Cinematica de una particula

CURSO: FISICA I
CINEMATICA DE UNA
PARTICULA
Optaciano L. Vásquez García
PUCALLPA - PERÚ
2012

I. INTRODUCCIÓN
MECANICA
MECÁNICA DE
FLUIDOS
MECÁNICA DE
CUERPO
DEFORMABLE
MECANICA DE
CUERPO RIGIDOS
DINAMICAESTATICA
CINETICACINEMATICA

II. NOCION DE CINEMATICA
 La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es
la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del
movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las
causas que lo producen, limitándose esencialmente, al
estudio de la trayectoria en función del tiempo.
 También se dice que la cinemática estudia la geometría
del movimiento.
 En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas
para describir las trayectorias, denominado sistema de
referencia.

II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA
1. ESPACIO ABSOLUTO.
 Es decir, un espacio anterior a todos los objetos
materiales e independiente de la existencia de estos.
 Este espacio es el escenario donde ocurren todos los
fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la
física se cumplen rigurosamente en todas las regiones
de ese espacio.
 El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica
mediante un espacio puntual euclídeo.

2. TIEMPO ABSOLUTO
La Mecánica Clásica admite la existencia
de un tiempo absoluto que transcurre del
mismo modo en todas las regiones del
Universo y que es independiente de la
existencia de los objetos materiales y de la
ocurrencia de los fenómenos físicos.

2. MOVIL
 El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o
partícula.
 La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la
Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto
geométrico.
 Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de
dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme;
de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las
coordenadas de un punto geométrico.
 Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un
cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema
considerado.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
 Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su
posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita un
sistema de referencia.
 En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los
elementos siguientes.
a. un origen O, que es un punto del espacio físico.
b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio
físico.

 Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a
un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso
del tiempo.
 En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al
referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial.
 De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el
reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

 En la Figura hemos representado
dos observadores, S y S′, y una
partícula P.
 Estos observadores utilizan los
referenciales xyz y x′y′z′,
respectivamente.
 Si S y S′ se encuentran en reposo
entre sí, describirán del mismo modo
el movimiento de la partícula P. Pero
si S y S′ se encuentran en
movimiento relativo, sus
observaciones acerca del
movimiento de la partícula P serán
diferentes.

 Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá una
órbita casi circular en torno a la TIERRA.
 Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es
una línea ondulante.
 Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos
relativos, podrán reconciliar sus observaciones

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo
cuando su trayectoria medida con respecto a un
observador es una línea recta
1. POSICIÓN.
 La posición de la partícula en
cualquier instante queda definida
por la coordenada x medida a partir
del origen O.
Si x es positiva la partícula se
localiza hacia la derecha de O y si x
es negativa se localiza a la izquierda
de O.

2. DESPLAZAMIENTO.
 El desplazamiento se define como el cambio de posición.
 Se representa por el símbolo Δx.
 Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posición
inicial P, el desplazamiento ∆x es positivo cuando el
desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo
'
ˆ ˆ' '
x x x
r r r x i xi
∆ = −
∆ = − = −
r r r

3. VELOCIDAD MEDIA
Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un
desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo Δt,
entonces, la velocidad media será
2 2
2 1
ˆ ˆ' '
' '
m
m
x xx
v
t t t
r r r x i xi
v
t t t t t
−∆
= =
∆ −
∆ − −
= = =
∆ − −
r r r
r

3. VELOCIDAD MEDIA
 La velocidad media también puede
interpretarse geométricamente para ello se
traza una línea recta que une los puntos P y
Q como se muestra en la figura. Esta línea
forma un triángulo de altura ∆x y base ∆t.
 La pendiente de la recta es ∆x/∆t. Entonces
la velocidad media es la pendiente de la
recta que une los puntos inicial y final de la
gráfica posición-tiempo

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
 Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de
tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media es
decir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempo
y por tanto valores más pequeños de ∆x. Por tanto:
0
0
lim( )
ˆlim( )
t
t
x dx
v
t dt
r dr dx
v i
t dt dt
∆ →
∆ →
∆
= =
∆
∆
= = =
∆
r r
r

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
 Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y
más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida
que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de
esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad
instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto
P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (punto
R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente

5. RAPIDEZ MEDIA.
La rapidez media se define como la distancia total de la
trayectoria recorrida por una partícula ST, dividida entre el
tiempo transcurrido ∆t, es decir,
( ) T
rap
S
v
t
=
∆

6. ACELERACIÓN MEDIA .
Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasa
por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:
La aceleración media se
define como
'
'
med
v v v
a
t t t
∆ −
= =
∆ −

6. ACELERACIÓN INSTANTANEA .
La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la
aceleración media cuando ∆t tiende a cero es decir
0
2
2
lim( )
( )
t
v dv
a
t dt
d dx d x
a
dt dt dt
∆ →
∆
= =
∆
= =

Ejemplo 01
 La posición de una partícula que se mueve en línea recta
está definida por la relación Determine: (a) la
posición, velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición,
velocidad y aceleración en t = 2 s; (c) la posición,
velocidad y aceleración en t = 4 s ; (d) el desplazamiento
entre t = 0 y t = 6 s;
2 3
6x t t= −

Solución
 La ecuaciones de movimiento son
 Las cantidades solicitadas son
32
6 ttx −=
2
312 tt
dt
dx
v −==
t
dt
xd
dt
dv
a 6122
2
−===
• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12
m/s2
• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA
PARTÍCULA
1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).
Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA
PARTÍCULA
2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).
Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

PARTÍCULA
2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a =
f(v).
Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos
escribir

PARTÍCULA
4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilíneo
uniforme y las ecuaciones obtenidas son

Ejemplo 01
El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de
tal manera que su velocidad para un período corto de
tiempo es definida por pies/s, donde t es el
tiempo el cual está en segundos . Determine su posición
y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t
= 0. S = 0

Solución
POSICIÓN Para el sistema de
referencia considerado y sabiendo
que la velocidad es función del
tiempo v = f(t). La posición es
Cuando t = 3 s, resulta
 ACELERACIÓN. Sabiendo que
v = f(t), la aceleración se
determina a partir de a = dv/dt
 Cuando t = 3 s

Ejemplo 02
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia
abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial
de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una
desaceleración del proyectil que es igual a
donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la
posición S cuatro segundos después de que se disparó
el proyectil.

Solución
Velocidad: Usando el sistema
de referencia mostrado y sabiendo
que a = f(v) podemos utilizar la
ecuación a = dv/dt para determinar
la velocidad como función del
tiempo esto es
POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t),
la posición se determina a
partir de la ecuación v = dS/dt

Ejemplo 03
 Una partícula metálica está sujeta a la
influencia de un campo magnético tal
que se mueve verticalmente a través
de un fluido, desde la placa A hasta la
placa B, Si la partícula se suelta
desde el reposo en C cuando S = 100
mm, y la aceleración se mide como
donde S está en metros.
Determine; (a) la velocidad de la
partícula cuando llega a B (S = 200
mm) y (b) el tiempo requerido para
moverse de C a B

Solución
 Debido a que a = f(S), puede
obtenerse la velocidad como
función de la posición usando vdv
= a dS. Consideramos además
que v = 0 cuando S = 100 mm
 La velocidad cuando S = 0,2 m es
 El tiempo que demora en
viajar la partícula de C a B se
determina en la forma
 Cuando S = 0,2 m el tiempo
es

