Este documento describe las álgebras de Boole, que formalizan las operaciones lógicas AND, OR y NOT. Explica que una álgebra de Boole es una estructura algebraica que define conjuntos cerrados bajo operaciones como suma, producto y complemento. También muestra ejemplos como conjuntos, proposiciones lógicas y divisores, y cubre teoremas como la dualidad y la forma canónica de suma de productos.

1. ÁLGEBRAS DE BOOLE para Computación By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

2. By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

3. ALGEBRAS DE BOOLE Álgebra de Boole en informática y matemáticas, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si ( AND, OR, NOT, IF ) Definición: Álgebra de Boole

4. ALGEBRAS DE BOOLE Sea un conjunto B, con dos operaciones binarias suma + , y producto * , y otra operación unitaria llamada complemento ‘ , y, al menos, dos elementos neutros llamados cero 0 y unidad 1 , Se dice pues que la séxtupla {B, +, *, ‘, 0, 1} es un álgebra de Boole si verifica las propiedades: Conmutativa , Distributiva , Identidad , Complemento , Definición: Álgebra de Boole

5. ALGEBRAS DE BOOLE Definición: Enunciado dual A los enunciados obtenidos de cambiar la operación + por la * y los 1 por 0 ( y viceversa) se le denomina enunciado dual del enunciado dado. Teorema o principio de dualidad Cualquier dual de un teorema de un álgebra de Boole es también un teorema. Ejemplo Si demostramos que es cierta la ley Distributiva: a *(b + c) ≡ (a *b) + (a *c) También quedará demostrada su dual: a + (b *c) ≡ (a + b) *(a + c) PRINCIPIO DE DUALIDAD

6. ALGEBRAS DE BOOLE Definición: Enunciado dual A los enunciados obtenidos de cambiar la operación + por la * y los 1 por 0 ( y viceversa) se le denomina enunciado dual del enunciado dado. Teorema o principio de dualidad Cualquier dual de un teorema de un álgebra de Boole es también un teorema. Ejemplo Si demostramos que es cierta la ley Distributiva: a *(b + c) ≡ (a *b) + (a *c) También quedará demostrada su dual: a + (b *c) ≡ (a + b) *(a + c) PRINCIPIO DE DUALIDAD

7. ALGEBRAS DE BOOLE Conjuntos  una colección de conjuntos cerrados. Entonces {  , ⋃, ⋂, c , ∅,  } es un álgebra de Boole. Las proposiciones lógicas Sea  el conjunto de las proposiciones lógicas. La séxtupla formada por {  ,∧,∨,∼, f , τ } es un álgebra de Boole. Las clase de las congruencias módulo m. Sea D = { 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 } de todos los divisores de 70. {D, +, *, ‘, 1, 70} es un álgebra de Boole donde a + b = MCM(a,b) (mínimo común múltiplo de a y b) a * b = MCD(a,b) (máximo común divisor de a y b) a’ = 70/a 1 es el elemento cero 70 es el elemento unidad EJEMPLOS DE ALGEBRAS DE BOOLE

8. ALGEBRAS DE BOOLE TEOREMAS BASICOS Propiedad Ley Ley dual 1.- Ley Conmutativa a + b = b + a a * b = b * a 2.- Ley Asociativa (a + b) + c ≡ a + ( b + c) (a * b) * c ≡ a * ( b * c) 3.- Ley Distributiva a *(b + c) ≡ ( a * b) + (a *c) a + (b *c) ≡ ( a + b) *(a + c) 4.- Ley de Idempotencia a + a ≡ a a * a ≡ a 5.- Ley de Identidad a + 1 ≡ 1 a + 0 ≡ a a * 0 ≡ 0 a * 1 ≡ a 6.- Ley de Complemento a + a’ ≡ 1 0’ ≡ 1 a * a’ ≡ 0 1’ ≡ 0 7.- Ley de involución (a’)’ ≡ a (a’)’ ≡ a 8.- Ley de Morgan ∼ (a + b) ≡ ∼ a * ∼ b ∼ (a * b) ≡ ∼ a + ∼ b

9. ALGEBRAS DE BOOLE Teorema: Unicidad del complemento Sea B un álgebra de Boole y sean a, x ∊ B, se verifica que si a + x = 1 a * x = 0 (dual) entonces x = a’ Teorema: Leyes de redundancia Sea B un álgebra de Boole y sean a, b ∊ B, entonces se verifica: Propiedad Ley Ley dual 1ª Ley de redundancia a + (a * b) = a a * (a + b) = a 2ª Ley de redundancia a * (a’ + b) = a * b a + (a’ * b) = a + b

10. ALGEBRAS DE BOOLE EQUIVALENCIAS Algebra de Conjuntos Algebra de proposiciones Algebras de Boole Unión ⋃ Disyunción ∨ Suma + Intersección ⋂ Conjunción ∧ Producto · Complementario c Negación ∼ Complemento ‘ Conjunto vacío ∅ Falsedad f Elemento 0 0 Conjunto universal U Tautología τ Elemento 1 1

