2.2.3.1. distribución de probabilidad

1. 1
Estrategia didáctica 2.2.3.1. Distribución de probabilidad
Comentario: Hasta ahora las probabilidades que se han usado han sido en su mayoría
supuestas a partir del conocimiento que se tenía del problema. En adelante
determinaremos algunos métodos para calcularlas. En esta práctica iniciaremos con
el estudio de algunos métodos para calcularlas. Como precedente se debe conocer las
combinaciones, pero si no es así, no es necesario que se dé una explicación completa
de ellas, sino que pueden discutirse cuando el alumno comprenda el método de conteo
propuesto aquí para que contraste el resultado intuitivo con el obtenido con la fórmula
de combinaciones.
1. Imagina que tienes un grupo de 6 personas: 4 mujeres y 2 hombres. Se va a
seleccionar una persona que las represente. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una
mujer? ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
2. Ahora supongamos que tenemos 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, si se va a
seleccionar una persona para que represente al grupo, ¿Cuál es la probabilidad de
que sea una mujer? ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
3. Regresemos al problema 1 de esta práctica. Imagina que ahora se van a seleccionar
2 personas para representar al grupo de 4 mujeres y 2 hombres. ¿Cuál es la
probabilidad de que ambas sean mujeres? ¿Cuál es la probabilidad de que ambos
sean hombres? ¿Cuál es la probabilidad de que una sea mujer y el otro hombre?
4. Podemos contar el número de parejas que se pueden formar para comparar tu
solución con la que se obtiene mediante el conteo. Por ejemplo, si las 4 mujeres son
a, e, i, o, y los dos hombres son b y c, entonces podemos calcular el total de parejas
que se pueden formar y que pueden ser seleccionadas: ae, ai, ao, ab, ac, ei, eo, eb,
ec, io, ib, ic, ob, oc y bc. Puedes observar que se pueden formar 15 parejas en total,
de las cuales 6 son de mujeres, 1 es de hombres y 8 son de hombre mujer. Por lo
tanto, si definimos la probabilidad de un evento como:
N
k
posiblesresultadosdetotalnúmero
posiblesfavorablesresultadosdetotalnúmero
AP )(
Entonces debemos calcular k y N para el problema de selección de parejas. Para la
primer pregunta del punto anterior el evento A es el número de resultados
favorables posibles, es decir, es el número total de parejas de mujeres que se pueden
formar: 6. El total de resultados posibles es el número de parejas que se pueden
formar: 15. Por lo tanto la probabilidad de que se elijan a dos mujeres es P(A) =
6/15. Calcula la probabilidad de las dos preguntas restantes con este método
identificando el evento y también k y N. ¿Coinciden estos resultados con los que
obtuviste?

2. 2
5. Para el problema del punto 2 de esta práctica, si se seleccionan dos personas, ¿Cuál
es la probabilidad de que ambas sean mujeres? ¿Cuál es la probabilidad de que
ambos sean hombres? ¿Cuál es la probabilidad de que una sea mujer y el otro
hombre?
6. Si usaste el conteo sugerido en el punto 4, es posible que hayas visto que este es
muy largo porque se tienen muchas parejas que se pueden formar. ¿Existe algún
método más corto para calcular el total de parejas, el total de parejas de mujeres, el
total de parejas de hombres y el total de parejas hombre-mujer? Es posible que ya
conozcas la fórmula de combinaciones cuya expresión es la siguiente:
)!(!
!
rnr
n
Cn
r

 (4)
Donde n es el número de elementos u objetos que se tienen y r es el número de
elemento que se van a seleccionar. Recordemos también que n! es el factorial de un
número definido como el producto de los enteros consecutivos a partir de n hasta 1.
Por ejemplo: !34567!4567!567!671234567!7  , y así
sucesivamente de acuerdo a como se pretenda simplificar la expresión. Esta
descomposición la usaremos en el ejemplo siguiente. En el ejemplo del punto 4, n =
6 y r = 2, por tanto calcularemos el total de parejas que se van a seleccionar de las 6
personas:
15
2
30
12
56
!4!2
!456
!4!2
!6
)!26(!2
!66
2 






