Este documento presenta una progresión sobre probabilidad y aleatoriedad. Introduce conceptos como la equiprobabilidad, que asume que eventos aleatorios ocurren con la misma probabilidad. Explica que al aumentar las repeticiones de una simulación, la frecuencia de un evento tiende a su probabilidad teórica. Propone ejemplos como repartir cajas entre municipios para que los estudiantes desarrollen intuición sobre aleatoriedad y probabilidad a través del estudio de frecuencias.
El documento introduce el concepto de probabilidad estadística. Explica que la probabilidad es un método para obtener la frecuencia de un evento determinado mediante un experimento aleatorio. Se describen dos clases de probabilidad: la probabilidad clásica, que asigna probabilidades "a priori" sin necesidad de realizar el experimento, y la probabilidad objetiva, determinada mediante criterios experimentales. También presenta algunas fórmulas y conceptos clave como la probabilidad condicionada, los sucesos independientes y dependientes, y el teorema de Bayes.
Este documento proporciona sugerencias para que los docentes desarrollen actividades de matemáticas relacionadas con datos demográficos de Colombia. Incluye ejemplos de problemas, recomendaciones para abordarlos de manera que los estudiantes aprendan conceptos como aproximaciones, operaciones con números de varios dígitos y criterios de divisibilidad.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad, incluyendo la regla de adición, reglas de probabilidad, probabilidad condicional, probabilidad compuesta y diagramas de árbol. Explica que la probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades individuales, mientras que para eventos no excluyentes se resta su intersección. También define probabilidad condicional y compuesta/conjunta, así como cómo los diagramas de árbol pueden usarse para determinar el espacio muestral y clasificaciones posibles.
Este documento presenta una introducción al tema de la potenciación de números naturales. Explica que la potenciación consiste en multiplicar un factor reiteradamente y define conceptos como la base, el exponente y la potencia. También muestra algunas propiedades de las potencias como la presencia de cuadrados y cubos. Finalmente, plantea ejercicios para practicar el cálculo de potencias y la identificación de patrones en las secuencias numéricas.
Este documento presenta resúmenes de varias lecciones sobre la resolución de problemas con tablas conceptuales y simulaciones. La lección 07 trata sobre problemas con tres choferes (Juan, Ángel, Anthony) que viajan a diferentes ciudades cada día. La lección 08 explica cómo analizar problemas dinámicos mediante simulaciones concretas y abstractas. La lección 09 presenta diagramas de flujo para mostrar cambios en variables a lo largo del tiempo.
Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)Carlos Rivera
Trabajo Práctico de la materia Tópicos de Matemáticas (575) de la carrera Educación mención Matemática de la Universidad Nacional Abierta (U.N.A.).
República Bolivariana de Venezuela
1377947280.el trabajo-escolar-entorno-a-las-fraccionesMaria Olmos
Este documento discute el trabajo escolar con fracciones. Aborda la complejidad de las fracciones y los obstáculos para su comprensión desde los números naturales. Propone resolver problemas de reparto equitativo para introducir fracciones y establecer relaciones entre división y fracciones. También destaca la importancia del cálculo mental con fracciones para enriquecer las relaciones numéricas.
El documento habla sobre permutaciones, combinaciones, probabilidades y el cálculo del valor de probabilidad. Explica las permutaciones como una técnica de conteo que permite calcular las posibles ordenaciones de elementos de un conjunto. También explica las combinaciones como una técnica que no considera el orden y no permite repetición. Además, detalla tres métodos para calcular valores de probabilidad y cómo se calcula el valor de la probabilidad de un evento dividiendo los resultados favorables entre los resultados totales posibles.
El documento introduce el concepto de probabilidad estadística. Explica que la probabilidad es un método para obtener la frecuencia de un evento determinado mediante un experimento aleatorio. Se describen dos clases de probabilidad: la probabilidad clásica, que asigna probabilidades "a priori" sin necesidad de realizar el experimento, y la probabilidad objetiva, determinada mediante criterios experimentales. También presenta algunas fórmulas y conceptos clave como la probabilidad condicionada, los sucesos independientes y dependientes, y el teorema de Bayes.
