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Actividades
- 1. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Situación 1 Corría el año 1610 en Francia cuando el padre Marin Mersenne quiso construir una bella parroquia en un pueblito de las afueras de París. Para su realización llamó a los más afamados e importantes constructores y les dio sólo dos indicaciones como condición para la ejecución del trabajo: el frente debería incluir un ventanal cuya forma siguiera la ecuación f(x)= -(x – 4)(x – 12) y que el techo, a dos aguas, tocara el ventanal solamente a los 12 metros de altura respecto de la base del mismo. a) Representen la situación sobre los ejes cartesianos: b) El techo, a 12 metros de altura sobre la horizontal, es …………………………. al ventanal en dicho punto. c) Determinen la pendiente de la recta tangente a la curva, que representa el ventanal, en el punto (15,….): …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… d) ¿Cuál es el ángulo de inclinación del techo respecto de la horizontal? La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto es igual a:……………
- 2. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Situación 2 Para pensar: ¿Existe siempre la derivada de una función en un punto? Para responder a ésto analizaremos unas gráficas de funciones. 1) Trazar la recta tangente a la curva en el punto de coordenadas (x1, y1) en las siguientes gráficas de funciones: Ayudita: trazar las rectas secantes tanto por derecha como por izquierda. a) b) c) 2) En las dos primeras gráficas, las pendientes de las rectas secantes, según nos acerquemos por derecha o por izquierda, son …………………………………. 3) En la gráfica del ítem c), ¿la curva tiene tangente por derecha del punto? ……….¿Y por izquierda?................................
- 3. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... 4) Las rectas tangentes que dibujaron, ¿son una buena aproximación a la curva en el punto dado? ………………………………. Podemos concluir entonces que:………………………………………………………………... En síntesis:
- 4. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Practiquemos lo visto hasta el momento!! 1) Dado el siguiente gráfico: a) ¿Cuál es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (1, 3) y (2, 3)? b) ¿Y para los puntos (1, 3) y (1.99, 3)? c) Todas las rectas secantes tienen su pendiente igual a ……………. Si la recta es tangente es una posición límite de las secantes, la pendiente de la recta tangente es ………………… Derivada de una constante Dada la función constante f(x) = k (constante) Tenemos que f´(c) = 0, cualquiera sea c ∈ Df. Y la gráfica de la función derivada de una función constante es: La función derivada coincide con ………………………………….
- 5. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... 2) Una empresa se dedica a la fabricación de circuitos electrónicos. El costo (c) de la producción de n circuitos está dado por la función: c(n)= 100n + 40. a) Graficar la función. b) ¿Cuál es el costo de fabricar 50 circuitos? ………………………………………………………………………………………………………………… c) Calcular, mediante intervalos, la variación instantánea cuando se fabrican 50 circuitos. No olvidar tomar intervalos tanto por derecha como por izquierda. …………………………………………………………………………………………………………………… d) Calcular la variación instantánea cuando se fabrican 85 circuitos. …………………………………………………………………………………………………………………… e) ¿Cuál será la variación instantánea cuando se fabrican r circuitos? Justificar. …………………………………………………………………………………………………………………… Derivada de la función lineal Dada la función lineal f(x) = ax + b Tenemos que: f´(c) = a , para cualquier c ∈ Df. Y la función derivada con respecto a x:
- 6. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... 3) Dada la parábola y = x2 , a) Graficar la función: b) Trazar la recta tangente a la curva en los puntos: (1, 1), (2, 4), (3, 9), (-1, 1), (-2, 4) y (-3, 9). c) Calcular a partir del gráfico la pendiente de la recta tangente de la curva que pasa por los puntos del ítem anterior para completar el cuadro: Punto La pendiente de la recta tangente: (1, 1) (2, 4) (3, 9) (-1, 1) (-2, 4) (-3, 9) (x₀, y₀) La función cuadrática es una función potencial del tipo f(x) = xn , con n= …………. La derivada de f(x₀) es…………………. La derivada de f´(x) es………………
