Este documento define los determinantes de matrices y describe sus propiedades y cálculos. Explica que un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada que se calcula mediante la suma de productos de elementos de filas y columnas. También describe cómo calcular determinantes de orden 2 y 3, sus propiedades como invariabilidad bajo operaciones de filas y columnas, y cómo se usan los determinantes para calcular el rango de una matriz.
El documento describe diferentes formas de representar rectas y planos en el espacio tridimensional, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesiana. También define conceptos como paralelismo, perpendicularidad e intersección entre rectas y planos. Incluye ejemplos ilustrativos para clarificar los diferentes métodos.
Este documento presenta información sobre álgebra lineal, incluyendo la definición de inversa de una matriz, propiedades de matrices invertibles, y cómo calcular la inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan. También cubre subespacios de Rn, dando ejemplos de subespacios en R2 y R3.
El documento introduce conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición como arreglos de números dispuestos en filas y columnas, la notación para representarlas y su orden. Explica tipos especiales de matrices como las matrices nulas, cuadradas, diagonales y triangulares. También cubre operaciones básicas como suma, multiplicación por un escalar y transpuesta.
Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, columna, fila y rectangulares. Se pueden realizar operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto. El determinante de una matriz cuadrada proporciona un único valor numérico y puede calcularse usando métodos como Sarrus, cofactores o triangulación.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices son ordenamientos de datos que se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como economía y física. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Taller 6 - Multiplicación de números enteros ElkinAlirio
This document provides information about multiplying integers in mathematics for 7th grade. It discusses how to multiply integers with the same sign or different signs, and how the sign of the product is determined. It also presents the properties of integer multiplication in a table. Students are given exercises to practice multiplying integers and identifying properties.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, antisimétricas y nulas. También introduce operaciones básicas con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. El objetivo es resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta 4 ecuaciones usando estas herramientas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz como una disposición rectangular de números reales y explica que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También describe diferentes tipos de matrices como matrices nulas, identidad, escalares y triangulares, así como operaciones básicas como suma, producto por un número y producto de matrices.
El documento describe diferentes formas de representar rectas y planos en el espacio tridimensional, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesiana. También define conceptos como paralelismo, perpendicularidad e intersección entre rectas y planos. Incluye ejemplos ilustrativos para clarificar los diferentes métodos.
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El documento introduce conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición como arreglos de números dispuestos en filas y columnas, la notación para representarlas y su orden. Explica tipos especiales de matrices como las matrices nulas, cuadradas, diagonales y triangulares. También cubre operaciones básicas como suma, multiplicación por un escalar y transpuesta.
Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, columna, fila y rectangulares. Se pueden realizar operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto. El determinante de una matriz cuadrada proporciona un único valor numérico y puede calcularse usando métodos como Sarrus, cofactores o triangulación.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices son ordenamientos de datos que se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como economía y física. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Taller 6 - Multiplicación de números enteros ElkinAlirio
This document provides information about multiplying integers in mathematics for 7th grade. It discusses how to multiply integers with the same sign or different signs, and how the sign of the product is determined. It also presents the properties of integer multiplication in a table. Students are given exercises to practice multiplying integers and identifying properties.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, antisimétricas y nulas. También introduce operaciones básicas con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. El objetivo es resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta 4 ecuaciones usando estas herramientas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz como una disposición rectangular de números reales y explica que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También describe diferentes tipos de matrices como matrices nulas, identidad, escalares y triangulares, así como operaciones básicas como suma, producto por un número y producto de matrices.
El documento lista los integrantes de un grupo y proporciona información sobre matrices, incluyendo definiciones de diferentes tipos de matrices, operaciones con matrices y ejemplos numéricos.
Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 variables utilizando los métodos de Gauss y Gauss-Jordan. El sistema dado se resuelve primero usando el método de Gauss para triangularizar la matriz aumentada, lo que produce un nuevo sistema equivalente. Luego, se aplica el método de Gauss-Jordan a la matriz triangular para obtener la solución final de x=1, y=2, z=4.
1) Se define una matriz como un conjunto rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.
2) Se describen diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, triangulares, etc. según la disposición de sus elementos.
3) Se explican diversas operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar, producto y trasposición, así como algunas de sus propiedades.
Este documento describe conceptos básicos sobre matrices y determinantes, incluyendo la dimensión de matrices, operaciones como suma y multiplicación de matrices, determinantes de segundo y tercer orden, y la inversa de una matriz cuadrada. En resumen, presenta los fundamentos matemáticos necesarios para comprender y trabajar con matrices y determinantes.
