. Si el recurso base del materiales es Q toneladas, y el
consumo continúa su aumento un r% año–1
, demostrar que el recurso se reducirá a la
mitad después de un tiempo, , dado por
2.4 Discutir, poniendo ejemplos, los factores que podrían causar un descenso en la velocidad
de consumo de un material potencialmente escaso.
1
2
t
1/ 2
0
100 Q
ln 1
200C
r
t
r
⎧ ⎫
⎨ ⎬
= +
⎩ ⎭

Parte B
Los módulos de elasticidad

Capítulo 3
Los módulos de elasticidad
Contenidos
3.4 Ley de Hooke 36
Ejemplos 42

32 Capítulo 3 Los módulos de elasticidad
3.1 Introducción
La siguiente propiedad de los materiales que examinaremos es el módulo de elasticidad.
El módulo mide la resistencia de un material a la deformación elástica. Si se colocan
barras de idéntica sección transversal entre dos apoyos bien separados y se cuelgan de
sus centros pesos idénticos, las barras se curvarán de forma elástica en mayor o menor
medida dependiendo de material de que estén hechas: la madera o el nailon deflectan
mucho más que el acero o el vidrio. Los materiales con bajo módulo son flexibles y
deflectan mucho cuando se cargan. Algunas veces esto es deseable, como en el caso de
los muelles, amortiguadores y pértigas; estas estructuras están diseñadas para deflectar y
la elección correcta del módulo puede ser un valor bajo. Pero en la gran mayoría de las
aplicaciones mecánicas no es deseable la deflexión y los ingenieros buscan un material
con un módulo alto. El valor del módulo se refleja, también, en la frecuencia natural de
vibración de una estructura. Una viga de módulo bajo tiene una frecuencia natural menor
que una de mayor módulo (aunque la densidad también interviene), y esto, así como la
deflexión, es importante en los cálculos de diseño.
Antes de ver en detalle el módulo, definiremos los conceptos de tensión y deformación.
3.2 Definición de tensión
Imaginemos un bloque de un material al que se aplica una fuerza F, como en la Figura
3.1(a). La fuerza se transmite a través del bloque y se compensa por una fuerza opuesta e
igual a la que la base ejerce en el bloque (si esto no ocurriera, el bloque se movería).
Podemos sustituir la base por la fuerza opuesta e igual, F, que actúa en toda la sección a
través del bloque paralelo a la superficie original; se dice que el bloque en su conjunto
está en un estado de tensión. La intensidad de la tensión, σ, viene dada por la fuerza F
dividida por el área de la cara del bloque, A,
(3.1)
Esta tensión particular está causada por la fuerza perpendicular a la cara; la denominare-
mos tensión de tracción.
Supongamos ahora que la fuerza no es normal a la cara sino que se aplica con un
determinado ángulo, como se muestra en la Figura 3.1(b). La fuerza se puede descompo-
ner en dos componentes, una normal, Ft, y otra paralela, Fs, a la cara. La componente
normal genera una tensión de tracción en el bloque. Su magnitud, como antes, es Ft/A.
La otra componente, Fs, también carga al bloque, pero lo hace a cizalla. La tensión de
cizalla, τ, en el bloque paralela a la dirección de Fs, viene dada por
(3.2)
Lo importante es que la magnitud de una tensión es siempre igual a la magnitud de una
fuerza dividida por el área de la cara en que actúa. Las fuerzas se miden en newtons, y
σ =
F
A
τ = s
F
A

las tensiones en newtons por metro cuadrado (N m–2
). Para muchas aplicaciones de inge-
niería son unidades muy pequeñas, y lo habitual es utilizar meganewtons por metro cua-
drado o mega (106
) pascales (MN m–2
o MPa), o incluso giga (109
) newtons por metro
cuadrado o gigapascales (GN m–2
o GPa).
Los cuatro estados tensionales más comunes se muestran en la Figura 3.2. El más
simple es la tracción o compresión sencilla (como en una argolla cargada mediante un
pasador o en un pilar que soporta una estructura a compresión). La tensión es, lógica-
mente, la fuerza dividida por el área de los elementos o pilares. El segundo estado de ten-
sión habitual es la tensión biaxial. Si un casquete esférico (como un globo) tiene una
presión interna, la superficie de la corteza estará sometida a una carga en dos direccio-
nes, como se muestra en la Figura 3.2. Este estado de tensión se denomina tensión
biaxial (la tensión biaxial desigual es obviamente el estado en el cual las dos tensiones de
tracción son distintas). El tercer estado de tensión habitual es la presión hidrostática.
Esto ocurre en lo más profundo de la corteza terrestre, o en las profundidades del océano,
donde un sólido está sujeto a compresiones iguales en toda su superficie. Por conven-
ción, las tensiones son positivas cuando tiran, como aparecen dibujadas en las figuras
anteriores. La presión, sin embargo, es positiva cuando empuja, así que la magnitud de la
presión difiere de la magnitud de las otras tensiones en su signo. La tensión, en este caso,
también se define como antes: la fuerza dividida por el área en que actúa. Finalmente, el
último estado tensional habitual es la cizalla pura. Si se trata de girar un tubo, sus ele-
mentos están sujetos a tensiones de cizalla pura, como se muestra en la Figura 3.2. Esta
Figura 3.1 Definiciones de tensión de tracción σ y de tensión de cizalla τ.
F
(a) (b)
F
F
Fs
Fs
Fs
Ft F
Fs
Fs
A
Tensión de cizalla τ =
Ft
F
F
Área A
Ft
A
Tensión de tracción σ =
Cizalla compensadora necesaria
para el equilibrio, como se muestra
F
A
Tensión de tracción σ =