Ejemplo 04
Desde una ventana situada a 20 m sobre
el suelo se lanza una bola verticalmente
hacia arriba con una velocidad de 10
m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo
se encuentra sometida a un campo
gravitacional que le proporciona una
aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo.
Determine: (a) la velocidad y la altura en
función del tiempo, (b) el instante en que
la bola choca con el piso y la velocidad
correspondiente

( )
( ) tvtvdtdv
a
dt
dv
ttv
v
81.981.9
sm81.9
0
0
2
0
−=−−=
−==
∫∫
( ) ttv 





−= 2
s
m
81.9
s
m
10
( )
( ) ( )
0
21
0 2
0
10 9.81
10 9.81 10 9.81
y t t
y
dy
v t
dt
dy t dt y t y t t
= = −
= − − = −∫ ∫
( ) 2
2
s
m
905.4
s
m
10m20 ttty 





−





+=
Solución

Solución
( ) 0
s
m
81.9
s
m
10 2
=





−= ttv
s019.1=t
• Remplazando el valor del tiempo obtenido se
tiene.
( )
( ) ( )2
2
2
2
s019.1
s
m
905.4s019.1
s
m
10m20
s
m
905.4
s
m
10m20






−





+=






−





+=
y
ttty
m1.25=y
Cuando la bola alcanza su altura máxima su
velocidad es cero, entonces se tiene

Solución
• Cuando la bola choca contra el suelo y = 0
Entoces tenemos.
( ) 0
s
m
905.4
s
m
10m20 2
2
=





−





+= ttty
( )
s28.3
smeaningless243.1
=
−=
t
t
( )
( ) ( )s28.3
s
m
81.9
s
m
10s28.3
s
m
81.9
s
m
10
2
2






−=






−=
v
ttv
s
m
2.22−=v

VI. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS:
Movimiento relativo
 Sea A y B dos partículas que se mueven en línea recta
como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O
serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A
será.
 La velocidad relativa d A con respecto a B será.
 La aceleración relativa se expresa en la forma
B A B Ax x x= − ⇒ ABAB xxx +=
B A B Av v v= − ⇒ ABAB vvv +=
B A B Aa a a= − ⇒
ABAB aaa +=

Ejemplo 05
 Desde una altura de 12 m, en el interior
de un hueco de un ascensor, se lanza
una bola verticalmente hacia arriba con
una velocidad de 18 m/s. En ese mismo
instante un ascensor de plataforma
abierta está a 5 m de altura
ascendiendo a una velocidad constante
de 2 m/s. Determine: (a) cuando y
donde chocan la bola con el ascensor,
(b) La velocidad de la bola relativa al
ascensor en el momento del choque

SOLUCION:
• Remplazando la posición, velocidad inicial
y el valor de la aceleración de la bola en
las ecuaciones generales se tiene.
2
2
2
2
1
00
20
s
m
905.4
s
m
18m12
s
m
81.9
s
m
18
ttattvyy
tatvv
B
B






−





+=++=






−=+=
• La posición y la velocidad del ascensor será.
ttvyy
v
EE
E






+=+=
=
s
m
2m5
s
m
2
0

• Escribiendo la ecuación para las posiciones
relativas de la bola con respect al elevador y
asumiendo que cuando chocan la posición
relativa es nula, se tiene.
( ) ( ) 025905.41812 2
=+−−+= ttty EB
0.39s
3.65s
t
t
=−
=
• Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la
posición del elevador y en la velocidad relativa de la bola con
respecto al ascensor se tiene
( )65.325 +=Ey m3.12=Ey
( )
( )65.381.916
281.918
−=
−−= tv EB
s
m
81.19−=EBv

Movimiento dependiente
 La posición de una partícula puede depender de
la posición de otra u otras partículas.
 En la figura la posición de B depende de la
posición de A.
 Debido a que la longitud del cable ACDEFG que
une ambos bloques es constante se tiene
2 tan
2 0
2 0
A B
A B
A B
x x cons te
v v
a a
+ =
+ =
+ =
Debido a que sólo una de las coordenadas
de posición xA o xB puede elegirse
arbitrariamente el sistema posee un grado de
libertad

Movimiento dependiente Aquí la posición de una partícula depende de dos
posiciones más.
 En la figura la posición de B depende de la
posición de A y de C
 Debido a que la longitud del cable que une a los
bloques es constante se tiene
Como solo es posible elegir dos de las
coordenadas, decimos que el sistema posee
DOS grados de libertad
2 2A B Cx x x ctte+ + =
022or022
022or022
=++=++
=++=++
CBA
CBA
CBA
CBA
aaa
dt
dv
dt
dv
dt
dv
vvv
dt
dx
dt
dx
dt
dx

Ejemplo 06
 El collar A y el bloque B están
enlazados como se muestra en la
figura mediante una cuerda que pasa a
través de dos poleas C, D y E. Las
poleas C y E son fijas mientras que la
polea D se mueve hacia abajo con una
velocidad constante de 3 pul/s.
Sabiendo que el collar inicia su
movimiento desde el reposo cuando t
= 0 y alcanza la velocidad de 12 pulg/s
cuando pasa por L, Determine la
variación de altura, la velocidad y la
aceleración del bloque B cuando el
collar pasa por L

Solución
 Se analiza en primer lugar el
movimiento de A.
 El collar A tiene un MRUV, entonces
se determina la aceleración y el tiempo
( ) ( )[ ]
( ) 2
2
0
2
0
2
s
in.
9in.82
s
in.
12
2
==





−+=
AA
AAAAA
aa
xxavv
( )
s333.1
s
in.
9
s
in.
12 2
0
==
+=
tt
tavv AAA

Solución
• Como la polea tiene un MRU se calcula el
cambio de posición en el tiempo t.
( )
( ) ( ) in.4s333.1
s
in.
30
0
=





=−
+=
DD
DDD
xx
tvxx
• El movimiento del bloque B depende del
movimiento de collar y la polea. El
cambio de posición de B será
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] 0in.42in.8
02
22
0
000
000
=−++
=−+−+−
++=++
BB
BBDDAA
BDABDA
xx
xxxxxx
xxxxxx
( ) in.160 −=− BB xx

Solución
• Derivando la relación entre las posiciones
se obtiene las ecuaciones para la velocidad
y la aceleración
2 constant
2 0
in. in.
12 2 3 0
s s
18 lg/
A D B
A D B
B
B
x x x
v v v
v
v pu s
+ + =
+ + =
   
+ + = ÷  ÷
   
= −
in.
18
s
Bv = ↑
2
2 0
in.
9 0
s
A D B
B
a a a
a
+ + =
 
+ = ÷
 
2
2
in.
9
s
9 lg/
B
B
a
a pu s
= −
= ↑

Ejemplo 07
La caja C está siendo
levantada moviendo el
rodillo A hacia abajo con
una velocidad constante
de vA =4m/s a lo largo de
la guía. Determine la
velocidad y la aceleración
de la caja en el instante
en que s = 1 m . Cuando
el rodillo está en B la caja
se apoya sobre el piso.