Este documento trata sobre los determinantes y su aplicación en el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo calcular determinantes de matrices de orden 2 o superior, sus propiedades y cómo usarlos para hallar el rango de una matriz. También describe el método de Cramer, expresando cómo resolver un sistema mediante el cálculo de determinantes sustituyendo cada columna por el vector de términos independientes.
Este documento proporciona instrucciones para una práctica de laboratorio sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices y determinantes son herramientas útiles en áreas como las ciencias sociales y económicas. El objetivo es enseñar a los estudiantes a calcular matrices y determinantes en Excel. El procedimiento incluye pasos para introducir datos en matrices, realizar cálculos matriciales básicos y avanzados, y calcular determinantes.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinomial para estimar valores intermedios entre valores conocidos, incluyendo interpolación lineal, cuadrática y polinomios de interpolación de Newton usando diferencias divididas finitas. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada método.
El documento define una matriz como un conjunto rectangular de datos dispuestos en filas y columnas. Explica que una fábrica de automóviles tiene tres modelos de vehículos en stock en tres concesionarios diferentes, y forma una matriz para representar esta información de manera ordenada. Además, clasifica las matrices según su forma, como cuadradas o rectangulares, y según los elementos que contienen, como nulas o de identidad.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, identidad y nulas. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
Este documento presenta una guía sobre funciones. Explica cómo determinar si una relación es una función y define las funciones constantes, afines, cuadráticas, cúbicas, de raíz cuadrada y valor absoluto. También cubre el dominio, recorrido y gráficas de funciones.
El documento describe el algoritmo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que Wilhelm Jordan propuso este método en 1895 para resolver sistemas con matriz simétrica. El algoritmo consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada para triangularizarla y obtener las soluciones.
Este documento presenta ejemplos de diferentes operaciones con matrices, incluyendo igualdad, suma, resta, producto de un escalar por una matriz y producto de matrices. Muestra cómo calcular cada operación y explica las restricciones, como que las matrices deben ser del mismo tamaño para sumarlas o restarlas.
El documento define matrices y sus tipos, y describe operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. Explica cómo calcular la inversa de una matriz cuadrada usando el método de Gauss-Jordan, el cual involucra triangulación superior e inferior de la matriz junto con la matriz identidad para obtener la inversa.
El documento presenta un taller de ecuaciones trigonométricas para los grados 10-A, 10-B y 10-C del Colegio Creadores del Futuro Establecimiento El Corazón. El taller será impartido por el docente Jaime Ramos M. y abarcará los temas numéricos del 1 al 16.
Integración mediante fracciones parcialesAbraham Aj
Este documento explica el método de integración mediante fracciones parciales. Divide la función racional en una suma de fracciones simples haciendo coincidir los factores del numerador y denominador. Explica cuatro casos: 1) factores lineales distintos, 2) factores lineales iguales, 3) factores cuadráticos distintos, y 4) factores cuadráticos iguales. En cada caso asigna una forma fraccional y determina las constantes para descomponer la función original.
Este documento explica cómo calcular el determinante de matrices elementales. Indica que el determinante de una matriz elemental obtenida por intercambiar filas o columnas es -1. El determinante de una matriz elemental obtenida al multiplicar una fila o columna por un escalar α es α. Y el determinante de una matriz elemental obtenida al sumar una fila o columna a otra es 1. Además, presenta ejemplos para ilustrar estos métodos y ejercicios propuestos para practicar el cálculo de determinantes.
Este examen de matemáticas evalúa varios conceptos clave como funciones, rectas, dominios, gráficas y operaciones con funciones. Los estudiantes deben resolver 9 secciones que incluyen encontrar ecuaciones de rectas, evaluar funciones, determinar dominios, calcular diferencias de cocientes, interpretar gráficas y realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con funciones.
Este documento explica diferentes tipos de operaciones combinadas con números enteros. Detalla cómo resolver operaciones sin signos de agrupación de izquierda a derecha, y cómo resolver operaciones con signos de agrupación eliminando primero las operaciones internas de los paréntesis de adentro hacia afuera. También cubre conceptos como la sustracción, propiedades de la suma, y ejemplos de cómo resolver operaciones combinadas con números positivos y negativos.