Figura 3.2 Estados tensionales comunes: tracción, compresión, presión hidrostática y cizalla.
r
r
Área A Área A
F
F
F
r
r
r
r
r
r
p
p
p
p
p
p
s
s
Cizalla pura, τ =
Fs
A
Tracción biaxial, σ = F
A
Presión hidrostática, p = –
F
A
Tracción simple, σ = Compresión simple, σ =
F
A
F
A

tensión de cizalla es simplemente la fuerza de cizalla dividida por el área de la cara sobre
la que actúa.
Finalmente, recuerde que si se conoce la tensión en un cuerpo, entonces la fuerza que
actúa a través de cualquiera de sus caras es σ veces el área.
3.3 Definición de deformación
La respuesta de un material a una tensión es la deformación. Bajo una tensión dada, un mate-
rial rígido (como el acero) se deforma sólo ligeramente; un material flexible (como el polieti-
leno) se deforma mucho más. El módulo de un material describe esta propiedad, pero antes
de que podamos medirla, o incluso definirla, debemos definir la deformación propiamente.
El tipo de tensión que denominamos tensión de tracción induce una deformación de trac-
ción. Si a un cubo de lado l se le aplica una tensión, como se muestra en la Figura 3.3(a), y se
extiende una cantidad u paralela a la dirección de la tensión de tracción, la deformación de
tracción nominal es
(3.3)
Cuando se deforma de esta manera, el cubo generalmente se hace más delgado. La con-
tracción lateral se describe mediante la relación o el coeficiente de Poisson, ν, que es el
cociente entre la contracción lateral y la deformación axial con signo negativo:
La tensión de cizalla produce deformación de cizalla. Si un cubo se deforma en cizalla
una cantidad ω, la deformación de cizalla se define como
(3.4)
donde θ es el ángulo de cizalla y l es la arista del cubo (Figura 3.3(b)). Ya que las defor-
maciones elásticas casi siempre son muy pequeñas, se puede escribir, con una buena
aproximación,
Finalmente, la presión hidrostática produce un cambio de volumen denominado dilata-
ción (Figura 3.3(c)). Si el cambio de volumen es ∆V y el volumen del cubo es V, la dila-
tación viene definida por
(3.5)
ε =
n
u
l
contracción lateral
deformación de tracción
ν=−
γ tan
ω
= = θ
l
γ = θ
∆
∆=
V
V

Las deformaciones son adimensionales, ya que son cocientes de dos longitudes o de dos
volúmenes.
3.4 Ley de Hooke
Ahora podemos definir los módulos de elasticidad a partir de la ley de Hooke. Esta ley
establece que, cuando las deformaciones son pequeñas, la deformación es prácticamente
proporcional a la tensión; los sólidos que la cumplen se dice que son elásticos lineales.
Figura 3.3 Definiciones de deformación de tracción, , deformación de cizalla, γ, y dilatación, ∆.
σ
σ
τ
τ
h
u
Deformación de tracción nominal, εn =
(a)
(b)
(c)
2
u
l
Deformación lateral nominal, εn =
Coeficiente de Poisson,
Deformación de cizalla ingenieril
ν = –
ν
l
γ = = tan θ
≈ θ para deformaciones pequeñas
Dilatación (deformación en volumen)
w
l
contracción lateral
deformación de tracción
u
2
ν
2
ν
w w
2
p
p
p
p
ΔV
V–ΔV
Δ =
ΔV
V
l
l
n
ε