Este documento proporciona sugerencias para que los docentes desarrollen actividades de matemáticas relacionadas con datos demográficos de Colombia. Incluye ejemplos de problemas, recomendaciones para abordarlos de manera que los estudiantes aprendan conceptos como aproximaciones, operaciones con números de varios dígitos y criterios de divisibilidad.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad, incluyendo la regla de adición, reglas de probabilidad, probabilidad condicional, probabilidad compuesta y diagramas de árbol. Explica que la probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades individuales, mientras que para eventos no excluyentes se resta su intersección. También define probabilidad condicional y compuesta/conjunta, así como cómo los diagramas de árbol pueden usarse para determinar el espacio muestral y clasificaciones posibles.
Este documento presenta una introducción al tema de la potenciación de números naturales. Explica que la potenciación consiste en multiplicar un factor reiteradamente y define conceptos como la base, el exponente y la potencia. También muestra algunas propiedades de las potencias como la presencia de cuadrados y cubos. Finalmente, plantea ejercicios para practicar el cálculo de potencias y la identificación de patrones en las secuencias numéricas.
Este documento presenta resúmenes de varias lecciones sobre la resolución de problemas con tablas conceptuales y simulaciones. La lección 07 trata sobre problemas con tres choferes (Juan, Ángel, Anthony) que viajan a diferentes ciudades cada día. La lección 08 explica cómo analizar problemas dinámicos mediante simulaciones concretas y abstractas. La lección 09 presenta diagramas de flujo para mostrar cambios en variables a lo largo del tiempo.
Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)Carlos Rivera
Trabajo Práctico de la materia Tópicos de Matemáticas (575) de la carrera Educación mención Matemática de la Universidad Nacional Abierta (U.N.A.).
República Bolivariana de Venezuela
1377947280.el trabajo-escolar-entorno-a-las-fraccionesMaria Olmos
Este documento discute el trabajo escolar con fracciones. Aborda la complejidad de las fracciones y los obstáculos para su comprensión desde los números naturales. Propone resolver problemas de reparto equitativo para introducir fracciones y establecer relaciones entre división y fracciones. También destaca la importancia del cálculo mental con fracciones para enriquecer las relaciones numéricas.
El documento habla sobre permutaciones, combinaciones, probabilidades y el cálculo del valor de probabilidad. Explica las permutaciones como una técnica de conteo que permite calcular las posibles ordenaciones de elementos de un conjunto. También explica las combinaciones como una técnica que no considera el orden y no permite repetición. Además, detalla tres métodos para calcular valores de probabilidad y cómo se calcula el valor de la probabilidad de un evento dividiendo los resultados favorables entre los resultados totales posibles.
1) El documento presenta una secuencia didáctica para enseñar el concepto de volumen a estudiantes de tercero y sexto grado. 2) Se utilizan diversas estrategias como comparaciones directas e indirectas de recipientes y su capacidad, así como el uso de unidades de medida como litros y centímetros cúbicos. 3) El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular volúmenes de forma conceptual y luego a través de fórmulas como la del prisma rectangular.
El documento describe el método de cuatro pasos de George Polya para la resolución de problemas matemáticos. El método consiste en 1) entender el problema, 2) concebir un plan, 3) ejecutar el plan, y 4) examinar la solución obtenida. Polya desarrolló este método para enfatizar el proceso de descubrimiento en la enseñanza de las matemáticas.
Este documento contiene resúmenes de varias clases de matemáticas de 5o grado. En una clase, los estudiantes aprendieron sobre la regla de tres y cómo resolver proporciones. Otra clase cubrió cálculo mental y aproximaciones. Finalmente, una clase discutió combinaciones y permutaciones y cómo calcular el número de formas posibles de organizar elementos. Los deberes incluyeron ejercicios de la regla de tres, cálculo mental y ejemplos adicionales de combinaciones y permutaciones.
Este documento explica cómo enseñar la división por dos cifras de forma que los estudiantes comprendan el razonamiento detrás del algoritmo en lugar de aprenderlo de memoria. Explica que dividir por dos cifras significa dividir cuando el divisor está entre 11 y 99, y que es importante mostrar a los estudiantes cómo los matemáticos construyeron este algoritmo de cálculo paso a paso partiendo de la idea básica de división. Luego, ilustra este proceso dividendo 45032 entre 36 para demostrar cómo reducir repetidas restas a una sola suma col
1. El documento habla sobre la probabilidad y cómo algunos problemas de probabilidad pueden parecer sencillos pero ocultan soluciones complejas. Explica un problema sobre canicas en una bolsa y cómo se puede resolver aplicando proporcionalidad.