1) El documento habla sobre matrices y determinantes. Define una matriz como una disposición rectangular de números reales con dos subíndices para indicar la fila y columna. 2) Explica que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en la misma posición. 3) Describe cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la suma de productos de elementos con signos + o - según la paridad de la permutación.
El documento define matrices y describe sus propiedades fundamentales. Una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas. Se definen varios tipos de matrices como matrices nulas, filas, columnas, cuadradas y triangulares. También se explican operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
El documento lista los integrantes de un grupo y proporciona información sobre matrices, incluyendo definiciones de diferentes tipos de matrices, operaciones con matrices y ejemplos numéricos.
Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 variables utilizando los métodos de Gauss y Gauss-Jordan. El sistema dado se resuelve primero usando el método de Gauss para triangularizar la matriz aumentada, lo que produce un nuevo sistema equivalente. Luego, se aplica el método de Gauss-Jordan a la matriz triangular para obtener la solución final de x=1, y=2, z=4.
1) Se define una matriz como un conjunto rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.
2) Se describen diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, triangulares, etc. según la disposición de sus elementos.
3) Se explican diversas operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar, producto y trasposición, así como algunas de sus propiedades.
Este documento describe conceptos básicos sobre matrices y determinantes, incluyendo la dimensión de matrices, operaciones como suma y multiplicación de matrices, determinantes de segundo y tercer orden, y la inversa de una matriz cuadrada. En resumen, presenta los fundamentos matemáticos necesarios para comprender y trabajar con matrices y determinantes.
Este documento trata sobre los determinantes y su aplicación en el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo calcular determinantes de matrices de orden 2 o superior, sus propiedades y cómo usarlos para hallar el rango de una matriz. También describe el método de Cramer, expresando cómo resolver un sistema mediante el cálculo de determinantes sustituyendo cada columna por el vector de términos independientes.
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El documento define una matriz como un conjunto rectangular de datos dispuestos en filas y columnas. Explica que una fábrica de automóviles tiene tres modelos de vehículos en stock en tres concesionarios diferentes, y forma una matriz para representar esta información de manera ordenada. Además, clasifica las matrices según su forma, como cuadradas o rectangulares, y según los elementos que contienen, como nulas o de identidad.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, identidad y nulas. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
Este documento presenta una guía sobre funciones. Explica cómo determinar si una relación es una función y define las funciones constantes, afines, cuadráticas, cúbicas, de raíz cuadrada y valor absoluto. También cubre el dominio, recorrido y gráficas de funciones.
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Este documento presenta ejemplos de diferentes operaciones con matrices, incluyendo igualdad, suma, resta, producto de un escalar por una matriz y producto de matrices. Muestra cómo calcular cada operación y explica las restricciones, como que las matrices deben ser del mismo tamaño para sumarlas o restarlas.
El documento define matrices y sus tipos, y describe operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. Explica cómo calcular la inversa de una matriz cuadrada usando el método de Gauss-Jordan, el cual involucra triangulación superior e inferior de la matriz junto con la matriz identidad para obtener la inversa.
El documento presenta un taller de ecuaciones trigonométricas para los grados 10-A, 10-B y 10-C del Colegio Creadores del Futuro Establecimiento El Corazón. El taller será impartido por el docente Jaime Ramos M. y abarcará los temas numéricos del 1 al 16.
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Este examen de matemáticas evalúa varios conceptos clave como funciones, rectas, dominios, gráficas y operaciones con funciones. Los estudiantes deben resolver 9 secciones que incluyen encontrar ecuaciones de rectas, evaluar funciones, determinar dominios, calcular diferencias de cocientes, interpretar gráficas y realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con funciones.
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1) El documento habla sobre matrices y determinantes. Define una matriz como una disposición rectangular de números reales con dos subíndices para indicar la fila y columna. 2) Explica que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en la misma posición. 3) Describe cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la suma de productos de elementos con signos + o - según la paridad de la permutación.
El documento define matrices y describe sus propiedades fundamentales. Una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas. Se definen varios tipos de matrices como matrices nulas, filas, columnas, cuadradas y triangulares. También se explican operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Este documento presenta conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y escalonadas. También explica operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices. Por último, introduce determinantes, incluyendo el cálculo de determinantes de segundo y tercer orden usando la regla de Sarrus y propiedades de determinantes.
Este documento describe los tipos y operaciones básicas de matrices, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. También explica los determinantes, que son valores escalares asociados a matrices cuadradas utilizados para estudiar sistemas de ecuaciones lineales. Las matrices son herramientas matemáticas útiles para organizar y manipular datos numéricos de forma sistemática.