La deformación de tracción nominal, por ejemplo, es proporcional a la tensión de trac-
ción; para una tensión simple
(3.6)
donde E se denomina módulo de Young. Para tensiones y deformaciones en compresión
simple se cumple la misma relación.
De forma análoga, la deformación de cizalla es proporcional a la tensión de cizalla, con
(3.7)
donde G es el módulo de cizalla.
Finalmente, la dilatación es proporcional a la presión con signo negativo (ya que la
presión positiva produce una contracción volumétrica), así que
(3.8)
donde K se denomina módulo volumétrico.
Como la deformación es adimensional, los módulos tienen las mismas dimensiones
que la tensión: fuerza por unidad de área (N m–2
). En estas unidades, los módulos tienen
valores muy elevados, así que normalmente se expresan en GPa.
La relación lineal entre tensión y deformación es muy práctica cuando se calcula la
respuesta de un sólido a una tensión, pero se debe recordar que la mayoría de los sólidos
son sólo elásticos para deformaciones muy pequeñas: hasta aproximadamente 0,001. A
deformaciones mayores, algunos sólidos se rompen y otros se deforman plásticamente
(se explicará en capítulos posteriores). Algunos sólidos, como el caucho, son elásticos
hasta deformaciones mucho mayores, del orden de 4 o 5, pero dejan de ser elásticos
lineales (la tensión no es proporcional a la deformación) después de una deformación de
aproximadamente 0,01.
Anteriormente se definió el coeficiente de Poisson como el cociente entre la contrac-
ción lateral y la deformación axial con signo negativo. Esta cantidad, el coeficiente de
Poisson, es también una constante elástica, con lo cual tenemos cuatro constantes elásti-
cas: E, G, K y ν. A continuación, cuando demos datos para las constantes elásticas nos
referiremos sólo a E. Para muchos materiales es útil saber que
(3.9)
aunque en algunos casos las relaciones pueden ser más complejas.
3.5 Medida del módulo de Young
¿Cómo se mide el módulo de Young? Una forma sería comprimir el material con una
fuerza de compresión conocida y medir la deformación. El módulo de Young vendrá dado
por . Pero generalmente ésta no es una buena forma de medir el módulo. Para
un material dado, cuyo módulo sea grande, la extensión u puede ser demasiado pequeña
n
σ = ε
E
τ = γ
G
= K
ρ − ∆
y
Ε
3
≈ , ≈ υ≈0,33
8
K G E
/
= σ εn
E

para medirla con precisión. En otros casos, si algo contribuyera a la deformación, como la
fluencia (que se comentará en un capítulo posterior) o deflexiones de la máquina de
ensayo, produciría un valor incorrecto de E –y estas falsas deformaciones podrían ser
importantes.
Un forma mejor de medir E consiste en medir la frecuencia natural de vibración de
una barra redonda, sujeta en sus extremos (Figura 3.4) y cargada con una masa M en el
centro (así nos olvidamos de la masa de la barra). La frecuencia de oscilación de la barra,
f ciclos por segundo (o herzios), viene dada por
(3.10)
donde l es la distancia entre los apoyos y d es el diámetro de la barra. A partir de esta
expresión se deduce
(3.11)
El uso de técnicas estroboscópicas y aparatos cuidadosamente diseñados puede hacer
que este método sea muy preciso.
El mejor de todos los métodos de medida de E es determinar la velocidad del sonido
en el material. La velocidad de las ondas longitudinales, ν1, depende del módulo de
Young y de la densidad, ρ:
(3.12)
ν1 se mide “golpeando” el extremo de una barra del material (pegando un cristal piezo-
eléctrico y aplicando una diferencia de carga a las superficies del cristal) y midiendo el
tiempo que el sonido tarda en alcanzar el otro extremo (colocando un segundo cristal pie-
zoeléctrico en este extremo). La mayoría de los módulos se miden por uno de estos dos
últimos métodos.
Figura 3.4 Una barra que vibra con una masa central, M.
M
l
d
1/ 2
4
3
1 3
2 4
Ed
f
l M
⎧ ⎫
π
⎨ ⎬
=
π⎩ ⎭
3 2
4
16
3
π
=
Ml f
E
d
1/ 2
1
⎛ ⎞
υ =⎜ ⎟
ρ
⎝ ⎠
E

