Este documento presenta una introducción a las matrices. Define una matriz como una tabla cuadrada o rectangular de elementos ordenados en filas y columnas. Explica diferentes tipos de matrices como matrices fila, columna, nula, diagonal, unitaria y triangular. Además, describe operaciones básicas con matrices como la adición y multiplicación de una matriz por un escalar.

1. Matriz. 1 / 49
Matriz.
Ing. Braulio Lozano Hern´andez.
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura
Universidad Polit´ecnica de Amozoc
17 de septiembre de 2015
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 1 / 49

2. Matriz. 2 / 49
1 Definici´on.
2 Tipos de matrices.
3 Operaciones con matrices.
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 2 / 49

3. Matriz. 3 / 49
Definici´on.
Definici´on.
Una Matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos o
tambi´en llamados elementos (llamados elementos o entradas de
la matriz) ordenandos en filas y columnas, donde una fila es
cada una de las l´ıneas horizontales de la matriz y una columna
es cada una de las l´ıneas verticales.
A =






a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn






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4. Matriz. 4 / 49
Definici´on.
Definici´on.
A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz
m por n (escrito mxn), y a m y n dimensiones de la matriz. Las
dimensiones de una matriz siempre se debe dar en el siguiente
orden: con el n´umero de filas primero y el n´umero de columnas
despu´es.
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5. Matriz. 5 / 49
Definici´on.
Orden.
Com´unmente se dice que una matriz m por n tiene un orden de
m x n (orden tiene el significado de tama˜no).
A =




3 −1 0
2 0 1
4 8 −2
2 4 −1




El orden de la matriz A es:
4 x 3.
Si m = n, se dice que la matriz es cuadrada.
Dos matrices son iguales si se cumple la siguiente regla: son del
mismo orden y tienen los mismos elementos.
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6. Matriz. 6 / 49
Definici´on.
Elemento de la matriz.
Al elemento o dato de una matriz que se encuentra en la fila i-
´esima y la columna j-´esima se le llama elemento i, j o elemento
(i, j)-i´esimo de la matriz.
Advi´ertase que se cumple el orden descrito, colocar primero las
filas y despu´es las columnas.
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7. Matriz. 7 / 49
Definici´on.
Notaci´on.
Com´unmente, se denotan a las matrices con letras may´usculas
mientras que se utilizan las correspondientes letras en min´uscu-
las para denotar a los elementos o datos pertenecientes a las
mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se en-
cuentra en la fila i-´esima y la columna j-´esima se le denota
como ai,j o a[i, j].
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8. Matriz. 8 / 49
Definici´on.
La matriz
A =




1 2 3
1 2 7
4 9 2
6 0 5




Es una matriz 4x3. El elemento a2,3 ´o A [2,3] es 7.
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9. Matriz. 9 / 49
Tipos de matrices.
Matriz fila.
La matriz fila: es una matriz que consta de una sola fila.
R = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Es una matriz 1 x 9, o un vector fila con 9 elementos. y es el
orden es de 1 x 9.
Entonces, el orden de toda matriz fila es 1 x n.
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10. Matriz. 10 / 49
Tipos de matrices.
Matriz columna.
La matriz columna: es una matriz que consta de una sola co-
lumna.
C =


3
1
3


El orden de la matriz C es: 3 x 1
Por lo tanto, El orden de una matriz columna es n x 1.
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11. Matriz. 11 / 49
Tipos de matrices.
Matriz NULA.
La matriz Nula: Es una matriz de cualquier orden en que todos
sus elementos son iguales a cero.
0 =






0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
.. ... ... ... ...
0 0 0 ... 0






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12. Matriz. 12 / 49
Tipos de matrices.
Matriz Diagonal.
La Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada en que todos los
elementos que no est´en en la diagonal principal son iguales a
cero.
D =


5 0 0
0 1 0
0 0 3


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13. Matriz. 13 / 49
Tipos de matrices.
Matriz Unitaria o Identidad.
Matriz unitaria o identidad: Es una matriz diagonal en que
todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y
los restantes son iguales a cero.
I =




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




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14. Matriz. 14 / 49
Tipos de matrices.
Matriz triangular.
La matriz triangular: Es toda matriz cuadrada donde todos los
elementos que est´an por debajo ´o por encima de la diagonal
principal son iguales a cero.
E =


