Este documento presenta 7 problemas relacionados con el cálculo diferencial. El problema 1 describe la altura alcanzada por una piedra lanzada desde un puente sobre un río y pide graficar la función, determinar puntos tangentes horizontales y de pendiente positiva, y calcular la velocidad en diferentes instantes. Los problemas 2 al 5 involucran calcular derivadas de funciones dadas y determinar pendientes de rectas tangentes. El problema 6 pide graficar una función por partes y calcular su derivada donde sea posible. Por último, el problema 7 solicita grafic

1. Trabajo Práctico Fecha: …………………………
Nombre y apellido: …………………………………………………
1. Al lanzar una piedra desde un puente hacia arriba, alcanza una altura (h) sobre el agua del
río, que está dada por la función:
h: [0; 4,5] → R / ℎ(𝑡) = −5𝑡2
+ 20𝑡 + 11,25,
con h en metros y t en segundos, siendo t=0 momento del lanzamiento.
a) Representar gráficamente la función e indicar el dominio de la función.
b) ¿En qué punto de la gráfica la recta tangente es horizontal? Justificar.
c) ¿En qué puntos de la función, la recta tangente es cada uno de ellos tiene pendiente
positiva? ¿En qué intervalo es negativa la derivada?
d) ¿Cuál es la función que determina la velocidad de la piedra en cada instante?
e) ¿Qué velocidad tiene la piedra a los 3 segundos? ¿Y a los 9 segundos?
f) ¿Cuándo la velocidad es nula?
2. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando propiedades:
a) 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥²
b) 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 − 𝑥3
+ 𝑥4
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥4
− 2). (−3𝑥 + 2𝑥4
)
d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥².
−1
𝑥+5
3. Dada 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
a) Determinar la derivaba de f(x).
b) ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en x=2? ¿Y en x=-3?
c) ¿En qué valores de x la pendiente de la recta tangente es -9?
4. Hallar el punto de la curva 𝑦 =
1
2
𝑥² − 4𝑥 en el cual el ángulo de inclinación de la recta
tangente es de 45°.
5. Dada 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+2
, hallar los puntos de su gráfica donde la recta tangente tiene pendiente
−
1
9
.
6. Sea: 𝑔(𝑥) = {
1 , 𝑥 < 1
𝑥², 𝑥 ≥ 1
a) Graficar y determinar el dominio de g(x).
b) ¿Para qué valores del dominio la función no es derivable? Justificar.
c) Calcular 𝑔 ´(𝑥) para aquellos valores de x donde la función sean derivable.
d) Graficar 𝑔 ´(𝑥).
7. Trazar la gráfica de una función que cumpla con las condiciones dadas en cada caso:
a) No sea derivable para x= -1.
b) 𝑓 ´(𝑥) = 0 y presente una discontinuidad evitable en x=2.