Solución
 La relación de posiciones se determina teniendo en
cuenta que la longitud del cable que une al bloque y el
rodillo no varia.
 Cuando s = 1 m, la posición de la caja C será
 Se determina ahora la posición xA, cuando s = 1 m
2 2
4 8C Ax x m+ + =
4 4 1 3C Cx m s m m x m= − = − ⇒ =
2 2
3 4 8 3A Am x m x m+ + = ⇒ =

Solución
 La velocidad se determina derivando la relación entre las
posiciones con respecto al tiempo
 La aceleración será
( )
1/ 22
2 2
1
16 (2 ) 0
2
3 (4 / )
16 16 3
2,4 /
C A
A A
A
C A
A
C
dx dx
x x
dt dt
x m m s
v v
x
v m s
−
+ + =
= − = −
+ +
= ↑
2 2 2
2 2 2 2 3
2 2 2
3
2
16 16 16 [16 ]
4 3(0) 3 (4 )
16 9 16 9 [16 9]
2,048 /
C A A A A A A
C A
A A A A
C
C
dv x v x a x vd
a v
dt dt x x x x
a
a m s
   
   = = − =− + −
   + + + +   
 
= − + − 
+ + +  
= ↑

Ejemplo 08
El sistema representado parte del
reposo y cada componente se
mueve a aceleración constante. Si
la aceleración relativa del bloque
C respecto al collar B es 60 mm/s2
hacia arriba y la aceleración
relativa del bloque D respecto al
bloque A es 110 mm/s2
hacia
abajo. Halle: (a) la aceleración del
bloque C al cabo de 3 s, (b) el
cambio de posición del bloque D
al cabo de 5 s

Ejemplo 09
Un hombre en A está
sosteniendo una caja S
como se muestra en la
figura, caminando hacia
la derecha con una
velocidad constante de
0,5 m/s. Determine la
velocidad y la
aceleración cuando llega
al punto E. La cuerda es
de 30 m de longitud y
pasa por una pequeña
polea D.

Resolución gráfica de problemas en el
movimiento rectilíneo La velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo están dadas
por las ecuaciones,
 La primera ecuación expresa que la velocidad instantánea es igual a
la pendiente de la curva en dicho instante.
 La segunda ecuación expresa que la aceleración es igual a la
pendiente de la curva v-t en dicho instante
/
/
v dx dt
a dv dt
=
=

VII. Resolución gráfica de problemas en
el movimiento rectilíneo Integrando la ecuación de la velocidad tenemos
 El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento
neto durante este intervalo de tiempo
 El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de
velocidades durante este intervalo de tiempo
2 2
1 1
2 1 2 1;
t t
t t
A x x vdt A v v adt= − = = − =∫ ∫

Otros métodos gráficos
• El momento de área se puede utilizar para
determinar la posición de la partícula en
cualquier tiempo directamente de la curva v-t:
( )
1
0
1 0
0 1 1
area bajo la curva
v
v
x x v t
v t t t dv
− = −
= + −∫
usando dv = a
dt ,
( )∫ −+=−
1
0
11001
v
v
dtatttvxx
( ) =−∫
1
0
1
v
v
dtatt Momento de primer orden de area
bajo la curva a-t con repecto a la
línea t = t1
( ) ( )1 0 0 1 1área bajo la curva
abscisa del centroide
x x v t a -t t t
t C
= + + −
=

Otros métodos gráficos
• Método para determinar la
aceleración de una partícula de la
curva v-x
tan
a BC
dv
a v
dx
AB
a BC subnormal
θ
=
=
= =

EJEMPLO 10
 Un ciclista se mueve en línea recta tal que su posición es
descrita mediante la gráfica mostrada. Construir la
gráfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0≤ t ≤ 30 s

EJEMPLO 11
Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo
de una línea recta acelerando a razón constante durante
10 s. Posteriormente desacelera a una razón constante
hasta detenerse. Trazar las gráficas v-t y s-t y determinar
el tiempo t’ que emplea en detenerse

Solución: Grafica v - tLa gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante
integración de los segmentos de recta de la gráfica a-t. Usando la
condición inicial v = 0 cuando t = 0
Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condición inicial para el
siguiente tramo se tiene
tvdtdvast
tv
10,10;10100
00
===≤≤ ∫∫
1202,2;2;10
10100
+−=−=−=′≤≤ ∫∫ tvdtdvatts
tv
Cuando t = t´, la velocidad
nuevamente es cero por tanto se
tiene
0= -2t’ + 120
t’ = 60 s

Solución: Grafica s - tLa gráfica posición-tiempo puede ser determinada mediante integración
de los segmentos de recta de la gráfica v-t. Usando la condición inicial
s = 0 cuando t = 0
Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condición inicial para el
siguiente tramo se tiene
Cuando t = t´, la posición
S = 3000 m
2
00
5,10;10;100 tsdttdstvst
ts
===≤≤ ∫∫
( )
600120
1202;1202;6010
2
10500
−+−=
+−=+−=≤≤ ∫∫
tts
dttdstvsts
ts

Ejemplo 12
La gráfica v-t, que describe el movimiento de un
motociclista que se mueve en línea recta es el mostrado
en la figura. Construir el gráfico a-s del movimiento y
determinar el tiempo que requiere el motociclista para
alcanzar la posición S = 120 m

Solución
Grafico a-s.
Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la
gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser determinada
usando la ecuación dv = a ds
0
;15;12060
6.004.0
32.0;600
==
=≤<
+==
+=≤≤
ds
dv
va
vmsm
s
ds
dv
va
svms

Solución
Calculo del tiempo.
El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación
v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t
= 0
3ln5)32.0ln(5
32.0
32.0
;32.0;600
0
−+=
+
=
+
==+=≤≤
∫∫
st
s
ds
dt
ds
v
ds
dtsvms
st
o

Solución
Calculo del tiempo.
Para el segundo tramo de movimiento
Cuando S = 120 m, t´= 12 s
05.4
15
15
15
;15;12060
6005.8
+=
=
===≤<
∫∫
s
t
ds
dt
ds
v
ds
dtvms
st

Ejemplo 13
Una partícula parte del reposo y se mueve describiendo
una línea recta, su aceleración de 5 m/s2
dirigida hacia la
derecha permanece invariable durante 12 s. A
continuación la aceleración adquiere un valor constante
diferente tal que el desplazamiento total es 180 m hacia
la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m.
Determine: (a) la aceleración durante el segundo
intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.

Solución
En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo , ya que a =
constante.
La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto
Como la aceleración es la
pendiente de la curva v-t, tenemos
2 1
1
1
2 2
1 1
1
5 /
5 / ( ) 5 / (12 )
60 / (1)
v
tg a m s
t
v m s t m s s
v m s
α = ⇒ =
∆
= ∆ =
=
1 2 1 2 1 3 3
2 3 3
1 1
780 ( ) ( )
2 2
1 1
(12 )60 / ( ) 780 (2)
2 2
Td A A m t t v t v
s t m s t v m
= + ⇒ = ∆ +∆ + ∆
+∆ + ∆ =

Solución
El desplazamiento viene expresado por
1 2 1 2 1 3 3
2 3 3
1 1
180 ( ) ( )
2 2
1 1
(12 )60 / ( ) 180 (3)
2 2
x A A m t t v t v
s t m s t v m
∆ = − ⇒ = ∆ + ∆ + ∆
+ ∆ − ∆ =
Sumando las ecuaciones (2) y (3),
resulta
2
2
(12 )60 / 960
4 (4)
s t m s m
t s
+ ∆ =
∆ =
La aceleración en el segundo
intervalo tiempo es
1
2
2
2
60 /
4
15 / (5)
v m s
a tg
t s
a m s
β= = =
∆
= ¬

Solución
Se determina ∆t3
23
2
3
2
3 3
15 /
15 / ( ) (6)
v
a tg m s
t
v m s t
β= = =
∆
= ∆
Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene
3 3
2
2
3
3
1 1
(12 4 )60 / ( )(15 ) 180
2 2
15 /
480 ( ) 180
2
6,32
s s m s t t m
m s
m t m
t s
+ − ∆ ∆ =
− ∆ =
∆ =
El intervalo total de tiempo será
1 2 3 12 4 6,33
22,33
t t t t s s s
t seg
∆ = ∆ + ∆ + ∆ = + +
∆ =

Ejemplo 14
Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad
cuyo cuadrado disminuye linealmente con el
desplazamiento entre los puntos A y B los cuales están
separados 90 m tal como se indica. Determine el
desplazamiento Δx del cuerpo durante los dos últimos
segundos antes de llegar a B.

