Ecuaciones paramétricas

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
Sede: Barcelona
Escuela: Ing. Industrial
Presentado por: Claudia Bolívar
26.564.288
Barcelona, 10/10/2020

2. En la matemática, una ecuación paramétrica permite representar una o
varias curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o
mediante una constante, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable
independiente de cuyos valores se desprendan los de la variable dependiente.
Podemos decir que el uso de ecuaciones paramétricas para representar una
trayectoria te permite ver la naturaleza dinámica del movimiento y te permite ajustar
la rapidez de la ruta al cambiar el paso . En el siguiente trabajo de investigación
podremos aprender más sobre algunos de los aspecto de las ecuaciones paramétricas,
entre ellos su relación con el Algebra Lineal, la representación paramétrica de una
curva, la forma de graficarlas, como pasarlas a graficas en planos cartesianos y como
diferenciarlas entre ellas.

3. Podemos describir el álgebra vectorial como una derivación de
las matemáticas, esta se responsabiliza de estudiar sistemas de
ecuaciones lineales, espacios vectoriales y sus transformaciones
lineales.
Se llama vector a un segmento de recta en el espacio que parte de un punto
hacia otro, es decir, que tiene dirección y sentido
representa una magnitud física, forma parte fundamental de la Geometría, su
representación grafica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en
dirección a la magnitud del estudio. En estudios matemáticos avanzados, el
vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y la
resolución de problemas en las que se busca la representación numérica y
grafica de una función. Un vector en el espacio es cualquier segmento
orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

4. • Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo
largo de su recta de acción.
• Vectores fijos: es un segmento orientado entre dos puntos llamados
origen y extremo.
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad
o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los
mismos:
• Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

5. Podemos referirnos también a:
• Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
• Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o
líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar
angulares por que forman un ángulo entre ellas.
• Vectores opuestos: vectores de igual magnitud
y dirección, pero sentidos contrarios. En inglés
se dice que son de igual magnitud pero
direcciones contrarias, ya que la dirección
también indica el sentido.
• Vectores colineales: los vectores que
comparten una misma recta de acción.
vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido
actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción
son paralelas.
• Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas
de acción son coplanarias (situadas en un
mismo plano).

6. Fundamentos:
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamente Analíticamente Axiomáticamente
Geométricamente:
Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y
las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales
son definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente:
La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números,
llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
Axiomáticamente:
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de
coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en
un sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones

7. En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una
curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un
intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando
cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

8. La ecuación se calcula a partir de la ecuación vectorial:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡 (𝑎, 𝑏)
Primero multiplicamos el numero t por las coordenadas del vector
(𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + (𝑡𝑎, 𝑡𝑏)
Luego sumamos los vectores para expresarlas en un solo vector
(𝑥, 𝑦) = (𝑥0 + 𝑡𝑎, 𝑦0 + 𝑡𝑏)
En estas 𝑥0 𝑦 𝑦0 son las coordenadas del punto por donde pasa la recta y 𝑎 y 𝑏 son las
coordenadas del vector de dirección
Ahora Podemos escribir una ecuación para cada coordenada que obtuvimos para
obtener nuestras ecuaciones paramétricas de la recta.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏

9. La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste
en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente
o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos
del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la
forma , donde representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar
valores del intervalo [a, b] a t.
Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x =
x(t), y = y(t), z = z(t)
Ejemplo 1 Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas
Solución: Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las
ecuaciones paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.

10. Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la
continuidad de f y de g se obtiene la curva C que se muestra en la siguiente
figura. Hay que observar las flechas sobre la curva que indican su
orientación conforme t aumenta de -2 a 3.
NOTA: De acuerdo con el criterio de
la recta vertical, puede verse que la
gráfica mostrada en la figura no
define y en función de x. Esto pone
de manifiesto una ventaja de las
ecuaciones paramétricas: pueden
emplearse para representar gráficas
más generales que las gráficas de
funciones.

11. Las ecuaciones paramétricas son aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada
una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según
esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable
paramétrica. Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas coordenadas
están dadas por las ecuaciones paramétricas. x = f( t ), y = g ( t ). en donde f y g son
funciones continuas en un intervalo [a,b]. Ejemplo:
Considera las ecuaciones paramétricas
a.-Grafica las ecuaciones en papel cuadriculado.
Solución: Usa las ecuaciones para calcular los valores x y y que
corresponden a los valores t en el intervalo
Después grafica los puntos a medida que t aumenta, conectando cada punto con el
anterior.

12. El plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal
y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema.
Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2
rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de
las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las
ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y.

13. Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que
satisfacen la ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación
paramétrica:
1. Se igualan las coordenadas.
2. Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
3. Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables (x, y,
z).
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor del parámetro
en la recta numérica.

