Mecanismos

1. Unidad Temática N° 2
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS
CON MOVIMIENTO PLANO

2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE PARTÍCULAS
- POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Una partícula P que se mueve a lo largo de una línea recta y tendrá
Movimiento rectilíneo
x = 5 m
x = -2m
Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se
afirma que se conoce el movimiento de dicha partícula.
Considere la posición P ocupada por la partícula en el tiempo t y la coordenada
correspondiente x. Considere también la posición P´ ocupada por la partícula en un
tiempo posterior ; la posición P´será la suma de .
Definimos la velocidad media el cociente entre el desplazamiento x y el intervalo de tiempo t:
(m/s). (ft/s).
-VELOCIDAD

3. La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se obtiene de la
velocidad promedio al elegir intervalos t y desplazamientos x cada vez más cortos:
Velocidad instantánea v =
Podemos escribir:
La velocidad v es
un número que puede
ser positivo o negativo.
[m/s] o [ft/s].
la velocidad v de la partícula en el tiempo t y también
su velocidad en un tiempo posterior (figura).
Un valor positivo de v indica que x aumenta, la partícula se mueve en la dirección positiva
un valor negativo de v indica que x disminuye, la partícula se mueve en dirección negativa
La magnitud de v se conoce como la rapidez de la partícula

4. -Aceleración media = [ m/s2 ] [ft/s2]
La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t se obtiene de la aceleración media al
escoger valores de t y v cada vez más pequeños:
Aceleración instantánea =
por definición, la derivada de v
con respecto a t, mide la razón
de cambio de la velocidad.
La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo t se
Refiere como el cociente de v y t:
-ACELERACIÓN

5. La aceleración “a” puede ser “+” o “-”.
Positivo de “a” indica que la velocidad aumenta. Esto puede
ser que se mueve mas rápido en la dirección pos.(a) O mas
lento en la dirección neg.(b)
negativo de “a” indica que disminuye la velocidad; ya sea que
se esté moviendo más lentamente en la dirección pos.
(c) o que se esté moviendo más rápido en la dirección Neg.(d)
Es posible obtener otra expresión para la aceleración sabiendo que
Si vemos esto a través de un ejemplo.
(1)
Reemp (1) o así

6. Tenemos la posición de la partícula dada por la expresión
Cuya gráfica es
La velocidad de v en cualquier tiempo t se obtiene al
diferenciar x con respecto a t
Cuya gráfica es
IMPORTANTE:
Recuérdese, sin embargo,
que, la partícula no se mueve
a lo largo de ninguna de estas
curvas; la partícula se mueve
en una línea recta.
La aceleración a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t:
Cuya gráfica es
Realizo el diferencial

7. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
Normalmente se conoce la aceleración a la que está afectada la partícula en vez de los datos del vector posición
Por ejemplo, un cuerpo en caída libre tendrá una aceleración constante, dirigida hacia abajo e igual a 9.81 m/s2
O una masa unida a un resorte.
1.- a = f(t). La acel. es una función dada de t.
Se considerarán tres clases comunes de movimiento:
1.- a f(t). La aceleración es una función dada de t.
2.- a f(x). La aceleración se da en función de x.
3.- a f(v). La aceleración es una función dada de v.
2.- a f(x). La aceleración se da en función de x.
valor de v0
valor x0
dx = v dt
Integrando el 1° miembro
Para X=Xo hasta X= X y el 2°
Miembro resp a t para t=0
Hasta t=t
Así esta determinado el movim.
Conocemos que:
Integrando para los lim. puestos
la cual produce v en términos de x.
se resuelve para dt, sustituimos el valor de v e integrando se
obtiene la relación entre x y t.
(B607)
las condiciones iniciales para integrar
Necesarias para determ. De manera única
para t=0
v en términos de t
Ahora para

8. 3.- a f(v). La aceleración es una función dada de v.
Es posible sustituir f(v) por a para obtener cualquiera de las relaciones
siguientes:
https://www.youtube.com/watch?v=0SS_9IjnLFw
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
En este movimiento, es en línea recta y la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t.
En consecuencia, la velocidad v es constante,
La coordenada de posición x se obtiene cuando se integra
Esta ecuación puede utilizarse sólo si la velocidad de la
partícula es constante.

