Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas, y provee ejemplos de diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, nulas y de identidad. También describe cómo las matrices se usan para organizar datos numéricos y representar gráficos dirigidos mediante matrices de adyacencia.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas, y provee ejemplos de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares e identidad. También describe cómo las matrices se usan para organizar datos numéricos y representar gráficos dirigidos mediante matrices de adyacencia.
Este documento introduce las matrices y los determinantes. Explica que las matrices son tablas de números ordenados en filas y columnas que se utilizan para organizar datos. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular y diagonal, y explica cómo representar relaciones entre elementos mediante matrices de adyacencia.
El documento presenta una introducción a las matrices y determinantes. Define qué es una matriz, sus elementos y tipos principales como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. Explica cómo se pueden utilizar las matrices para organizar datos numéricos según dos criterios y cómo las matrices de adyacencia sirven para representar gráficos.
Este documento describe las matrices y sus propiedades fundamentales. Introduce los conceptos básicos de matrices, incluidas las definiciones de matriz, tipos de matrices como cuadradas y triangulares, y operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. Explica que las matrices se usan comúnmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tienen aplicaciones en áreas como economía, estadística y física.
Este documento introduce el concepto de álgebra de matrices. Explica que las matrices son herramientas importantes en matemáticas y ciencias y que existe una rama de las matemáticas dedicada exclusivamente al estudio de las matrices llamada álgebra lineal. Presenta algunos conceptos básicos como suma, resta y multiplicación de matrices, y tipos especiales de matrices como matrices cuadradas, diagonales e identidad. El objetivo es proporcionar una introducción general al tema antes de abordar la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de
Este documento introduce el concepto de matrices y sus diferentes tipos. Explica que una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas y que fueron introducidas en 1850. Describe matrices rectangulares, cuadradas, triangulares, diagonales y escalares, así como ejemplos de cada una. También menciona que las matrices se utilizan en diversas áreas como economía, sociología y física.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el tema de álgebra de matrices. Introduce conceptos clave como definiciones de matrices, operaciones matriciales como suma, producto y transposición, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como regla de Cramer e inversa de matrices. Además, explica propiedades importantes de las matrices y sus aplicaciones en álgebra lineal.
Este documento trata sobre las competencias genéricas y específicas relacionadas con las matemáticas. Describe habilidades como comunicarse usando lenguaje matemático, modelar fenómenos matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas. También cubre el manejo de matrices, sus propiedades, operaciones y tipos especiales como vectores y matrices cuadradas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas, y provee ejemplos de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares e identidad. También describe cómo las matrices se usan para organizar datos numéricos y representar gráficos dirigidos mediante matrices de adyacencia.
Este documento introduce las matrices y los determinantes. Explica que las matrices son tablas de números ordenados en filas y columnas que se utilizan para organizar datos. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular y diagonal, y explica cómo representar relaciones entre elementos mediante matrices de adyacencia.
El documento presenta una introducción a las matrices y determinantes. Define qué es una matriz, sus elementos y tipos principales como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. Explica cómo se pueden utilizar las matrices para organizar datos numéricos según dos criterios y cómo las matrices de adyacencia sirven para representar gráficos.
Este documento describe las matrices y sus propiedades fundamentales. Introduce los conceptos básicos de matrices, incluidas las definiciones de matriz, tipos de matrices como cuadradas y triangulares, y operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. Explica que las matrices se usan comúnmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tienen aplicaciones en áreas como economía, estadística y física.
Este documento introduce el concepto de álgebra de matrices. Explica que las matrices son herramientas importantes en matemáticas y ciencias y que existe una rama de las matemáticas dedicada exclusivamente al estudio de las matrices llamada álgebra lineal. Presenta algunos conceptos básicos como suma, resta y multiplicación de matrices, y tipos especiales de matrices como matrices cuadradas, diagonales e identidad. El objetivo es proporcionar una introducción general al tema antes de abordar la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de
Este documento introduce el concepto de matrices y sus diferentes tipos. Explica que una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas y que fueron introducidas en 1850. Describe matrices rectangulares, cuadradas, triangulares, diagonales y escalares, así como ejemplos de cada una. También menciona que las matrices se utilizan en diversas áreas como economía, sociología y física.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el tema de álgebra de matrices. Introduce conceptos clave como definiciones de matrices, operaciones matriciales como suma, producto y transposición, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como regla de Cramer e inversa de matrices. Además, explica propiedades importantes de las matrices y sus aplicaciones en álgebra lineal.
Este documento trata sobre las competencias genéricas y específicas relacionadas con las matemáticas. Describe habilidades como comunicarse usando lenguaje matemático, modelar fenómenos matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas. También cubre el manejo de matrices, sus propiedades, operaciones y tipos especiales como vectores y matrices cuadradas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices son una forma de organizar datos y se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como economía y física. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Este documento describe conceptos básicos de matrices, incluyendo definiciones de matrices, operaciones como suma y multiplicación de matrices, propiedades de estas operaciones, la inversa de una matriz y cómo calcularla, y aplicaciones como modelar distribución de población.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, tipos (cuadrada, triangular, diagonal, nula), operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices) y propiedades. Explica cómo representar matrices mediante arreglos de números y cómo calcular elementos, filas, columnas, traza, igualdad y clases como triangular superior e inferior.
El documento presenta conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos especiales de matrices (fila, columna, diagonal, identidad, triangular, simétrica, antisimétrica), y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por escalar, transpuesta, entre otras. Se proveen ejemplos ilustrativos y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Ejercicios Mate Aplic II PAU País Vascopeiosalazar
1) El documento presenta 15 problemas de álgebra lineal y programación lineal resueltos entre junio de 2002 y julio de 2005. Los problemas incluyen hallar valores para que una matriz tenga inversa, resolver sistemas de ecuaciones matriciales, encontrar matrices que cumplan ciertas condiciones, y problemas de programación lineal que involucran funciones objetivo sujetas a restricciones.
Este documento presenta una introducción al curso de Matemáticas I y describe su contenido, el cual incluye temas como matrices, sistemas de ecuaciones lineales, límites y derivada. Además, explica la importancia de los sistemas de ecuaciones y el cálculo diferencial e integral en diversas aplicaciones.
Este documento presenta información sobre la unidad de álgebra lineal sobre matrices. Se detalla que la semana del 9 al 14 de septiembre se cubrirá el tema de matrices. Se espera que los estudiantes aprendan conceptos como la definición de matriz, adición y multiplicación de matrices, y la relación entre matrices y números reales. El plan de trabajo incluye nociones sobre matrices que serán cubiertas, así como actividades sugeridas y los aprendizajes esperados al final de la unidad.
Este documento presenta conceptos básicos sobre operaciones con matrices. Explica que una matriz es un conjunto rectangular de números y define sus características como filas, columnas y elementos. Luego introduce conceptos como suma, resta y multiplicación de matrices, así como propiedades de estas operaciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan el significado y aplicación de las matrices en matemáticas.
1) Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos (números, funciones, vectores, etc.) dispuestos en filas y columnas.
2) La dimensión u orden de una matriz se define como el producto del número de filas por el número de columnas.
3) Existen diferentes tipos de matrices especiales como las matrices cuadradas, diagonales, escalares e identidad.
Aplicaciones a la vida cotidiana, cómo surgieron las matrices y sus determinantes, diapositivas para álgebra lineal, para introducirse un poco más a fondo en este tema
Este documento presenta información sobre matrices. Introduce definiciones básicas de matrices, incluyendo tipos como matrices cuadradas, matrices identidad y matrices escalares. Explica operaciones como suma de matrices. El objetivo es resolver problemas sobre matrices utilizando estas definiciones y propiedades.