2. También presenta otro problema sobre errores encontrados por dos secretarias al revisar un texto, el cual se puede resolver usando proporciones para estimar el número total de errores.
3. Finalmente, destaca que detrás de problemas aparentemente simples a veces se esconden aplicaciones interesantes de concept
2.2.2.3. diagrama de árboles lizbet carolina vazquez gonzalezk4rol1n4
Este documento presenta una lección sobre diagramas de árboles. Explica cómo construir diagramas de árboles para organizar información sobre varios sucesos posibles y sus probabilidades. Asigna probabilidades iniciales, condicionales y finales a los sucesos y ramas en los diagramas. Los estudiantes construyen diagramas de árboles para varios ejemplos y calculan probabilidades usando la regla de multiplicación.
1) El documento presenta una introducción a la matemática dirigida a todos los estudiantes, argumentando que la matemática no debe verse como algo solo para personas inteligentes. 2) Explica conceptos matemáticos de manera divertida y mental como multiplicaciones y reglas lógicas. 3) Concluye invitando a todos a aprender matemática y menciona que es una ciencia basada en principios lógicos.
El documento presenta varios problemas matemáticos y acertijos, incluyendo cómo dividir una torta entre tres personas de manera justa, un problema sobre árboles plantados en un terreno cuadrado, y la extraña pero importante relación entre la física y las matemáticas. Propone pensar en estos problemas usando el celular como pizarrón portátil.
Este documento presenta varios ejemplos numéricos para calcular probabilidades utilizando el método de conteo y la fórmula de combinaciones. Introduce la noción de distribución de probabilidad representada gráficamente y calcula las probabilidades de diferentes escenarios de selección de muestras aleatorias.
Este documento presenta un examen de matemáticas para estudiantes de 4to grado. Contiene 10 problemas con preguntas múltiples, así como instrucciones para completar la prueba y un anexo de conceptos y procedimientos matemáticos. Los estudiantes deben seleccionar la respuesta correcta para cada problema y mostrar los cálculos para los últimos dos problemas.
Este documento presenta una introducción a los engaños matemáticos y propone calcular el valor de pi de forma geométrica. Explica que dividirá un semicírculo en más y más partes para que la curva resultante se acerque a una línea recta, permitiendo calcular pi. Luego muestra algunos ejemplos de engaños matemáticos como demostrar que -1=1 y que el número más grande es 1, prometiendo explicar los trucos luego.
Este documento discute la enseñanza de la probabilidad en la escuela. Explica que los estudiantes a menudo tienen ideas erróneas sobre el azar y la probabilidad. Propone identificar cinco concepciones comunes y trabajar con problemas que permitan a los estudiantes construir un entendimiento correcto a través de situaciones aleatorias y no aleatorias.
Este documento presenta una sesión de clase sobre estadística aplicada a la investigación. Introduce conceptos como probabilidad, conteo manual y teórico, y propiedades de conjuntos y eventos como uniones, intersecciones e independencia que son importantes para calcular probabilidades. Explica cómo calcular la probabilidad de diferentes eventos usando el espacio muestral y contando eventos favorables. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta una nueva metodología para el tratamiento del cálculo mental a través de series de problemas graduados. Propone el uso sistemático de colecciones de cinco problemas dos veces por semana para evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Incluye más de 3800 problemas graduados desde los 3 años hasta segundo ciclo de educación secundaria. El objetivo es desarrollar cálculo global a través de estrategias en lugar de algoritmos, enfocándose en estimación y redondeo en lugar de operaciones exactas.
Resumen análisis de datos experimentales Josua Tinoco
El documento explica diferentes conceptos estadísticos y probabilísticos como la media, varianza, desviación estándar, factorial, técnicas de conteo, probabilidad y distribuciones como la binomial, Poisson y normal. Proporciona ejemplos y fórmulas de cada concepto.
Este documento presenta tres resúmenes de actividades para enseñar probabilidad en primaria:
1) Tres situaciones que distinguen entre experimentos aleatorios y deterministas, como lanzar una moneda al aire (aleatorio) vs. caer al suelo (determinista).
2) Un juego de cartas llamado "La baraja aritmética" para practicar sumas y comparar resultados.
3) Una simulación sacando monedas de una hucha para calcular la probabilidad de sacar una de euro o céntimo.