9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
En éste, la aceleración a de la partícula es constante,
La velocidad v de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación:
Sabemos que Y reempl.
x0 es el valor inicial de x e integrando, se tiene:
También
Al integrar

10. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS
Movimiento relativo de dos partículas.
Dos partículas A y B que se mueven a lo largo de la misma línea recta
Si las coord. de posición xA y xB se miden desde el mismo origen, la diferencia xB xA
define la coordenada de posición relativa de B con respecto a A y se denota por medio de
xB/A. Será
La razón de cambio xB/A se conoce como la velocidad relativa de B con respecto a A y se pone
como vB/A. Al diferenciar
Signo de vB/A
+ indica B se mueve en dir +
- Indica que B se mueve en dir -
La razón de cambio de vB/A se conoce como la aceleración relativa de B con respecto
a A y se denota mediante aB/A.
Al diferenciar

11. Movimientos dependientes.
A veces, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra o de varias partículas.
En ese caso se dice que los movimientos son dependientes.
La posición del bloque B, depende de la posición del bloque A.
La cuerda ACDEFG es de longitud constante,
xA + 2xB = constante
El segmento AC difiere de xA sólo por una constante y que, los segmentos DE y FG
difieren de xB únicamente por una constante, se escribe
1 ecuación de ligadura.
Sólo una de las dos coordenadas xA y xB pueden elegirse de manera arbitraria, el
sistema tiene un grado de libertad.
De 1 se deduce que si el bloque A desciende una cantidad xA, la coordenada xB recibirá un
incremento En otras palabras, el bloque B ascenderá la mitad de la misma cant.

12. En el caso de los tres bloques
las coordenadas de posición de los tres bloques deben
satisfacer la siguiente relación:
2xA + 2xB + xC = constante
Es posible elegir dos de las coordenadas, se afirma que el sistema
tiene dos grados de libertad.
se cumple una relación similar entre las velocidades y entre las acelerac.

13. MOVIMIIENTO CURVILINEO DE PARTÍCULAS
VECTOR DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva diferente a una línea
recta, se afirma que describe un movimiento curvilíneo. Para definir la
posición P de la partícula en un tiempo determinado t, se elige un sistema de
referencia fijo, tal como los ejes x, y, z
El vector r que une al origen O y al punto P. Él, define por
completo la posición de la partícula con respecto a los ejes; el
vector r se conoce como el vector de posición de la partícula en el
tiempo t.
El vector r´ que define la posición P´ de la partícula en un tiempo posterior t + Δt.
El vector Δr que une a P y a P´ representa el cambio en el vector de posición
durante el intervalo del tiempo t,

14. La velocidad instantánea, es para intervalos de tiempo Δt cada vez más cortos y,
incrementos vectoriales Δr cada vez menores. La velocidad instantánea se representa
en consecuencia mediante el vector
A medida que t y r disminuyen, las posiciones P y P´ se acercan cada
vez más entre sí; el vector v obtenido en el límite debe ser
tangente a la trayectoria de la partícula
O que
La magnitud del vector v se conoce como la rapidez de la partícula
Se obtiene al sustituir, en vez del vector Δr en la magnitud de este vector dado
por el segmento de línea recta PP´, que se acerca a la longitud Δs del arco PP´
cuando Δt disminuye (figura “a” ).
La rapidez puede obtenerse diferenciando con respecto a t
la longitud s del arco que describe la partícula.

15. Considere la velocidad v de la partícula en el tiempo t y su velocidad v´ en un tiempo
posterior t + Δt (fig.a).
Se dibujarán ambos vectores v y v´ a partir
del mismo origen O (fig.b).
El vector Δv que une a Q y a Q´ representa
el cambio en la velocidad de la partícula
durante el intervalo de tiempo Δt, ya que
el vector v´ puede obtenerse al sumar los
vectores v y Δv . Hay que advertir que Δv
representa un cambio en la dirección de la
velocidad, así como un cambio en la rapidez.
La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de
tiempo Δt se define como el cociente entre Δv y Δt . Puesto
que Δv es un vector y Δt un escalar, el cociente Δv Δt es un
vector de la misma dirección que Δv .
La aceleración instantánea de la partícula en el tiempo t se
obtiene al tomar valores cada vez más y más pequeños de Δt
y Δv . La aceleración instantánea se representa en
consecuencia por medio del vector
ó

16. Se observa que la aceleración a
es tangente a la curva descrita
Por la punta Q del vector v dibujado
desde un origen fijo O (fig.c) y que,
en gral, la aceleración no es tang
a la trayectoria de la partícula (fig.d).
La curva descrita por la punta de v
(fig.c) se conoce como la hodógra-
fa del movimiento.
DERIVADA TEMPORAL DE UN VECTOR
Cuando el vector P es f (t), su derivada dp/dt representa la razón de cambio de P con
respecto al sistema de referencia Oxyz. Descomponiendo P,en comp. rectang., se tiene, por
o,
Se observa que la aceleración a
es tangente a la curva descrita
Por la punta Q del vector v dibujado
desde un origen fijo O (fig.c) y que,
en gral, la aceleración no es tang
a la trayectoria de la partícula (fig.d).
La curva descrita por la punta de v
(fig.c) se conoce como la hodógra-
fa del movimiento.

17. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
Cuando la posición de una partícula P se define por sus coord. rectangulares x, y y z,
conviene descomponer la vel. v y la acel. a de la partícula en componentes rectangulares
Podemos escribir
las coordenadas x, y, z
son funciones de t.
Al diferenciar dos veces, se obtiene
donde representan, la 1°y la 2° derivadas de x, y y
z con respecto a t.
las comp. escalares de la velocidad
y la aceleración

18. MOVIMIENTO RELATIVO A UN SISTEMA DE REFERENCIA EN TRASLACIÓN
Sistema de referencia fijo se toma a tierra por convención
y los otros sistemas de referencia sistemas de referencia en
movimiento.
Dos partículas A y B que se mueven en el espacio (fig.);
los vectores rA y rB definen sus posiciones con respecto a
un sistema de referencia fijo Oxyz.
Un sistema de ejes x´, y´, z´ centrado en A y paralelo a los ejes x, y, z.
Mientras el origen de estos ejes se mueve, su orientación permanece
invariable; el sistema de referencia Ax´y´z´ está en traslación con resp. a
Oxyz. El vector rB/A que une a A y B define la posición de B relativa al sist
de referencia móvil Axyz (o, la posición de B relativa a A).
El vector de pos. rB de la partícula B es la suma del vector de pos. rA de la
partícula A y del vector de posición rB/A de B relativa a A;
Al diferenciar
Podemos escribir
Al diferenciar de nuevo
La aceleración aB/A de B relativa al
sist. de referencia Ax´y´z´(de B
relativa a A),

19. Movimiento plano de una partícula.
COMPONENTES TANGENCIALY NORMAL
La velocidad de una partícula es tang. a la trayectoria,
pero que, en general, la aceleración no es tang. a la tray.
Descomponemos la aceleración en componentes
dirigidas, a lo largo de la tangente y la normal de la
trayectoria
Sea P la posición de la partícula
Se une en P a un vector unitario et tangente a la trayec. Y con direc. Del movim.
Sea et´el vector unitario correspondiente a la posición P´ de la
partícula en un instante posterior.
Si se dibujan ambos vectores desde el mismo origen O, se
define el vector Δet = et´- et (fig. b). Puesto que et
y et´son de longitud unitaria, sus puntas se encuentran
sobre un círculo de radio 1.
Si Δθ es el ángulo formado por et y et´, se encuentra que
la magnitud de Δet es 2 sen (Δθ/2).
(B 665)

20. Al considerar ahora que, el vector Δet/ Δθ, cuando Δθ se aproxima a cero, este
vector se vuelve tangente al círculo unitario (fig. b), esto es, perpendicular a et,
y que su magnitud tiende a
El vector obtenido en el límite es un vector unitario normal a la trayectoria en dirección hacia la cual cambia et
Se denota por en
Puesto que la velocidad v de la partícula es tangente a la trayectoria, puede expresarse como el
producto del escalar v y el vector unitario et. Se tiene
Para obtener la aceleración, se diferenciará con respecto a t.
Al aplicar la regla de la diferenciación del producto de un escalar de
una función escalar, se escribe
2 Pero
ds/dt = v, y que que det/dθ = en, y del cálculo elemental que dθ /ds
es igual a 1/ρ, donde es el radio de curvatura de la trayectoria en P
(figura ), se tiene

21. Sustituyendo en la anterior
Por lo que, las componentes escalares de la aceleración son
la magnitud de la componente tangencial de la aceleración es igual a la razón de
cambio de la velocidad de la partícula, en tanto que la magnitud de la componente
normal es igual al cuadrado de la velocidad dividida entre el radio de curvatura de
la trayectoria en P.
Si la Vel at es + y apunta en la dirección del movim.
Si la Vel at es - y apunta en contra de la dirección del movim.
La componente vectorial an, siempre se dirige hacia el
centro de curvatura C de la trayectoria (figura).
se concluye que: la magnitud de la componente tangencial de la
aceleración refleja un cambio en la magnitud de la velocidad de la
partícula, mientras que su componente normal refleja un
cambio en su dirección de movimiento.

22. Movimiento de una partícula en el espacio.
Las relaciones antes vistas para una partícula en el plano son vigentes para el espacio pero
Se tiene que tener presente que hay un n° infinito de rectas perp. A la tg en el punto dado
Para el caso del espacio. Se debe precisar mas la correspondiente al vector en
Se considerarán de nuevo los vectores unitarios et y e´t
tang. a la trayectoria en dos puntos vecinos P y P´ (fig.a)
y el vector Δet que representa la diferencia entre et y e´t
(fig. b).
Imagine ahora un plano que pasa por P (fig. 11.24a)
paralelo al plano definido por los vectores et, e´t y Δet
(fig. b). Este plano contiene la tangente a la curva en P y
es paralelo a la tangente en P.
Si P´ se acerca a P, se obtiene en el límite el plano que
mejor se ajuste a la curva en la vecindad de P. Este
plano recibe el nombre de plano osculador en P y
contiene al vector unitario en .
El vector unitario eb = et X en, (fig c) define la binormal
en P. En consecuencia, la binormal es perpendicular al
plano osculador.

23. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL
Por veces, se da la posición de la partícula P mediante sus coordenadas polares r y θ
Éstas se conocen como
componentes radial y
transversal.(fig. a)
Se unen a P dos vectores unitarios, er y eθ (fig. b). El
vector unitario er define la dirección radial, esto es, la
dirección en la cual P se movería si r aumentara y θ se
mantuviera const.; el vector unitario eθ define la
dirección transversal, es decir, la dirección en la que
P se movería si aumentara θ y r se mantuviera const.
Semejante a lo visto en
La derivada de et
donde -er denota un vector
unitario de sentido positivo
respecto a er
Mediante la regla de la cadena, para derivar respecto al tiempo
ó

24. Para la velocidad v de la partícula P, se expresa la posición del vector r de P como el
producto del escalar r y el vector unitario er y se deriva con respecto a t:
ó
Derivando nuevamente con respecto al tiempo
al sustituir , y factorizar er y eθ,
Las componentes escalares de la velocidad y la acel en
las variaciones radial y transversal son, por lo tanto,
Es importante advertir que ar no es igual a la derivada respecto al tiempo de vr y que aθ
no es igual a la derivada en el tiempo de vθ.
Una partícula que se mueve a lo largo de un círculo de centro O, se tiene r = constante y
= 0, y las fórmulas (1) y (2). se reducen, respectivamente, a
(1)
(2)

25. Extensión al movimiento de una partícula en el espacio:
coordenadas cilíndricas.
La posición P en el espacio en ocasiones se define mediante sus coordenadas
cilíndricas R, θ, y z
Conviene usar los versores
Podemos escribir la posición P
Son dir. Radial y tranversal en xy
K en dir axial
Tenemos entonces

26. Cinemática de cuerpos rígidos
Cilindrada:1821.3 lts por cilindro
el Wärtsilä-Sulzer RTA96-C
produce 7.780 caballos de fuerza.
Y eso es sólo un cilindro. Posee 14 cilindros un desplaz
De 25.480 litros de cilindrada del motor - con una
potencia máx. de 108.920 caballos de fuerza a 102 rpm y
un par máximo de 5.608.312 libras / pie a 102 rpm.
versión de 14 cilindros mejorada arroja 84,42MW
(114.800 hp)

27. Cinemática de cuerpos rígidos
Se verá las relaciones entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las
aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido.
Éste podrá estar animado de:
Traslación:
Toda línea recta dentro del cuerpo mantiene la
misma dirección durante el movimiento.
todas las partículas que constituyen el cuerpo
se mueven a lo largo de trayectorias paralelas.
Trasl
Linea recta Trasl. Rectilinea
Linea curva Trasl. curvilinea
Cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos
los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y
la misma aceleración en cualquier instante dado
la derivada de rB/A es cero

28. Rotación alrededor de un eje fijo:
Las partículas que forman al cuerpo rígido se mueven en planos
paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo,
llamado eje de rotación, las partículas localizadas sobre
el eje tienen velocidad cero y aceleración cero.
La rotación no debe confundirse con ciertos
tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo,
Movimiento plano general.
Hay muchos tipos de movimiento plano, esto es, todas las
partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos.
Cualquier movimiento plano que no es ni una rotación ni una
traslación se conoce como un movimiento plano general.
Ejemplos
En el caso de traslación curvilínea, la velocidad y la aceleración cambian
en dirección, así como en magnitud, en cada instante.

29. Movimiento alrededor de un punto fijo:
Movimiento tridimensional de un cuerpo rígido
unido a un punto fijo O,
Ejemplo
Movimiento general: Cualquier movimiento que no entra en ninguna
de las categorías anteriores se conoce como movimiento general.
Piso rugoso
ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO (B 923)
- Gira alrededor de un eje fijo AA´.
- Sea P un punto del cuerpo
- r su vector de posición en un sist. de referencia fijo,
centrado en O y coincidente con AA´ y eje “z”
- Sea B la proyección de P sobre AA´; a una dist. Cte de B que,
describe un círculo de centro B y radio r . sen Φ (Φ = ang. entre r y AA´)
La posición de P y del cuerpo está definida por el ángulo que forma la línea
BP con el plano zx. El plano θ se conoce como coordenada angular del
cuerpo,
y se expresará en radianes (rad).(+ en sent antihorario)

30. la longitud Δs del arco descrito por P cuando el cuerpo
gira un ángulo Δθ es
y al dividir ambos miembros entre Δt, se obtiene en el
límite, cuando Δt tiende a cero,
donde es la derivada en el tiempo de θ.
la velocidad v de P es un vector perpendicular al plano que contiene
a AA´ y r, y de magnitud v dada por (1)
(1)
Pero éste es precisamente el resultado que se obtendría al dibujar
un vector a lo largo de AA´ y se formara el producto
vectorial ω X r
Por lo tanto
1 rev = 2 rad = 360°
Recordar que