- 7. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Derivada de la función potencial Dada la función f(x) = xn , con n entero positivo Tenemos que: f´(x) = n.x(n – 1) , para cualquier c ∈ Df. Veamos un ejemplo: Sea f(x)= x2 , la derivada de la función en x es f´(x)= 2.x(2-1) = ……………. Sea f(x)= x3, la derivada de la función en x es f´(x)= 3.x(3-1) = ……………. (a) Si queremos hallar la pendiente de la recta tangente de ésta función para x = 2, solo tenemos que remplazar en la expresión (a): ……………………………….. d) ¿Cuál es la derivada de la función en x = 1? ………………………………………….. e) La pendiente de la recta tangente es …………………… ya que es el ………………….. de las rectas secantes. f) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 1). ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………….. g) Los intervalos de crecimiento de la función f(x)= x2 son……………………….., y los intervalos de decrecimiento son ……………………………………. h) Para valores de x donde la función crece, las pendientes de las rectas tangentes a la curva en esos puntos tienen signo: ……………………………. Y para valores de x donde la función decrece, el signo de sus pendientes es …………………………………….. Con lo cual: Si f ´(a) > 0 → f(x) es…………………. en x =a. Si f ´(a) <0 → f(x) es…………………… en x = a. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente nos indica el …………………. o …………………………. de una función.
- 8. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... i) Graficar f ´(x) j) Comparar los gráficos de f(x) y f ´(x). Encontrar alguna relación entre ambos gráficos, si es que existe: ……………………………………………………………………………………………………………… 4) Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva: a) y = 10x, en el punto (2, 20). ………………………………………………………………………………………………… b) y = x2, en el punto (0, 0). ………………………………………………………………………………………………… c) y = x3, en el punto (1, 1). ………………………………………………………………………………………………… 5) En relación a lo trabajado con el concepto de límite y algunas propiedades, completar: a) El límite de una constante por una función es igual a: …………………………………… ……………………………... Por ejemplo: ………………………………… ......……………………… ………… b) El límite de la suma (o diferencia) de 2 funciones es igual a: …………………………………………………… …………………………………………………… Por ejemplo: …………………………………………………… ……………………………………………………
- 9. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Ambas propiedades se cumplen para la derivada, ya que ésta es un caso especial de límite. Entonces, La derivada de una constante por una función es igual a: ……………………... ………………………………………………………………………………………………………… La derivada de la suma (o diferencia) de 2 funciones es igual a: …………… ………………………………………………………………………………………………………… Que se cumplan estas propiedades no quiere decir que se cumplan otras propiedades de los limites!!!! Estas propiedades de la derivada se las puede expresar: Si f es una función, c es una constante, y g es una función definida por: g(x) = c . f(x) , si f ´(x) existe, entonces: g ´(x) = c . f´(x) Si f y g son dos funciones y h es la función definida por: h(x) = f(x) + g(x), si f´(x) y g´(x) existen, entonces: h ´(x) = f ´(x) + g ´(x) 6) Deriven la función dada aplicando propiedades: f (x)= 3x2……………………………………………………………………………………….. f (x)= 2x6……………………………………………………………………………………….. f (x)= 2x + x3………………………………………………………………………………….. f (x)= 4x7 – x3 + 3 ……………………………………………...............................................
- 10. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Trabajaremos con dos propiedades más: Dadas dos funciones, f y g, tales que f ´(x) y g ´(x) existen, se verifica que: Si f y g son funciones y si h es la función definida por: h(x) = f(x) • g(x), entonces: Si f y g son funciones y h es la función definida por: , con g(x) ≠ 0, entonces: Veamos algunos ejemplos: ) Si f(x) = y g(x) = ) : s(x) = f(x) • g(x) Derivamos cada una de las funciones, aplicando las propiedades, nos queda: Como: Si: f(x) = y g(x) = Remplazamos por f´(x) y g´(x)
- 11. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... La función h(x) queda definida: Entonces: Derivando f(x) y g(x): Remplazando: 7) Utilizando las reglas, calcula la derivada de las siguientes funciones: a) …………………………………………………………………………………………………………… b) …………………………………………………………………………………………………………… c) …………………………………………………………………………………………………………… d) …………………………………………………………………………………………………………… e) …………………………………………………………………………………………………………… a) La distancia en centímetros de un móvil en un cierto lugar está determinada por la función , donde t es el tiempo de marcha en segundos. ¿Qué velocidad alcanzó el móvil a los 4 segundos de marcha?