C
15 era el número total de parejas que se podían formar como ya habíamos
determinado. ¿Cómo se calcularán el total de parejas de mujeres? Si hacemos n = 4
(porque hay 4 mujeres) y r = 2, las podemos calcular usando la fórmula (4). Para
calcular el total de parejas de hombres podemos hacer n = 2 y r = 2 (¿porqué?).
Finalmente para calcular el total de parejas de hombre-mujer que se pueden formar,
podemos hacer para las mujeres n = 4 y r = 1; para los hombres: n = 2 y r = 1,
porque en cada caso sólo vamos a seleccionar a uno. Luego debemos multiplicar
ambos resultados (porque debemos parear los resultados) y se tendrán los resultados
que ya se obtuvieron. Compruébalos.
7. Resuelve el problema propuesto en el punto 5.
8. Ahora supongamos que se tiene un grupo de 40 personas de las que se hay 30
hombres y 10 mujeres. Se va a seleccionar un grupo de 3 personas. ¿Cuál es la
probabilidad de que las tres sean mujeres? ¿Cuál es la probabilidad de que los 3
sean hombres? ¿Cuál es la probabilidad de que dos sean mujeres y el otro hombre?
¿Cuál es la probabilidad de que una sea mujer y los otros dos sean hombres?

3. 3
Comentario: Se continúa desarrollando las ideas que se obtuvieron en la práctica
anterior. Ahora se extenderán estas ideas al problema de decidir si una muestra puede
llevarnos a tomar buenas decisiones.
1. En la práctica anterior se diseñaron formas de calcular probabilidades de seleccionar
grupos de hombres y mujeres de un grupo más grande. Ahora explicaremos la razón
de haber hecho este ejercicio. Supongamos que una empresa recibe cajas que
contienen 6 elementos o componentes: pueden ser grabadoras, circuitos
electrónicos, llantas, etcétera. 4 de ellos están en buenas condiciones y dos están en
mal estado. Si se seleccionan dos de ellos al azar para probarlos y determinar a
partir de ello si toda la caja está en buen estado (porque probar todos es muy costoso
en tiempo y número de empleados que deben hacer las pruebas de calidad), ¿cuál es
la probabilidad de que en la muestra no salga ningún defectuoso?
2. Compara el ejercicio anterior con el punto 1 de la práctica anterior. ¿Qué observas?
¿Puedes resolver el problema?
3. Supongamos ahora que se reciben cajas con 20 componentes y que de ellos 15 están
en buenas condiciones y 5 están dañados. Si seleccionas un grupo de 2
componentes, ¿Cuál es la probabilidad de que selecciones 2 en buen estado? ¿De
que selecciones 2 en mal estado? ¿De que selecciones 1 en buen estado y otro
dañado? (Compara este ejercicio con el punto 2 de la práctica anterior)
4. Ahora supongamos que se recibe una caja de 40 componentes de los que se hay 30
en buen estado y 10 defectuosos. Se va a seleccionar una muestra de 3
componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean defectuosos? ¿Cuál es la
probabilidad de que los 3 estén en buen estado? ¿Cuál es la probabilidad de que dos
estén en mal estado y el otro no? ¿Cuál es la probabilidad de que uno esté dañado y
los otros dos no lo estén?
5. Supongamos que en la caja de 6 componentes, 4 buenos y dos malos, se han
seleccionado dos componentes, por razones de economía, y se han probado para
decidir si la caja continúa en el proceso de armado del producto o no continúa. Si se
detecta al menos uno defectuoso, la caja se rechaza y se regresa al proveedor, de lo
contrario se acepta. ¿Cuál es la probabilidad de creer que la caja está en buen
estado?
6. Supongamos que en la caja de 20 componentes, 15 buenos y 5 malos, se han
seleccionado dos componentes, por razones de economía, y se han probado para
decidir si la caja continúa en el proceso de armado del producto o no continúa. Si se
detecta al menos uno defectuoso, la caja se rechaza y se regresa al proveedor, de lo