3.6 Valores del módulo de Young
La Tabla 3.1 muestra diferentes materiales ordenados por el valor de su módulo de Young
–se usará más tarde para resolver problemas y en la selección de materiales para aplica-
ciones particulares. El diamante está en la parte superior, con un módulo de 1000 GPa; los
elastómeros y las espumas poliméricas están en la parte inferior, con módulos tan peque-
ños como 0,001 GPa. Uno puede, por supuesto, hacer materiales especiales con módulos
menores –la gelatina, por ejemplo, tiene un módulo del orden de 10–6
GPa. Los materiales
comunes de ingeniería están en el intervalo de 10–3
a 10+3
GPa –un intervalo de 106
. Éste
es el intervalo que se utiliza durante la selección de un material para una aplicación deter-
minada. En el diagrama de barras de la Figura 3.5 se muestra una buena perspectiva de la
distribución de los valores del módulo de elasticidad de los distintos materiales. Los cerá-
micos y los metales –incluso los más flexibles, como el plomo– están en la parte superior
Figura 3.5 Diagrama de barras de valores del módulo de Young, E.
10–3
10–2
10–1
1
E
(GN
m
–2
)
1 0
102
103
Cerámicos Metales Polímeros Materiales compuestos
Diamante
WC, SiC
Al2O3, Si3N4
MgO
ZrO2
Mullita
Sílice
Vidrio sódico
Haluros alcalinos
Cemento
Hormigón
Grafito
Hielo
Osmio
Wolframio
Molibdeno
Cromo
Níquel
Hierro + Aceros
Titanio
Aluminio
Zinc
Estaño
Magnesio
Plomo
Límite
superior Cermets
CFRP
Fibras
de vidrio
GFRP
Maderas, II
vetas
Maderas, ⊥
vetas
Resinas
alquídicas
Melaminas
Poliimidas
PMMA
Poliestireno
Nailon
Epoxi
(Alta densidad)
Polietileno
(Baja densidad)
Polipropileno
Caucho
PVC
Espumas
poliméricas

de este intervalo. Los polímeros y los elastómeros son mucho más blandos; los más comu-
nes (polietileno, PVC y polipropileno) están varias décadas por debajo. Los materiales
compuestos abarcan el intervalo entre los polímeros y los cerámicos.
Tabla 3.1 Datos del módulo de Young, E.
Material E (GN m–2)
Diamante
Carburo de wolframio, WC
Osmio
Cermets de cobalto/carburo de wolframio
Boruros de Ti, Zr, Hf
Carburo de silicio, SiC
Boro
Wolframio y sus aleaciones
Alúmina, Al2O3
Óxido de berilio (berilia), BeO
Carburo de titanio, TiC
Carburo de tántalo, TaC
Molibdeno y sus aleaciones
Carburo de niobio, NbC
Nitruro de silicio, Si3N4
Berilio y sus aleaciones
Cromo
Magnesia, MgO
Cobalto y sus aleaciones
Circona, ZrO2
Níquel
Aleaciones de níquel
CFRP
Hierro
Superaleaciones base hierro
Aceros ferríticos, aceros de baja aleación
Aceros inoxidables austeníticos
Aceros dulces
Fundiciones de hierro
Tántalo y sus aleaciones
Platino
Uranio
Materiales compuestos boro/epoxi
Cobre
Aleaciones de cobre
Mullita
Vanadio
Titanio
Aleaciones de titanio
Paladio
Latones y bronces
Niobio y sus aleaciones
Silicio
1000
450-650
551
400-530
450-500
430-445
441
380-411
385-392
375-385
370-380
360-375
320-365
320-340
280-310
290-318
285-290
240-275
200-248
160-241
214
130-234
70-200
196
193-214
196-207
190-200
200
170-190
150-186
172
172
80-160
124
120-150
145
130
116
80-130
124
103-124
80-110
107

Para poder entender el origen del módulo, por qué tiene los valores que tiene, por qué
los polímeros son mucho menos rígidos que los metales, y qué podemos hacer al res-
pecto, examinaremos la estructura de los materiales y la naturaleza de las fuerzas que
mantienen unidos a los átomos. Este tema se estudiará en los dos capítulos siguientes,
que aportarán un nuevo punto de vista al concepto de módulo.
Tabla 3.1 Datos del módulo de Young, E (continuación).
Material E (GN m–2)
Circonio y sus aleaciones
Vidrio de sílice, SiO2 (cuarzo)
Zinc y sus aleaciones
Oro
Calcita (mármol, piedra caliza)
Aluminio
Aluminio y sus aleaciones
Plata
Vidrio sódico
Haluros alcalinos (NaCl, LiF, etc.)
Granito
Estaño y sus aleaciones
Hormigón, cemento
Fibra de vidrio (fibra de vidrio/epoxi)
Magnesio y sus aleaciones
GFRP
Grafito
Esquisto
Maderas comunes, paralelo a la veta
Plomo y sus aleaciones
Resinas alquídicas
Hielo, H2O
Melaminas
Poliimidas
Poliésteres
Acrílicos
Nailon
PMMA
Poliestireno
Epoxis
Policarbonato
Maderas comunes, perpendicular a la veta
Polipropileno
PVC
Polietileno, alta densidad
Polietileno, baja densidad
Elastómeros
Corcho
Espumas poliméricas
96
94
43-96
82
70-82
69
69-79
76
69
15-68
62
41-53
30-50
35-45
41-45
7-45
27
18
9-16
16-18
14-17
9,1
6-7
3-5
1,8-3,5
1,6-3,4
2-4
3,4
3-3,4
2,6-3
2,6
0,6-1,0
0,9
0,2-0,8
0,7
0,2
0,01-0,1
0,01-0,03
0,001-0,01

