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- 1. MODELOS DE DECISIÓN Teoría del método simplex Dualidad
- 2. El termino dualidad señala la existencia de dos fenómenos o caracteres diferentes en un mismo estado. En este sentido, las nociones del bien y el mal son un ejemplo de dualidad; la filosofía china también cuenta con los conceptos del yin y el yang para resumir la dualidad de todo lo que existe en el universo. Dentro de la investigación de operaciones, el concepto de dualidad desempeña un papel importante tanto en la teoría como en la practica. Todo modelo de programación lineal esta asociado a otro modelo llamado modelo dual; al modelo de programación inicial también se le conoce como modelo primal.
- 3. Entre otras cosas, las estructuras duales permiten: • Resolver problemas lineales que tienen mas restricciones que actividades. Por ejemplo, el grado de dificultad para resolver un programa lineal por medio de una computadora que esta en función del numero de filas de la matriz A y no en el numero de columnas, al aplicar la dualidad a un problema primario donde m > n, se obtiene otro problema lineal donde el numero de columnas m < n. Una vez que se resuelve el problema primario, de manera automática se soluciona su correspondiente dual o viceversa. • Hacer interpretaciones económicas de las soluciones optimas de los problemas de programación lineal.
- 4. • Concebir nuevos algoritmos para solucionar problemas de redes de optimización. • Generar métodos como el dual simplex para realizar análisis de sensibilidad de los programas de programación lineal. Para poder entender el concepto de dualidad debemos referirnos al tema de matriz transpuesta. Podemos decir que la matriz A transpuesta, que se conoce con la simbología 𝐴𝑇 , es aquella en donde las columnas se transforman en filas o viceversa. Ejemplo: Si tenemos la siguiente matriz:
- 5. Cuestiones importantes que se deben tomar en cuenta: • Cuestión 1. Si el primal es un problema de maximización, su dual será un problema de minimización o viceversa. • Cuestión 2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de disponibilidad del problema dual. • Cuestión 3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) del problema dual.
- 6. • Cuestión 4. Los coeficientes de las restricciones del problema primal serán la matriz de coeficientes del dual. • Cuestión 5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. • Cuestión 6. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables 𝑋𝑛 del primal se convierten en nuevas variables 𝑌𝑚 del dual.
- 7. En la figura siguiente se ilustra quien es A; B; C para, posteriormente, convertirse en su dual. Estructura de un problema dual. Donde: C = constante x = variable Cx = función objetivo
- 8. Primal Min Z = 15x1 + 12x2 Sujeto a: x1 + 2x2 ≥ 3 2x1 – 4x2 ≤ 5 xi ≥ 0 Note que xi = x1, x2, …, xn según las variables utilizadas Dual Max G = 3y1 + 5y2 Sujeto a: y1 + 2y2 ≤ 15 2y1 – 4y2 ≥ 12 yi ≥ 0 Primal Min Z = x1 + 3x2 + 2x3 Sujeto a: 3x1 – x2 + 2x3 ≤ 7 2x1 – 4x2 ≥ 12 –2x1 + 3/2 x2 + 4x3 ≤ 5 xi ≥ 0 Dual Max J = 7y1 + 12y2 + 5y3 Sujeto a: 3y1 + 2y2 – 2y3 ≥ 1 –y1 – 4y2 + 3/2y3 ≤ 3 2y1 + 4y3 ≥ 2 yi ≥ 0