4. 4
contrario se acepta. ¿Cuál es la probabilidad de creer que la caja está en buen
estado?
7. Supongamos que en la caja de 40 componentes, 39 buenos y 1 malo, se han
seleccionado dos componentes y se han probado para decidir si la caja continúa en
el proceso de armado del producto o no continúa. Si se detecta al menos uno
defectuoso, la caja se rechaza y se regresa al proveedor, de lo contrario se acepta.
¿Cuál es la probabilidad de creer que la caja está en buen estado?
8. En los ejercicios de los puntos 5, 6 y 7, ¿Cuál es la probabilidad de rechazar la caja?
Comentario: En esta práctica se inicia la construcción de una distribución de
probabilidad y del cálculo de la esperanza y de la varianza de una variable aleatoria.
Este es el motivo de que el alumno conozca brevemente la distribución hipergeométrica
, porque es muy fácil calcular sus parámetros y hacer su gráfica y luego extender esta
idea a la distribución binomial.
1. Se resolvió anteriormente el problema: tienes un grupo de 6 personas, 4 mujeres y 2
hombres. Se va a seleccionar una persona que las represente. ¿Cuál es la
probabilidad de que ambas sean mujeres? ¿Cuál es la probabilidad de que ambos
sean hombres? ¿Cuál es la probabilidad de que una sea mujer y el otro hombre? En
la muestra de dos personas, el número de mujeres en la muestra varía desde 0 a 2 (el
número de hombres también), pero si definimos una variable que sea X:”número de
mujeres en la muestra”, entonces si x = 0, se está diciendo que en la muestra de n =
2 hay 0 mujeres y por tanto 2 hombres; si decimos que x = 1, se ha dicho que el
número de mujeres en la muestra es de 1 (y por tanto hay 1 hombre); finalmente si x
= 2, entonces estamos diciendo que hay 2 mujeres en la muestra y ningún hombre.
Observa que basta que digamos el valor de X para concluir tanto el número de
mujeres como de hombres en la muestra. El uso de la variable X, facilita la
representación de las probabilidades porque ahora en lugar de definir los eventos:
A:”Seleccionar dos hombres en la muestra”
B:”Seleccionar un hombre y una mujer en la muestra”
C:”seleccionar dos mujeres en la muestra”
Cuyas probabilidades representamos como P(A), P(B) y P(C), será mejor definir
simplemente:
X:”Número de mujeres en la muestra”
Y las probabilidades se escribirían como: P(x = 0), P(x = 1) y P(x = 2)

5. 5
Observa que con la definición de la variable ya no se tienen que definir tantos
eventos como probabilidades se deseen calcular, sino que basta con definir la
variable y las probabilidades se escriben (y se calculan), según el valor de la
variable seleccionada. Por ejemplo, el ejercicio con que se inicia esta práctica, se
puede resolver así:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean mujeres?
 Total de parejas: 156
2 C
 Total de parejas de mujeres: 64
2 C
 Probabilidad de que se elijan dos mujeres:
15
6
)2( 6
2
4
2

C
C
xP
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una sea mujer y el otro hombre?
 Total de parejas: 156
2 C
 Total de formas de seleccionar una mujer: 44
1 C , total de formas de
seleccionar un hombre: 22
1 C , total de formas de seleccionar un
hombre y una mujer: 8424
1
2
1 CC
 Probabilidad de que se elijan una mujer y un hombre:
15
8
)1( 6
2
4
1
2
1



C
CC
xP
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean hombres?
 Total de parejas: 156
2 C
 Total de parejas de hombres: 12
2 C
 Probabilidad de que se elijan dos hombres:
15
1
)0( 6
2
2
2

C
C
xP
2. Utiliza la nueva notación de probabilidad, usando una variable, para que resuelvas
los ejercicios que se plantearon en los puntos 3 y 4 de la práctica 8. Calcula todas
las probabilidades posibles como se hizo en el punto anterior.
3. La ventaja que tiene haber definido una variable (y ya no trabajar con eventos), es
que podemos hacer un resumen gráfico de todas las probabilidades calculadas. Por
ejemplo, para el ejercicio del punto 1, para el que se calcularon todas las
probabilidades, se tiene que ellas son:
a)
15
6
)2( 6
2
4
2