Ejemplos
3.1 (a) Defina el coeficiente de Poisson, ν, y la dilatación, ∆, en la deformación de un sólido
elástico.
(b) Calcule la dilatación ∆ en la extensión elástica uniaxial de una barra de un material,
asumiendo que las deformaciones son pequeñas, en términos de ν, y la deformación
de tracción, ε. Calcule el valor de ν para el cual el cambio de volumen durante la
deformación elástica es cero.
(c) El coeficiente de Poisson para la mayoría de los metales es del orden de 0,3. Para el
corcho es próximo a cero; para el caucho es cercano a 0,5. ¿Qué cambio de volumen
aproximado ocurre en cada uno de estos materiales si se deforman elásticamente a
tracción una cantidad ε?
Respuestas
(b) 0,5; (c) La mayoría de los metales: 0,4 ε; corcho: ε; caucho: 0.
3.2 Se va a recubrir la suela de un zapato con un elastómero sintético con un coeficiente de
Poisson de 0,5. La solución más económica es usar una lámina de caucho de espesor uni-
forme. Sin embargo, un colega sugiere que la suela tendría un mejor amortiguamiento si
fuera moldeada como se muestra en el diagrama. ¿Está el colega en lo cierto? Si es así,
¿por qué?
3.3 Explique por qué es mucho más fácil meter un corcho en una botella de vino que un
tapón de caucho. El coeficiente de Poisson es cero para el corcho y 0,5 para el caucho.
Superficie
moldeada
Suela

Capítulo 4
Enlace atómico
Contenidos
4.5 Fuerzas interatómicas 51
Ejemplos 53

44 Capítulo 4 Enlace atómico
4.1 Introducción
Para poder comprender el origen de las propiedades de los materiales, como por ejemplo
el módulo de Young, necesitamos considerar los materiales a escala atómica. Hay dos
aspectos especialmente importantes que influyen en el módulo:
(1) Las fuerzas que mantienen unidos a los átomos (enlaces interatómicos), que actúan
como pequeños muelles, uniendo un átomo con el siguiente en estado sólido
(Figura 4.1).
(2) El modo en que los átomos se empaquetan (empaquetamiento atómico), puesto que
determina cuántos pequeños muelles hay por unidad de área, y el ángulo al cual éstos
se tensionan (Figura 4.2).
En este capítulo estudiaremos las fuerzas que mantienen unidos a los átomos –los mue-
lles; en el siguiente el ordenamiento con que se pueden empaquetar.
Las distintas formas en que los átomos pueden unirse incluyen:
(1) Enlaces primarios –enlace iónico, covalente y metálico, que son relativamente fuer-
tes (las temperaturas de fusión suelen estar entre 1000 y 4000 K), y
(2) Enlaces secundarios –enlaces de Van der Waals y enlaces de hidrógeno, que son
relativamente débiles (los puntos de fusión suelen estar entre 100 y 500 K).
Cuando se hace una lista como ésta, con los distintos tipos de enlace, se debería recordar
que muchos átomos están unidos por enlaces híbridos, es decir, enlaces intermedios entre
los tipos más simples (enlaces mixtos).
Figura 4.1 Enlace entre átomos representado por un muelle.
Figura 4.2 Empaquetamiento de átomos y ángulo de enlace.

