Metodo grafico20178

UNEFM – EDUCACIÓN
Investigación de Operaciones
Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz© 2004
katiuscapena@unefm.edu.ve y wdecoro@yahoo.com
CONTENIDO:
• El Método gráfico
• Procedimiento.
• Ejercicios propuestos.
OBJETIVO TERMINAL:
Resolver, a través del método gráfico, problemas de
optimización restringida considerando la importancia
de éste para la toma de decisiones.

MÉTODO GRÁFICO
Características
La recta que representa a la función objetivo (X0 )
se le conoce como Recta Isocuanta o recta de nivel.
ó Método de las Rectas de Nivel
Región factible
ACOTADA
Región factible
NO ACOTADA
El conjunto de rectas que
representan cada una de las
restricciones, conforman el polígono de
soluciones factibles ó
La región factible puede estar o no acotada.
Región Factible.
La solución óptima es siempre uno de los
vértices de la región factible.
F.O
Vértice
óptimo

A continuación se representará parte de dicho procedimiento a través del
diagrama de flujo de un algoritmo básico.
MÉTODO GRÁFICO
(Procedimiento para resolver Problemas PL)
Esta primera etapa
corresponde a la formulación
y modelización del problema.
Inicio
Analizar problema
¿Las variables
son lineales?
No corresponde
a PL
Fin
NO
A
SI
Procedimiento

MÉTODO GRÁFICO
(Procedimiento para resolver Problemas PL. Cont.)
Procedimiento
Verificando características
del Modelo de PLB
NO
SI
¿Las
restricciones son
cerradas?
¿El objetivo es
optimizar?
A
SI
¿El número de
variables es 2?
NO Resolver por
otro método
C
B
No corresponde a
PL
Fin
NO
C
Continuar procedimiento C
SI

MÉTODO GRÁFICO
Procedimiento
El diagrama anterior deberá completarse a detalle más adelante, por
ahora, veamos la continuación del procedimiento a través de un ejemplo.
Una compañía fabricante de monitores para PC debe decidir la cantidad de
cada uno de los dos modelos que comercializa, en virtud de que una reciente
investigación de mercado le sugiere que , cada mes, es posible vender cuando
más 1000 unidades del modelo 14” y hasta 4000 unidades del modelo 17”. El
número máximo de horas - hombre disponibles es de 50000 horas por mes y
se sabe que un monitor de 14 “ requiere 20 horas – hombre para su
fabricación, mientras que el de 17” requiere 15 horas – hombre. Si las
ganancias por unidad de monitor vendido son de $ 30 y $ 50 respectivamente,
formule un modelo de PL que permita al fabricante tomar la mejor decisión
sobre cuántos monitores de cada modelo producir.
Una compañía fabricante de monitores para PC debe decidir la cantidad de
cada uno de los dos modelos que comercializa, en virtud de que una reciente
investigación de mercado le sugiere que , cada mes, es posible vender cuando
más 1000 unidades del modelo 14” y hasta 4000 unidades del modelo 17”. El
número máximo de horas - hombre disponibles es de 50000 horas por mes y
se sabe que un monitor de 14 “ requiere 20 horas – hombre para su
fabricación, mientras que el de 17” requiere 15 horas – hombre. Si las
ganancias por unidad de monitor vendido son de $ 30 y $ 50 respectivamente,
formule un modelo de PL que permita al fabricante tomar la mejor decisión
sobre cuántos monitores de cada modelo producir.

Determinación de la Región Factible
MÉTODO GRÁFICO
Procedimiento
1) Resolver cada restricción (inecuación) por separado como si fueran
igualdades y graficar cada una de las rectas correspondientes.
F.O Max X0 = 30X1 + 50X2
20X1 + 15X2 ≤ 50.000
X1 ≤ 1.000
X2 ≤ 4.000
(X1, X2) ≥ 0
Para esto se deben ENCONTRAR dos puntos por los que pase la
recta asociada a cada restricción, ó los PUNTOS DE CORTE CON
LOS EJES de cada una de dichas rectas.
A
B
C
D
Tome nota
del modelo

MÉTODO GRÁFICO
Región Factible
En el ejemplo se tiene que:
Restr. X1 = 0 X2 = 0
A
B
C
X2= 3333,3 X1= 2500
¿Qué información inicial
nos aporta la restricción (X1,X2) ≥ 0,
para graficar la región factible?
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
(2500 , 0)
(0, 3333.3)
A
No hay X2 X1= 1000
(1000 , 0)
B
X2= 4000 No hay X1
(0 , 4000)
C