Una matriz es una tabla ordenada de escalares que se representa entre paréntesis. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, diagonales y simétricas. Las matrices se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo ciertas reglas. El método de Gauss permite calcular la inversa de una matriz cuadrada.
The document summarizes Wassily Leontief's input-output model, which represents interrelationships between economic sectors. It defines sectors as areas of the economy with similar products/services. Leontief divided the US economy into 500 sectors. The model aims to equalize production and demand using matrix algebra. It can be formulated as an open model, which includes external demand, or closed, which ignores demand. The consumption matrix represents input needs per unit of output. Unique solutions for production can be found by manipulating the model's equation. Examples demonstrate applying the open and closed models.
The document discusses linear functions and matrices. It provides examples of solving linear equations and systems of linear equations. It also covers matrix operations such as addition, subtraction, and multiplication. Matrix inverses and determinants are introduced as tools for solving systems of linear equations. Applications include finding linear models from data points and using matrices to represent and solve simultaneous equations.
The following presentation consists of information about the application of matrices. The ppt particularly focuses on the its use in cryptography i.e. encoding and decoding of messages.
Matrices are widely used in business, economics, and other fields. They allow problems to be represented with distinct finite numbers rather than infinite gradations as in calculus. Sociologists, demographers, and economists use matrices to study groups, populations, industries, and social accounting. [/SUMMARY]
The history and development of matrix theory is summarized as follows:
1) The term "matrix" was introduced in 1850 by James Joseph Sylvester to describe rectangular arrays of numbers or expressions arranged in rows and columns.
2) The founder of modern matrix theory is considered to be Arthur Cayley, who in the 1850s introduced concepts such as inverse matrices and matrix multiplication.
3) Important developments in matrix theory continued throughout the 19th and 20th centuries, including the discovery by Arthur Cayley and William Hamilton of unique properties of matrices.
This document provides an overview of matrices and basic matrix operations. It discusses what matrices are, how to perform operations like addition, multiplication, and taking the transpose. It also covers special types of matrices like diagonal, triangular, and identity matrices. It explains how to calculate the determinant of a 2x2 matrix and find the inverse of a 2x2 matrix using the determinant. The goal is for the reader to understand matrices, common operations, and how to calculate the determinant and inverse of a 2x2 matrix after reviewing this material.
This document provides an overview of matrices and matrix operations. It begins by stating the objectives of understanding matrix characteristics, applying basic matrix operations, knowing inverse matrices up to 3x3, and solving simultaneous linear equations up to 3 variables. It then defines what a matrix is, discusses matrix dimensions and types of matrices. The document outlines various matrix operations including addition, subtraction, multiplication and scalar multiplication. It provides examples of how to perform these operations. It also covers the transpose of a matrix and inverse matrices.
Matrices are rectangular arrangements of numbers or expressions that are organized into rows and columns. They have many applications in fields like physics, computer science, mathematics, and engineering. Specifically, matrices are used to model electrical circuits, for image projection and page ranking algorithms, in matrix calculus, for encrypting messages, in seismic surveys, representing population data, calculating GDP, and programming robot movements. Matrices play a key role in solving problems across many domains through their representation of relationships between variables.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices son una forma de organizar datos y se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como economía y física. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Este documento describe conceptos básicos de matrices, incluyendo definiciones de matrices, operaciones como suma y multiplicación de matrices, propiedades de estas operaciones, la inversa de una matriz y cómo calcularla, y aplicaciones como modelar distribución de población.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, tipos (cuadrada, triangular, diagonal, nula), operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices) y propiedades. Explica cómo representar matrices mediante arreglos de números y cómo calcular elementos, filas, columnas, traza, igualdad y clases como triangular superior e inferior.
El documento presenta conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos especiales de matrices (fila, columna, diagonal, identidad, triangular, simétrica, antisimétrica), y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por escalar, transpuesta, entre otras. Se proveen ejemplos ilustrativos y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Ejercicios Mate Aplic II PAU País Vascopeiosalazar
1) El documento presenta 15 problemas de álgebra lineal y programación lineal resueltos entre junio de 2002 y julio de 2005. Los problemas incluyen hallar valores para que una matriz tenga inversa, resolver sistemas de ecuaciones matriciales, encontrar matrices que cumplan ciertas condiciones, y problemas de programación lineal que involucran funciones objetivo sujetas a restricciones.
Este documento presenta una introducción al curso de Matemáticas I y describe su contenido, el cual incluye temas como matrices, sistemas de ecuaciones lineales, límites y derivada. Además, explica la importancia de los sistemas de ecuaciones y el cálculo diferencial e integral en diversas aplicaciones.
Este documento presenta información sobre la unidad de álgebra lineal sobre matrices. Se detalla que la semana del 9 al 14 de septiembre se cubrirá el tema de matrices. Se espera que los estudiantes aprendan conceptos como la definición de matriz, adición y multiplicación de matrices, y la relación entre matrices y números reales. El plan de trabajo incluye nociones sobre matrices que serán cubiertas, así como actividades sugeridas y los aprendizajes esperados al final de la unidad.
Este documento presenta conceptos básicos sobre operaciones con matrices. Explica que una matriz es un conjunto rectangular de números y define sus características como filas, columnas y elementos. Luego introduce conceptos como suma, resta y multiplicación de matrices, así como propiedades de estas operaciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan el significado y aplicación de las matrices en matemáticas.
1) Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos (números, funciones, vectores, etc.) dispuestos en filas y columnas.
2) La dimensión u orden de una matriz se define como el producto del número de filas por el número de columnas.
3) Existen diferentes tipos de matrices especiales como las matrices cuadradas, diagonales, escalares e identidad.
Aplicaciones a la vida cotidiana, cómo surgieron las matrices y sus determinantes, diapositivas para álgebra lineal, para introducirse un poco más a fondo en este tema
Este documento presenta información sobre matrices. Introduce definiciones básicas de matrices, incluyendo tipos como matrices cuadradas, matrices identidad y matrices escalares. Explica operaciones como suma de matrices. El objetivo es resolver problemas sobre matrices utilizando estas definiciones y propiedades.
Una matriz es una tabla ordenada de escalares que se representa entre paréntesis. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, diagonales y simétricas. Las matrices se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo ciertas reglas. El método de Gauss permite calcular la inversa de una matriz cuadrada.
The document summarizes Wassily Leontief's input-output model, which represents interrelationships between economic sectors. It defines sectors as areas of the economy with similar products/services. Leontief divided the US economy into 500 sectors. The model aims to equalize production and demand using matrix algebra. It can be formulated as an open model, which includes external demand, or closed, which ignores demand. The consumption matrix represents input needs per unit of output. Unique solutions for production can be found by manipulating the model's equation. Examples demonstrate applying the open and closed models.
The document discusses linear functions and matrices. It provides examples of solving linear equations and systems of linear equations. It also covers matrix operations such as addition, subtraction, and multiplication. Matrix inverses and determinants are introduced as tools for solving systems of linear equations. Applications include finding linear models from data points and using matrices to represent and solve simultaneous equations.
The following presentation consists of information about the application of matrices. The ppt particularly focuses on the its use in cryptography i.e. encoding and decoding of messages.
Matrices are widely used in business, economics, and other fields. They allow problems to be represented with distinct finite numbers rather than infinite gradations as in calculus. Sociologists, demographers, and economists use matrices to study groups, populations, industries, and social accounting. [/SUMMARY]
The history and development of matrix theory is summarized as follows:
1) The term "matrix" was introduced in 1850 by James Joseph Sylvester to describe rectangular arrays of numbers or expressions arranged in rows and columns.
2) The founder of modern matrix theory is considered to be Arthur Cayley, who in the 1850s introduced concepts such as inverse matrices and matrix multiplication.
