1. BASES ORTONORMALES Y PROCESO DE
ORTONORMALIZACION DE GRAM- SCHMIDT
Una base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno(producto
escalar) en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales,
es decir, de magnitud unitaria.
Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud
unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base
ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y una base
ortonormal se transforma: por medio de una base ortogonal.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma
(longitud o magnitud del vector) de cada elemento que la compone es
unitaria.
Las bases ortonormales están formadas por vectores ortogonales y unitarios.
La base de la figura es la base canónica del espacio R3 formada por 3
vectores unitarios y ortogonales, (1,0,0) (0,1,0) y (0,0,1,).
Estos vectores numéricos se identifican con los vectores libres i, j, k
respectivamente, forman la base canónica de V 3.

2. Los vectores que forman una base ortonormal son perpendiculares entre sí, y
además tienen de módulo la unidad.
Definición. Longitud, norma o módulo de un vector.
Se llama longitud, norma o módulo de un vector u , y se representa por u ó
u a la raíz cuadrada positivo del producto escalar u u , es decir,
u u u
------------
------------
E
u u u u


NOTA: Si 1u , se dice entonces que el vector u es unitario.

3. Propiedades de la norma.
1. 0 0u u
2. 0 0u u
3. u u u E  .
4. 0 uu E u
u
, es un vector unitario en la dirección de u
5. Desigualdad de Schwarz, u v E u v u v u v
6. Desigualdades triangulares, u v E
(a) u v u v
(b) u v u v
Definición. Angulo que forman dos vectores.
Sean , n
u v u v  el producto escalar usual, es decir,
1
n
t
i i
i
u v u v u v
El ángulo que forman dos vectores u y v se define por medio de la
expresión:
( ) u vcos
u v


4. PROCESO DE ORTONORMALIZACION
Si tenemos una base en , podemos pasar a partir de ella a
una base que es ortonormal
El proceso que se sigue es el siguiente: Comenzamos con un vector de la
base , dividimos por su norma y ya lo tenemos de norma .
Consideramos ahora otro vector de la base, , y tomamos uno ortogonal
a . Por definición es tal que . Así que
podemos tomar como nuevo vector y resulta ser ortogonal
a .
Lo normalizamos y ya tiene norma uno
A continuación tomamos
Continuamos este proceso hasta