1 7 0
0 −1 3
0 0 2


Matriz triangular superior.
E =


1 0 0
0 2 0
0 −3 0


Matriz triangular inferior.
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15. Matriz. 15 / 49
Tipos de matrices.
Igualdad de matrices.
Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si sus elementos
correspondientes son iguales.
A = B si y solo si ai,j = bi,j , para todo i,j.
A =


3 2 6
1 0,5 4
0 5 8

 B =


3 2 6
1 0,5 −4
0 5 8


a2,3 = b2,3. Entonces A = B.
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16. Matriz. 16 / 49
Operaciones con matrices.
Adici´on de matrices.
Dos matrices pueden sumarse cuando son del mismo orden y
esta operaci´on se realiza elemento a elemento.
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


A + B =


a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2 a1,3 + b1,3
a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2 a2,3 + b2,3
a3,1 + b3,1 a3,2 + b3,2 a3,3 + b3,3


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17. Matriz. 17 / 49
Operaciones con matrices.
Adici´on de matrices. (cont.)
Ejemplo.
A =
1 4
−3 2
D =


1 3
0 5
−1 2


B =
2 5
1 3
E =
−1 0 4
3 −2 0
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18. Matriz. 18 / 49
Operaciones con matrices.
Adici´on de matrices.(cont.)
A =
1 4
−3 2
B =
2 5
1 3
A + B =
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19. Matriz. 19 / 49
Operaciones con matrices.
Adici´on de matrices.(cont.)
A =
1 4
−3 2
B =
2 5
1 3
A + B =
1 + 2
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20. Matriz. 20 / 49
Operaciones con matrices.
Adici´on de matrices.(cont.)
A =
1 4
−3 2
B =
2 5
1 3
A + B =
1 + 2 4 + 5
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21. Matriz. 21 / 49
Operaciones con matrices.
Adici´on de matrices.(cont.)
A =
1 4
-3 2
B =
2 5
1 3
A + B =
1 + 2 4 + 5
−3 + 1
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22. Matriz. 22 / 49
Operaciones con matrices.
Adici´on de matrices.(cont.)
A =
1 4
−3 2
B =
2 5
1 3
A + B =
1 + 2 4 + 5
−3 + 1 2 + 3
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23. Matriz. 23 / 49
Operaciones con matrices.
Adici´on de matrices.(cont.)
A =
1 4
−3 2
B =
2 5
1 3
A + B =
1 + 2 4 + 5
−3 + 1 2 + 3
A + B =
3 9
−2 5
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24. Matriz. 24 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz.
Se puede efectuar siempre la multiplicaci´on de un escalar por
una matriz y se realiza multiplicando cada elemento de la matriz
por el escalar: αC
αC =


α(c1,1) α(c1,2) α(c1,3) α(c1,4)
α(c2,1) α(c2,2) α(c2,3) α(c2,4)
α(c3,1) α(c3,2) α(c3,3) α(c3,4)


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25. Matriz. 25 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
−1 0 4
3 −2 0
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26. Matriz. 26 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
−1 0 4
3 −2 0
αF =
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 26 / 49

27. Matriz. 27 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
-1 0 4
3 −2 0
αF =
1
2
(−1)
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 27 / 49

28. Matriz. 28 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
−1 0 4
3 −2 0
αF =
1
2
(−1)
1
2
(0)
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29. Matriz. 29 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
−1 0 4
3 −2 0
αF =
1
2
(−1)
1
2
(0)
1
2
(4)
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30. Matriz. 30 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
−1 0 4
3 −2 0
αF =





1
2
(−1)
1
2
(0)
1
2
(4)
1
2
(3)





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31. Matriz. 31 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
−1 0 4
3 -2 0
αF =





1
2
(−1)
1
2
(0)
1
2
(4)
1
2
(3)
1
2
(−2)





Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 31 / 49

32. Matriz. 32 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
−1 0 4
3 −2 0
αF =





1
2
(−1)
1
2
(0)
1
2
(4)
1
2
(3)
1
2
(−2)
1
2
(0)





Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 32 / 49

33. Matriz. 33 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de un escalar por una matriz. (cont.)
Ejemplo: αF, donde α =
1
2
F =
−1 0 4
3 −2 0
αF =





1
2
(−1)
1
2
(0)
1
2
(4)
1
2
(3)
1
2
(−2)
1
2
(0)