C
C
xP

6. 6
b)
15
8
)1( 6
2
4
1
2
1



C
CC
xP
c)
15
1
)0( 6
2
2
2

C
C
xP
Construyamos una gráfica que nos permita formarnos una idea acerca de los valores
de la probabilidad de la variable. En el eje horizontal graduaremos los valores de X,
y en el eje vertical graduaremos la probabilidad. Luego trazaremos una recta
vertical, a partir de los valores que toma la variable, cuya altura será igual a la
probabilidad correspondiente de la variable:
Esta gráfica recibe el nombre de distribución de probabilidad de la variable
X:”número de mujeres en la muestra”. Observa que esta gráfica nos da una idea
inmediata acerca de cuál es el valor más probable que puede ocurrir cuando
tomamos una muestra de dos personas del grupo de 4 mujeres y 2 hombres: Es
decir, es más probable que salga una mujer y un hombre, pero es más raro que
salgan los dos hombres.
4. Dibuja las distribuciones de las variables de los puntos 3 y 4 de la práctica 8.
0 1 2
número de mujeres en la muestra
1/15
3/15
5/15
7/15
9/15
11/15
13/15
1
probabilidad

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EJERCICIOS
1. Se van a seleccionar 5 personas de un grupo de 35 extranjeros, 20 de las cuales son
argentinos y 15 son brasileños. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar 3 argentinos
y dos brasileños?
2. Se reciben cajas con 40 melones. Se realizará un muestreo de 5 melones para
decidir si la caja está en buenas condiciones. Si la caja tuviera 3 melones echados a
perder, ¿cuál es la probabilidad de que salgan en la muestra los 3 melones malos?
¿dos? ¿uno? ¿ninguno?. Construye la distribución de probabilidades de este
problema.
3. Vas a comprar una caja que contiene 40 melones y pruebas sólo 5 melones para
decidir comprarla. Para ello, estableces la siguiente regla: si ningún melón sale
defectuoso en la muestra, compras la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que te lleves
una caja que tiene 3 melones echados a perder?
4. Una empresa de 20 empleados, de las cuales 4 son mujeres, seleccionará al azar un
grupo de 5 personas para enviarlas a cursos de actualización. ¿Cuál es la
probabilidad de que se elijan al menos 3 mujeres? ¿de que se elija por lo mucho una
mujer?
5. Resuelve el problema anterior utilizando la fórmula de combinaciones. Escribe
claramente la manera como has calculado los resultados de simplificar las
combinaciones.
6. En un grupo de 40 alumnos, 25 de los cuales no deben ninguna materia (regulares),
se va a seleccionar un grupo de 6 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo
contenga 4 alumnos regulares y dos irregulares?.
7. Se reciben cajas de 20 frascos de café. De ellos 3 están insuficientemente llenos.
¿Cuál es la probabilidad de que si extraes 4 frascos de café de la caja dos estén
insuficientemente llenos? ¿de que sean tres? ¿uno? ¿ninguno?. Construye la
distribución de probabilidades del problema.
8. Del problema anterior estableces una regla para decidir si aceptas o rechazas la caja.
Tomas una muestra de 4 frascos al azar, si ninguno está insuficientemente llenado,
creerás que la caja está en buenas condiciones. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar y
de rechazar la caja?
9. Una inspectora de Hacienda recibe 18 declaraciones de impuestos, de las cuales en
8 se hicieron deducciones ilegales. Si revisa 4 declaraciones al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que detecte por lo menos 2 declaraciones con deducciones ilegales?

8. 8
10. Resuelve el problema anterior utilizando la fórmula de combinaciones. Escribe
claramente la manera como has calculado los resultados de simplificar las
combinaciones.
Guardar con el nombre nombre-apellido.E2.2.3.1.Distrib.probabilidad-grupo.doc