3) Important developments in matrix theory continued throughout the 19th and 20th centuries, including the discovery by Arthur Cayley and William Hamilton of unique properties of matrices.
This document provides an overview of matrices and basic matrix operations. It discusses what matrices are, how to perform operations like addition, multiplication, and taking the transpose. It also covers special types of matrices like diagonal, triangular, and identity matrices. It explains how to calculate the determinant of a 2x2 matrix and find the inverse of a 2x2 matrix using the determinant. The goal is for the reader to understand matrices, common operations, and how to calculate the determinant and inverse of a 2x2 matrix after reviewing this material.
This document provides an overview of matrices and matrix operations. It begins by stating the objectives of understanding matrix characteristics, applying basic matrix operations, knowing inverse matrices up to 3x3, and solving simultaneous linear equations up to 3 variables. It then defines what a matrix is, discusses matrix dimensions and types of matrices. The document outlines various matrix operations including addition, subtraction, multiplication and scalar multiplication. It provides examples of how to perform these operations. It also covers the transpose of a matrix and inverse matrices.
Matrices are rectangular arrangements of numbers or expressions that are organized into rows and columns. They have many applications in fields like physics, computer science, mathematics, and engineering. Specifically, matrices are used to model electrical circuits, for image projection and page ranking algorithms, in matrix calculus, for encrypting messages, in seismic surveys, representing population data, calculating GDP, and programming robot movements. Matrices play a key role in solving problems across many domains through their representation of relationships between variables.
Application of matrix
1. Encryption, its process and example
2. Decryption, its process and example
3. Seismic Survey
4. Computer Animation
5. Economics
6. Other uses...
The document discusses matrices and their applications. It begins by defining what a matrix is and some basic matrix operations like addition, scalar multiplication, and transpose. It then discusses matrix multiplication and how it can be used to represent systems of linear equations. The document lists several applications of matrices, including representing graphs, transformations in computer graphics, solving systems of linear equations, cryptography, and secret communication methods like steganography. It provides some high-level details about using matrices for secret codes and hiding messages in digital files like images and audio.
This document discusses the application of matrices in real life. It defines a matrix as a rectangular array of numbers, real or imaginary, within brackets or parentheses. Matrices are used in various fields such as physics, coding encrypted messages, projecting 3D images onto 2D screens, calculating GDP in economics, and ranking web pages in Google's search algorithm. The document also notes that matrices are applied by scientists to record experiments.
The document provides an overview of linear algebra and matrix theory. It discusses the history and development of matrices, defines key matrix concepts like dimensions and operations, and covers foundational topics like matrix addition, multiplication, inverses, and solving systems of linear equations. The document is intended as an introduction to linear algebra and matrices for students.
Matrices are two-dimensional arrangements of numbers organized into rows and columns. They have many applications, including in physics for calculations involving electrical circuits, in computer science for image projections and encryption, and in other fields like geology, economics, robotics, and representing population data. Methods for working with matrices include adding, subtracting, multiplying matrices by scalars or other matrices, taking the negative or inverse, and transposing rows and columns. Matrix multiplication is not commutative and order matters.
Bill Gates has a large house that was created by the best neighbors he has, who only have good things to say about him. The house has over 60 pages describing it and was shared by a group to provide information about Gates' residence without claiming ownership of the details.
This document provides instructions for cleaning the inside and outside of a computer. It recommends shutting down the computer, removing power cables, and using compressed air and cloths with mild soap or alcohol solutions to clean the case, fans, keyboard, mouse, and LCD screen. Specific steps include opening the computer case and disk drive to remove dust, blowing air around fans and vents, vacuuming or tapping keyboards, and using distilled water or diluted vinegar to clean screens without making the cloth too wet.
El documento presenta información sobre matrices y determinantes. Introduce conceptos básicos como las definiciones de matriz, sus tipos (nula, fila, columna, cuadrada, triangular, diagonal, unidad), y operaciones como suma y diferencia. También explica cómo organizar datos en matrices de información y relación, y cómo representar gráficos mediante matrices de adyacencia.
El documento introduce el tema de las matrices y los determinantes. Explica que las matrices aparecieron por primera vez en 1850 y su desarrollo se debe a matemáticos como Hamilton y Cayley en los años 1850. Las matrices se utilizan para estudiar sistemas de ecuaciones lineales y aparecen de forma natural en geometría, estadística y economía. Además, su uso es esencial en programación debido a que los datos se almacenan en tablas organizadas en filas y columnas.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices surgieron para representar información de manera compacta, especialmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Define qué es una matriz, su orden o dimensión, y da ejemplos de cómo se aplican las matrices para organizar datos en diferentes campos como economía, genética y más. También resume las principales operaciones que se pueden realizar con matrices como suma, resta, transposición y diferentes tipos de matrices.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices surgieron para representar información de manera compacta, especialmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Define qué es una matriz, su orden o dimensión, y diferentes tipos como matrices cuadradas, triangulares, nulas y más. También cubre operaciones básicas con matrices como suma, resta y transpuesta.
Este documento explica conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición como arreglos bidimensionales de números, su representación con letras mayúsculas y subíndices, y su uso para sistemas de ecuaciones lineales. También describe tipos específicos de matrices como matrices nulas, filas, columnas y cuadradas, así como operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de matrices. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de las matrices en economía y geografía.
El documento define matrices y describe sus propiedades fundamentales. Una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas. Se definen varios tipos de matrices como matrices nulas, filas, columnas, cuadradas y triangulares. También se explican operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
El documento define una matriz como un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. Explica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, simétricas y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, producto, inversa y determinante.
Este documento presenta una introducción a las matrices, definiendo qué son las matrices, sus tipos, operaciones y aplicaciones. Explica que una matriz es un arreglo rectangular de números y define conceptos como filas, columnas, elementos y dimensión. Luego describe diferentes tipos de matrices como cuadradas, nulas e identidad. Finalmente resume operaciones básicas como suma, multiplicación y traspuesta, ilustrando con ejemplos su aplicación en problemas de la vida real como producción y ventas.
El documento introduce conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz, su orden y elementos. Explica diferentes tipos de matrices como matrices nulas, cuadradas, diagonales e identidad. También presenta operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por escalar y transpuesta.
El documento presenta una introducción a las matrices. Define una matriz, su orden y elementos. Explica diferentes tipos de matrices como las matrices nulas, cuadradas, diagonales e identidad. También describe operaciones básicas como suma, resta, multiplicación por escalar y transpuesta de matrices.
Un documento describe las matrices, incluyendo su representación, suma, multiplicación y aplicaciones. Las matrices son arreglos bidimensionales de números que se representan con letras mayúsculas y subíndices para indicar filas y columnas. Se pueden sumar y multiplicar matrices siempre que tengan el mismo tamaño, y se usan para sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones lineales.
1. El documento define y explica diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices cuadradas, rectangulares, nulas, diagonales, escalares, unitarias, triangulares, transpuestas, simétricas y antisimétricas.
2. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar, y producto de matrices.
3. Finalmente, presenta algunos ejemplos y propiedades de las operaciones con matrices.
El documento introduce los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, igualdad, y cómo se representan. Explica que una matriz es una disposición rectangular de números y que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También cubre operaciones básicas con matrices como suma, diferencia, producto por escalar, y producto de matrices.
Este documento explica las operaciones de suma y resta con matrices. Indica que para sumar o restar matrices, estas deben tener el mismo número de filas y columnas. Describe que la suma de matrices se obtiene sumando los elementos en la misma posición, mientras que la resta implica cambiar los signos a los elementos de una matriz y sumarla a la otra. También presenta algunos ejemplos y propiedades como la conmutativa y asociativa para la suma de matrices.
