Este documento presenta el método gráfico para resolver problemas de programación lineal en dos dimensiones. Explica que este método involucra graficar las restricciones, determinar la región factible, y hallar el punto óptimo más alejado o cercano al origen dentro de esta región. Luego, ilustra este método con un ejemplo de un taller de carpintería que maximiza utilidades fabricando sillas y mesas, encontrando que la solución óptima es producir 2 sillas y 2 mesas.

1. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 1
Investigación de Operaciones
MÉTODO GRÁFICO
Es uno de los métodos más simples y tiene 2 características especiales:
i) Solo sirve para resolver problemas en dos dimensiones (a lo sumo tres).
ii) La aplicación de este método, permite importantes interpretaciones de tipo
geométrico y conceptual en relación a la teoría de la P.L.
ALGORITMO
Paso 1: Graficar en un sistema de coordenadas las restricciones del M.P.L.
Paso 2: Determinar la solución de cada restricción (solución de cada
desigualdad)
Paso 3: Determinar la Región Factible (intersección de soluciones de las
desigualdades)
Paso 4: Graficar la Función Objetivo ( asignar un valor arbitrario a Z )
Paso 5: Hallar el punto óptimo según los siguientes criterios:
* Si es Maximizar el Punto mas alejado del origen en la R.F.
* Si es Minimizar el Punto mas cercano al origen en la R.F.
Paso 6: Interpretar la solución óptima y los tipos de restricciones
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EJEMPLO

2. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 2
Ejemplo: Taller de Carpintería
Variables de decisión:
x1 = Número de sillas a fabricar [unidades]
x2 = Número de mesas a fabricar [unidades]
Resumen:
.][.:.. $usxxzMaxOF 21 2015 





62
822
21
21
xx
xx
aS :..
00 21  xxnegativosNo ;:
… R1
… R2
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3. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 3
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 1º parte)
822 211  xxR : 62 212  xxR :
),(
),(
0440
4040
212
121
Pxx
Pxx


),(
),(
0660
3030
212
121
Pxx
Pxx


Paso 1: Graficar las restricciones
Paso 2: Verificamos la solución de las desigualdades
822 211  xxR : 62 212  xxR :
NO
SI
810050
80000


),(
),(
NO
SI
68040
60000


),(
),(
Estos puntos representamos en el sistema cartesiano y trazamos las rectas
Reemplazamos un
punto por encima y un
punto por debajo de
cada recta
Volver al paso 2

4. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 4
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 2º parte)
Paso 3: Identificamos el área que conforma la Región Factible
Región factible
(área donde se superponen
las soluciónes de cada restricción)
R.F.
Volver al paso 3

5. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 5
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 3º parte)
Paso 4: Asignamos a Z un valor arbitrario y representamos la función
objetivo
21 2015 xxzMaxEn .
30201530 21  xxzSi
),(
).,(.
0220
510510
212
121
Pxx
Pxx


Estos puntos representamos en el sistema cartesiano y trazamos la recta F.O.

6. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 6
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 4º parte)
Paso 5: Identificamos el punto óptimo (en este caso el mas alejado del
origen en la región factible)
Punto Máximo
Trasladamos paralelamente
la recta hasta encontrar el punto
mas alejado en la región factible
Volver al paso 5

7. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 7
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 5º parte)
Paso 6: Interpretamos los resultados obtenidos
mesasux
sillasux
.][
.][
2
2
2
1


][
)()(
/
$us.z
z
xxzenR
70
220215
2015 21



21 RyR
Solución óptima:
Tipos de restricciones:
El taller de carpintería debe fabricar 2 sillas y 2 mesas, obteniendo una
utilidad máxima de 70 $us., haciendo uso total de sus recursos.
Son restricciones activas, ya que ambas pasan por el punto óptimo.
“ No tiene restricciones inactivas ni redundantes ”
Interpretación:
Volver al paso 6

8. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 8
TIPOS DE SOLUCIÓN GRÁFICA
DE UN MODELO DE P.L.
Los M.P.L. con dos variables suelen clasificarse según el tipo de solución
gráfica que presentan, en:
•FACTIBLES: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las
restricciones. Estas a su vez pueden ser:
Solución única Solución múltiple Solución no acotada
•NO FACTIBLES: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las
restricciones; es decir que algunas restricciones son inconsistentes
x2
x1
x2
x2
x1 x1
x1
x2
Investigación de Operaciones
Cuando se tiene una sola
combinación de valores
Cuando la F.O. es paralela a
una de las restricciones que
delimitan la Región Factible
Cuando la F.O. no tiene
Límite de extensión
en la Región Factible
Cuando no se tiene
una región factible

9. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 9
Investigación de Operaciones
MÉTODO SIMPLEX
Es un método analítico (o Algebraico) que utiliza un procedimiento
iterativo de forma sistemática y tiene tres fases fundamentales, que son:
i) Fase Inicial: Construir la tabla inicial o iteración 0.
ii)Fase de Control: Verificar si los coeficientes de la F.O. son
todos positivos (caso Maximizar); si no es así aplicar la regla
de entrada y regla de salida.
iii)Fase Iterativa: Aplicar las operaciones elementales de filas y
columnas para obtener ceros en la columna pivote

10. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 10
Ejemplo: Taller de Carpintería
Variables de decisión:
x1 = Número de sillas a fabricar [unidades]
x2 = Número de mesas a fabricar [unidades]
Resumen:
.][.:.. $usxxzMaxOF 21 2015 





62
822
21
21
xx
xx
aS :..
00 21  xxnegativosNo ;:
… R1
… R2
Estas desigualdades se deben
transformar a igualdad,
sumando variables de holgura

11. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 11
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 1º parte)
Paso 1: Colocar el M.P.L. en su forma estandar
Paso 2: Plantear la tabla inicial o Iteración 0
2121 002015 hhxxzMaxOF .:..





62
822
221
121
hxx
hxx
aS :..
02121 hhxxnegativosNo ;;;:
0002015 2121  hhxxzMaxOF .:..
Iteración 0:
Nota: Los pasos 3 y 4 se realizan en la misma tabla y se tiene:
Variable de holgura
Variables
Básicas
Variables
No Básicas
Las variables de holgura
Tienen coeficiente 0 en la F.O.
Para plantear la Tabla inicial o iteración 0,
la Función Objetivo debe igualarse a cero1x 2x 1h 2h ..DL R
1h
2h
z 15 20 0 0 0 ... CSN
02 2 1 8
1 2 0 1 6
Solo ingresan a la base aquellas variables
que tienen coeficiente 0 en la F.O.

12. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 12
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 2º parte)
Donde el elemento pivote es la intersección de fila y columna; éste pivote debe
transformarse a 1 para realizar las operaciones con filas y obtener ceros en la
columna pivote
Iteración 1:
Iteración 0:
En esta tabla nuevamente se aplica la fase de control (verificación del óptimo); si se
tiene todavía algún valor negativo, entonces se realiza nuevamente las operaciones con
filas y columnas hasta encontrar el óptimo
1x 2x 1h 2h ..DL R
1h
2h
z 15 20 0 0 0 ... CSN
02 2 1 8
1 2 0 1 6
428 /
326 /
1x 2x 1h 2h ..DL R
1h
2x
z 5 0 0 10 60 ... CSN
11 0 1 2
21 1 0 21 3
212 /
  6213 
C.P.
F.P.
C.P.
F.P.
21-101
80122:F
6-1-02-1-:F.P.2
2A

Esta fila se obtiene,
dividiendo la F.P. entre 2
2x
20
2
22h 1 0 1 6 326 /2
1x
5
1
21
1h 11 0 1 2 212 /
6010005-
00020-15-:F
600102010:F.P.20
1A


13. Ing. Ricardo Chura Sucojayo 13
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 3º parte)
Iteración 2:
Como esta última tabla tiene todos los coeficientes en la fila Z positivos, entonces se
tiene la tabla óptima y se puede interpretar las soluciones.
SOLUCIÓN BÁSICA SOLUCIÓN NO BÁSICA SOLUCIÓN ÓPTIMA
mesasux
sillasux


][
][
2
2
2
1
Escasos
h
h





0
0
2
1 .][Bsz 70
Interpretación:
El taller de carpintería debe fabricar 2 sillas y 2 mesas, obteniendo una
utilidad máxima de 70 $us., haciendo uso total de sus recursos, ya que
no se tienen piezas que sobren.
1x 2x 1h 2h ..DL R
1x
2x
z 0 0 5 5 70
11 0 1 2
0 1 1 221
705500
6010005-:F
105-505:F.P.5
1A

212110
3210121:F
1-2121021:F.P.21
3A


Conforman las variables que se encuentran
en la base, éstas son igualadas a los
lados derechos correspondientes
Conforman las variables que no se encuentran
en la base, éstas son siempre iguales a cero
Es el valor óptimo de la F.O.
Si una variable de holgura se encuentra en la base,
entonces el recurso al que pertenece dicha variable
se interpreta como ABUNDANTE
Si una variable de holgura se encuentra
en la solución no básica, entonces el recurso al que
pertenece dicha variable se interpreta como ESCASO

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Ing. Ricardo Chura Sucojayo
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