4.2 Enlaces primarios
Las cerámicas y los metales están unidos únicamente por enlaces primarios –enlace
iónico y covalente en las cerámicas y enlace metálico y covalente en los metales. Estos
enlaces fuertes y rígidos dan lugar a altos módulos.
El enlace iónico consiste en la atracción electrostática entre cargas positivas y negati-
vas. El ejemplo más típico es el cloruro sódico. Otros haluros alcalinos (como el fluoruro
de litio), óxidos (magnesia, alúmina) y los componentes del cemento (carbonatos hidra-
tados y óxidos) presentan un enlace iónico total o parcial.
Vamos a comenzar con el átomo de sodio. Tiene un núcleo con 11 protones, cada
uno con una carga + (y 12 neutrones sin carga), rodeados por 11 electrones, cada uno con
una carga – (Figura 4.3).
Los electrones están unidos al núcleo por fuerzas electrostáticas y por tanto tienen
energías negativas. Pero la energía no es la misma para todos los electrones. Los que
están más lejos del núcleo tienen mayor energía (menos negativa). El electrón que se
puede separar más fácilmente del átomo de sodio es, por tanto, el más lejano; se puede
arrancar suministrando 5,14 eV*
. Este electrón puede transferirse a una posición vacante
de un átomo de cloro, liberándose 4,02 eV de energía. Por tanto, podemos obtener áto-
mos aislados de Na+
y Cl–
suministrando 5,14 eV – 4,02 eV = 1,12 eV de energía, Ui.
* El eV es una unidad adecuada para la energía cuando se trata de átomos, porque los valores varían en un
intervalo de 1-10. 1 eV equivale a 1,6 × 10–19
J.
Figura 4.3 Formación de un enlace iónico entre un átomo de sodio y un átomo de cloro, dando
lugar al cloruro sódico.
Átomo de sodio
Na+
Átomo de cloro
Cl
+5,14 eV –4,02 eV
F=
q2
4 0r2
Fuerza
de atracción
+11 +17
r
πε

Hasta ahora, hemos tenido que realizar trabajo para crear los iones que darán lugar al
enlace iónico; no parece ser un buen comienzo. Sin embargo, las cargas + y – se atraen, y
si las aproximamos aparece una fuerza de atracción entre ellas. Esta fuerza es simple-
mente la que existe entre dos cargas opuestas:
(4.1)
donde q es la carga de cada ion, ε0 es la permitividad del vacío, y r es la distancia
entre los iones. La energía necesaria para acercar dos iones desde el infinito a una
distancia r es:
(4.2)
La Figura 4.4 muestra cómo la energía de un par de iones disminuye a medida que r
disminuye; la primera parte de la disminución, hasta r ≈1 nm para un enlace iónico
típico, es el trabajo necesario para formar los iones Na+
y Cl–
(1,12 eV). Para r < 1
nm (1 nm = 10–9
m), todo es ganancia y el enlace iónico comienza a ser más y más
estable.
¿Por qué r no disminuye indefinidamente liberando más y más energía hasta que se
produce la fusión de los dos iones? Cuando los iones están suficientemente cerca, las
nubes electrónicas empiezan a solaparse, dando lugar a una gran repulsión entre ellas.
La Figura 4.4 muestra el aumento de energía potencial que causa esta repulsión. El
F q24/ πε r
0
2
( )
=
2
0
d = 4
r
U F r q r
∞
ε
= π
∫
Figura 4.4 Formación de un enlace iónico en términos de energía.
U
Ui
0
Curva de repulsión
U = B/rn
Iones separados, p. ej. Na+
, Cl
Átomos, p. ej. Na, Cl
Curva
resultante
Distancia interiónica para
el enlace más estable, r0
Atracción electrostática
U = –q2/4 ε0r
Enlace estable Enlace inestable r
π

enlace iónico es claramente más estable en el mínimo de la curva U(r), cuya aproxima-
ción sería:
(4.3)
donde el exponente n suele valer 12.
¿Cuánto podemos doblar este enlace? Los electrones de cada ion ocupan regiones tri-
dimensionales complejas (u “orbitales”) alrededor del núcleo. En una primera aproxima-
ción se puede suponer que los iones son esféricos y que tienen una considerable libertad
para empaquetarse unos con otros. Por lo tanto, el enlace iónico carece de direccionali-
dad, aunque al empaquetar iones de signo opuesto es necesario asegurarse de que la
carga total (+ y –) sume cero y de que los iones positivos (que se repelen entre sí) están
siempre separados por iones negativos.
El enlace covalente se encuentra en el diamante puro, el silicio y el germanio –todos
ellos materiales con módulos elevados (el del diamante es el mayor que se conoce). Es el
enlace dominante en los silicatos y vidrios (piedra, loza, ladrillos, vidrios, componentes
del cemento) y contribuye al enlace de metales de alto punto de fusión (wolframio,
molibdeno, tántalo, etc.). También aparece en los polímeros uniendo los átomos de car-
bono a lo largo de las cadenas poliméricas, pero como los polímeros también contienen
otros tipos de enlaces débiles (ver más abajo), su módulo generalmente es bajo.
El ejemplo más sencillo de enlace covalente es la molécula de hidrógeno. La proxi-
midad de los dos núcleos crea un orbital electrónico compartido por los dos átomos, en el
que podemos encontrar los dos electrones (Figura 4.5). Esta compartición de electrones
da lugar a una reducción de la energía y a un enlace estable, como muestra la Figura 4.6.
La energía de un enlace covalente se puede describir con la siguiente ecuación empírica:
(4.4)
El hidrógeno difícilmente puede considerarse un material de ingeniería. Un ejemplo más
representativo es el diamante, una de las formas alotrópicas del carbono. Es un material
N
2
0
Término de repulsión
Término de atracción
( )
4 n
i
B
q
U r U
r r

