El documento describe un problema de optimización para maximizar las ganancias de una empresa que fabrica trenes, camiones y carros. Se presenta un modelo matemático con una función objetivo y restricciones de tiempo. El problema se resuelve usando el método de Simplex, determinando que la solución óptima es producir 100 camiones y 230 carros para una ganancia máxima de 1350.

2. Optimización de operación
de SEP
Ing. Julio Roberto Gómez Peña, MSc.

3. Optimización
• La optimización, implica lograr el mejor funcionamiento de algo,
utilizando los recursos de la forma más eficiente.
• Desde el punto de vista de la matemática, optimizar significa elegir
el mejor de los elementos que pertenecen a un conjunto. Es decir,
se trata de hallar la solución más conveniente.

4. Ejemplo 1
• Una empresa emplea 3 operaciones par armar Trenes, camiones y
carros, para ello se dispone de tiempo diarios para cada operación
siendo estos 430, 460, 420 minutos respectivamente, de la misma
manera se sabe que el ingreso es de 3,2 y 5 dólares. Para realizar el
ensamblaje se requiere de 1,3 y 1 para trenes, 2,0 y 4 para
camiones y 1,2 y 4 para carros.
• Obtener la mayor ganancia

5. Obtener función objetivo y
restricciones
• X1→trenes
• X2→camiones
• X3→ carros
• Función objetivo en función del ingreso: max Z=3x1+2x2+5x3
• Sujeto a: (restricciones, en este caso el número de minutos que
pueden ser usada cada operación)
• X1+2x2+x3≤430
• 3X1+0x2+2x3≤460
• X1+4x2+0x3≤420

6. Modelo algebraico
• máx. Z=3x1+2x2+5x3
• S.a.
• X1+2x2+x3≤430
• 3X1+0x2+2x3≤460
• X1+4x2+0x3≤420
• máx. Z-3x1-2x2-5x3=0
• X1+2x2+x3=430
• 3X1+0x2+2x3=460
• X1+4x2+0x3=420

7. Método Simplex (1/4))
Z x1 x2 x3 s1 s2 s3 Sol
F1 Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0
F2 s1 0 1 2 1 1 0 0 430
F3 s2 0 3 0 2 0 1 0 460
F4 s3 0 1 4 0 0 0 1 420
Paso 1: Columna pivote En la función objetivo (F1) ver el valor más negativo
en el caso de maximización, si se desea minimización el más grande positivo.
Ecuaciones obtenidas en forma matricial
Paso 2: Fila pivote Dividir los valores de la columna pivote para la solución, la
fila pivote será la que en la solución presente el menor valor. (No tomar en
cuenta los 0 y solo las restricciones)
Z x1 x2 x3 s1 s2 s3 Sol
F1 Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0
F2 s1 0 1 2 1 1 0 0 430
F3 s2 0 3 0 2 0 1 0 460
F4 s3 0 1 4 0 0 0 1 420
Ecuaciones obtenidas en forma matricial
430/2 430
460/2 230
420/0 #¡DIV/0!
La variable de la fila es la que ingresa y la variable de fila es la que sale
El elemento pivote es la intersección de la fila pivote y columna pivote
Variables holgura(s). Se coloca una variable de holgura en cada restricción si
es con signo positivo si es <= y negativos si es >=

8. Método Simplex(2/4)
Z x1 x2 x3 s1 s2 s3 Sol
F1 Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0
F2 s1 0 1 2 1 1 0 0 430
F3 x3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 230
F4 s3 0 1 4 0 0 0 1 420
Paso 3: convertir en 1 el elemento pivote Para ello dividimos el elemento
pivote (2) para toda la fila pivote (F3).
Ecuaciones obtenidas en forma matricial
Paso 4: Convertir en 0 los elementos de la columna pivote Se convierten en 0
todos los elementos de la columna pivote con excepción del elemento pivote.
Para ello se procede hacer multiplicación de la fila pivote y sumar con la fila
que queremos hacer 0 el elemento
Z x1 x2 x3 s1 s2 s3 Sol
F1 Z 1 9/2 -2 0 0 5/2 0 1150
F2 s1 0 -1/2 2 0 1 -1/2 0 200
F3 x3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 230
F4 s3 0 1 4 0 0 0 1 420
Ecuaciones obtenidas en forma matricial
Para hacer 0 el elemento (F1,X3) → 5*F3+F1
Para hacer 0 el elemento (F2,X3) → -1*F3+F1
Para hacer 0 el elemento (F4,X3) → el elemento ya es cero no se requiere
hacer operación

9. Método Simplex(3/4)
Paso 5: Verificar valor negativo en función objetivo Si existe un valor
negativo se vuelve a realizar todos los pasos. Si existe un valor positivo el
proceso a terminado.
Ecuaciones obtenidas en forma matricial
200/2 100
230/0 0
420/4 105
Z x1 x2 x3 s1 s2 s3 Sol
F1 Z 1 9/2 -2 0 0 5/2 0 1150
F2 x2 0 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100
F3 x3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 230
F4 s3 0 1 4 0 0 0 1 420
Ecuaciones obtenidas en forma matricial
Z x1 x2 x3 s1 s2 s3 Sol
F1 Z 1 9/2 -2 0 0 5/2 0 1150
F2 s1 0 -1/2 2 0 1 -1/2 0 200
F3 x3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 230
F4 s3 0 1 4 0 0 0 1 420
En este caso vemos que aun existe un valor negativo este da nuestra nueva
columna pivote (paso 1).
Determinar la fila pivote y elemento pivote (paso 2).
paso 3→ F2/2

10. Método Simplex(4/4)
Z x1 x2 x3 s1 s2 s3 Sol
F1 Z 1 4 0 0 1 2 0 1350
F2 x2 0 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100
F3 x3 0 3/2 0 1 0 1/2 0 230
F4 s3 0 2 0 0 -2 1 1 20
Ecuaciones obtenidas en forma matricial
Para hacer 0 el elemento (F1,X2) → -2*F2+F1
Para hacer 0 el elemento (F4,X4) → -4*F3+F1
Para hacer 0 el elemento (F3,X3) → el elemento ya es cero no se requiere
hacer operación
Paso 5: Verificar valor negativo en función objetivo Para este caso se
observa que no existe valor negativo.
Una vez finalizado las iteraciones, vemos la variables que existen en la
columna en este caso existe x2 y x3 por lo que x2=100 y x3=230 como no
aparece x1=0
Remplazando los valores en la función objetivo
máx. Z=3*(0)+2(100)+5(230)=1350 Se debe construir 100 camiones y 230 carros para tener la mayor ganancia.