Poblemas propuestos
1. El movimiento de una partícula se define por
la relación donde x se expresa en
metros y t en segundos. Determine el tiempo,
la posición y la aceleración cuando la
velocidad es nula.
2. El movimiento de una partícula se define
mediante la relación donde x se
expresa en pies y t en segundos. Determine:
(a) el tiempo en el cual la velocidad es cero,
(b) La posición y la distancia total recorrida
3 2
2 6 15x t t= − +
2
2 20 60x t t= − +

Problemas propuestos
3. La aceleración de una partícula se define mediante la
relación . La partícula parte de x = 25
pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el
cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición y la
velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida
por la partícula desde t = 0 a t = 5 s.
4. La aceleración de una partícula está definida por la
relación a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s.
Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s,
determine: (a) la distancia que la partícula viajará antes
de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la
2 2
(64 12 ) /a t pul s= −

5. El bloque A tiene una
velocidad de 3,6 m/s hacia la
derecha. Determine la
velocidad del cilindro B
6. Los collares A y B deslizan a lo
largo de las barrar fija que
forman un ángulo recto y están
conectadas por un cordón de
longitud L. Determine la
aceleración ax del collar B como
una función de y si el collar A se
mueve con una velocidad
constante hacia arriba vA

7. Una partícula que se mueve a
lo largo del eje x con
aceleración constante , tiene
una velocidad de 1,5 m/s en el
sentido negativo de las x para
t = 0, cuando su coordenada x
es 1,2 m. tres segundos más
tarde el punto material pasa
por el origen en el sentido
positivo. ¿Hasta qué
coordenada negativa se ha
desplazado dicha partícula?.
8. Determine la rapidez vP a la cual
el punto P localizado sobre el
cable debe viajar hacia el motor
M para levantar la plataforma A
a razón de vA = 2 m/s.

9. Determine la velocidad del
bloque A si el bloque B tiene
una velocidad de 2 m/s hacia
arriba
10. Determine la velocidad del
bloque A si el bloque B tiene una
velocidad de 2 m/s hacia arriba

10. Determine la velocidad con la
cual el bloque asciende si el
extremo del cable en A es
halado hacia abajo con
velocidad de 2 m/s hacia
abajo
11.

 Para levantar el embalaje
mostrado mediante el aparejo
se usa un tractor. Si el tractor
avanza con una velocidad vA.
Determine una expresión para
la velocidad ascendente vB del
embalaje en función de x.
Desprecie la pequeña
distancia entre el tractor y su
polea de modo que ambos
tengan la misma velocidad.

VIII.MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando
su trayectoria descrita esta es una línea curva.

OBJETIVOS
1. Describir el movimiento de
una partícula que viaja a lo
largo de una trayectoria
curva
2. Expresar las cantidades
cinemáticas en coordenadas
rectangulares, componentes
normal y tangencial, así
como radial y transversal

Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo
cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.

1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el
origen de un sistema coordenado hacia el punto de
ubicación instantánea P la partícula. Se representa por
r = r(t).

2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la
partícula se mueve durante un pequeño intervalo de
tiempo ∆t hasta el punto P’, entonces su posición será
r’ (t + ∆). El desplazamiento es vector dirigido desde P
a P’ y se expresa
'( ) ( )r r t t r t∆ = + ∆ −
r r r

3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’
experimenta un desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo
∆t. la velocidad media se define como
'
'
m
r r r
v
t t t
∆ −
= =
∆ −
r r r
r
La velocidad media es un
vector que tiene la misma
dirección que el desplazamiento
es decir es secante a la curva.
La velocidad media depende
del intervalo de tiempo.

4. Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace
cada ves más pequeño (∆t→0), el desplazamiento también
tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene
la velocidad instantánea. Es decir.
La velocidad instantánea es
un vector tangente a la
trayectoria.
0 0
'
lim lim
't t
r r r dr
v
t t t dt∆ → ∆ →
∆ −
= = =
∆ −
r r r r
r

3. Velocidad Instantánea:
Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la
longitud del arco ∆s = acrPQ, obtenemos
0 0 0
lim lim lim
t t t
r s r s
v
s t s t∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆ ∆
= =
∆ ∆ ∆ ∆
r r
r
A medida que Q se acerca a P la
magnitud de ∆r se aproxima a ∆s,
entonces se tiene
Además se tiene
0
lim t
t
dr r
e
ds s∆ →
∆
= =
∆
r r
r
0
lim
t
s ds
v
t dt∆ →
∆
= =
∆
t
ds
v e
dt
=
r r

5. Aceleración media: En la figura se observa las
velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de
velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración media es el cambio
de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
La aceleración media es un
vector paralelo a ∆v y
también depende de la
duración del intervalo de
tiempo
Q P
m
Q P
v vv
a
t t t
−∆
= =
∆ −
r rr
r

3. Aceleración media: En la figura se observa las
velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de
velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración media es el cambio
de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir
La aceleración media es un
vector paralelo a ∆v y
también depende de la
duración del intervalo de
tiempo
Q P
m
Q P
v vv
a
t t t
−∆
= =
∆ −
r rr
r

6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite
la aceleración media es decir haciendo cada ves mas y mas
pequeños los intervalos de tiempo
La aceleración instantánea
es un vector que tiene
misma dirección que el
cambio instantáneo de la
velocidad es decir apunta
hacia la concavidad de la
curva
0
2
2
lim
t
v dv
a
t dt
d dr d r
a
dt dt dt
∆ →
∆
= =
∆
 
= = ÷
 
r r
r
r r
r

8.1 COMPONENTES RECTANGULARES DE LA
VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
1. POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula en
componentes x, y, z es
kzjyixr

++=
Las coordenadas x, y, z son
funciones del tiempo: x = f(t),
y = f(t), z = f(t)
La magnitud del vector de posición
será
222
zyxr ++=

8.1. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA
2. Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P en
un intervalo de tiempo ∆t. El desplazamiento está dado
por: ˆˆ ˆ'r r r xi yj zk∆ = − = ∆ +∆ +∆
  
2 2 2
( ) ( ) ( )r x y z∆ = ∆ + ∆ + ∆


3. Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’
experimenta un desplazamiento ∆r en un intervalo de
tiempo ∆t. La velocidad media será
Es un vector secante a la
trayectoria
ˆˆ ˆm
r x y z
v i j k
t t t t
∆ ∆ ∆ ∆
= = + +
∆ ∆ ∆ ∆



4. Velocidad instantánea. Se obtiene llevando al límite
cuando ∆t → 0, la velocidad media es decir:
Es un vector tangente a la curva y
tiene una magnitud definida por
kvjviv
kzjyixk
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
zyx








++=
++=++=
222
zyx vvvv ++=

5. Aceleración media. Cuando la partícula cambia de
posición su velocidad tambien cambia. Entonces la
aceleración media será
Es un vector que se encuentra dirigido
a lo largo del cambio de velocidades
ˆˆ ˆyx z
m
vv vv
a i j k
t t t t
∆∆ ∆∆
= = + +
∆ ∆ ∆ ∆