ε
= − +
π
N N
Término de atracción Término de repulsión
( )
=− +
m n
A B
U m n
r r
Figura 4.5 Formación de un enlace covalente entre dos átomos de hidrógeno dando lugar a una
molécula de hidrógeno.
H
( Un electrón) ( Un electrón) (Orbital molecular
con dos electrones)
H
+
H2
r

de ingeniería mucho más habitual de lo que en principio se podría pensar, con muchas
aplicaciones en brocas para perforar rocas, herramientas de corte, muelas abrasivas y
cojinetes de precisión. Aquí los electrones compartidos ocupan regiones que apuntan
hacia los vértices de un tetraedro, como se muestra en la Figura 4.7(a). En el diamante, la
forma asimétrica de estos orbitales da lugar a un enlace direccional, como muestra la
Figura 4.7(b). Todos los enlaces covalentes son direccionales, y este hecho va a influir en
la forma en que los átomos se empaquetan para formar los cristales –en el siguiente capí-
tulo se estudiará con más profundidad este tema.
Figura 4.6 Variación de la energía en la formación de un enlace covalente.
U
0
Curva
resultante
Curva de repulsión
U = B/rn
Átomos
Atracción electrónica
U = –A/rm, m n
Estable r
Figura 4.7 Enlace covalente direccional en el diamante.
(a) (b) Átomos
de carbono

El enlace metálico, como su nombre indica, es el enlace dominante (aunque no el
único) en los metales y sus aleaciones. En un metal sólido (o líquido) los electrones con
mayor energía tienden a deslocalizarse con respecto a los átomos (que se convierten en
iones) y a combinarse formando un “mar” de electrones que no están ligados a ningún
ion en particular (Figura 4.8). Esto da lugar a una curva de energía muy similar a la del
enlace covalente; se puede describir mediante la ecuación (4.4) y tiene una forma similar
a la que aparece en la Figura 4.6.
La facilidad de movimiento de los electrones da lugar a la elevada conductividad
eléctrica que presentan los metales. El enlace metálico no es direccional, por lo que los
iones metálicos tienden a empaquetarse para dar lugar a estructuras con elevada densi-
dad, como bolas de cojinete agitándose en una caja.
4.3 Enlaces secundarios
Los enlaces secundarios son muy importantes, aunque sean más débiles que los enlaces
primarios. Son los que unen las moléculas poliméricas en el polietileno y otros políme-
ros, y los hacen sólidos. Sin ellos, el agua herviría a –80 ºC y la vida en la Tierra, tal y
como la conocemos, no existiría.
Las interacciones de Van der Waals consisten en atracciones con carácter dipolar entre
átomos no cargados. La carga electrónica de un átomo está en movimiento; podemos ima-
ginar los electrones como pequeñas gotas cargadas moviéndose alrededor del núcleo como
la Luna alrededor de la Tierra. Promediada en el tiempo, la carga electrónica tiene simetría
esférica, pero en un instante dado es asimétrica con respecto al núcleo. Es un efecto similar
al que causan las mareas. Esta distribución instantánea de la carga tiene un momento dipo-
lar, que induce otro dipolo en un átomo cercano y los dos dipolos se atraen (Figura 4.9).
Los dipolos se atraen de tal forma que su energía varía con 1/r6
. Así, la energía aso-
ciada a las interacciones de Van der Waals tiene la forma:
(4.5)
Un buen ejemplo es el nitrógeno líquido, que a presión atmosférica se licua a –198 ºC con
fuerzas de Van der Waals entre las moléculas de N2. La agitación térmica producida cuando el
Figura 4.8 Enlace metálico.
+ + +
+ + +
+
+ + +
+ + +
+
Iones metálicos
“Gas” de
electrones “libres”
N N
6
Término de atracción Término de repulsión
( 12)
=− + ≈
n
A B
U n
r r