Este documento provee una introducción a las matrices y los determinantes. Explica que una matriz es un conjunto de números organizados en filas y columnas, y define conceptos como los elementos de una matriz, su dimensión, y diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, y la matriz identidad. También introduce los determinantes como herramientas para extraer un único número de matrices cuadradas a través de la suma de productos elementales, y explica cómo calcular determinantes de orden 1, 2 y 3.
El documento describe cómo un candidato contrató una empresa de relaciones públicas para dar a conocer sus propuestas durante las elecciones municipales en dos distritos a través de llamadas telefónicas, volantes y cartas. Se proporcionan los costos de cada método de contacto en una matriz, así como el número de contactos establecidos en cada distrito en otra matriz. Se piden calcular la cantidad total gastada en cada distrito.
Este documento proporciona una introducción a las matrices, incluyendo su definición, notación, tipos (rectangular, fila, columna, cuadrada, unidad, triangular, escalar, transpuesta, simétrica, antisimétrica), operaciones (suma, multiplicación por escalar), y propiedades (conmutatividad, asociatividad, identidad, distribución). También presenta ejemplos para ilustrar conceptos como suma, multiplicación por escalar y matriz transpuesta.
Este documento define y explica conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Introduce las definiciones de matriz, tipos de matrices como matrices fila, columna, cuadrada, simétrica y operaciones con matrices como traspuesta, suma, diferencia y producto. También explica los conceptos de pivote, matriz escalonada, rango de una matriz, matrices inversibles y cómo calcular determinantes de matrices de diferentes órdenes así como propiedades de los determinantes.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. Cap´ıtulo 6
MATRICES Y DETERMINANTES
6.1. Introducci´on
Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de
datos, as´ı como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´asicamente en el siglo XIX
por matem´aticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton.
Las matrices se encuentran en aquellos ´ambitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´omicas y Biol´ogicas.
6.2. Matrices. Definici´on y primeros ejemplos
Una matriz es una tabla rectangular de n´umeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 . . . amn
Columnas de la matriz A
←
←
←
←
Filas de la matriz A
Abreviadamente se puede expresar A = (aij). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´ındices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
As´ı el elemento a23 est´a en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representar´an con letras
may´usculas.
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
A =
2 1
3 4
B =
√
6 −4 0
1 2 1
C =
3 1 0
2 −4 0
−1 1
5
√
2
1 0 0
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 2.¿Qu´e elemento es a21?.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 3.¿Qu´e elemento es b23?.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 4 x 3.¿Qu´e elemento es c42?.
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tama˜no o dimensi´on es m
x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nö de filas y en segundo lugar el de columnas.
82
2. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 83
6.3. Tipos de matrices
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,
A =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
es una matriz nula de tama˜no 2x5.
2. Se llama matriz fila a la que s´olo tiene una fila, es decir su dimensi´on es 1x n.
Por ejemplo,
1 0 −4 9
es una matriz fila de tama˜no 1 x 4.
3. Se llama matriz columna a la que s´olo consta de una columna, es decir su dimensi´on ser´a m x
1, como por ejemplo:
C =
1
0
−
√
8
es una matriz columna de tama˜no 3 x 1.
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´umero de filas que de columnas, es decir su
dimensi´on es n x n. La matriz ( 2 1
3 4 ) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tama˜no 2 x 2 o
simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
D =
1 2 3
6 5 4
−3 −4 0
de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos
a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
...
...
...
...
...
an1 an2 an3 . . . ann
En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ıa formada por 1, 5, 0.
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11 +
a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.
En la matriz D estar´ıa formada por 3, 5, -3.
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:
E =
1 0 0 0
0 −4 0 0
3 4 5 0
1 3 16 −78
Triangular inferior
F =
1 4 1
3
0 9 −5
0 0 π
Triangular superior
3. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 84
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, s´olo tiene elementos en la diagonal principal.
Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.
Un ejemplo de matriz diagonal ser´ıa:
G =
1 0 0 0
0 −45 0 0
0 0 3 0
0 0 0 0
Por ´ultimo, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal s´olo unos, se denomina matriz unidad
o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tama˜no de la matriz. Algunas matrices
identidad son:
I2 =
1 0
0 1
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
6.4. Aplicaciones de las matrices
Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar
valores num´ericos atendiendo a dos criterios o variables.
Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos
ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la
tabla siguiente:
2 unid. 5 unid. 10 unid.
Color N 0’04 0’08 0’12
Color F 0’03 0’05 0’08
Sabiendo que en un a˜no se venden el siguiente n´umero de paquetes:
Color N Color F
2 unid. 700000 50000
5 unid. 600000 40000
10 unid. 500000 500000
Resumir la informaci´on anterior en 2 matrices A y B, de tama˜no respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las
ventas en un a˜no (A) y los precios (B).
Nos piden que organicemos la informaci´on anterior en dos matrices de tama˜no concreto. Si nos fijamos
en las tablas, es sencillo obtener las matrices:
A =
2 ud 5 ud 10 ud
700000 600000 500000
50000 40000 500000
N
F
B =
N F
0 04 0 03
0 08 0 05
0 12 0 08
2 ud
5 ud
10 ud
Estas matrices se denominan matrices de informaci´on, y simplemente recogen los datos num´ericos del
problema en cuesti´on.
Otras matrices son las llamadas matrices de relaci´on, que indican si ciertos elementos est´an o no
relacionados entre s´ı. En general, la existencia de relaci´on se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia
de dicha relaci´on de expresa con un 0.
Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la informaci´on dada por un grafo y expresarla
num´ericamente.
4. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 85
En Matem´aticas, un grafo es una colecci´on cualquiera de puntos conectados por lineas.
Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:
* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo
mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conectan el mismo par de puntos.
* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una flecha.
Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:
Figura 6.1: Grafo, Grafo simple y Grafo dirigido.
Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos
fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente,
de tal forma que:
* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la
columna j mediante una linea que los una directamente.
* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una
linea que los una directamente.
La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior ser´a:
A
B
C
D
A B C D
0 1 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 0
Ejercicio
1) Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:
2) Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:
A
B
C
A B C
0 1 0
1 0 1
0 0 0
A
B
C
D
A B C D
0 1 1 1
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 1 0
5. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 86
6.5. Operaciones con matrices
6.5.1. Suma y diferencia
Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla.
Para sumar o restar dos matrices del mismo tama˜no, se suman o restan los elementos que se encuentren
en la misma posici´on, resultando otra matriz de igual tama˜no.
Por ejemplo:
2 1 3
−4 2 1
2x3
−
2 0 4
3 2 5
2x3
=
0 1 −1
−7 0 −4
2x3
Si las matrices tienen diferente tama˜no, no se pueden sumar o restar entre s´ı.
Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:
a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tama˜no correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.
Ejemplo:
Si
A =
0 −1
−4 −2
3 −9
3x2
=⇒ −A =
0 1
4 2
−3 9
3x2
porque:
0 −1
−4 −2
3 −9
3x2
+
0 1
4 2
−3 9
3x2
=
0 0
0 0
0 0
3x2
Ejercicios:
1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 pa´ıses A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los a˜nos
2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:
A2000 =
A
B
C
X Y Z
11 6 7 0 5
14 5 10 1 2
20 9 3 2 2 3
A2001 =
A
B
C
X Y Z
13 3 7 1
15 7 11 1 3 2
21 0 2 4 3
Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos a˜nos.
¿Cu´antos millones ha exportado el pa´ıs B al Z en total?
Calcula el incremento de las exportaciones del a˜no 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.