Este documento presenta las instrucciones para la prestación del servicio educativo desde casa durante la emergencia sanitaria causada por el COVID-19 en el Colegio Llano de Palmas. Incluye información sobre el docente Carlos Alberto Ruiz, las asignaturas, contactos y materiales requeridos. También presenta dos actividades iniciales: analizar un poema sobre la pandemia y realizar ejercicios sobre algoritmos y razonamiento abstracto.
Este documento presenta un ejemplo de una ecuación falaz y explica por qué es una falacia. Explica que la ecuación sigue siendo correcta hasta el paso 4, pero que el paso 5 no es válido porque elimina un término de un lado pero no del otro, llevando a una desigualdad en el paso 6 y a un resultado imposible en el paso 7. El propósito es mostrar que es importante entender las propiedades matemáticas para no ser engañado por argumentos falaces.
Este documento presenta un ejemplo de una ecuación falaz y explica por qué es una falacia. Explica que la ecuación sigue siendo correcta hasta el paso 4, pero que en los pasos 5-7 no respeta las leyes algebraicas básicas, lo que hace que la conclusión final de 1=0 sea incorrecta. El propósito es mostrar un ejemplo de cómo una ecuación puede parecer válida pero en realidad esconde un engaño, y crear conciencia sobre la importancia de analizar críticamente las ecuaciones y no aceptarlas
Este documento presenta un ejemplo de una ecuación falaz y explica por qué es una falacia. Explica que la ecuación sigue siendo correcta hasta el paso 4, pero que el paso 5 es incorrecto porque elimina un término dejando la ecuación desigual. El propósito es mostrar que no siempre las ecuaciones cumplen con las características necesarias para ser resueltas correctamente, y que es importante reconocer las falacias.
1) El documento presenta una secuencia didáctica para enseñar el concepto de volumen a estudiantes de tercero y sexto grado. 2) Se utilizan diversas estrategias como comparaciones directas e indirectas de recipientes y su capacidad, así como el uso de unidades de medida como litros y centímetros cúbicos. 3) El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular volúmenes de forma conceptual y luego a través de fórmulas como la del prisma rectangular.
El documento describe el método de cuatro pasos de George Polya para la resolución de problemas matemáticos. El método consiste en 1) entender el problema, 2) concebir un plan, 3) ejecutar el plan, y 4) examinar la solución obtenida. Polya desarrolló este método para enfatizar el proceso de descubrimiento en la enseñanza de las matemáticas.
Este documento contiene resúmenes de varias clases de matemáticas de 5o grado. En una clase, los estudiantes aprendieron sobre la regla de tres y cómo resolver proporciones. Otra clase cubrió cálculo mental y aproximaciones. Finalmente, una clase discutió combinaciones y permutaciones y cómo calcular el número de formas posibles de organizar elementos. Los deberes incluyeron ejercicios de la regla de tres, cálculo mental y ejemplos adicionales de combinaciones y permutaciones.
Este documento explica cómo enseñar la división por dos cifras de forma que los estudiantes comprendan el razonamiento detrás del algoritmo en lugar de aprenderlo de memoria. Explica que dividir por dos cifras significa dividir cuando el divisor está entre 11 y 99, y que es importante mostrar a los estudiantes cómo los matemáticos construyeron este algoritmo de cálculo paso a paso partiendo de la idea básica de división. Luego, ilustra este proceso dividendo 45032 entre 36 para demostrar cómo reducir repetidas restas a una sola suma col
1. El documento habla sobre la probabilidad y cómo algunos problemas de probabilidad pueden parecer sencillos pero ocultan soluciones complejas. Explica un problema sobre canicas en una bolsa y cómo se puede resolver aplicando proporcionalidad.
2. También presenta otro problema sobre errores encontrados por dos secretarias al revisar un texto, el cual se puede resolver usando proporciones para estimar el número total de errores.
3. Finalmente, destaca que detrás de problemas aparentemente simples a veces se esconden aplicaciones interesantes de concept
2.2.2.3. diagrama de árboles lizbet carolina vazquez gonzalezk4rol1n4
Este documento presenta una lección sobre diagramas de árboles. Explica cómo construir diagramas de árboles para organizar información sobre varios sucesos posibles y sus probabilidades. Asigna probabilidades iniciales, condicionales y finales a los sucesos y ramas en los diagramas. Los estudiantes construyen diagramas de árboles para varios ejemplos y calculan probabilidades usando la regla de multiplicación.