5. Aceleración instantanea. Se obtiene llevando al límite la
aceleración media.
Es un vector que se encuentra dirigido
hacia la concavidad de la curva y su
magnitud es
x y z
x x
y y
z z
dv
a a i a j a k
dt
donde
a v x
a v y
a v z
= = + +
= =
= =
= =
 
 
 
 
222
zyx aaaa ++=

Ejemplo
En cualquier instante la posición horizontal del globo
meteorológico está definida por x = (9t) m, donde t es el
segundo. Si la ecuación de la trayectoria es y = xª/30,
donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la
estación A, la magnitud y la dirección de la velocidad y
de la aceleración cuando t = 2 s

Solución
 Cuando t = 2 s, la posición del
globo es
 La distancia en línea recta será
 Las componentes de la velocidad
son
 La magnitud y dirección
de la velocidad para
t = 2 s son2 2
9 9 / (2 ) 18
18
( ) 10,8
30 30
x t m s s m
x
y m
= = =
= = =
2 2
18 10,8 21r m= + =
( )
( )2
9 9 /
81
/30 10.8 /
15 15
x
y
d
v x t m s
dt
d x dx t
v y x m s
dt dt
= = =
= = = = =


( ) ( )
2 2
9 10.8 14.1 /v m s= + =
1
tan 50.2
y
v
x
v
v
θ −
= = o

Solución
Las componentes de la
aceleración será
La magnitud y dirección de la
aceleración son
2
0
81
5.4 /
15
x x
y y
a v
d t
a v m s
dt
= =
 
= = = ÷
 


( ) ( )
2 2 2
0 5.4 5.4 /a m s= + =
1 5.4
tan 90
0
aθ − °
= =

Ejemplo
El movimiento de la caja B está
definida por el vector de posición
donde t esta en segundos y el
argumento para el seno y el
coseno está en radianes.
Determine la localización de la
caja cuando t = 0,75 s y la
magnitud de su velocidad y
aceleración en este instante
ˆˆ ˆ[0,5 (2 ) 0,5cos(2 ) 0,2 ]r sen t i t j tk m= + −


Solución La posición de la partícula cuando t = 0,75 s es
 La distancia medida desde el origen será
 La dirección es
0.75 {0.5s n(1.5 ) 0.5cos(1.5 ) 0.2(0.75) }t sr e rad i rad j k m= = + −
 
0,75 {0.499 0.0354 0.150 }sr i j k m= + −
 
2 2 2
(0.499) (0.0354) ( 0.150) 0.522r m= + + − =
1
0.499 0.0352 0.150
0.522 0.522 0.522
0.955 0.0678 0.287
cos (0.955) 17.2
86.1
107
r
r
u i j k
r
i j k
α
β
γ
−
= = + −
= + −
= =
=
=
o
o
o
  
 
Q

Solución
 La velocidad de la partícula cuando t = 0,75 s
es
 La aceleración de la partícula cuando t = 0,75s
{1cos(2 ) 1sin(2 ) 0.2 } /
dr
v t i t j k m s
dt
= = − −
  
2 2 2
1.02 /x y zv v v v m s= + + =
2
{ 2sin(2 ) 2cos(2 ) } /
dv
a t i t j m s
dt
= = − −
  

Ejemplo
 Los movimientos x e y de las guías A y
B, cuyas ranuras forman un ángulo
recto, controlan el movimiento del
pasador de enlace P, que resbala por
ambas ranuras. Durante un corto
intervalo de tiempo esos movimientos
están regidos por
donde x e y están en milímetros y t en
segundos. Calcular los módulos de las
velocidad y de la aceleración a del
pasador para t = 2 s. esquematizar la
forma de la trayectoria e indicar su
curvatura en ese instante.
2 31 1
20 y 15
4 6
x t y t= + = −

Ejemplo
 El rodillo A de la figura está
restringido a deslizar sobre
la trayectoria curva
mientras se desplaza en la
ranura vertical del miembro
BC. El miembro BC se
desplaza horizontalmente.
(a) Obtenga las ecuaciones
para la velocidad y la
aceleración de A, exprésela
en términos de
(b) Calcule la velocidad y la
aceleración cuando
, , ,b x x x 
2
ˆ ˆ10 ; 4 ; 10 / ;
ˆ8 /
b cm x icm x icm s
x icm s
= = =
= −





8.2. MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO
Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano.
( ) ( ) ( )r t x t i y t j= +
  
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1 2 1
r r t r t
r x x i y y j
∆ = −
∆ = − + −
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x yv t v t i v t j
v t x t i y t j
= +
= +
  
  
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y
x y
a t a t i a t j
a t v t i v t j
a t x t i y t j
= +
= +
= +
  
  
 
  
 

8.3. MOVIMIENTO PARABÓLICO
Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax =
0 y ay = - g = - 9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se
muestra este movimiento y su trayectoria

8.3.1.MOVIMIENTO PARABÓLICO: Hipótesis
Para analizar este movimiento se usa las siguientes hipótesis
(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para
poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la
aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie);
(b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña
como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio
(aceleración de la gravedad) terrestre con la altura;
(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para
poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento
del proyectil y
(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que,
como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la
derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el
hemisferio Norte.

DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN
PROYECTIL

8.3.2 MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones
Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0
0
2
0 0
2 2
0 0
;
1
;
2
2 ( );
x
x
x
v v a t
x x v t a t
v v a x x
= +
= + +
= + −
0
0 0
0
( )
( )
( )
x x
x
x x
v v
x x v t
v v
=
= +
=

8.3.2.MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones
Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2
0
2
0 0
2 2
0 0
;
1
;
2
2 ( );
y y y
y y
y y y
v v a t
y y v t a t
v v a y y
= +
= + +
= + −
0
2
0 0
2 2
0 0
( )
1
( )
2
( ) 2 ( )
y y
y
y y
v v gt
y y v t gt
v v g y y
= −
= + −
= − −

8.3.2.MOVIMIENTO PARABÓLICO: Altura máxima y
alcance alcanzado por el proyectil
Cuando se estudia el movimiento
de proyectiles, dos características
son de especial interés.
1.El alcance R, es la máxima
distancia horizontal alcanzada
por el proyectil
2. La altura máxima h
alcanzada por el proyectil
θ
=
2 2
sin
2
i iv
h
g
θ
=
2
sin2i iv
R
g

8.3.2.MOVIMIENTO PARABÓLICO: alcance alcanzado
por el proyectil
El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de
lanzamiento es 45°

Ejemplo
Un saco desliza por una rampa saliendo de su extremo
con una velcoidad de 12 m/s. Si la altura de la rampa es 6
m desde el piso. Determine el tiempo necesario para que
saco impacte contra el piso y la distancia horizontal R que
avanza

Ejemplo
La máquina de picar está diseñada para extraer madera en
trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m / s. Si el
tubo se orienta a 30° respecto a la horizontal como se
muestra en la figura, determinar qué tan alto se apilarán los
trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la salida
es 6 m

Ejemplo
La pista de carreras de este evento fue diseñado para que
los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30°, desde una
altura de 1m. Durante la carrera, se observó que el
conductor permaneció en el aire 1,5 s. Determine la
velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal
alcanzada y la altura máxima que se eleva el piloto y su
moto. Desprecie el tamaño de ambos.

Ejemplo
Un jugador de basquetbol lanza una pelota de
baloncesto según el ángulo de θ = 50° con la horizontal.
Determine la rapidez v0 a la cual se suelta la pelota para
hacer el enceste en el centro del aro. ¿Con qué rapidez
pasa la pelota a través del aro?.

Ejemplo
Un bombero desea saber la altura máxima de la pared a
la cual puede proyectar el agua mediante el uso de la
manguera. ¿A qué ángulo, θ, respecto de la horizontal
debe inclinar la boquilla para lograr el objetivo?