2. Calcula x, y, z en la suma:
x − y −1 2
1 y −x
0 z 2
+
y 0 z
−z 2 3
−2 3 x
=
−1 −1 3
0 4 4
−2 4 1
3. Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:
3 − a b −2
4 −c + 1 6
+
2 a + b 4
1 − c 2 0
=
−1 a 2
2 0 6
6. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 87
6.5.2. Producto por un n´umero real
Dada una matriz cualquiera A y un n´umero real k, el producto kóA se realiza multiplicando todos
los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tama˜no. (Evidentemente la misma regla
sirve para dividir una matriz por un n´umero real).
Por ejemplo:
−5 ·
2 1 3
−4 2 1
2x3
=
−10 −5 −15
20 −10 −5
2x3
Propiedades:
a) Distributiva respecto de la suma de matrices: kó(A + B) = kóA + kóB
b) Distributiva respecto de la suma de n´umeros: (k + d)óA= kóA + dóA
c) Asociativa: kó(dóA)=(kód)óA
d) Elemento neutro, el n´umero 1: 1óA=A
Ejercicios:
1. Si A =
1 1
0 1
y B =
−1 0
0 2
, halla una matriz X que verifique la ecuaci´on:
2 · X − 4 · A = B
2. Determina las matrices X y Y sabiendo que:
3X − 5Y =
1 −2
8 1
−X + 3Y =
2 4
3 0
6.5.3. Trasposici´on de matrices
Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At
a la matriz
que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.
Por ejemplo, si A =
2 1 0 7
−3 4 2 1
, entonces la matriz traspuesta de A es:
At
=
2 −3
1 4
0 2
7 1
Evidentemente, si A es una matriz de tama˜no m x n, su traspuesta At
tendr´a tama˜no n x m, pues el
n´umero de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.
Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendr´a el mismo tama˜no.
Propiedades:
a) (At
)t
= A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.
b) (A + B)t = At + Bt
c) (k · A)t
= k · At
En base a esta nueva operaci´on, podemos definir otras dos clases de matrices, que son:
Matriz sim´etrica, que es aquella para la que se cumple que At
= A, por ejemplo la matriz:
A =
2 1 3
1 0 −2
3 −2
√
7
7. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 88
es sim´etrica (compru´ebalo).
En una matriz sim´etrica, los elementos son sim´etricos respecto a la diagonal principal.
Ejercicio: ¿Puede ser sim´etrica una matriz que no sea cuadrada?¿Por qu´e?.
Matriz antisim´etrica, es aquella para la que se cumple que At
= −A.
Por ejemplo:
B =
0 1 3
−1 0 −2
−3 2 0
es antisim´etrica (comprueba).
En una matriz antisim´etrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qu´e?),
y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.
Ejercicios:
1. Dadas las matrices A =
1 3 3
1 4 3
1 3 4
y B =
1 1 2
2 0 −1
−6 −1 0
calcula 3At − Bt.
2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:
a)
2X − 3Y =
1 5
4 2
X − Y =
−1 0
3 6
b)
X + Y =
2 1
3 0
X − Y =
6 2
0 1
c)
2X + Y =
3 1
0 −2
X + 2Y =
1 0
−2 4
6.5.4. Producto de matrices
Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos
matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condici´on:
“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, AóB , es condici´on indispensable que el n´umero
de columnas de A sea igual al n´umero de filas de B”
Si no se cumple esta condici´on, el producto AóB no puede realizarse, de modo que esta es una
condici´on que debemos comprobar previamente a la propia multiplicaci´on.
Una vez comprobado que el producto AóB se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una
matriz n x p (observemos que el nö de columnas de A = n = nö de filas de B), entonces el producto
AóB da como resultado una matriz C de tama˜no n x p del siguiente modo:
“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=AóB, se obtiene multiplicando
los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”
Ve´amoslo mediante un ejemplo:
Para multiplicar las matrices:
A =
−3 2 1 4
2 5 3 −2
2x4
y B =
0 −4 1
1 −2 1
2 0 2
3 2 1
4x3
primero comprobamos que se puede realizar el producto AóB, pues el nö de columnas de A es 4 y el
nö de filas de B tambi´en es 4, y el resultado, seg´un lo dicho ser´a una matriz de tama˜no 2 x 3, tiene 2
8. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 89
filas y 3 columnas:
−3 2 1 4
2 5 3 −2
2x4
·
0 −4 1
1 −2 1
2 0 2
3 2 1
4x3
=
2x3
S´olo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:
El elemento de la fila 1 y columna 1 de AóB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1
de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:
(−3) · 0 + 2 · 1 + 1 · 2 + 4 · 3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16
El elemento de la fila 1 y columna 2 de AóB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de
A y la columna 2 de B y sumar:
(−3) · (−4) + 2 · (−2) + 1 · 0 + 4 · 2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16
El elemento de la fila 1 y columna 3 de AóB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de
A y la columna 3 de B y sumar:
(−3) · 1 + 2 · 1 + 1 · 2 + 4 · 1 = −3 + 2 + 2 + 4 = 5
As´ı sucesivamente se obtienen (comprueba):
16 16 5
5 −22 11
2x3
Ejercicios:
1. Para las matrices A y B anteriores, calcula BóA
2. Si A =
1 −3
−2 6
, B =
3 −5
2 1
, calcula si es posible AóB y BóA. ¿Coinciden?.
3. Lo mismo si A =
1 −1
0 −2
4 1
, B =
3 0 2
1 −1 5
.
4. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:
A =
1 2 3
1 1 1
0 2 −1
B =
1
2
1
C =
2 1 0
3 4 5
Adem´as, calcula A2 y A3.
5. Para las matrices
A =
1 −1 2
4 0 −3
B =
0 3 4
−1 −2 3
C =
2 3 0 1
−5 1 4 −2
1 0 0 −3
D =
2
1
3
calcula:
A + B, 3A − 4B, A · B, A · D, B · C, C · D, At
· C, Dt
· At
, Bt
· A, Dt
· D, D · Dt
9. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 90
Propiedades del producto de matrices
a) Asociativa: Aó(BóC) = (AóB)óC
b) Distributiva respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
(B + C) · A = B · A + C · A
c) Elemento neutro, la matriz identidad correpondiente, si A es m x n:
A · In = A
Im · A = A
d) En general el producto de matrices no es conmutativo
A · B = B · A
Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Esta es una propiedad muy importante.
e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:
2 1 3
0 2 1
2x3
·
5
2
−4
3x1
=
0
0
2x1
Se dice que el conjunto de las matrices con la operaci´on producto tiene divisores de cero, es decir, hay
matrices no nulas cuyo producto es nulo.
Ejercicios:
1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes,
que son ciertas para las operaciones con n´umeros reales?:
a) (A + B)2
= A2
+ B2
+ 2 · A · B
b) (A − B)2 = A2 + B2 − 2 · A · B
c) (A + B) · (A − B) = A2 − B2
2. Determina los valores de a y b de la matriz A =
2 −1
a b
para que A2
= A.
3. ¿Qu´e matrices conmutan con la matriz
1 2
0 1
?.
6.6. La matriz inversa
Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operaci´on.
Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efect´uar la multiplicaci´on de dos matrices,
y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicaci´on, en general no es conmutativo,
es decir AóB es distinto de BóA.
En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que
podemos efectuar los productos AóB y BóA, que dar´an como resultado otra matriz del mismo orden,
aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes ser´an, en general, distintas.
Sabemos tambi´en que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In.
Por analog´ıa con el caso de los n´umeros reales, podemos plantearnos la siguiente cuesti´on:
10. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 91
Si tenemos un n´umero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para
el producto, es decir un n´umero real x tal que 2óx = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento
neutro, el 1.