1) El documento presenta una introducción a la matemática dirigida a todos los estudiantes, argumentando que la matemática no debe verse como algo solo para personas inteligentes. 2) Explica conceptos matemáticos de manera divertida y mental como multiplicaciones y reglas lógicas. 3) Concluye invitando a todos a aprender matemática y menciona que es una ciencia basada en principios lógicos.
El documento presenta varios problemas matemáticos y acertijos, incluyendo cómo dividir una torta entre tres personas de manera justa, un problema sobre árboles plantados en un terreno cuadrado, y la extraña pero importante relación entre la física y las matemáticas. Propone pensar en estos problemas usando el celular como pizarrón portátil.
Este documento presenta varios ejemplos numéricos para calcular probabilidades utilizando el método de conteo y la fórmula de combinaciones. Introduce la noción de distribución de probabilidad representada gráficamente y calcula las probabilidades de diferentes escenarios de selección de muestras aleatorias.
Este documento presenta un examen de matemáticas para estudiantes de 4to grado. Contiene 10 problemas con preguntas múltiples, así como instrucciones para completar la prueba y un anexo de conceptos y procedimientos matemáticos. Los estudiantes deben seleccionar la respuesta correcta para cada problema y mostrar los cálculos para los últimos dos problemas.
Este documento presenta una introducción a los engaños matemáticos y propone calcular el valor de pi de forma geométrica. Explica que dividirá un semicírculo en más y más partes para que la curva resultante se acerque a una línea recta, permitiendo calcular pi. Luego muestra algunos ejemplos de engaños matemáticos como demostrar que -1=1 y que el número más grande es 1, prometiendo explicar los trucos luego.
Este documento discute la enseñanza de la probabilidad en la escuela. Explica que los estudiantes a menudo tienen ideas erróneas sobre el azar y la probabilidad. Propone identificar cinco concepciones comunes y trabajar con problemas que permitan a los estudiantes construir un entendimiento correcto a través de situaciones aleatorias y no aleatorias.
Este documento presenta una sesión de clase sobre estadística aplicada a la investigación. Introduce conceptos como probabilidad, conteo manual y teórico, y propiedades de conjuntos y eventos como uniones, intersecciones e independencia que son importantes para calcular probabilidades. Explica cómo calcular la probabilidad de diferentes eventos usando el espacio muestral y contando eventos favorables. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta una nueva metodología para el tratamiento del cálculo mental a través de series de problemas graduados. Propone el uso sistemático de colecciones de cinco problemas dos veces por semana para evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Incluye más de 3800 problemas graduados desde los 3 años hasta segundo ciclo de educación secundaria. El objetivo es desarrollar cálculo global a través de estrategias en lugar de algoritmos, enfocándose en estimación y redondeo en lugar de operaciones exactas.
Resumen análisis de datos experimentales Josua Tinoco
El documento explica diferentes conceptos estadísticos y probabilísticos como la media, varianza, desviación estándar, factorial, técnicas de conteo, probabilidad y distribuciones como la binomial, Poisson y normal. Proporciona ejemplos y fórmulas de cada concepto.
Este documento presenta tres resúmenes de actividades para enseñar probabilidad en primaria:
1) Tres situaciones que distinguen entre experimentos aleatorios y deterministas, como lanzar una moneda al aire (aleatorio) vs. caer al suelo (determinista).
2) Un juego de cartas llamado "La baraja aritmética" para practicar sumas y comparar resultados.
3) Una simulación sacando monedas de una hucha para calcular la probabilidad de sacar una de euro o céntimo.
Este documento presenta las instrucciones para la prestación del servicio educativo desde casa durante la emergencia sanitaria causada por el COVID-19 en el Colegio Llano de Palmas. Incluye información sobre el docente Carlos Alberto Ruiz, las asignaturas, contactos y materiales requeridos. También presenta dos actividades iniciales: analizar un poema sobre la pandemia y realizar ejercicios sobre algoritmos y razonamiento abstracto.
Este documento presenta un ejemplo de una ecuación falaz y explica por qué es una falacia. Explica que la ecuación sigue siendo correcta hasta el paso 4, pero que el paso 5 no es válido porque elimina un término de un lado pero no del otro, llevando a una desigualdad en el paso 6 y a un resultado imposible en el paso 7. El propósito es mostrar que es importante entender las propiedades matemáticas para no ser engañado por argumentos falaces.