Ejemplo
La moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa
con una rapidez de 15 m/s bajo un ángulo de
40°respecto a la horizontal y aterriza en el punto B.
Determine la distancia horizontal R que viaja y el tiempo
que permanece en el aire

Ejemplo
El esquiador sale de la rampa formando un ángulo de θA
= 25° y aterriza en el punto B de la pendiente. Determine
la velocidad inicial del esquiador y el tiempo que
permanece en el aire

Ejemplo
 El hombre lanza una pelota con una velocidad
inicial v0 = 15 m/s . Determine el ángulo θ bajo
el cual podría lanzar la pelota del tal manera
que choque contra la valla en un punto de
máxima altura posible. El gimnasio tiene una
altura de 6 m.

8.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
8.4.1.OBJETIVOS
 Determinar las componentes normal y tangencial de la
velocidad y la aceleración de una partícula que se
encuentra moviéndose en un trayectoria curva.

8.4.1.APLICACIONES
Cuando un auto se mueve en una
curva experimenta una aceleración,
debido al cambio en la magnitud o en
la dirección de la velocidad.
¿Podría Ud. preocuparse por la
aceleración del auto?.
Si el motociclista inicia su
movimiento desde el reposo e
incrementa su velocidad a razón
constante. ¿Cómo podría determinar
su velocidad y aceleración en la parte
más alta de su trayectoria.

8.4.3. POSICIÓN
Cuando la trayectoria de una
partícula es conocida, a veces es
conveniente utilizar las
coordenadas normal (n) y
tangencial (t) las cuales actúan en
las direcciones normal y
tangencial a la trayectoria.
En un movimiento plano se
utilizan las vectores unitarios ut y
un
El origen se encuentra ubicado
El eje t es tangente a la
trayectoria y positivo en la
dirección del movimiento
y el eje n es perpendicular
al eje t y esta dirigido
hacia el centro de
curvatura

8.4.3. POSICIÓN
En un movimiento plano las
direcciones n y t se encuentran
definidas por los vectores
unitarios ut y un
El radio de curvatura ρ, es la
distancia perpendicular desde curva
hasta el centro de curvatura en aquel
punto.
La posición es la distancia S medida
sobre la curva a partir de un punto O
considerado fijo

8.4.4. VELCOIDAD
Debido a que la partícula se
esta moviendo, la posición S
está cambiando con el tiempo.
La velocidad v es un vector que
siempre es tangente a la
trayectoria y su magnitud se
determina derivando respecto
del tiempo la posición S = f(t).
Por lo tanto se tiene
/
tv vu
v s dS dt
=
= =
 


8.4.4. ACELERACIÓNConsideremos el movimiento de
una partícula en una trayectoria
curva plana
En el tiempo t se encuentra en P
con una velocidad v en dirección
tangente y una aceleración a
dirigida hacia la concavidad de la
curva. La aceleración puede
descomponerse en una
componente tangencial at
(aceleración tangencial) paralela a
la tangente y otra paralela a la
normal an (aceleración normal)
La aceleración tangencial es
la responsable del cambio
en el modulo de la
velocidad
La aceleración normal es la
responsable del cambio en
la dirección de la velocidad

8.4.4. ACELERACIÓNTracemos en A un vector
unitario . La aceleración será
Si la trayectoria es una recta, el
vector sería constante en
magnitud y dirección, por tanto
Pero cuando la trayectoria es
curva la dirección de cambia
por lo tanto
ˆ ˆ( )
ˆt t
t
d ve dedv dv
a e v
dt dt dt dt
= = = +


ˆ
0tde
dt
=
ˆte
ˆte
ˆte
ˆ
0tde
dt
≠

8.4.4. ACELERACIÓN
Introduzcamos el vector unitario
normal a la curva y dirigido
hacia el lado cóncavo de la
curva. Sea β el ángulo que forma
la tangente en A con el eje x.
Entonces se tiene
La derivada del vector unitario
tangente será
ˆne
ˆˆ cos
ˆˆ cos( ) ( )
2 2
ˆˆ cos
t
n
n
e i sen j
e i sen j
e sen i j
β β
π π
β β
β β
= +
= + + +
= − +



ˆ ˆ( ) cos
ˆ
ˆ
t
t
n
de d d
sen i j
dt dt dt
de d
e
dt dt
β β
β β
β
= − +
=


8.4.4. ACELERACIÓN
 Por otro lado se tiene que
 Donde dS es el pequeño
arco a lo largo del
movimiento en un dt.
 Las normales a la curva en
A y A´ se intersecan en C.
Entonces
d d dS d
v
dt dS dt dS
β β β
= =
1
dS d
d
dS
ρ β
β
ρ
=
=
ˆ 1
ˆt
n
de
e
dt ρ
=

8.4.4. ACELERACIÓN
Remplazando esta ecuación
en la aceleración se tiene
Es decir las aceleraciones
tangencial y normal se
escriben
 La magitud de la aceleración
total será
2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
t
t
t n
t t n n
dedv
a e v
dt dt
dv v
a e e
dt
a a e a e
ρ
= +
= +
= +



2
ˆ ˆ:t t t n
dv v
a e a e
dt ρ
= =
 
2 2
t na a a= +

CASOS ESPECIALES
1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta
ρ → ∞ => an = v2
/ρ = 0 => a = at = v
La componente tangencial representa la razón
de cambio de la magnitud de la velocidad
2. La partícula se mueve en la curva a velocidad
constante
at = v = 0 => a = an = v2
/ρ
La componente normal representa la razón de
cambiode la dirección de la velocidad

3) La componente tangencial de la aceleracón es constante,
at = (at)c.
So and vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0
4. La partícula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y =
f(x). Entonces el radio de curvatura es
2
0 0
0
2 2
0 0
1
( )
2
( )
2( ) ( )
c c
c c
c c
s s v t a t
v v a t
v v a s s
= + +
= +
= + −
2 3/ 2
2 2
[1 ( / ) ]
/
dy dx
d y dx
ρ
+
=
CASOS ESPECIALES

Ejemplo 01
 Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se está
incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria
parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y
aceleración en el instante que llega a A. Desprecie en los cálculos
el tamaño del esquiador.

Solución
 Estableciendo los ejes n y t
mostrados se tiene.
 La velocidad de 6 m/s es
tangente a la trayectoria y
su dirección será
 Por lo tanto en A la
velocidad forma 45° con el
eje x
1,
20
1
10
2
==
=xdx
dy
xy

Solución
 La aceleración se determina
aplicando la ecuación
 Para ello se determina el radio
de curvatura
2
ˆ ˆt n
dv v
a e e
dt ρ
= +
r
2 3/2
2 2
2 3/2
[1 ( / ) ]
/
[1 ( /10) ]
1/10
28.28
dy dx
d y dx
x
m
ρ
ρ
ρ
+
=
+
=
=
2
2
ˆ ˆ
6
ˆ ˆ2
28,3
ˆ ˆ2 1, 27
A t n
A t n
A t n
dv v
a e e
dt
a e e
a e e
ρ
= +
= +
= +
r
r
r

Solución
 La magnitud y la dirección de la
aceleración serán
( ) ( )
2 2 2
1
2 1.237 2.37 /
2
tan 57.5
1.327
a m s
φ −
= + =
= = o

Ejemplo 02
 Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista
horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro
incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2
partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario
para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su
velocidad en ese instante.