Evidentemente, en el caso de los n´umeros reales es bien f´acil despejar x para obtener, en nuestro
caso, que x =
1
2
, es decir, el inverso de un n´umero real es otro n´umero que multiplicado por ´el da el
elemento neutro, el 1.
Todo n´umero real, salvo el 0, tiene inverso.
Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n,
cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices,tal que
A · X = In
es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los n´umeros reales:
1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X =
In
A
, porque no hemos definido la divisi´on de
matrices.
2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analog´ıa
con los n´umeros).
Definamos, en primer lugar, el t´ermino de matriz inversa:
Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es
no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A
y representada por A−1
y tal que:
A · A−1
= In
y
A−1
· A = In
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es ´unica (s´olo hay una). Para calcular dicha matriz
inversa, podemos utilizar dos v´ıas:
6.6.1. M´etodo directo:
Consiste en determinar A−1
planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos
determinar la inversa de la matriz A =
1 2
−1 1
, lo que estoy buscando es otra matriz de igual tama˜no
(orden 2) tal que A · A−1 = I2 y A−1 · A = I2, es decir, si A−1 =
x y
z t
, se tiene que cumplir que :
A · A−1
= I2 =⇒
1 2
−1 1
·
x y
z t
=
1 0
0 1
=⇒
x + 2z y + 2t
−x + z −y + t
=
1 0
0 1
x + 2z = 1
y + 2t = 0
−x + z = 0
−y + t = 1
Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 inc´ognitas, aunque en realidad son 2
sistemas de dos ing´onitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).
Resolviendo el sistema se obtiene que
x =
1
3
, y =
−2
3
, z =
1
3
, t =
1
3
11. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 92
por lo que la matriz inversa es:
A−1
=
1
3
−2
3
1
3
1
3
=
1
3
·
1 −2
1 1
Se puede comprobar que tambi´en se cumple que A−1 · A = I2, luego A es invertible, tiene inversa. Si
el sistema no tiene soluci´on, la matriz no tiene inversa.
Por ejemplo, en el caso en que A =
1 1
2 2
, del mismo modo :
A · A−1
= I2 =⇒
1 1
2 2
·
x y
z t
=
1 0
0 1
=⇒
x + z y + t
2x + 2z 2y + 2t
=
1 0
0 1
x + z = 1
y + t = 0
2x + 2z = 0
2y + 2t = 1
Y por ejemplo de 2x+2z=0 se obtiene x = -z, si se sustituye en la primera ecuaci´on es -z+z=1, es
decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene soluci´on.
Por tanto A no es invertible, es singular.
Este m´etodo directo s´olo se suele utilizar para matrices cuadradas de tama˜no 2, puesto que para
las de tama˜no 3 obtenemos un sistemas de ¡9 ecuaciones con 9 inc´ognitas! que realmente es dif´ıcil de
resolver.
6.6.2. M´etodo de Gauss-Jordan:
Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la
matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la
matriz A−1
.
Se llama transformaci´on elemental en una matriz a:
T1) Multiplicar o dividir una fila por un n´umero real distinto de cero.
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un n´umero real no nulo.
T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre s´ı.
Veamos como se realiza el m´etodo de Gauss-Jordan, realiz´andolo a la vez con la matriz
1 2
−1 1
.
i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente . En nuestro caso:
(A|I2) =
1 2
−1 1
1 0
0 1
ii) Se hace la matriz triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal)
usando transformaciones elementales en filas.
La mejor forma de realizar esto es hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la primera
columna usando la fila 1. Luego, hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la segunda
columna usando la fila 2, y as´ı sucesivamente.
En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:
(A|I2) =
1 2
−1 1
1 0
0 1
F2+F1
−−−−→
1 2
0 3
1 0
1 1
iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo
ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:
12. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 93
Hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la ´ultima columna usando la ´ultima fila. Lue-
go, hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la pen´ultima columna usando la pen´umtima
fila, y as´ı sucesivamente. En nuestro caso:
1 2
0 3
1 0
1 1
3·F1−2·F2
−−−−−−→
3 0
0 3
1 −2
1 1
iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo ´unico que falta es dividir a cada fila entre el n´umero
adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la
parte izquierda:
3 0
0 3
1 −2
1 1
F1
3
,
F2
3
−−−−→
1 0
0 1
1
3
−2
3
1
3
1
3
v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa,
es decir, llegamos a:
(I2, A−1
) =
1 0
0 1
1
3
−2
3
1
3
1
3
=⇒ A−1
=
1
3
−2
3
1
3
1
3
=
1
3
·
1 −2
1 1
matriz que hab´ıamos obtenido antes por el m´etodo directo.
Si al realizar el m´etodo de Gauss-Jordan en alg´un momento alguna fila es de ceros, la matriz no
tiene inversa.
Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este m´etodo frente al directo.
Veamos otro ejemplo:
Calcular la inversa de la matriz B =
1 1 0
−1 1 2
1 0 1
por el m´etodo de Gauss-Jordan.
Siguiendo los pasos anteriores:
(B|I3) =
1 1 0
−1 1 2
1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
F2+F1
−−−−→
1 1 0
0 2 2
1 0 1
1 0 0
1 1 0
0 0 1
F3−F1
−−−−→
1 1 0
0 2 2
0 −1 1
1 0 0
1 1 0
−1 0 1
2·F3+F2
−−−−−→
1 1 0
0 2 2
0 0 4
1 0 0
1 1 0
−1 1 2
2·F2−F3
−−−−−→
1 1 0
0 4 0
0 0 4
1 0 0
3 1 −2
−1 1 2
4·F1−F2
−−−−−→
4·F1−F2
−−−−−→
4 0 0
0 4 0
0 0 4
1 −1 2
3 1 −2
−1 1 2
F1
4
,
F2
4
,
F3
4
−−−−−−→
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
4
−1
4
2
4
3
4
1
4
−2
4
−1
4
1
4
2
4
= (I3|B−1
)
=⇒ B−1
=
1
4
−1
4
1
2
3
4
1
4
−1
2
−1
4
1
4
1
2
Tambi´en se puede expresar, sacando factor com´un:
B−1
=
1
4
·
1 −1 2
3 1 −2
−1 1 2
es la inversa de B.
Si calculamos por este m´etodo la inversa de A =
1 1
2 2
resulta:
(A|I2) =
1 1
2 2
1 0
0 1
F2−2·F1
−−−−−→
1 1
0 0
1 0
−2 1
Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.
Ejercicios:
13. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 94
1. Calcular por el m´etodo de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:
A =
1 2 −3
3 2 −4
2 −1 0
B =
−2 1 4
0 1 2
1 0 −1
2. Dada la matriz diagonal D =
3 0 0
0 −2 0
0 0 5
calcula su inversa. ¿C´omo calcular´ıas de forma
r´apida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?.
6.7. Rango de una matriz
Un concepto muy importante relacionado con las matrices es el de rango. El concepto de ran-
go se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se
introducir´a de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.
Baste saber que se define el rango de una matriz como el n´umero m´aximo de filas o columnas
linealmente independientes.
Sin embargo, el c´alculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando
el m´etodo de Gauss.
Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el m´etodo de Gauss con el
fin de simplificarla lo m´as posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor n´umero de ceros posible),
realizando operaciones elementales en filas.
Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rg(A) al n´umero de filas no nulas de
la matriz tras aplicarle el m´etodo de Gauss.