Este documento presenta un ejemplo de una ecuación falaz y explica por qué es una falacia. Explica que la ecuación sigue siendo correcta hasta el paso 4, pero que en los pasos 5-7 no respeta las leyes algebraicas básicas, lo que hace que la conclusión final de 1=0 sea incorrecta. El propósito es mostrar un ejemplo de cómo una ecuación puede parecer válida pero en realidad esconde un engaño, y crear conciencia sobre la importancia de analizar críticamente las ecuaciones y no aceptarlas
Este documento presenta un ejemplo de una ecuación falaz y explica por qué es una falacia. Explica que la ecuación sigue siendo correcta hasta el paso 4, pero que el paso 5 es incorrecto porque elimina un término dejando la ecuación desigual. El propósito es mostrar que no siempre las ecuaciones cumplen con las características necesarias para ser resueltas correctamente, y que es importante reconocer las falacias.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
2. PROGRESIÓN 3:
Identi ca la equiprobabilidad como una
hipótesis que, en caso de que se pueda
asumir, facilita el estudio de la
probabilidad y observa que cuando se
incrementa el número de repeticiones
de una simulación, la frecuencia del
evento estudiado tiende a su
probabilidad teórica (C1M1, C3M1, C4M1).
C1M1: Ejecuta cálculos y algoritmos para
resolver problemas matemáticos y de
otras áreas del conocimiento.
C3M1: Selecciona un modelo matemático
por la pertinencia de sus variables y
relaciones para explicar el fenómeno
estudiado en la solución de un problema.
C4M1: Esquematiza situaciones para su
solución mediante el uso de datos
numéricos, representación simbólica y
conceptos matemáticos para dar un
signi cado acorde con el contexto.
Se sugiere continuar con el uso de tecnología
cuando esto sea factible, además de acompañar la
discusión de este tema desde una perspectiva
histórica y humanista sobre los orígenes de la
probabilidad.
Si el grupo lo requiere, es posible aprovechar este
elemento de la progresión para revisar con las y los
estudiantes aprendizajes de trayectoria relativos a la
ubicación de los números reales en la recta,
proporciones, porcentajes y fracciones, de tal forma
que se revisan dichos conceptos dentro de un
contexto que los vuelve signi cativos para el
estudiantado.
Es importante hacer énfasis en la hipótesis de
equiprobabilidad para el cálculo de probabilidades
simples.
Anotaciones didácticas:
3. Veamos un ejemplo que servirá para desarrollar
en las y los estudiantes intuición acerca de la
aleatoriedad y la comprensión de que diferentes
eventos (aleatorios) pueden ocurrir con distinta
frecuencia.
Es importante mencionar que en esta progresión
no nos interesa emplear la probabilidad clásica
para entender la aleatoriedad de los eventos, sino
que buscamos construir una primera
aproximación a la probabilidad a través del
estudio de frecuencias (este evento es más
frecuente que aquel, este evento no ocurre, etc.)
para sólo posteriormente introducir nociones
más teóricas.
Por otro lado, este mismo ejemplo nos permitirá
presentar un ambiente ideal para abordar
diversas situaciones a lo largo del curso. Se trata
de una isla remota llamada Isla Viva, que
consta de 5 pequeños municipios: Doyoacán,
Repachula, Mitzingo, Fatitlán, Solzintla. Cada
uno de ellos con su propio Centro de Salud.
4. Anteriormente mencionábamos que era importante trabajar
ordenadamente, ahora veremos un ejemplo claro de ello. Nuestra clase
puede empezar explicando cómo podemos enlistar todas esas posibles
asignaciones.
Observa que en cualquier asignación solo hay tres posibilidades. Que la
Caja 1 sea entregada a Doyoacán, que la Caja 1 sea entregada a Repachula
o que la Caja 1 sea entregada a Mitzingo y no hay otra posibilidad, pues
¿de qué otra forma se entregaría la Caja 1?
Considera primero que la Caja 1 sea entregada a Doyoacán, ¿cuántas
asignaciones cumplen esa condición?