- 9. Ejemplo 1: considere el siguiente modelo de programación lineal 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒊𝒏 = 𝟐𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 S/A Restricciones 𝟑𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 ≥3 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 ≥ 𝟎 𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 ≥2 𝟒𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 ≥6
- 10. Transformando el modelo de la forma primal a dual 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒊𝒏 = 𝟐𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 𝟑𝑿𝟏+ 𝑿𝟐 ≥ 3 𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 ≥ 2 𝟒𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 ≥ 6 Dual Restricción 1 Restricción 2 F.O 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝑿𝟏 + 𝟔𝑿𝟐 + 𝟐𝑿𝟑 3𝑿𝟏 + 𝟒𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 ≤ 𝟐 𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 + 𝟐𝑿𝟑 ≤ 1 Transformando el modelo de la forma general a forma estándar 𝒁 − 𝟑𝑿𝟏 − 𝟔𝑿𝟐 − 𝟐𝑿𝟑 = 𝟎 3𝑿𝟏 + 𝟒𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + 𝑺𝟏 = 𝟐 𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 + 𝟐𝑿𝟑 + 𝑺𝟐 = 1
- 11. Introducir los valores del modelo de la forma estándar a la tabla simplex. Z R Z F1 R1 F2 R2 F3 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒁 − 𝟑𝑿𝟏 − 𝟔𝑿𝟐 − 𝟐𝑿𝟑 = 𝟎 3𝑿𝟏 + 𝟒𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + 𝑺𝟏 = 𝟐 𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 + 𝟐𝑿𝟑 + 𝑺𝟐 = 1 F1 1 -3 -6 -2 0 0 0 F2 0 3 4 1 1 0 2 F3 0 1 3 2 0 1 1 El valor de Z que se elija indicara la columna que se debe y se llamara columna pivote o columna de entrada. En la tabla se puede observarse que 𝑋2 es la variable de entrada. -6 4 3 𝑿𝟐
- 12. Se determina la variable de salida mediante la división de la columna solución de las restricciones entre la columna pivote o de entrada. 2 ÷ 4 = 1/2 1 3 ÷ = 1/3 Observe que los resultados son 1/2 y 1/3, por lo que se elige el valor positivo mas pequeño sin tomar en cuenta valores negativos o ceros. Z R Z F1 1 -3 -6 -2 0 0 0 R1 F2 0 3 4 1 1 0 2 R2 F3 0 1 3 2 0 1 1 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 Z R Z F1 1 -3 -6 -2 0 0 0 R1 F2 0 3 4 1 1 0 2 R2 F3 0 1 3 2 0 1 1 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 3
- 13. Es muy importante que el pivote tome el valor 1; si este no tiene dicho valor, conviértalo a 1 dividiendo todo el renglón entre el valor que hace 1 el pivote, en este caso vamos a dividir a F3/3 0/3=0 1/3= 𝟏 𝟑 3/3=1 2/3=2/3 0/3=0 1/3= 𝟏 𝟑 1/3=1/3 Después de hacer uno al pivote, dividiendo la F3 entre 3 sustituimos los valores nuevos en F3. Z R Z F1 1 -3 -6 -2 0 0 0 R1 F2 0 3 4 1 1 0 2 R2 F3 0 1 3 2 0 1 1 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 F 3= F3/3 F3 0 1 0 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