Ejemplo: Calcular el rango de las siguientes matrices:
A =
1 1
2 2
B =
0 3
1 1
C =
1 1 0
2 1 1
−1 1 −2
D =
2 4 6
−1 −2 −3
a)
1 1
2 2
F2−2·F1
−−−−−→
1 1
0 0
, Rg(A)=1 ,s´olo una fila distinta de cero.
b)
0 3
1 1
F2 F1
−−−−→
1 1
0 3
, Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas.
c)
1 1 0
2 1 1
−1 1 −2
F2−2·F1
−−−−−→
1 1 0
0 −1 1
−1 1 −2
F3+F1
−−−−→
1 1 0
0 −1 1
0 2 −2
F3+2·F2
−−−−−→
1 1 0
0 −1 1
0 0 0
Rg(C)=2 hay 2 filas no nulas.
d)
2 4 6
−1 −2 −3
2·F2+F1
−−−−−→
2 4 6
0 0 0
, Rg(D)=1, s´olo una fila no nula.
Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o
igual que el n´umero de filas de la matriz.
De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su n´umero de
filas y de columnas, pues el proceso para hacer el m´etodo de Gauss se puede hacer indistintamente
mediante operaciones elementales en filas o en columnas.
Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qu´e valores va a estar ese rango.
Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango s´olo puede ser 0, 1, 2 ´o 3,
no hay otras posibilidades.
En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango s´olo puede ser 0,1 ´o 2. (De hecho,
podemos reducir esto algo m´as , pues una matriz s´olo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo:
14. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 95
Propiedad: Si A es una matriz de tama˜no m x n no nula se cumple que:
1 ≤ Rg(A) ≤ min{m, n}
Ejemplo: Calcular en funci´on de k el rango de la matriz:
A =
1 1 2
3 3 k
Aplicando Gauss,
A =
1 1 2
3 3 k
F2−3·F1
−−−−−→
1 1 2
0 0 k − 6
Ahora es evidente que si k-6=0, la ´ultima fila es nula. Por tanto, si k=6, la ´ultima fila es nula y el
rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k-6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2
filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo:
Si k = 6, entonces Rg(A)=2
Si k=6, entonces Rg(A)=1
La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto
anteriormente:
Propiedad:
Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ Rg(A) es m´aximo.
Ejercicios:
1. Calcula el rango de A seg´un los valores de k: A =
1 −2 1
1 1 3
5 −1 k
.¿Para qu´e valores de k tiene A
inversa?.
2. Calcula el rango de las matrices:
A =
1 0 1
2 1 0
B =
0 2 1
1 0 −1
0 4 2
C =
2 −1 1 1
0 0 1 0
2 1 1 1
0 0 0 1
D =
2 1 5 −1 8
−1 2 3 4 5
1 3 10 11 13
6.8. Determinantes
Introduciremos a continuaci´on el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. Este
concepto permite simplificar operaciones matriciales tales como el c´alculo del rango o de la matriz
inversa.
Definici´on:
Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien
|A|, como el n´umero:
det(A) = |A| =
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 − a12 · a21
Ejemplos: El c´alculo de los determinantes de orden 2 es bien sencillo, por ejemplo:
15. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 96
a)
1 3
−1 4
=1ó4-(-1)ó3=4+3=7.
b)
−2 −3
2 5
=-10+6=-4.
Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente
algunos conceptos.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de
A,aij , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que
se encuentra dicho elemento aij. Se representa por Mij.
Ejemplo: En la matriz A =
−2 4 5
6 7 −3
3 0 2
, los menores complementarios de cada uno de los
elementos de la primera fila son:
Menor complementario de -2:M11 =
7 −3
0 2
=14-0=14.
Menor complementario de 4:M12 =
6 −3
3 2
=12+9=21.
Menor complementario de 5:M13 =
6 7
3 0
=0-21=-21.
Y as´ı sucesivamente.
Ejercicio: Obtener los restantes menores complementarios de los elementos de la matriz A.
Estrechamente ligado al concepto de menor complementario se encuentra el de adjunto de una matriz.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el adjunto de un elemento aij de A como el
n´umero:
Aij = (−1)i+j
· Mij
es decir, no es m´as que el menor complementario correspondiente acompa˜nado de un signo m´as o
menos dependiendo de la fila y la columna en la que se encuentre el elemento en cuesti´on.
Por ejemplo, para la matriz anterior, los adjuntos de los elementos de la primera fila son:
Adjunto de -2:A11 = (−1)1+1
· M11 = 1 · 14 = 14 (coincide con el menor complementario)
Adjunto de 4:A12 = (−1)1+2
· M12 = (−1) · 21 = −21 (menor complementario con signo cambiado)
Adjunto de 5:A13 = (−1)1+3 · M13 = 1 · −21 = −21 (coincide con el menor complementario).
Ejercicio: Obtener los restantes adjuntos de los elementos de la matriz A.
En general puede saberse si el signo del menor complementario y del adjunto coinciden o no utilizando
una sencilla regla gr´afica, por ejemplo, para matrices 3 x 3 y 4 x 4 basta fijarse en las matrices:
+ − +
− + −
+ − +
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − +
donde el + significa que el adjunto coincide con el menor complementario y el - indica que tienen signo
contrario.
Una vez vistos estos conceptos se puede definir ya:
Definici´on: Dada una matriz cuadrada A de tama˜no n se define su determinante como la suma
16. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 97
del producto de los elementos de una linea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus
correpondientes adjuntos.
Se puede demostrar, aunque dicha demostraci´on excede los contenidos del curso, que el valor del
determinante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo.
Ejemplo: Para la matriz A =
−2 4 5
6 7 −3
3 0 2
,aplicando la definici´on, si elegimos la fila tercera queda:
det(A) = 3 ·
4 5
7 −3
+ 0 · −
−2 5
6 −3
+ 2 ·
−2 4
6 7
=
= 3 · (−12 − 35) + 0 · (−(6 − 30)) + 2 · (−14 − 24) = −141 + 0 − 76 = −217
Si hubi´esemos elegido otra fila o columna, por ejemplo la columna 2, quedar´ıa:
det(A) = 4 · −
6 −3
3 2
+ 7 ·
−2 5
3 2
+ 0 · −
−2 5
6 −3
=
= 4 · (−(12 + 9)) + 7 · (−4 − 15) + 0 · (−(6 − 30)) = −84 − 133 + 0 = −217
Ejercicio: Calcula, desarrollando por la fila que t´u elijas los determinantes de las matrices:
1 8 1
1 7 0
1 6 −1
3 4 −6
2 −1 1
5 3 −5
7 8 0
0 −7 3
1 0 1
0 3 1
−2 0 2
3 4 0
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 1 1
1 2 3 4
2 1 3 1
3 1 4 3
3 4 1 2
1 0 −1 2
2 3 2 −2
2 4 2 1
3 1 5 −3
6.9. La regla de Sarrus
La definici´on de determinante es bastante engorrosa y se hace mucho m´as pesada a medida que
aumenta el orden de la matriz A.
En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, esta regla facilita el c´alculo de dichos determi-
nantes.
Si la matriz es A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, entonces el determinante de A se calcula mediante la resta
de dos expresiones obtenidas del siguiente modo:
Llamaremos sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar:
- Los elementos de la diagonal principal,a11 · a22 · a33.
- Los elementos de la linea paralela superior a la diagonal principal por el elemento aislado de la
esquina inferior izquierda:a12 · a23 · a31.
- Los elementos de la linea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento aislado de la
esquina superior derecha:a21 · a32 · a13.
17. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 98
Gr´aficamente:
Figura 6.2: Sumandos positivos
Llamaremos sumandos negativos a los obtenidos al multiplicar:
- Los elementos de la diagonal secundaria,a13 · a22 · a31.
- Los elementos de la linea paralela superior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la
esquina inferior derecha: a12 · a21 · a33.
- Los elementos de la linea paralela inferior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la
esquina superior izquierda: a32 · a23 · a11.
Gr´aficamente:
Figura 6.3: Sumandos negativos
Y entonces det (A)= Sumandos positivos - Sumandos negativos.