14. Ejemplo:
Dado el plano de ecuación vectorial determinar su ecuación cartesiana.
1. Escribir la representación paramétrica del plano
2. Igualamos las coordenadas que satisfacen a la ecuación
3. Eliminar parámetros para determinar la relación entre x, y, z
Restando la segunda ecuación a la primera quedaría:

15. El sistema se reduce a:
Por lo tanto la ecuación cartesiana del plano es:
5x – 5y + z = -3

16. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Usualmente medimos la longitud con una línea recta, pero las curvas también tienen
longitud. Un ejemplo familiar es la circunferencia de un círculo de radio r, cuya
longitud es 2πr. En general, le llamamos a la longitud de una curva "longitud de arco"
Puedes encontrar la longitud de arco de una curva con una integral de la forma:
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir,
cuando x y y son funciones de una nueva variable, el parámetro t. Para poder usar la
integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y
obtenemos dx y dy en términos de dt
Sustituye estas expresiones en la
integral y factoriza el término
dt2 fuera del radical.

17. Ejemplo:

19. En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se
conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro,
generalmente, este parámetro es ‘t’.
Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las
variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el
parámetro ‘t’ como: x = f(t) y = g(t)
Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más
conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores
correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en
coordenadas Cartesianas.

20. Se dice que un cuerpo se halla en movimiento respecto a otro cuando existe un cambio
continuo de su posición relativa a lo largo del tiempo. La rama de la Física que se dedica
al estudio del movimiento de los cuerpos es la Mecánica, y ésta se subdivide en las
siguientes disciplinas:
• Cinemática: que describe geométricamente el movimiento sin atender a sus causas.
• Dinámica: que conecta el movimiento y sus características con las causas (fuerzas)
que lo producen.
• Estática: que establece las condiciones de equilibrio mecánico (ausencia de
movimiento).

21. Una partícula efectúa un movimiento cuya ecuación vectorial eta determinada
por: r(t)=(3t) i + (2t²+3) j en unidades del sistema internacional.
Determinar:
3. Vector velocidad en el instante (6segundos) y dirección del movimiento en ese instante
1. Vector posición en el instante inicial
2. El vector velocidad media en los primeros 2 segundos
La partícula tiene un vector
posición determinado por la
siguiente ecuación vectorial :
r(t) = (3t) i + (2t2 + 3) j
Respuesta 1.
El vector posición en el instante inicial, es decir, la
ecuación vectorial cuando t = 0 segundos
r(t = 0) = 3(0) i + (202 + 3) j
r(t = 0) = 3j

22. Respuesta 2.
El vector velocidad media en los primeros dos segundos.
Dicho vector se calcula dividiendo el vector desplazamiento ( vector resultante de la
posición final y la posición inicial) entre el intervalo de tiempo en que transcurre dicho
movimiento.
Donde representa el vector posición al tiempo de los dos segundos y representa el
vector posición al tiempo inicial.

23. Respuesta 3.
El vector posición a los 6 segundos:

24. Las curvas paramétricas y funciones vectoriales de un parámetro con
frecuencia se considera como una curva en el plano como una línea trazada sobre un
papel, tal como puede ser una línea recta, una curva parabólica o una circunferencia.
Siendo esto evidencia de que debemos indicar de alguna manera los puntos por
donde pasa, los puntos que forman la curva.
Podemos deducir que hasta ahora hemos visto la manera en que el algebra vectorial
se deriva de las matemáticas y se encarga de facilitarnos problemas con ecuaciones
lineales y especialmente espacios vectoriales.
Debemos recordar que podemos conseguir una ecuaciones paramétricas por medico
de una ecuación vectorial y tener en cuanta que una ecuación paramétrica es aquella
ecuación en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en
función de la misma tercera variable.

25. https://www.youtube.com/watch?v=DJVgP_fD4YQ
https://www.youtube.com/watch?v=LSsrD-gU-AE
https://www.youtube.com/watch?v=SBc7Je9
WQv0

26. Autor: Vincenzo Jesús D'Alessio Torres Año: 2006
Titulo: Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores
Dirección: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes-
vectores/#:~:text=El%20%C3%A1lgebra%20vectorial%20es%20una,vectoriales%20y%20
sus%20transformaciones%20lineales.
Autor: Cesar Augusto Año: 2017
Titulo: Longitud de arco en forma paramétrica. Cálculo vectorial.
Dirección: https://temasdecalculo2.wordpress.com/2017/10/25/2-3-longitud-de-arco-en-
forma-parametrica-calculo-vectorial/
Autor: Economipedia Año: (s.f.)
Titulo: Plano Cartesiano
Dirección: https://economipedia.com/definiciones/plano-cartesiano.html
Autor: Wikipedia Año: 2020
Titulo: Ecuación Paramétrica
Dirección: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica