Este documento presenta una introducción a la cinemática de partículas en mecánica de sólidos. Explica conceptos como posición, velocidad, aceleración y cómo se calculan. También incluye un ejemplo numérico para calcular la velocidad y aceleración a partir de una ecuación de movimiento.

1. Mecánica de Solidos 2
Unidad N°1: Cinemática de Partículas (Parte I).
Universidadde Oriente

2. Introducción
 La mecánica de solidos 1 se dedica al estudio de los cuerpos
rígidos en reposo, es decir cuerpos que se encuentran en
equilibrio (ΣF=0)
 En la mecánica de solidos 2 nos dedicamos al estudio de los
cuerpos rígidos en movimiento (ΣF≠0)
 El estudio de la estática se remota al tiempo de los filósofos
griegos, la primera contribución importante a la dinámica la
realizo Galileo. Los experimentos de Galileo en cuerpos
uniformemente acelerados llevaron a Newton a formular sus
leyes de movimiento fundamentales

3. Introducción
 El estudio de la dinámica comprende:
 Cinemática: La cual corresponde al estudio de la geometría
del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento,
la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia
a la causa del movimiento.
 La cinemática no solamente es puede ser asociada al
estudio de cuerpos en movimiento, desde el punto de vista
de la ingeniería civil esto puede ser aplicado al estudio de
estructuras se sufren deformaciones ante la aplicaciones de
cargas que varían en función del tiempo (Dinámica
Estructural).

4. Introducción
 El estudio de la dinámica comprende:
 Cinética: que es el estudio de la relación que existe entre las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su masa y el
movimiento de este mismo. La cinética se utiliza para
predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para
determinar las fuerzas que se requieren para producir un
movimiento específico.

5. Introducción
 Deformación de un pórtico ante cargas sísmicas (Cargas que
varían muy rápido en función del tiempo).
 En este caso las cargas varían tan rápido que la estructura
se deformaría y esos desplazamientos estarían asociados a
velocidades y aceleraciones.

6. Movimiento rectilíneo de
partículas.
 Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se
dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. En cualquier
instante dado t, la partícula ocupara cierta posición sobre la
línea recta.

7. POSICIÓN.
 Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una
partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se
conoce el movimiento de la partícula. El “itinerario” del
movimiento puede expresarse en forma de una ecuación en
x y t, tal como x= 6t^2-t^3, o en una gráfica de x en función
de t.

8. POSICIÓN.
Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la
coordenada de la posición x son el metro (m) en el sistema de
unidades SI y el pie (ft) en el sistema de unidades inglés. El
tiempo t suele medirse en segundos (s).
 Considere la posición P ocupada por la partícula en el
tiempo t y la coordenada correspondiente x .

9. VELOCIDAD.
Considere también la posición P’ ocupada por la partícula en
un tiempo posterior t + ∆t; la coordenada de la posición P’
puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeño
desplazamiento ∆x, el cual será positivo o negativo según si P’
está a la derecha o a la izquierda de P. La velocidad promedio
de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆t se define como
el cociente entre el desplazamiento ∆x y el intervalo de tiempo
∆t. (m/s o ft/s)

10. VELOCIDAD.
 La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se
obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos ∆t y
desplazamientos ∆x cada vez más cortos.
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = lim
∆𝑡→∞
∆𝑥
∆𝑡
 Del calculo sabemos que:

11. VELOCIDAD.
 La velocidad instantánea v (la rapidez de la particula) puede
ser expresada como:
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la
partícula se mueve en la dirección positiva; un valor negativo
de v indica que x disminuye, es decir, que la partícula se
mueve en dirección negativa

12. ACELERACIÓN.
 Partiendo de la deducción para determinar la velocidad,
analiza el siguiente esquema y determina el calculo de la
aceleración promedio e instantánea de una partícula.
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =? ? ? ? ?
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 =? ? ? ? ?

13. ACELERACIÓN.
 Aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de
tiempo ∆t se refiere como el cociente de ∆v y ∆t:
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
∆𝑣
∆𝑡
 La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t
se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores de
∆t y ∆v cada vez más pequeños:
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = lim
∆𝑡→∞
∆𝑣
∆𝑡
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑^2𝑥
𝑑𝑡^2

14. ACELERACIÓN.
 Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el
número algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la
partícula se está moviendo más rápido en la dirección
positiva o que se mueve más lentamente en la dirección
negativa; en ambos casos, v es positiva.

15. ACELERACIÓN.
 Un valor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya
sea que la partícula se esté moviendo más lentamente en la
dirección positiva o que se esté moviendo más rápido en la
dirección negativa.

16. ACELERACIÓN.
 El término desaceleración se utiliza en algunas ocasiones
para referirse a a cuando la rapidez de la partícula (esto es,
la magnitud de v) disminuye; la partícula se mueve entonces
con mayor lentitud.
 Otra forma alternativa de expresar la aceleración es
mediante la expresión:
𝑎 = 𝑣 ∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 Deduzca la obtención de esa ecuación partiendo de las
siguientes expresiones.
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡

17. 1° EJEMPLO
 El movimiento de una partícula esta definido por la relación
𝑥 = 1.5𝑡4 − 30𝑡2 + 5𝑡 + 10, Determine las ecuaciones que
definen las velocidad y la aceleración de la partícula en
estudio.
 Para el desarrollo de este ejemplo se debe de aplicar la
primera derivada de la función de movimiento para el calculo
de la velocidad y posteriormente la segunda derivada de
movimiento o si la derivada de la velocidad.

18. 1° EJEMPLO
 El movimiento de una partícula esta definido por la relación
𝑥 = 1.5𝑡4 − 30𝑡2 + 5𝑡 + 10, Determine las ecuaciones que
definen las velocidad y la aceleración de la partícula en
estudio.