Este documento trata sobre las competencias genéricas y específicas relacionadas con las matemáticas. Describe habilidades como comunicarse usando lenguaje matemático, modelar fenómenos matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas. También cubre el manejo de matrices, sus propiedades, operaciones y tipos especiales como vectores y matrices cuadradas.
Este documento presenta información sobre álgebra lineal incluyendo suma y multiplicación de matrices, sistemas de ecuaciones lineales, determinantes, vectores y otros temas. Explica conceptos como que las matrices solo pueden sumarse si son del mismo tamaño, cómo resolver sistemas de ecuaciones usando el método de Gauss, y cómo calcular la magnitud de un vector.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué es una matriz, sus elementos y dimensiones. Presenta ejemplos de matrices como la compra de bocadillos. Describe operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, define determinantes de orden 2 y 3, y explica la regla de Sarrus para calcularlos.
El documento presenta conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz como un arreglo de elementos dispuestos en filas y columnas, y especifica que se indican el número de filas y columnas como subíndices después del nombre de la matriz. Explica también la diagonal principal de una matriz cuadrada, la traza, la suma, resta y multiplicación de matrices.
El documento trata sobre las matrices. Define una matriz como un arreglo de elementos dispuestos en filas y columnas. Explica que una matriz se denota con una letra mayúscula entre paréntesis y se indican sus dimensiones como subíndices. Describe las propiedades de las matrices como la suma, resta, multiplicación por un escalar, producto y transpuesta.
Este documento trata sobre los determinantes de matrices. Explica la definición de determinante y cómo calcular determinantes de orden 2 y 3. También describe algunas propiedades básicas como que si una matriz tiene filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es cero. Además, introduce conceptos como el menor complementario, el adjunto y cómo desarrollar determinantes de orden mayor que tres.
El documento describe conceptos fundamentales de álgebra lineal como determinantes, matrices de cofactores y el método de Laplace para calcular determinantes. Define determinantes como la suma de productos elementales con signo de una matriz y explica cómo calcularlos mediante cofactores y desarrollo por filas o columnas. También presenta propiedades clave de determinantes e inversibilidad de matrices.
Este documento presenta conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y describe sus elementos, filas, columnas y orden. Introduce diferentes tipos de matrices como matrices nulas, identidad, diagonales, triangulares y simétricas. Explica operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices.
Determinantes de Matrices Álgebra Lineal. Presentación diseñada por el MTRO. ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento introduce el concepto de determinante y sus métodos de cálculo. Explica que un determinante es un conjunto de números ordenados de una matriz cuadrada que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Luego describe tres métodos para calcular determinantes de 2x2 y 3x3: por diagonales, por adjuntar columnas o filas, y por cofactores. El objetivo es que los estudiantes entiendan y aprendan a calcular determinantes.
1) Una matriz es un conjunto de números dispuestos en forma rectangular y ordenados en filas y columnas. Se describen propiedades de suma, resta, multiplicación y división de matrices.
2) Los determinantes son números asociados a matrices cuadradas que se calculan usando reglas como la de Sarrus o el método de menores complementarios.
3) Las propiedades de los determinantes incluyen que si dos filas son iguales el determinante es cero, y que el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos básicos como qué es una matriz, tipos especiales de matrices como matrices cuadradas y triangulares, y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices. También cubre determinantes de orden 2 y 3, incluyendo la regla de Sarrus y su aplicación para calcular determinantes.
El documento trata sobre las matrices. Las matrices son tablas de datos organizados en filas y columnas que proporcionan información sobre la relación entre dos magnitudes. Se definen los diferentes tipos de matrices y se explican operaciones como la suma, resta, multiplicación y traspuesta. Las matrices son una herramienta útil para resolver problemas reales y ecuaciones lineales.
Este documento presenta conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de matriz, igualdad de matrices, clasificación de matrices, operaciones como suma, resta, multiplicación y trasposición de matrices, así como determinantes y el cálculo de la inversa de una matriz.
El documento explica los conceptos básicos de los determinantes de matrices cuadradas, incluyendo cómo calcular determinantes de orden 2 y 3, y las propiedades clave de los determinantes y cómo usarlas para calcular determinantes de orden mayor. También cubre el concepto de menor complementario, desarrollo de determinantes por elementos de una fila, y cómo usar los menores no nulos para determinar el rango de una matriz.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices son una forma de organizar datos y se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como economía y física. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Este documento describe los métodos matriciales y sus aplicaciones en matemáticas y otras áreas. Explica los conceptos básicos de matrices, incluyendo elementos, orden, igualdad, y diferentes tipos de matrices como rectangulares, cuadradas, nulas, opuestas, transpuestas y simétricas.
2. Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de
los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la
paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.
Dada una matriz cuadrada
Determinantes
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la
signatura de la permutación)
3. Determinantes de orden 2 y 3
Dada una matriz cuadrada de segundo orden:
ç
11 12
a21 22
A = è a
se llama determinante de A al número real:
Det( A) = |A| =
Ejemplo: 3 2
2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1
Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =
æ a a ö
ø ÷
a 11 a 12
a 21 a 22
= a11 · a22 – a12 · a21
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.
a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
è ç æ
ø ÷ ö
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det Se llama determinante de A, (A) o |A|, al número real s iguiente:
4. Regla de Sarrus
La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la
expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal
principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas
cambiadas de signo.
5. Aplicaciones a la regla de Sarrus
El determinante de la matriz A =
è ç ç ç ç æ ø ÷ ÷ ÷ ÷ ö
3 5 1
4 –2 –1
2 –3 –4
det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =
24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
es
6. Cálculo de determinantes usando desarrollo por los
elementos
de una fila o columna
• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir
en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.
• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.
El determinante de una matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
es igual a la suma de los elementos
de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna
7. Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3
Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.(-1)1+1
= a11
a22 a23
a32 a33
.(-1)2+1
+ a21
a12 a13
a32 a33
.(-1)3+1
+ a31
Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3
a12 a13
a22 a23
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.(-1)3+1
= a31
a12 a13
a22 a23
.(-1)3+2
+ a32
a11 a13
a21 a23
.(-1)3+3
+ a33
a11 a12
a21 a22
8. Determinante de cualquier orden
El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los
elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna
–3 5
–1 –1
= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34
Por ejemplo:
2 –1 1 2
1 6 1 0
3 –1 –1 3
2 –1 0 1
= 1 · (–1)2+1
–1 1 2
–1 –1 3
–1 0 1
+ 6 · (–1)2+2
2 1 2
3 –1 3
2 0 1
+
+ 1 · (–1)2+3
2 –1 2
3 –1 3
2 –1 1
+ 0 · (–1)2+4
2 –1 1
3 –1 –1
2 –1 0
=
9. Cálculo inmediato de determinantes (I)
I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.
Ejemplos:
· El determinante de una matriz A =
ø ÷ ÷ ö–1 4 –1
è ç ç æ
3 2 3
2 5 2
es igual a cero porque la tercera y
primera columnas son iguales.
· El determinante de una matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 4 –1
1 –2 3
3 –6 9
es igual a cero porque la tercera fila
es igual a la segunda multiplicada por 3.
II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.
Ejemplo:
El determinante de una matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 –1
3 0 3
2 0 2
es igual a cero porque la segunda columna
es nula.
10. Cálculo inmediato de determinantes (II)
III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de
otras filas o columnas es cero.
Ejemplo:
El determinante de una matriz A =
2 4 0
1 3 –1
3 1 5
IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de
su diagonal principal.
è ç ç æ ø ÷ ÷ ö
es igual a cero porque la tercera columna es
igual al doble de la primera menos la segunda.
Ejemplo:
El determinante de la matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 –1
0 2 3
0 0 2
es igual –4.
11. Cálculo inmediato de determinantes (III)
V. El determinante de la matriz unidad es 1
Ejemplos:
· El determinante de la matriz I3 =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 0 0
0 1 0
0 0 1
es igual a 1.
· El determinante de la matriz I5 =
è ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ö
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
es igual a 1.
12. Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)
I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el
determinante de la matriz se multiplica por ese número.
II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante
cambia de signo.
Ejemplo:
2 3
4 20 =
2 3
4 . 1 4 . 5 = 4
2 3
1 5
Ejemplo:
1 – 4
2 5 = –
– 4 1
5 2
13. Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)
III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas,
respectivamente, el valor del determinante no varía.
Ejemplo: Si en A =
2 3 – 1
1 5 2
4 13 4
sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por – 1 más
la segunda multiplicada por – 2, obtenemos:
B =
2 3 – 1
1 5 2
4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2)
y se cumple que ambos determinantes son iguales: A = B
14. Determinantes de operaciones con matrices (I)
I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al
producto de los determinantes de cada una de ellas.