31. El vector
dirigido a lo largo del eje de rotación se denomina la velocidad
angular del cuerpo y es igual en magnitud a la razón de cambio
(θ punto) de la coordenada angular; su sentido puede obtenerse
mediante la regla de la mano derecha
La aceleración a de P se determinará al diferenciar v y recordar la regla de diferenciación de un
producto vectorial
Es α acel. Ang.
Al sustituir también v
[2]
Diferenciando [2] sabiendo que k es cte en dirección y magnitud
[3]

32. La acel. Ang. de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo es un vector dirigido a lo
largo del eje de rotación, y es igual en magnitud a la tasa de cambio de la velocidad
angular. Volviendo, la aceleración de P es la suma de dos vectores. El primer vector es
igual al producto vectorial α x r; es tangente al círculo y es la comp. tang de la
aceleración. El segundo vector es igual al triple producto vectorial (mixto de tres
vectores) ω x (ω x r) obtenido al formar el producto vectorial de ω y (ω x r) ; ya que (ω x
r) es tangente al círculo que describe P, el triple producto vectorial dirigido hacia el
centro B que es la componente normal de la aceleración.
La rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo puede definirse mediante el mov. de una
placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de rotación. Se elige el
plano “xy” como el plano de referencia y se supone que coincide con el plano de la figura, con el
eje “z” apuntando hacia fuera del papel
La velocidad de cualquier punto P de la placa
los vectores k y r son mutuamente perpendiculares, la magnitud de la
velocidad v es
y su dirección se da al girar r 90° en el sentido de rotación de la placa.

33. Al sustituir ω = ωk y α = αk en la ecuación (3) y observar que el doble producto cruz de
r por k origina una rotación de 180° del vector r, se expresa la aceleración del punto P
Al descomponer a en las componentes tangencial y normal
α así es +
ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACIÓN
DE UN SÓLIDO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
en la práctica la rotación de un cuerpo rígido rara vez se define mediante una relación entre θ y t.
Con frecuencia, las condiciones de movimiento se especificarán mediante el tipo de aceleración
angular que posea el cuerpo. Por ejemplo, es posible que α se dé como una fun-
ción de t, como una función θ de ó como una función de ω.
al despejar (1) dt y sustituir en (2)
(1) (2)

34. dos casos particulares de rotación:
1.- Rotación uniforme. α = 0
2.-Rotación acelerada uniformemente. α = Cte
MOVIMIENTO PLANO GENERAL
Puede considerarse como la suma de una traslación y una rotación.

35. VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA EN EL MOV. PLANO
La vel. Abs. vB de una partícula B es una suma vectorial. La vel. vA corresponde a la traslación
de la placa con A, y la velocidad relativa vBA se asocia con la rotación de la placa en torno a A
y se mide con respecto a ejes centrados en A de orientación fija. La ant. Se puede poner como

36. CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓNEN EL MOVIMIENTO PLANO
La vel. de las partículas de la placa es la misma como si la placa girara alrededor de
cierto eje perpendicular a su plano, el cual se conoce como eje de rotación inst. Este
eje interseca el plano de la placa en el punto C, llamado centro instantáneo de rotación.
Ejemplo
La posición del centro instantáneo puede definirse de dos formas.
- Si se conocen las direcciones de las vel. de las dos partículas A y B de la
placa y si éstas son diferentes, el centro instantáneo C se obtiene
dibujando la perpendicular a vA a través del origen de A y la perpendicular
a vB a través del origen de B y determinando el punto en el cual se
intersecan estas dos líneas (fig 2a).
- En caso de ser paralelas las direcciones trazamos la perpendicular a ambos
ptos A Y B en su origen y luego se traza uniendo los extremos de las vel. Y
donde corta será el pto C de Centro Instantáneo de Rotación (fig 2b).
Fig.2
Fig. 1