nitrógeno líquido se vierte en el suelo a temperatura ambiente es mayor que la necesaria para
romper las uniones de Van der Waals, lo que demuestra lo débiles que son este tipo de fuer-
zas. Pero sin este tipo de interacciones, la mayoría de los gases no se podrían licuar a tempera-
turas alcanzables y no sería posible la separación de los gases industriales de la atmósfera.
Los enlaces de hidrógeno mantienen el agua en fase líquida a temperatura ambiente y
unen cadenas poliméricas para dar lugar a polímeros sólidos. El hielo (Figura 4.10) pre-
senta enlaces de hidrógeno. Cada átomo de hidrógeno comparte su carga con el átomo de
oxígeno más próximo. El hidrógeno tiene un defecto de carga negativa, por lo que está car-
gado positivamente, y el oxígeno tiene un exceso de carga negativa, por lo que está cargado
negativamente. La carga positiva del átomo de H actúa como un puente entre los iones de
oxígeno vecinos, y por tanto cada molécula de H2O se comporta como un dipolo que atrae
a otras moléculas de H2O.
Figura 4.9 Interacción de Van der Waals. Los átomos se mantienen juntos por la distribución de
la carga en el dipolo.
– + – +
r
Dipolo aleatorio en
el primer átomo
Dipolo inducido en
el segundo átomo
Figura 4.10 Organización de las moléculas de H2O en el hielo, mostrando los enlaces de
hidrógeno. Los enlaces de hidrógeno mantienen las moléculas separadas, y ésta
es la razón por la que el hielo tiene menor densidad que el agua.
Átomo de oxígeno
Átomo de hidrógeno
Enlace de hidrógeno
Molécula
de H2O

4.4 Estado condensado de la materia
Debido a la formación de enlaces primarios y secundarios, la materia puede condensarse
desde el estado gaseoso y dar lugar a líquidos y sólidos. Se pueden identificar cinco dis-
tintos estados condensados de la materia que difieren en su estructura y en el tipo de
enlace (Tabla 4.1). En los líquidos, los átomos o las moléculas están muy cerca unos de
otros, pero pueden deslizar unos respecto a otros; por así decirlo, los enlaces secundarios
están relajados. Por esta razón los líquidos tienen un módulo volumétrico, K, elevado en
comparación con el estado gaseoso, y resisten la compresión aunque su módulo de ciza-
lla, G, sea cero. Los demás estados de la materia, recogidos en la Tabla 4.1, se distinguen
por el tipo de enlace (relajado frente a fuerte) y por su estructura (cristalina frente a no
cristalina). Estas diferencias se reflejan en las magnitudes relativas de su módulo volu-
métrico y módulo de cizalla –cuanto más carácter líquido tenga el material, menor será
su relación G/K.
4.5 Fuerzas interatómicas
Una vez que se han establecido los distintos tipos de enlace que pueden existir entre los
átomos y la forma de las curvas de energía potencial, U(r), se pueden estudiar las fuerzas
existentes entre los átomos. A partir de la curva U(r) podemos calcular la fuerza, F, entre
dos átomos situados a una distancia r con la siguiente relación
(4.6)
La Figura 4.11 muestra la forma de la curva fuerza/distancia obtenida a partir de la curva
energía/distancia aplicando la fórmula anterior. Hay que tener en cuenta las siguientes
consideraciones:
(1) F es cero a la distancia de equilibrio r = r0; sin embargo, si los átomos se separan una
distancia (r – r0) aparece una fuerza que se opone a esa separación. Para distancias
(r – r0) pequeñas esa fuerza es proporcional a (r – r0) para todos los materiales, tanto
en tracción como en compresión.
Tabla 4.1 Estados condensados de la materia.
Estado Enlaces Módulo
Relajado Fuerte K G y E
1.
2.
3.
4.
5.
Líquidos
Cristales líquidos
Elastómeros
Vidrios
Cristales
*
*
* (secundario) * (primario)
*
*
Alto
Alto
Alto
Alto
Alto
Cero
Muy bajo
Bajo (E « K)
Alto (E ≈K)
Alto (E ≈K)
d
d
=
U
F
r

(2) La rigidez, S, del enlace viene dada por
(4.7)
Cuando la separación es pequeña, S es constante e igual a
(4.8)
Figura 4.11 Curva energía-distancia (arriba), que cuando se deriva (ecuación (4.6)) da lugar a la
curva fuerza-distancia (centro).
U
r
0
r0
Fmax
Atracción
Repulsión
F
dU
dr
dU
dr
dU
dr
=
rD
( (
es un máximo (punto de
inflexión de la curva U/r)
0
Distancia de disociación
F F
r0
r
du
dr
= 0
2
2
d d
d d
= =
F U
S
r r
0
2
0 2
d
d =
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠r r
U
S
r

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