Una vez que hemos estipulado que la Caja 1 se entregará a Doyoacán,
tenemos solamente dos posibles asignaciones, a saber:
y
5. Podemos preguntar si hay otra posible
asignación de las cajas que cumpla con la
condición de que la Caja 1 se entrega a
Doyoacán. Usualmente, nuestros alumnos se
suelen quedar callados y dudosos. La
respuesta es no, no hay otra, sólo son esas dos.
Listemos ahora todas las posibles
asignaciones que cumplan que la Caja 1 se
entrega a Repachula, ¿cuántas de éstas hay?
¿Cómo podemos completar el siguiente
diagrama?
Solamente de dos formas:
6. Y no hay más asignaciones que
cumplan con la condición de enviar
la Caja 1 al municipio de Repachula.
Nos falta considerar ahora todas las
asignaciones que repartan la Caja 1
al municipio de Mitzingo, son las
siguientes:
Y no hay más: observa que en cualquier repartición hay
tres p y sólo posibilidades y sólo tres:
La Caja 1 se reparte a Doyoacán.
La Caja 1 se reparte a Repachula.
La Caja 1 se reparte a Mitzingo.
No es posible entregar la Caja 1 de otra manera.
Observamos arriba que cada uno de éstas se puede dar
de dos formas distintas y sólo de dos formas. Por lo
tanto, en total hay 6 =3x2 formas de asignar las tres
cajas, de hecho ya listamos todas.
y
7. Actividad
Enlista cada una de esas 24 asignaciones.
Esta actividad también se la puedes plantear
a tus estudiantes.
8. NOTA DIDÁCTICA: Observa cómo somos cuidadosos al hablar
cuando decimos que cada una de esas cajas es asignada a uno y
sólo uno de esos municipios. No estamos considerando que una
caja, por ejemplo, no se entregue o que en un municipio se
entreguen dos cajas, ni mucho menos que una caja se divida en
dos para ser repartida a dos municipios. En clase es también muy
importante ir reforzando el cuidado del lenguaje, esto es la
categoría de Interacción y Lenguaje Matemático. Por otro lado, si
observas, de fondo estamos dando un primer acercamiento a ese
concepto que iremos desarrollando en nuestros estudiantes a lo
largo de los tres semestres: el concepto de función.
Un problema retador que podemos dejar en el
aula es el siguiente: encuentra una fórmula que
te indique de cuántas formas puedes repartir n
cajas entre n municipios de tal forma que cada
caja sea asignada a uno y sólo uno de estos
municipios. Puedes intentar primero n = 5 y n = 6.
¡Los números crecen rapidísimo! Para n = 5, hay
120 formas distintas, no pidamos enlistarlas
porque resultar ser muy tedioso.
Pero volvamos al caso de repartir 3 cajas entre
3 municipios de tal forma que cada caja sea
asignada a uno y sólo uno de esos municipios.
NOTA DIDÁCTICA: Sobre la categoría de
Interacción y Lenguaje Matemático: Con el n de
que un alumno responda nuestras preguntas,
podemos permitirle hablar de forma no correcta,
y debemos prestar mucha atención para
entender a lo que se re ere y después debemos
mostrarle cómo decir con precisión sus ideas.
Pero nosotros como docentes debemos tener
siempre, desde el inicio, mucho cuidado en la
forma en que nos expresamos, esto con el n de
no crear más confusiones.
9. Como decíamos, hay 6 posibles asignaciones.
¿Alguna de ellas sucede con
mayor frecuencia que las otras?
10. Hay una estrecha relación entre la forma en que se
reparten estas 3 cajas a los 3 municipios con las
simetrías de un triángulo equilátero, pero dejaremos
esto anotado tan sólo para los curiosos que lo quieran
explorar, ¿sabes a lo que nos referimos? De hecho, en
las progresiones de segundo semestre podríamos
hablar un poco de ello.
Podemos asumir como hipótesis de que todas estas
asignaciones, si se realizan aleatoriamente, tienen la
misma probabilidad de ocurrir. Como veremos a
continuación, esta hipótesis, por lo demás razonable,
nos ayuda a simpli car sobremanera la forma en que
comprendemos el fenómeno aleatorio.
11. Incidentalmente, podemos diseñar de una forma muy fácil una simulación para el
caso del reparto de tres cajas entre tres municipios. Ya que hay solo seis posibles
asignaciones, podemos numerar cada una de ellas como se muestra:
12. La hipótesis de que el dado no esté cargado o la
hipótesis de que cada una de las 6 posibles
asignaciones aleatorias al repartir 3 cajas entre 3
municipios son igualmente probables es
conocida como equiprobabilidad.