- 12. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... En resumen: Situación 3 Continuamos trabajando… Para determinar si una función es continua en un punto (x0, y0) se debe verificar que: ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….. Estos requisitos serán muy útiles para continuar trabajando sobre derivada. 1) Para las siguientes funciones, analizar si son continuas en los valores de abscisas indicados y estudiar si existe la derivada en dichos valores.
- 13. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Ayudita: traza las rectas secantes próximas a los puntos a analizar, o la recta tangente (de existir). a) En x = 3 ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. b) En x = 3 ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. c) En x= 1 y x = 3 ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. d) En x = 2 ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………….. ……………………………………………………………..
- 14. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... e) En x = 0 ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. 2) Se puede concluir que: Todas las funciones que son continuas en un determinado punto, ¿son derivables?....................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………… Todas las funciones que tienen derivada en los puntos analizados, ¿son continuas? ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………. Toda función …………………………en un punto entonces es …………………… en el mismo, pero, no es suficiente que sea ……………………… en un punto para que sea derivable. En conclusión, no existe la derivada de una función en los valores donde la función no es continua, donde la función tiene puntos angulosos o donde la recta tangente es vertical. 3) Para la función f(x), hallen dominio, la función derivada y el dominio de ésta, en cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = mx + b b) f(x) = x3 c) f(x)= 4) Analicen si cada una de las siguientes funciones es derivable en el valor de a que se indica. Justifiquen sus respuestas.
- 15. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... a) , en a = 1 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………… b) , en a = -1 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………. 5) Indiquen si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifiquen. a) La función no es derivable en 3 porque no es continua en ese valor. ………………………………………………………………………………………………………. b) La función es derivable en cada valor de su dominio, o sea, en todo su dominio. ………………………………………………………………………………………………………... 6) Propongan el gráfico de dos funciones que sean continuas en x=4, pero que, por causas diferentes, no sean derivables en ese valor:
- 16. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... 7) Analicen las siguientes funciones y completen: a) Intervalos: de crecimiento: …………………………. de decrecimiento: ……………………… donde las pendientes de las rectas tangentes sean positivas: …………………………………… donde las pendientes de las rectas tangentes sean negativas: ………………………………….. Puntos: Máximos de la función: …………………………….. Mínimos de la función: …………………………….. Donde la pendiente de la recta tangente es cero: …………………… Donde no existe la derivada de la función: …………………………….. b) Intervalos: de crecimiento: …………………………. de decrecimiento: ……………………… donde las pendientes de las rectas tangentes sean positivas: …………………………………… donde las pendientes de las rectas tangentes sean negativas: ………………………………….. Puntos: Máximos de la función: …………………………….. Mínimos de la función: …………………………….. Donde la pendiente de la recta tangente es cero: ……………………
- 17. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Donde no existe la derivada de la función: …………………………….. c) Intervalos: de crecimiento: …………………………. de decrecimiento: ……………………… donde las pendientes de las rectas tangentes sean positivas: …………………………………… donde las pendientes de las rectas tangentes sean negativas: ………………………………….. Puntos: Máximos de la función: …………………………….. Mínimos de la función: …………………………….. Donde la pendiente de la recta tangente es cero: …………………… Donde no existe la derivada de la función: …………………………….. d) Intervalos: de crecimiento: …………………………. de decrecimiento: ……………………… donde las pendientes de las rectas tangentes sean positivas: …………………………………… donde las pendientes de las rectas tangentes sean negativas: ………………………………….. Puntos: Máximos de la función: …………………………….. Mínimos de la función: …………………………….. Donde la pendiente de la recta tangente es cero: ……………………