11. ALGEBRAS DE BOOLE EXPRESIONES DE BOOLE: SUMAS DE PRODUCTOS Definición: Expresión o función Booleana Sean x 1 , x 2 , ..., x n ∊ B. Se denomina expresión booleana (o función booleana) de esas variables a cualquier expresión construida con ellas y las operaciones booleanas +, * y ‘. Definición: Literal Un literal es una variable o una variable complementada, es decir ó x ó x’ (o cualquier otra letra y , y’ , z’ ,..) Definición: Producto fundamental Un producto fundamental es un producto de dos o más literales donde ninguno tiene la misma variable Ejemplo Son productos fundamentales xy’z, x’y’, zx’t’ No son productos fundamentales x’x, y’, zx’yx

12. ALGEBRAS DE BOOLE Proposición Todo producto de Boole se puede reducir a 0 o a un producto fundamental Definición: Inclusión Un producto fundamental P 1 se dice incluído en otro P 2 , si todos los literales que conforman P 1 son también literales de P 2 . Proposición Si un producto fundamental P 1 está incluído en otro P 2 entonces P 1 + P 2 = P 1 . Ejemplo xy’ + xy’z’ = xy’ + (xy’) z’ = xy’

13. ALGEBRAS DE BOOLE Definición: Suma de Productos o minterm Una expresión de Boole E se dice que está en forma de suma de productos (o también denominada minterm que viene de mínimo término) si E es la suma de uno o varios productos fundamentales, donde ninguno de ellos está contenido en otro. Ejemplo E 1 = xyz + xy’ + xy’z’ (no!) E 2 = xyz + x’y’ + xy’z’ (Si!) Definición: producto de sumas o maxterm Una expresión de Boole E se dice que está en forma de producto de sumas (o también denominada maxterm que viene de término máximo) si E es producto de sumas donde en cada una de los multiplicandos están sumadas todas las variables, complementadas o no.. Ejemplo E 1 = (x+y+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’) (si!) E 2 = (x+y+z)(x+z+z’)(x’+y+z’)’ (no!)

14. ALGEBRAS DE BOOLE Proposición Toda expresión de Boole se puede poner en forma de suma de productos Demostración Usamos, por este orden, las siguientes leyes: 1º) Aplicamos las Leyes de Morgan y leyes de involución . Así suprimimos los complementos de los paréntesis existentes y los dobles complementos que aparezcan. 2º) Aplicamos la ley distributiva Así eliminamos cuantos paréntesis nos queden, quedando la expresión en suma de productos 3º) Aplicamos las leyes conmutativa , idempotencia, identidad y complemento Así transformamos cada producto en 0 o en un producto fundamental. 4º) Aplicamos la ley de absorción Dejando la expresión en forma de suma de productos

15. ALGEBRAS DE BOOLE Ejemplo Transformar en suma de productos la expresión E = ((ab’)’ + c)((a + b’)c’ + (b’ + c)’) =... Solución Por la ley de Morgan ...= ((a’ + b’’) + c)((a + b’)c’ + b’’c’) = ... Por el complemento ...= ((a’ + b) + c)((a + b’)c’ + bc’) = ... Por la distributiva ...= (a’ + b + c)(ac’ + b’c’ + bc’) = ... Por la distributiva ...= a’ac’ + a’b’c’ +a’bc’ + bac’ + bb’c’ + bbc’ + cac’ + cb’c’ + cbc’ = ... Por la conmutativa ...= aa’c’ + a’b’c’ +a’bc’ + abc’ + bb’c’ + bbc’ + acc’ + b’cc’ + bcc’ = ... Por el complemento ...= 0c’ + a’b’c’ +a’bc’ + abc’ + 0c’ + bbc’ + a0 + b’0 + b0 = ... Por la identidad ...= 0 + a’b’c’ + a’bc’ + abc’ + 0 + bbc’ + 0 + 0 + 0 = ... Por la idempotencia ...= a’b’c’ + a’bc’ + abc’ + bc’ = ... Por la absorción ...= a’b’c’ + bc’

16. ALGEBRAS DE BOOLE Definición: Forma completa o canónica de suma de productos Una expresión de Boole E no nula se dice que está en forma completa (también le podemos llamar canónica disyuntiva) de suma de productos cuando está en forma de suma de productos y en cada producto se usan todas las variables que componen E Ejemplo En el ejemplo previo la expresión resultante E = a’b’c’ + bc’ no está en forma completa de suma de productos pues el segundo sumando no contiene la variable c. Teorema Toda expresión de Boole E no nula se puede escribir como forma completa de suma de productos y dicha expresión es única. Ejemplo La expresión anterior E = a’b’c’ + bc’ se consigue escribir en forma completa de suma de productos con solo realizar el proceso siguiente E = a’b’c’ + bc’ = ... Por la identidad ...= a’b’c’ + bc’1 = ... Por el complemento ...= a’b’c’ + (a + a’)bc’ = ... Por la distributiva ...= a’b’c’ + abc’ + a’bc’ Resultando finalmente E = a’b’c’ + abc’ + a’bc’

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