Medidas de tendencia central

1. TEMA:
Medidas de tendencia central
Docente: FRANKLIN GAMBOA
NAJARRO
Semestre: 2022 -II

2. OBJETIVO
Las medidas de Tendencia Central son
empleadas para resumir a los conjuntos de
datos que serán sometidos a un estudio
estadístico

3. CONTENIDO
Tema 4: Medidas de tendencia central (modificado de
acuerdo al perfil de alumno y tiempo) (Semana 5)
- Datos agrupados y no agrupados.
- Media aritmética.
- Mediana.
- Moda.

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA
La media es el promedio de un conjunto
de datos
MEDIANA
La mediana es el punto medio en una
lista de orden de valores
MODA
La moda es el valor más común de la
distribución
EJEMPLO
Encuentre la media, la mediana y la moda para los
siguientes valores.
2, 4, 0, 1, 2, 3, 1, 6, 2, 4
Solución
Media:
Mediana:
Moda:
X=25/10=2.5
0,1,1,2,2,2,3,4,4,6
Me=(2+2)/2=2
Mo=2

5. MODA
Es el valor que tiene mayor frecuencia, es decir
el dato que más se repite.
¿Cómo encontrarla?
1. Colocar todos los valores en orden.
2. Contabilizar cada valor o dato.
3. Identificar el valor que ocurre con más
frecuencia.
Si en un grupo hay dos o varios datos con la
misma frecuencia y esa frecuencia es la
máxima, la distribución es bimodal o
multimodal, es decir, tiene varias modas.
DISTRIBUCIÓN BIMODAL
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5
Mo =
DISTRIBUCIÓN MULTIMODAL
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9
Mo =
4,5
1,5,9

6. MODA DE DATOS AGRUPADOS
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + 𝑐 ∙
∆1
∆1 + ∆2
Donde:
❑ Mo: moda
❑ 𝐿𝑖: limite real (o frontera) inferior de la
clase modal (Intervalo que posee la mayor
frecuencia)
❑ ∆1: frecuencia de la clase modal menos la
frecuencia de la clase anterior.
❑ ∆2: frecuencia de la clase modal menos la
frecuencia de la clases siguiente.
❑ C: amplitud de clase.
∆1= 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1
∆2= (𝑓𝑖−𝑓𝑖−1) + (𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1)
▪ 𝐿𝑖 es el límite inferior de la clase modal.
▪ 𝑓𝑖 es la frecuencia absoluta de la clase modal.
▪ 𝑓𝑖−1 es la frecuencia absoluta inmediatamente
inferior a la clase modal.
▪ 𝑓𝑖+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente
posterior a la clase modal.

7. 𝑴𝒐 = 𝑳𝒊 +
𝒇𝒊 − 𝒇𝒊−𝟏
𝒇𝒊 − 𝒇𝒊−𝟏 + (𝒇𝒊 − 𝒇𝒊+𝟏)
∙ 𝒂𝒊
▪ 𝐿𝑖 es el límite inferior de la clase modal.
▪ 𝑓𝑖 es la frecuencia absoluta de la clase modal.
▪ 𝑓𝑖−1 es la frecuencia absoluta inmediatamente
inferior a la clase modal.
▪ 𝑓𝑖+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente
posterior a la clase modal.
▪ 𝒂𝒊 es la amplitude de la clase.
𝑴𝒐 = 𝑳𝒊 +
𝒇𝒊+𝟏
𝒇𝒊−𝟏 + 𝒇𝒊+𝟏
∙ 𝒂𝒊
EJEMPLO 1
Calcular la moda de una distribución
estadística que viene dada por la siguiente
tabla:
Categoría 𝒇𝒊
ሾ60 − 63) 5
ሾ63 − 66) 18
ሾ𝟔𝟔 − 𝟔𝟗) 42
ሾ69 − 72) 27
ሾ72 − 75) 8
Total 100
Mo =
Mo =

8. EJEMPLO 1
La tabla siguiente muestra los errores de
facturación durante un mes, en una Clínica.
Calcule e interprete la moda.
Errores de
facturación
Días
0 – 3 6
4 – 7 12
8 – 11 8
12 – 15 3
16 – 19 1
Total 30
∆1= 6
∆2= 12 − 8 = 4
C𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙: 4 − 7
𝑴𝒐 = 𝟒 +
𝟔
𝟔 + 𝟒
∙ 𝟑 = 𝟓, 𝟖
Interpretación: durante un mes, el número
más frecuente de errores de facturación de
esta clínica es 6.
Ventajas y Desventajas de la
Moda
Ventajas:
• Se puede utilizar tanto para datos cualitativos
como cuantitativos.
• No se ve afectada por los valores extremos.
• Se puede calcular, a pesar de que existan una o
más clases.
Desventajas:
• No tiene un uso frecuente como la media.
• Muchas veces no existe moda (distribución
amodal).
• En otros casos la distribución tiene varias
modas, lo que dificulta su interpretación.
Datos Amodales: Este es el término que se emplea a la serie de datos
de la muestra cuando los datos no tienen Moda, es decir, cuando no
existe ningún dato cuya frecuencia sea mayor al resto, esto significa
que todos los datos de la muestra tienen la misma frecuencia.

9. MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética de un conjunto de datos
es el valor obtenido al sumar todos los datos y
dividir el resultado entre el número total de
datos.
ത
𝑋 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥𝑛
𝑁
ത
𝑋 =
σ𝑗=1
𝑁
𝑥𝑖
𝑁
La interpretación de la media como centro (o
punto de equilibrio) de los datos se apoya en
una propiedad que afirma que la suma de las
desviaciones
𝑥1 − ҧ
𝑥 + 𝑥2 − ҧ
𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 − ҧ
𝑥 + 𝑥𝑛 − ҧ
𝑥
De un conjunto de observaciones a su media
es igual a cero; es decir, puede probarse que:
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 − ҧ
𝑥 = 0

10. EJEMPLO 1 EJEMPLO 2
Los pesos de seis amigos son:
84; 91; 72; 68; 87; y 78 kg.
Hallar el peso medio.
Solución
ഥ
𝑿 =
Las notas de un estudiante en el curos de
estadística aplicada son las siguientes. Halle
su nota media:
5, 6, 4, 7, 8, 4, 6
Solución
La nota media del estudiante es:
ഥ
𝑿 =
84+91+72+68+87+78
6
X=80
5+6+4+7+8+4+6
7
X=5.7

11. EJEMPLO 3
Las notas de un grupo de estudiantes de la
carrera profesional de contabilidad son las
siguientes. Halla su nota media:
Estudiante Punteo
Estud. 1 92
Estud. 2 84
Estud. 3 100
Estud. 4 78
Estud. 5 86
Estud. 6 100
Estud. 7 71
Estud. 8 44
Estud. 9 91
Estud. 10 75
Estud. 11 81
suma
ഥ
𝑿 =
PROPIEDADES DE LA MEDIA
❑ Si a cada uno de los datos se aumenta o
disminuye en una constante K, la media
aumenta o disminuye en K unidades.
❑ Si a cada uno de los datos se multiplica o se
divide por una constante K, la media se
multiplica o divide por K unidades.
82
902

12. MEDIA DE DATOS AGRUPADOS
El calculo de la media aritmética, cuando los
datos disponibles se encuentran en tablas de
distribución de frecuencias, se realiza utilizando
la formula siguiente:
ഥ
𝑿 =
σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒇𝒊𝑿𝒊
σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒇𝒊
Donde:
❑ ഥ
𝑿: media aritmética
❑ 𝒇𝒊: frecuencia absoluta de la clase 𝒊.
❑ 𝒙𝒊: marca de la clase 𝒊.
1°. Se multiplica los datos por sus frecuencias
absolutas respectivas y se suman.
2°. El resultado se divide por el total de datos.
EJEMPLO 1
Las notas de un grupo de 25 alumnos de la carrera
de contabilidad fueron:
Notas
Frecuencia
absoluta 𝒇𝒊
Notas X
F. absoluta
3 5 15
5 8 40
6 10 60
7 2 14
Total
ഥ
𝑿 =

13. EJEMPLO 2
La distribución de frecuencias siguientes,
representa los puntajes obtenidos en una
evaluación del desempeño, aplicado a los
estudiantes de contabilidad. El puntaje máximo en
la prueba es de 50. Calcule la media.
Desempeño
(puntos)
Numero de
estudiantes
12 – 16 4
17 – 21 8
22 – 26 15
27 – 31 23
32 – 36 10
Total 60
Solución:
Primero se calculara las marcas de clase (𝒙𝒊); es
decir, el valor intermedio de cada clase
Desempeño
(puntos)
Marca de
clase
(𝑿𝒊)
Frecuencia
absoluta
(𝒇𝒊)
𝑿𝒊 ∙ 𝒇𝒊
12 – 16 4
17 – 21 8
22 – 26 15
27 – 31 23
32 – 36 10
Total 60
ഥ
𝑿 =
INTERPRETACIÓN: si se elige al azar a un estudiante de contabilidad,
se espera que tenga un puntaje de …………. En su evaluación de
desempeño.

14. MEDIANA
• La mediana es el dato que divide a los datos
en dos partes iguales.
• Es el número intermedio de lun grupo de
números; es decir, la mitad de los números
son superiores a la mediana y la mitad de los
números tienen valores menores que la
mediana.
• Pueden presentarse dos situaciones:
• Un listado con un numero de impar de datos.
• La mediana está en el lugar:
• Y otro con un número par de datos. La
mediana quedará dada por la media entre
los dos valores que se encuentren en la
mitad.
𝑴𝒆 =
𝑵 + 𝟏
𝟐
𝑴𝒆 =
𝒙
𝑵
𝟐
+ 𝒙
𝑵
𝟐
+ 𝟏
𝟐