- 18. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Donde no existe la derivada de la función: …………………………….. Para tener en cuenta: Una función puede tener más de un máximo o un mínimo, y por ello usamos la palabra relativo o local porque se está hablando de un valor máximo o mínimo para puntos cercanos al considerado; no interesando que haya valores que sean mayores o menores en puntos más alejados. Si una función tiene un máximo o mínimo, entonces su derivada es ………………… en dichos puntos o no ……………………… la derivada de la función en dichos puntos. Cada vez que necesites calcular valores para maximizar o minimizar situaciones problemáticas, es muy útil tener en cuenta que la derivada para esos valores es igual a cero o no existe. Resolvamos el siguiente problema para comprender mejor lo dicho hasta ahora:
- 19. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... 8) Se determinó que la eficiencia en la producción de los empleados de una fábrica varía de acuerdo al tiempo transcurrido desde el comienzo de la actividad de cada día. La función que modeliza esta situación tiene la siguiente fórmula: . La siguiente gráfica representa la situación: Sabemos que la función tiene máximo y mínimo, pero no siempre es fácil determinarlos a partir de la gráfica. Para ello es necesario analizarla desde un punto de vista matemático. a) La derivada de la función con respecto al tiempo es: ……………………………………………………………………………………………………………… b) ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente en el punto máximo? ……………………………………………………………………………………………………………… Simbólicamente: c) Determina los valores de t para los cuales se verifica ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………
- 20. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… d) Los valores hallados coinciden con ……………………………………………………….. e) ¿En qué horas de la jornada laboral se produce la mayor eficiencia en la producción? ¿Cuál es la mayor eficiencia? …………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Por último se propondrá un último problema, en el cual es necesario, para resolverlo, tener en cuenta lo visto hasta el momento. Él mismo será: 9) En una encuesta realizada por un canal de cable, se determinó que el porcentaje de personas que lo miran entre las 18 hs y las 24 hs está dado por la función : donde t representa las horas transcurridas desde las 12 hs. a) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… b) ¿Cuántas personas miran el canal a esas horas? ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Cuidado!!! Veamos un ejemplo: Sea
- 21. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... Aplicando las propiedades, derivamos la función: El valor de la pendiente de la recta tangente para x = 1 es: Como podemos advertir, la derivada de la función en el punto (1, 2) es cero, pero aun así, si observamos el gráfico de la función, el punto (1, 2) no es un máximo o mínimo local. En conclusión: No siempre que la derivada en un punto es cero, existe un máximo o mínimo local. Para finalizar esta etapa del trabajo, se dará lugar al debate para responder a varias preguntas que estarán incluidas en la guía: El final sólo es el comienzo 1) ¿Cuál es la diferencia entre variación media y variación instantánea? ………………………………………………………………………………………………………….. 2) Si la recta tangente a una función en un punto es paralela al eje de abscisas, ¿cuánto vale la derivada de la función ese punto? ………………………………………………………………………………………………………….. 3) ¿Cómo deben ser los límites laterales de una función en un punto para que la función tenga derivada? ……………………………………………………………………………………………………………… 4) ¿Existen funciones que tienen la misma derivada? En caso afirmativo ejemplifica…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………
- 22. Profesora Mariela Osorio Nombrey apellido del estudiante: …………………… Fecha: …………………... 5) Si la derivada de una función f es constante en todo su dominio, entonces f es …………………………………………. 6) Si la función es creciente en un intervalo (a, b), ¿qué signo debe tener su derivada en un punto cualquiera del intervalo?..................................................... 7) Si una función f es derivable en punto (x0.y0), ¿la función es continua en dicho punto?......................................................................................................................... 8) Si una función f tiene un máximo o mínimo local, ¿existe siempre la deriva en dicho punto? …………………………….. 9) Si la derivada de una función en un punto es igual a cero, ¿ podemos afirmar que ese punto es un máximo o mínimo loca? ………………………………. ¿Por qué? …………………………………………………………………………………………… 10)Propone una situación problemática en la que sea necesario aplicar el concepto de derivada: …………………………………………………………………………………………………………….……