Solución
 Se sabe que la aceleración
tangencial es constante e
igual a
 La aceleración normal será
 La aceleración total será
 La velocidad en este instante
será
2
0
2,1 /
0 2,1
t
t
a m s
Entonces
v v a t
v t
=
= +
= +
2 2
2 2(2,1 )
0.049 /
90
n
v t
a t m s
ρ
= = =
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ2,1 0.049
2,1 [0.049 ]
2,4 2,1 [0.049 ]
4,87
t t n
t n
v
a a e e
a e t e
a t
t
t
ρ
= +
= +
= +
= +
=
r
r
2.1 10.2 /v t m s= =

Ejemplo 03
Una caja parte del reposo en A e
incrementa su rapidez a razón de
at = (0.2t) m/s2
y viaja a lo
largo de la pista horizontal
mostrada. Determine la magnitud
y dirección de la aceleración
cuando pasa por B

Ejemplo 03
La posición de la caja en
cualquier instante es S medida a
partir del punto fijo en A.
La velocidad en cualquier instante
se determina a partir de la
aceleración tangencial, esto es
0 0
2
0.2 (1)
0.2
0.1 (2)
t
v t
a v t
dv tdt
v t
= =
=
=
∫ ∫
&

Ejemplo 03
Para determinar la velocidad en
B, primero es necesario
determinar S = f(t), después
obtener el tiempo necesario para
que la caja llegue a B. es decir
De la geometría se tiene sB
= 3 + 2π(2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos
2
2
0 0
3
0.1
0.1
0,0333 (3)
S t
ds
v t
dt
ds t dt
S t
= =
=
=
∫ ∫
3
6,142 0,0333
5,69
t
t s
=
=

Ejemplo 03
Remplazando el tiempo en las
ecuaciones (1) y (2) resulta
En el punto B el radio de
curvatura es ρ = 2 m, entonces la
aceleración será
La aceleración total será
Su modulo y dirección serán
2
2
( ) 0.2(5.69) 1.138 /
0.1(5.69) 3.238 /
B t B
B
a v m s
v m s
= = =
= =
&
2
2
( ) 5.242 /B
B n
B
v
a m s
ρ
= =
2
,
ˆ ˆ
ˆ ˆ1,138 5,242
B
B t B t n
B t n
v
a a e e
a e e
ρ
= +
= +
r
r
2 2 2
2
1,138 [5,242]
5,36 /
a
a m s
= +
=
1 5.242
[ ] 77,75
1,138
tgθ −
= = °

Ejemplo 04
Una partícula se mueve en una trayectoria curva de tal
manera que en cierto instante tiene una velocidad v y
una aceración a. Demuestre que el radio de curvatura
puede obtenerse a partir de la ecuación
3
1 vxa
vρ
=
r r

Ejemplo 04
Sabemos que la aceleración en
cualquier instante es
Multiplicando ambos miembros
por la velocidad v tenemos
Debido a que la aceleración
tangencial son colineales su
producto vectorial es nulo.
Entonces tenemos
Remplazado la aceleración
normal tenemos
t na a a= +
r r r
( )
t n
t n
t n
a a a
vxa vx a a
vxa vxa vxa
= +
= +
= +
r r r
r r r r r
r r r r r r
0
90
n
n n
n
n
vxa vxa
vxa vxa
vxa vxa va sen va
= +
=
= = ° =
r r r r
r r r r
r r r r
2
3
( )
1
v
vxa v
vxa
v
ρ
ρ
=
=
r r
r r

Ejemplo
 Partiendo desde el reposo, un bote a motor
viaja alrededor de una trayectoria circular de
radio r = 50 m con una velocidad . Determine
la magnitud de la velocidad y de la aceleración
del bote en t = 3 s.

Ejemplo
 Un avión viaja a lo largo de
una trayectoria parabólica
vertical . En el punto A
el avión tiene una
velocidad de 200 m/s la
cual se incrementa a razón
de 0,8 m/s2
. Determine la
magnitud de la aceleración
del avión cuando pase por
A.
2
0,4y x=

Ejemplo
 El jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad
inicial de v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 30° como se
muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la
trayectoria: (a) inmediatamente después del lanzamiento
y (b) en el vértice. Calcular en cada caso, la variación de
celeridad por unidad de tiempo.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS
PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una
partícula usando un marco de referencia fijo.
 Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del
movimiento de una partícula es complicada, de modo que es más
factible analizar el movimiento en partes usando dos o más
marcos de referencia.
 Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la
hélice de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil
describirlo si observamos primero el movimiento del avión a partir
de un sistema de referencia fijo y después se superpone
vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a
partir de un marco de referencia móvil unido al aeroplano.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS
PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN En esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo
a marcos de referencia en traslación. El análisis del movimiento
relativo de partículas usando marcos de referencia en rotación se
tratará en el curso de Dinámica.

MOVIMIENTO RELATICO: POSICIÓN
 Consideremos dos partículas A
y B moviéndose en las
trayectorias mostradas
 Las posiciones absolutas de A y
B con respecto al observador fijo
en el marco de referencia OXYZ
serán
 El observador B sólo
experimenta traslación y se
encuentra unidos al sistema de
referencia móvil Oxyz
 La posición relativa de A con
respecto al observador B ,
es
Ar OA=
uuurr
Br OB=
uuurr
/A B A Br r r= +
r r r

Movimiento relativo:
Velocidad Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene
/A B A Bv v v= +
r r r

Movimiento relativo:
Aceleración Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene
/A B A Ba a a= +
r r r

Ejemplo 01
 Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza
una carretera, como se muestra en la figura. Si el automóvil A
está viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h.
Determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren
con respecto al auto.

SOLUCIÓN
 La velocidad relativa es medida
desde el observador ubicado en el
auto al cual se le asocial el sistema
de referencia OX’Y’,
 Como las velocidades de T y A son
conocidas, entonces la velocidad
relativa se obtiene de
/
/
/
90 (67.5cos45 67.5sin 45 )
{42.3 47.7 ) /
T A T A
T A
T A
v v v
i i j v
v i j km h
= +
= + +
= −
o o
r r r
r% % %
r % %

solución
 La magnitud de la velocidad relativa será
 La dirección de la velocidad relativa es
2 2 2
/ (42.3 47.7 ) 63.8 /T Av km h= + =
( )
( )
/
/
47.7
tan
42.3
48.40
T A y
T A x
v
v
θ
θ
= =
= o

solución
 Dos aviones están volando horizontalmente a la misma elevación, como
se indica en la figura. El avión A está volando en una trayectoria recta, y
en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una
aceleración de 50 km/h2. El avión B está volando en una trayectoria
curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y está
decreciendo su rapidez a razón de 100 km/h2. Determine la velocidad y
la aceleración relativa de B medida por el piloto A

Solución
 Al avión A esta moviéndose
rectilíneamente y se asocia un
marco de referencia móvil Ox’y’.
 La velocidad relativa de B respecto
de A es
 El avión B tiene aceleración
normal y tangencial pues se
mueve en una curva.
 Aplicando la ecuación para
determinar la aceleración
relativa se tiene
/
/
/
600 700
100 / 100 /
B A B A
B A
B A
v v v
v
v km h km h
= +
= +
= − = ↓
( )
2
2
900 /B
B n
v
a km h
ρ
= =
{ }
/
/
2
/
900 100 50
900 150 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j j a
a i j km h
= +
− = +
= −
% % %
% %

Solución
 En un determinado instante los
carros A y B están viajando con
velocidades de 18m/s y 12m/s,
respectivamente. Además en
dicho instante la velocidad de A
está disminuyendo a razón de
2m/s2 y B experimenta un
incremento de su velocidad a
razón de 3 m/s2. Determine la
velocidad y la aceleración de B
con respecto de A