15. MEDIANA DE DATOS IMPARES
• Con un número impar de datos encontrar la
mediana es fácil, resultará ser el dato que se
encuentra justo al centro del listado.
EJEMPLO 1
• Las edades de los docentes del Instituto la
Pontificia son las siguientes:
58; 46; 50; 58; 57
Solución
En forma creciente sería:
46; 50; 57; 58; 58
El dato que se encuentra al centro es 57. por lo
tanto, la mediana es 57.
EJEMPLO 2
La siguiente tabla muestra las notas obtenidas
por un curso en una prueba de Estadística
Aplicada y su frecuencia.
Notas frecuencia
2,5 1
3,0 2
3,5 7
4,0 8
4,5 6
5,0 2
5,5 6
6,0 5
6,5 2
7,0 2

16. ORDENANDO
Si ordenamos los números de forma
creciente, encontraríamos: que
Para 𝒏 par entonces
𝐧+𝟏
𝟐
seria la
ubicación de la mediana.
𝟒𝟏 + 𝟏
𝟐
= 𝟐𝟏
𝟐, 𝟓 – 3 – 3 − 3,5 − 3,5 − 3,5 − 3,5 − 3,5
− 3,5 − 3,5 – 4 − 4 − 4 − 4 − 4 − 4 − 4 − 4
− 4,5 − 4,5 − 4,5 − 4,5 − 4,5 − 4,5 − 5 − 5
− 5,5 − 5,5 − 5,5 − 5,5 − 5,5 − 5,5 − 6 − 6
− 6 − 6 − 6 − 6,5 − 6,5 − 7 − 7
𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒓𝒔𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂
𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒍𝒂 𝒏𝒐𝒕𝒂 𝟒, 𝟓.
EJEMPLO 2
Los pesos, en kilogramos, de 7
estudiantes de Contabilidad son:
72, 65, 71, 56, 63, 72
Solución
1°. Ordenemos los datos:
56, 59, 63, 65, 71, 72, 72
2°. El dato que queda en el centro es 65.
La mediana vale 65

17. MEDIANA DE DATOS PARES
• Con un número par de datos, encontrar la
mediana es sencillo.
• Resultará ser la media aritmética de los dos
datos que se encuentran al centro del
listado.
EJEMPLO 2
EJEMPLO 1
Si el numero de datos fuese par, la mediana es
la media aritmética de los dos valores centrales.
Para el conjunto de número:
56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72,
La mediana es:
𝑴𝒆 =
• La talla de pantalón de 8 amigos es las
siguiente:
48 – 54 – 50 – 56 – 48 – 50 – 58 – 54
Solución
• Si ordenamos los datos en forma creciente,
veremos que los datos centrales
corresponden a:
48 – 48 – 50 – 50 – 54 – 54 – 56 – 58
• La mediana corresponde a la media
aritmética entre estos dos datos.
• Entonces, 52 es la mediana de esta muestra.
𝑴𝒆 =

18. EJEMPLO 2
La edad de los compañeros y compañeras de la
Carrera Profesional de contabilidad se resume
en la siguiente tabla:
Edad Frecuencias
22 2
23 4
25 4
26 3
28 3
30 1
31 2
35 1
ORDENANDO
• Al ordenar los números de forma
decreciente tenemos:
• Ubicamos los términos medios que
buscamos que se encuentran en la
posición 10 y 11.
• Ahora la media aritmética entre estos
dos términos, es decir, entre 26 y 25.
• Entonces:
𝑴𝒆 =

19. MEDIANA DE DATOS AGRUPADOS
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +
𝑛
2
− (𝐹)
𝑓𝑀𝑒
∙ 𝑐
Donde:
• Me: mediana
• 𝐿𝑖: limite real (o frontera) inferior de la clase
mediana (intervalo donde la frecuencia
acumulada es mayor o igual que
𝒏
𝟐
).
• 𝒏: nuero total de datos.
• 𝑭: frecuencia acumulada anterior al intervalo
de la mediana.
• 𝒇𝑴𝒆:frecuencia absoluta de la clase mediana.
• 𝑪: amplitud de clase
EJEMPLO 1
La tabla siguiente muestra la experiencia
laboral (años) del personal de seguridad
que labora en ILP. Calcule la mediana.
Experiencia laboral
(años)
Número de
trabajadores de
seguridad
0 – 3 4
4 – 7 12
8 – 11 24
12 – 15 16
16 – 19 10
20 - 23 3

20. Lugar de la mediana
𝒏
𝟐
=
𝟔𝟓
𝟐
= 𝟑𝟒, 𝟓
𝑴𝒆 = 𝟕, 𝟓 +
𝟔𝟓
𝟐
−(𝟏𝟔)
𝟐𝟒
∙4
𝑴𝒆 = 𝟕, 𝟓 +
𝟑𝟒,𝟓−(𝟏𝟔)
𝟐𝟒
∙4
𝑴𝒆 =10,5
Interpretación:
La mitad del personal de seguridad que
labora en ILP tiene una experiencia laboral
igual o menor a 6 años 6 meses. La otra
mitad de este personal tiene una
experiencia laboral igual o mayor a 10 años
y 6 meses
Ventajas y Desventajas de la
Mediana
Ventajas:
• Los valores extremos no afectan a la mediana
como en el caso de la media aritmética.
• Es fácil de calcular interpretar y entender.
• Se puede determinar para datos cualitativos,
registrados bajo una escala ordinal.
Desventajas:
• Como valor central, se debe ordenar primero la
serie de datos.