Por ejemplo, en el caso de la matriz anterior:
A =
−2 4 5
6 7 −3
3 0 2
, se tiene que aplicando la regla de Sarrus:
det(A)=(-2)ó7ó2+4ó3ó(-3)+6ó5ó0-(3ó7ó5+0ó(-2)ó(-3)+6ó4ó2)=-28-36-105-48=-217.
Ejercicio: Comprobar, mediante la regla de Sarrus, los determinantes de orden 3 obtenidos en el
ejercicio anterior.
6.10. Propiedades de los determinantes
Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostraci´on,
son:
1. Si una matriz tiene una linea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero.
Esta propiedad es evidente, puesto que por definici´on de determinante, basta elegir dicha linea
para desarrollar y el determinante ser´a 0.
18. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 99
2. Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo.
3. Si permutamos dos lineas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo,
por ejemplo:
0 1 2 −3
1 3 2 −5
2 4 3 1
3 −2 −8 1
= 91 =⇒
0 1 2 −3
1 3 2 −5
3 −2 −8 1
2 4 3 1
= −91
4. Si multiplicamos todos los elementos de una linea de un determinante por un n´umero, el deter-
minante queda multiplicado por ese n´umero. Por ejemplo:
0 1 2 −3
1 3 2 −5
2 4 3 1
3 −2 −8 1
= 91 =⇒
0 1 2 −3
2 6 4 −10
2 4 3 1
3 −2 −8 1
= 182
pero
0 2 4 −6
2 6 4 −10
4 8 6 2
6 −4 −16 2
= 16 · 91 = 1456
5. Si a una linea de una matriz se le suma otra linea multiplicada por un n´umero, el determinante
no cambia.
Esta propiedad permite utilizar un m´etodo m´as sencillo para calcular determinantes de orden
mayor que 3.
6. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta,
|A| = |At
|
7. Si A tiene matriz inversa, A−1
, se verifica que:
det(A−1
) =
1
det(A)
Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o superior, o incluso de
orden 3 si la matriz es compleja, es el m´etodo de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante
no var´ıa al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas,como indica la propiedad
5 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha propiedad.
As´ı pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna y
desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces s´olo tendremos que calcular un adjunto. Por
ejemplo, si calculamos:
0 1 2 −3
1 3 2 −5
2 4 3 1
3 −2 −8 1
F3−2·F2
=
0 1 2 −3
1 3 2 −5
0 −2 −1 11
3 −2 −8 1
F4−3·F2
=
0 1 2 −3
1 3 2 −5
0 −2 −1 11
0 −11 −14 16
=
Desarrollando por la columna 1
= 1 ·
−
1 2 −3
−2 −1 11
−11 −14 16
=
= −(−16 − 242 − 84 − (−33 − 154 − 64)) = 91
19. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 100
Como hemos dicho, hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con determinantes, puesto
que no podemos hacer las mismas operaciones que con las matrices, lo que puede confundir.
Por ejemplo, si queremos calcular el determinante:
C =
1 2 3
0 1 2
4 1 5
mediante la regla de Sarrus es:
det(C)=5+16+0-(12+2+0)=21-14=7.
Si hici´esemos ceros en la primera columna, y desarroll´asemos nos deber´ıa dar lo mismo. Ahora
bien,podemos hacer cero el 4 de la primera columna mediante:
1 2 3
0 1 2
4 1 5
F3−4·F1
=
1 2 3
0 1 2
0 −7 −7
=
1 2
−7 −7
= −7 + 14 = 7.
lo que es correcto. Sin embargo, si queremos hacer cero el 1 de la primera columna ser´ıa un error
hacer:
1 2 3
0 1 2
4 1 5
4·F1−F3
−→
0 7 7
0 1 2
4 1 5
= 4 ·
7 7
1 2
= 4 · (14 − 7) = 28.
no obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un n´umero y eso altera el
valor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene no multiplicarla, como en el primer ejemplo,
puesto que si no nos damos cuenta, podemos variar el valor del determinante.
6.11. Relaci´on entre la inversa y los determinantes
Hay una estrecha relaci´on entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. De hecho se
verifica que:
Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ |A| = 0.
Adem´as, en este caso, la matriz inversa de A, A−1
se calcula de la manera:
A−1
=
(Adj(A)t
|A|
donde Adj(A) denota la matriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene de sustituir cada elemento
de A por su adjunto.
Ejemplo: Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A =
1 0 −1
0 1 −3
−1 1 0
.
En primer lugar,|A| =
1 0 −1
0 1 −3
−1 1 0
= 0 + 0 + 0 − (1 − 3 + 0) = 2 y por tanto A tiene inversa.
Calculando Adj(A), se obtiene:
Adj(A) =
1 −3
1 0
−
0 −3
−1 0
0 1
−1 1
−
0 −1
1 0
1 −1
−1 0
−
1 0
−1 1
0 −1
1 −3
−
1 −1
0 −3
1 0
0 1
=
3 3 1
−1 −1 −1
1 3 1
20. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 101
Por tanto,
(Adj(A)t
) =
3 −1 1
3 −1 3
1 −1 1
Y entonces, se obtiene:
A−1
=
3
2
−1
2
1
2
3
2
−1
2
3
2
1
2
−1
2
1
2
Ejercicio: Calcular la inversa anterior por el m´etodo de Gauss.
6.12. Aplicaci´on de los determinantes al c´alculo del rango
Los determinantes tambi´en proporcionan una forma sencilla de calcular el rango de una matriz
cualquiera.
Un definici´on alternativa de rango de una matriz es:
El Rango de una matriz A es el tama˜no del mayor menor complementario no nulo que est´e incluido
dentro de la matriz.
Aplicando este criterio, calculemos el rango de las matrices siguientes:
A =
1 1
2 2
B =
0 3
1 1
C =
1 1 0
2 1 1
−1 1 −2
D =
2 4 6
−1 −2 −3
a) S´olo hay un menor de orden 2, que es:
1 1
2 2
= 0
Como es nulo, el rango de la matriz NO es 2. Menores de orden 1 hay 4, por ejemplo |1| = 1, que es
no nulo,luego el rango de la matriz es Rg(A)=1 (el tama˜no de dicho menor complementario).
b) S´olo hay un menor de orden 2, que es:
0 3
1 1
= 0 − 3 = −3
Como no es nulo, el rango de la matriz es Rg(B)=2 (el tama˜no de dicho menor complementario).
c) S´olo hay un menor de orden 3, que es:
1 1 0
2 1 1
−1 1 −2
= −2 − 1 + 0 − (0 + 1 − 4) = −3 + 3 = 0
Como es nulo, podemos asegurar que el rango NO es 3.
Menores de orden 2 hay 9. Calculando alguno:
1 0
1 1
= 1
resulta que es no nulo, luego el rango es Rg(C)=2 (el tama˜no de dicho menor complementario).
d) El menor m´as grande que podemos formar es de orden 2. Hay 3 de ellos:
2 4
−1 −2
= −4 + 4 = 0
2 6
−1 −3
= −6 + 6 = 0
4 6
−2 −3
= −12 + 12 = 0
21. CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 102
Son todos nulos, luego el rango NO es 2. Menores de orden 1 hay 6, y por ejemplo |6| = 6 = 0, es no
nulo, luego el rango es Rg(D)=1.
Ejercicio Calcula,utilizando los determinantes, el rango de las matrices:
A =
1 0 1
2 1 0
B =
0 2 1
1 0 −1
0 4 2
C =
2 −1 1 1
0 0 1 0
2 1 1 1
0 0 0 1
D =
2 1 5 −1 8
−1 2 3 4 5
1 3 10 11 13