Solución
 El sistema de referencia fijo está
en tierra y el marco móvil en el
auto A. Por tanto se tiene
 La dirección de la velocidad
relativa será
 La aceleración relativa será
 Su dirección será
( )
{ }
/
/
/
2 2
/
12 18cos60 18sin 60
9 3.588 /
9 3.588 9.69 /
B A B A
B A
B A
B A
v v v
j i j v
v i j m s
v m s
= +
− = − − +
= +
= + =
o o% % %
% %
( )
( )
/
/
3.588
tan
9
21.7
B A y
B A x
v
v
θ
θ
= =
= o
( )
2
2
1.440 /B
B n
v
a m s
ρ
= =
( ) ( )
{ }
/
/
2
/
1.440 3 2cos60 2sin 60
2.440 4.732 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j i j a
a i j m s
= +
− − = + +
= − =
o o% % % %
% %
2
/ 5.32 /
62.7
B Aa m s
φ
=
= o

Ejemplo
 Los pasajeros que viajan en el
avión A que vuela horizontalmente
a velocidad constante de 800 km/h
observan un segundo avión B que
pasa por debajo del primero
volando horizontalmente. Aunque
el morro de B está señalando en la
dirección en la dirección
45°noreste, el avión B se presenta
a los pasajeros de A como
separándose de éste bajo el ángulo
de 60° representado. Halle la
velocidad verdadera de B

Solución
 El marco móvil está asociado al
avión A donde se efectúan las
observaciones relativas
 La velocidad de A es conocida en
módulo y dirección, el ángulo de
60° de la velocidad relativa de B
respecto de A es conocido y la
velocidad verdadera de B tiene
una dirección de 45°. Entonces
tenemos.
 Aplicando estas ecuaciones en
la velocidad relativa se tiene
 Resolviendo estas ecuaciones
se obtiene
/B A B Av v v= +
r r r
/ / /
ˆ(800 ) /
ˆ ˆ[ cos45 45 ]
ˆ ˆ[ cos60 60 ]
A
B B B
B A B A B A
v i km h
v v i v sen j
v v i v sen j
=
= ° + °
= − ° + °
r
r
r
/
/
ˆ:
cos45 800 cos60
ˆ:
45 60
B B A
B B A
componente i
v v
componente j
v sen v sen
° = − °
° = °
/ 586 / ; 717 /B A Bv km h v km h= =

RELATIVIDAD DE GALILEO
La primera Teoría de Relatividad fue desarrollada por Galileo
Galilei (1564-1642), creador del método científico, como
resultado de sus estudios sobre movimiento de cuerpos,
rozamiento y caída libre.
En sus obras “Diálogo sobre los principales sistemas del
mundo" (1632) y“Diálogos acerca de Dos Nuevas Ciencias”
(1636), dio las características de los sistemas de referencia
inerciales o “galileanos”, con una notable descripción de
experimentos y su interpretación para dos observadores en
movimiento relativo, uno de ellos sobre un barco que se
desplaza suavemente (sin aceleración), y el otro en tierra
firme.

 Las conclusiones obtenidas permiten postular
en sistemas inerciales la equivalencia entre
reposo y movimiento rectilíneo uniforme para
dos observadores en movimiento relativo,
sentando las bases del Principio de Inercia.
 Asimismo, enunció la relatividad de las
trayectorias y de las velocidades de objetos
respecto del observador. Veamos como se
desarrolla esta Teoría:

 Caída de los cuerpos
La primera demostración rigurosa sobre que
todos los cuerpos caen con la misma aceleración
la dio Galileo mediante un razonamiento por el
absurdo.
Supongamos tener dos cuerpos de distinto peso,
material y forma, que los dejamos caer partiendo
del reposo en un sistema inercial. De acuerdo a
las ideas aristotélicas el más pesado caería más
rápido, como muestra la figura.

 Ahora realicemos la misma experiencia pero
agregando un nuevo cuerpo formado por dos
objetos idénticos a los iniciales, ligados entre si
(pegados). Para este nuevo objeto durante su
caída el de mayor peso está siendo frenado por el
pequeño, que cae más despacio, mientras que el
pequeño está siendo acelerado por el grande, que
cae más rápido. En consecuencia el nuevo cuerpo
caerá ubicado entre los cuerpos originales,
resultando una contradicción pues es el más
pesado. La única solución lógica posible es que
todos caigan igual.

 Resuelto el tema anterior, Galileo encaró descubrir
la ley de caída, es decir encontrar la función que
permita relacionar la posición con el tiempo
durante la caída.
Para ello, siendo Profesor en la Universidad de
Pisa (1589), diseñó un modelo experimental que
contemplaba obtener un conjunto de pares de
datos correspondientes a posición y tiempo, que
obtendría soltando objetos desde los distintos
pisos de la Torre de Pisa. La dificultad principal
resultó la medición del tiempo de caída, que era
obtenida con el pulso de un abate. Los resultados
no eran precisos ni repetitivos y no permitieron
obtener la ley.

 Luego del fracaso inicial decidió determinar los
tiempos utilizando una “clepsidra”, que es un
recipiente con agua que tiene una canilla de
salida (tapón cónico de madera). El proceso de
medición de tiempos consistía en abrir la canilla
cuando soltaba el cuerpo y cerrarla cuando el
objeto llegaba al piso. La masa del volumen de
agua recogida lo determinaba con una balanza y
era proporcional al tiempo transcurrido.
Lamentablemente, este método tampoco resultó
lo suficientemente preciso para asegurar un
comportamiento, por lo cual Galileo concluyó que
la dificultad central de este proyecto era la rapidez
con que caían los cuerpos.

 Era necesario entonces retrasar la caída de los
cuerpos, es decir lograr que caigan más despacio.
Luego de unos importantes estudios sobre fricción,
con esferas de madera sobre una tabla lustrada,
desarrolló el “plano inclinado” como dispositivo para
retrasar la rapidez de la caída de los cuerpos. No
resulta pretencioso asegurar que el Plano
Inclinado de Galileo fue el primer acelerador de
partículas en la historia, y el más importante.
 Con este avance experimental obtuvo un conjunto
de pares (x,t) que permiten hacer un gráfico de
puntos (x,t) y ajustarle un polinomio, resultando que
una parábola es adecuada para dicho ajuste. La ley
obtenida por Galileo fue:

 Siendo e el espacio recorrido en un tiempo t, con
aceleración constante a.
 Nota: Sugiero al lector que analice porqué el
polinomio de ajuste no puede ser de grado impar.
 Es muy interesante describir, de acuerdo con datos
históricos, algunos aspectos sobre cómo Galileo
obtuvo la ley de caída de los cuerpos con el plano
inclinado (actividades realizadas en la Universidad de
Padua a partir de 1592).
 Si bien este dispositivo permite retardar la caída
disminuyendo al ángulo que el plano forma con la
horizontal, dicho ángulo no podía ser muy chico pues,
en ese caso, el rozamiento se haría importante y no
podría despreciarse.

 Relatividad de las trayectorias
 Se deja caer un objeto partiendo del reposo y con
coordenadas iniciales (x0 ,y0 ,0), en el sistema O.
 Su trayectoria es rectilínea en dicho sistema, como
muestra la figura, y se pretende determinar cómo
es para un observador en O’.
 En el sistema O el movimiento del cuerpo cumple
En el sistema O’ la trayectoria estará dada en
forma paramétrica, luego de resolver las relaciones
con

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