MÉTODO GRÁFICO
Región Factible
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
2) Determinar la región válida
para cada restricción
Para esto se elige un punto, por
ejemplo (0,0). Si este punto verifica la
inecuación entonces, en ese lado de la
recta se encuentra la zona válida o
factible. El otro lado de la recta se
descartaría por no ser factible.
Sustituyendo (0,0) en la restricción A
se tiene:
¡ Satisface la inecuación !
20 (0) + 15 (0) ≤ 50.000
No factible
(0,0)
C
A

MÉTODO GRÁFICO
Región Factible
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
No factible
(0,0)
C
A
Para esto elija un punto, por
Sustituyendo (0,0) en la restricción B
se tiene:
(0) ≤ 1.000

MÉTODO GRÁFICO
Región Factible
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
No factible
(0,0)
C
A
Para esto elija un punto, por
Sustituyendo (0,0) en la restricción C
se tiene:
(0) ≤ 4.000

MÉTODO GRÁFICO
Región Factible
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
para cada recta
No factible
(0,0)
C
A
De la restricción D se tiene que:
¡ Sólo los valores del primer
cuadrante son válidos !
Entonces, este es el polígono
de soluciones posibles ó
REGIÓN FACTIBLE

MÉTODO GRÁFICO
Región Factible
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
3) Determinar los vértices que
bordean la región factible
C
A
En la gráfica pueden verse
claramente las coordenadas de tres
puntos específicos:
P1 = (0, 3333.3) P2 = (1000, 0)
P3 = (0,0) P4 = ?
¿Cómo se puede hallar
el punto de intersección entre dos
o más rectas?
P4
P2P3
P1

MÉTODO GRÁFICO
Solución óptima
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
C
A
4) Graficar la recta isocuanta dando
un valor cualquiera a la función
objetivo, por ejemplo X0 = 15000
En el ejemplo se tiene que:
Encontrando la solución óptima
F.O 30X1 + 50X2 = 15000
X1 = 0 X2 = 0
F.O 300 500
Se recomienda que dicho valor
sea múltiplo de C1 y C2. Luego
hallar dos puntos por donde
pasa la recta asociada a F.O
B
(0 , 300)
(500, 0)
F.O

MÉTODO GRÁFICO
Solución óptima
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
C
AB
5) Trazar rectas de nivel paralelas a
la recta isocuanta graficada
previamente, considerando el tipo
de Problema (MAX ó MIN), hasta
obtener el vértice óptimo
Para MINIMIZAR, “mueva”
la recta isocuanta o trace
paralelas hacia el VÉRTICE de
la región factible, MÁS
CERCANO a (0,0)
Vértice óptimo
F.O

MÉTODO GRÁFICO
Región Factible
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
C
AB
Para MAXIMIZAR, “mueva”
la recta isocuanta o trace
paralelas hacia el VÉRTICE de
la región factible, MÁS
LEJANO a (0,0)
¡ Este es el caso del ejemplo !
Vértice óptimo
5) Trazar rectas de nivel paralelas a
la recta isocuanta graficada
previamente, considerando el tipo
de Problema (MAX ó MIN), hasta
obtener el vértice óptimo

MÉTODO GRÁFICO
Región Factible
X2
X1
2000 30001000
1000
2000
3000
4000
B
C
AB
Vértice óptimo
6) Determinar las coordenadas del
vértice óptimo y sustituir en la X0.
En el ejemplo resulta fácil identificar
las coordenadas:
X1 = 0
(0, 3333.3)
X2 = 3333
Por lo que se deben producir solo
3333 monitores de 17’’ para obtener
una ganancia de:
X0 = 50 (3333) = 166.650
* *
*

MÉTODO GRÁFICO
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicios Propuestos
F.O Max X0 = 2000X1 + 4000X2
600X1 + 900X2 ≤ 30.000
550X1 + 800X2 ≤ 10.000
500X2 ≤ 1.000
(X1, X2) ≥ 0
S. A:
1)
F.O Min X0 = 400X1 + 1000X2
600X1 + 120X2 ≥ 240
100X1 + 500X2 ≥ 1.000
300X1 + 60X2 ≥ 1.200
(X1, X2) ≥ 0
S. A:
2)
Resolver por el método gráfico, en forma individual, según el número
asignado por el docente

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