A continuación, te compartimos un simulador
que encontramos en la red en el que se describe
la tirada de un dado:
Observa cómo, a la larga, la frecuencia con la que
cae el 1, es casi la misma frecuencia que aquella
con la que cae el 2, el 3 o cualquier otro número
entre 1 y 6, a saber, muy cercana a 1/6.
Dale clic para ir al enlace
Y utilizar un dado para simular el fenómeno
aleatorio. ¿Cómo? Lo lanzamos y si cae en, por
ejemplo, 5, estaremos diciendo que la asignación
que se obtuvo aleatoriamente es
Un dado se dice que es justo si no está cargado, es
decir si existe la misma probabilidad de que caiga
cualquiera de sus caras. ¿Cómo probarías tú que un
dado no está cargado usando simulaciones?
13. Conocer que los posibles resultados de un fenómeno
aleatorio son equiprobables es de una ayuda tremenda
para realizar cálculos, pues una vez que sabemos esto ya
no es indispensable hacer una simulación (aunque
didácticamente siempre podemos hacerlo para reforzar
nuestra argumentación). Por ejemplo, supongamos ahora
que la asignación correcta al repartir las tres cajas es
14. Y que nos preguntamos por qué tan probable es que ocurra el evento en
donde se entrega exactamente una caja bien. Nos basta analizar de entre
todas las posibles asignaciones aquellos casos en los que se da que se entrega
exactamente una de estas cajas correctamente, en este caso son:
1 2 3
4 5 6
15. 3 de 6. La proporción entre casos en los que se da
el evento aleatorio estudiado con el total de
casos posibles es 3/6 = ½.
Si haces una simulación y calculas la frecuencia
con la que ocurren las asignaciones 2, 3 o 4. Verás
que conforme aumentes el número de tiradas,
esta frecuencia se aproximará a 0.5.
Lo anterior no es una prueba, pero esperamos
que con ello sea razonable que aceptes la
de nición de probabilidad teórica que en unos
momentos te presentaremos. Pero antes de ello,
te compartimos una serie de de niciones, las
cuales sugerimos no presentar de golpe a tus
estudiantes, sino a lo largo de estas actividades:
CONTENIDO MATEMÁTICO: Un
fenómeno aleatorio es aquel tipo de
fenómeno cuyo comportamiento no se
puede predecir con exactitud; un
fenómeno determinista, por el contrario,
es aquel cuya evolución puede
predecirse con total certidumbre. Al
pensamiento probabilístico le interesan
los fenómenos aleatorios. El espacio
muestral de un fenómeno aleatorio
consiste en todos los posibles resultados
en los que éste puede suceder. Un
evento es un subconjunto del espacio
muestral (en nuestro ejemplo de la
repartición de las tres cajas, un evento
podría ser: se entrega exactamente una
caja de forma correcta). A los resultados
del espacio muestral también se les
conoce como casos. Dado un evento,
decimos que un resultado es un caso
favorable si pertenece a dicho evento
(en nuestro ejemplo anterior la
asignación 4 es un caso favorable para el
evento se entrega exactamente una
caja de forma correcta).
16. Cuando todos los posibles resultados del espacio muestral son
equiprobables podemos calcular la probabilidad de que un evento
ocurra como
Probabilidad del evento = Número de
casos favorables / Número total de casos
Volvamos al ejemplo de la repartición de las cuatro cajas. Si
resolviste la última actividad propuesta, sabes que el espacio
muestral de dicho fenómeno aleatorio consiste de 24 posibles
resultados. Identi ca todos los casos favorables al evento “entrega
las 4 cajas correctamente” y calcula la probabilidad de dicho
evento. Haz lo análogo para el evento “entrega exactamente 2
cajas correctamente”. Estos son ejercicios que corresponden a la
categoría Procedural.
Por último, en clase compara los resultados de los ejercicios
anteriores con los resultados obtenidos de la simulación que
hicieron en la progresión 2.
En la siguiente progresión, veremos que en ocasiones es necesario
utilizar técnicas generales de conteo para poder realizar estos
cálculos y que, de hecho, contar no es tan trivial como podría
parecer a primera vista.