Ejemplo:
· Sean A = è ç æ
2 0
1 –1 y B = è ç æ
ø ÷ ö
4 1
3 2 . Se tiene que |A| = –2 y |B| = 5.
ø ÷ ö
· Como A . B = è ç æ
8 2
1 –1 y | A . B | = – 10 se observa que | A . B | = |A| . |B|
ø ÷ ö
II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.
Ejemplo:
· Sea A = è ç æ ø ÷ ö
3 0
1 1 ; entonces A–1 = è ç æ
ø ÷ ö
1/3 0
–1/3 1
· Como | A | = 3 y | A –1 | = 1/3, se observa que | A | . | A–1 | = 1
15. Operaciones con matrices (II)
III. Al trasponer una matriz su determinante no varía.
Ejemplo:
· Sea A =
è ç æ
ø ÷ ö
2 0 –2
1 1 3
3 0 2
. Entonces At =
2 1 3
0 1 0
–2 3 2
è ç æ ø ÷ ö
· Se cumple que | A | = | At |
VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo
determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.
Ejemplo:
Se cumple que: 2
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 – 2
1 1 3
3 0 2
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
4 0 – 4
2 2 6
6 0 4
= 23
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 – 2
1 1 3
3 0 2
16. Operaciones con matrices (III)
V.- Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos
determinantes como sumandos haya
Ejemplo:
· Sea A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö 2 3 –1
1 5 2
4 13 4
. Entonces se cumple que | A | = 7
· Y se tiene que:
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 3 –1
1 5 2
4 13 4
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 + 1 3 –1
3 – 2 5 2
1 + 3 13 4
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 3 –1
3 5 2
1 13 4
+
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 3 –1
– 2 5 2
3 13 4
= (-70) + 77
Si A =
è ç æ
ø ÷ ö
a11 a12 + b12 a13
a21 a22 + b22 a23
a31 a32 + b32 a33
se cumple que:
a11 a12 + b12 a13
a21 a22 + b22 a23
a31 a32 + b32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
+
a11 b12 a13
a21 b22 a23
a31 b32 a33
17. Rango de una matriz por determinantes I
Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar
ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al
determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo
alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p
dado.
Definición:
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores
distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A) .
Consecuencias
El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su
determinante es cero.
18. Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A) ³ 2.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A) ³ 2.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A) ³ 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A) ³ 3.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 4.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 4.
En ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 11
EEnn ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 22
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden cuatro es distinto de cero rang(A) ³ 4.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden cuatro es distinto de cero rang(A) ³ 4.
EEnn ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 33
YY aassíí hhaassttaa qquuee nnoo sseeaa ppoossiibbllee ccoonnttiinnuuaarr
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ³ 1.
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ³ 1.
19. Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)
• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.
• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado
por (-1)i+j
• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a
la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.
Ejemplo: Dada la matriz (A) =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 -2 2
2 1 0
3 -2 2
, su adjunta sería:
adj (A)=
è ç ç ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ö
1 0
–2 2 – 2 0
3 2 2 1
3 –2
– –2 2
–2 2 2 2
3 2 – 2 –2
3 –2
–2 2
1 0 – 2 2
2 0 2 –2
2 1
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
20. Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II)
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los
elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de
los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0
Ejemplo: Dada la matriz A =
2 –2 2
2 1 0
3 –2 2
è ç ç æ ø ÷ ÷ ö
, pretendemos encontrar su inversa :
La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2 ¹ 0
Ya hemos visto que: adj (A) =
è ç æ
ø ÷ ö
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
Entonces: [adj (A)]t =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
Por lo tanto: A–1 = 1
| A | [adj (A)]t = 1
–2
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 1
2 1 –2
7/2 1 –3
21. Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos I
22. Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos II
23. Cálculo de determinantes por el método de Gaus
• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de
una fila o columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los
elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga
1 ó –1, para simplificar los cálculos.
• 2ª fila por (–3) + 1ª fila
• 2ª fila por (–2) + 3ª fila
• 2ª fila por (–3) + 4ª fila
desarrollo por 1ª
columna
• 1ª fila por 1 + 3ª fila
desarrollo por 1ª
columna
–18
Ejemplo:
3 5 – 2 6
1 2 – 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
=
0 – 1 1 3
1 2 –1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
= –1 .
– 1 1 3
0 3 3
1 8 0
= –1 .
– 1 1 3
0 3 3
0 9 3
=
= (–1) . (–1)
3 3
9 3 =