=





−
1
2
0 2
3
2
−1 0





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34. Matriz. 34 / 49
Operaciones con matrices.
TEOREMA.
Sea A, B y C matrices del mismo rango, y sean r y s escalares.
1 A + B = B + A
2 ( A + B ) + C = A + ( B + C )
3 A + 0 = A
4 r(A + B) = rA + rB
5 (r + s )A = rA + sA
6 r(sA) = (rs)A
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35. Matriz. 35 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices.
El producto de matrices puede efectuarse solo si se cumple la
siguiente condici´on: El n´umero de columnas de la primera
matriz debe ser igual al n´umero de filas de la segunda
matriz.
Matriz A de rango m x n y B de rango p x q; para realizar la
multiplicaci´on AB el valor de n y p deben ser iguales.
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36. Matriz. 36 / 49
Operaciones con matrices.
REGLA FILA-COLUMNA PARA CALCULAR AB.
Si el producto AB esta definido, entonces la entrada en la fila
i y la columna j de AB es la suma de los productos de entrada
correspondientes de la fila i de A y la columna de j de B. Si abi,j
denota la entrada (i,j) de la matriz AB, y si A es una matriz m
x n, entonces:
ab(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + a(i,3)b(3,j) + ... + a(i,n)b(n,j)
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37. Matriz. 37 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices.(cont.)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =




Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 37 / 49

38. Matriz. 38 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices.(cont.)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =




ab(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + a(i,3)b(3,j)
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 38 / 49

39. Matriz. 39 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab1,1)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1


ab(1,1) = a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1
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40. Matriz. 40 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab1,2)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2


ab(1,2) = a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2
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41. Matriz. 41 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab1,3)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 ab1,2 a1,1b1,3 + a1,2b2,3 + a1,3b3,3


ab(1,3) = a1,1b1,3 + a1,2b2,3 + a1,3b3,3
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 41 / 49

42. Matriz. 42 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab2,1)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 ab1,2 ab1,3
a2,1b1,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1


ab(2,1) = a2,1b1,1 + a2,2b2,1 + a2,3b3,1
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 42 / 49

43. Matriz. 43 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab2,2)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 ab1,2 ab1,3
ab2,1 a2,1b1,2 + a2,2b2,2 + a2,3b3,2


ab(2,2) = a2,1b1,2 + a2,2b2,2 + a2,3b3,2
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 43 / 49

44. Matriz. 44 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab2,3)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 ab1,2 ab1,3
ab2,1 ab2,2 a2,1b1,3 + a2,2b2,3 + a2,3b3,3


ab(2,3) = a2,1b1,3 + a2,2b2,3 + a2,3b3,3
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45. Matriz. 45 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab3,1)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 ab1,2 ab1,3
ab2,1 ab2,2 ab2,3
a3,1b1,1 + a3,2b2,1 + a3,3b3,1


ab(3,1) = a3,1b1,1 + a2,2b2,1 + a3,3b3,1
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46. Matriz. 46 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab3,2)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 ab1,2 ab1,3
ab2,1 ab2,2 ab2,3
ab3,1 a3,1b1,2 + a3,2b2,2 + a3,3b3,2


ab(3,2) = a3,1b1,2 + a3,2b2,2 + a3,3b3,2
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47. Matriz. 47 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ab3,3)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 ab1,2 ab1,3
ab2,1 ab2,2 ab2,3
ab3,1 ab3,2 a3,1b1,3 + a3,2b2,3 + a3,3b3,3


ab(3,3) = a3,1b1,3 + a3,2b2,3 + a3,3b3,3
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48. Matriz. 48 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (AB)
Sea las matrices A y B, el producto AB es:
A =


a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3

 B =


b1,1 b1,2 b1,3
b2,1 b2,2 b2,3
b3,1 b3,2 b3,3


AB =


ab1,1 ab1,2 ab1,3
ab2,1 ab2,2 ab2,3
ab3,1 ab3,2 ab3,3


Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Matriz. 48 / 49

49. Matriz. 49 / 49
Operaciones con matrices.
Producto de matrices. (ejercicio.)
Obtenga el producto de C y D
C =
−1 0 4
3 −2 0
D =


1 3
0 5
−1 2


CD =


−1(1) + 0(0) + 3


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50. Matriz. 49 / 49
Operaciones con matrices.
3 3 3
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