- 14. Haciendo 0 a -6 que se encuentra en F1 * 1 +6(0) = 1 * -3 + 6( 𝟏 𝟑 ) = -1 * -6 + 6(1) = 0 * -2 + 6( 𝟐 𝟑 ) = 2 * 0 + 6(0) = 0 * 0 + 6( 𝟏 𝟑 ) = 𝟐 * 0 + 6( 𝟏 𝟑 ) = 2 Sustituyendo los datos encontrados en la nueva F1 Haciendo 0 a 4 que se encuentra en F2 * 0 - 4(0) = 0 * 3 - 4 ( 𝟏 𝟑 ) = 𝟓 𝟑 * 4 - 4(1) = 0 * 1 - 4( 𝟐 𝟑 ) = - 𝟓 𝟑 * 0 - 4( 𝟏 𝟑 ) = - 𝟒 𝟑 * 2 - 4( 𝟏 𝟑 ) = 𝟐 𝟑 Sustituyendo los datos encontrados en la nueva F2 * 1 - 4(0) = 1 Z R Z F1 1 -3 -6 -2 0 0 0 R1 F2 0 3 4 1 1 0 2 R2 F3 0 1 0 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 F1= F1 + 6F3 F1 1 -1 0 2 0 2 2 Z R Z F1 1 -1 0 2 0 2 2 R1 F2 0 3 4 1 1 0 2 R2 F3 0 1 0 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 F2 = F2 - 4F3 F2 0 0 1 − 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓 𝟑 - 𝟓 𝟑
- 15. Z R Z F1 1 -1 0 2 0 2 2 R1 F2 0 0 1 R2 F3 0 1 0 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟓 𝟑 − 𝟓 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟒 𝟑 Se vuelve elegir columna Z, y se determina la variable de salida mediante la división de la columna solución de las restricciones entre la columna pivote o de entrada. 2/3÷ 5/3 = 2/5 1/3 1/3 ÷ = 1 Observe que los resultados son 2/5 y 1, por lo que se elige el valor positivo mas pequeño sin tomar en cuenta valores negativos o ceros. 𝟓 𝟑 Z R Z F1 1 -1 0 2 0 2 2 R1 F2 0 0 1 R2 F3 0 1 0 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟓 𝟑 − 𝟓 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 F2 0 0 1 − 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓 𝟑 - 𝟓 𝟑 -1 𝑿𝟏 𝟏 𝟑 𝟓 𝟑
- 16. Es muy importante que el pivote tome el valor 1; si este no tiene dicho valor, conviértalo a 1 multiplicando todo el renglón entre el valor que hace 1 el pivote, en este caso vamos a multiplicar a F2 por 𝟑 𝟓 . 0 x 3/5=0 𝟓 𝟑 x 𝟑 𝟓 = 1 0 x 𝟏 𝟑 = 0 - 𝟓 𝟑 𝒙 𝟑 𝟓 = -1 1 x 𝟑 𝟓 = 𝟑 𝟓 - 𝟒 𝟑 x 𝟑 𝟓 = - 𝟒 𝟓 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝟓 = 𝟐 𝟓 Después de hacer uno al pivote, multiplicando F2 por 𝟑 𝟓 sustituimos los valores nuevos en F2. F2 = F2 x 3/5 Z R Z F1 1 -1 0 2 0 2 2 R1 F2 0 0 1 R2 F3 0 1 0 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟓 𝟑 − 𝟓 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟒 𝟑 F2 0 1 0 -1 𝟒 𝟓 𝟐 𝟓 𝟑 𝟓 − 𝟒 𝟓
- 17. Haciendo 0 a -1 que se encuentra en F1 * 1 - (0) = 1 * -1 + (𝟏) = 0 * 0 + (0) = 0 * 2 + (−𝟏) = 1 * 0 + ( 𝟑 𝟓 ) ) = 𝟑 𝟓 * 2 + (- 𝟒 𝟓 ) = 𝟔 𝟓 * 2 + ( 𝟐 𝟓 ) = 𝟏𝟐 𝟓 Sustituyendo los datos encontrados en la nueva F1 Haciendo 0 a 𝟏 𝟑 que se encuentra en F3 * 0 - 𝟏 𝟑 (0) = 0 * 𝟏 𝟑 - 𝟏 𝟑 (𝟏) = 𝟎 * 1 - 𝟏 𝟑 (0) = 1 * 𝟐 𝟑 - 𝟏 𝟑 (−𝟏) = 1 * 𝟏 𝟑 - 𝟏 𝟑 (- 𝟒 𝟓 ) = 𝟑 𝟓 * 𝟏 𝟑 - 𝟏 𝟑 ( 𝟐 𝟓 ) = 𝟏 𝟓 Sustituyendo los datos encontrados en la nueva F3 * 0 - 𝟏 𝟑 ( 𝟑 𝟓 ) = - 𝟏 𝟓 F1 = F1 + F2 F3 = F3 - 𝟏/𝟑F2 Z R Z F1 1 -1 0 2 0 2 2 R1 F2 0 1 0 -1 R2 F3 0 1 0 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟒 𝟓 𝟐 𝟓 𝟑 𝟓 − 𝟒 𝟓 F1 1 0 0 1 𝟑 𝟓 𝟏𝟒 𝟓 𝟏𝟐 𝟓 𝟔 𝟓 Z R Z F1 1 0 0 1 R1 F2 0 1 0 -1 R2 F3 0 1 0 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟒 𝟓 𝟐 𝟓 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝟏𝟒 𝟓 𝟏𝟐 𝟓 − 𝟒 𝟓 𝟔 𝟓 F3 0 0 1 1 𝟏 𝟏𝟓 𝟏 𝟓 𝟒 𝟏𝟓 𝟑 𝟓 𝟏 𝟓
- 18. Z R Z F1 1 0 0 1 R1 F2 0 1 0 -1 R2 F3 0 0 1 1 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟑 𝟓 𝟏 𝟓 − 𝟒 𝟓 𝟐 𝟓 𝟑 𝟓 𝟔 𝟓 𝟏𝟐 𝟓 𝟏 𝟓 𝟑 𝟓 Resumiendo la información se obtiene la tabla siguiente: Note que ya son ceros Z = 𝟏𝟐 𝟓 Z(max) = 𝟏𝟐/𝟓 𝑿𝟏 = 𝟐 𝟓 𝑿𝟐 = 𝟏 𝟓 𝑿𝟑 = 0 Comprobando respuesta 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒂𝒙 = 𝟑 𝟐 𝟓 + 𝟔 𝟏 𝟓 + 𝟐(𝟎)
- 19. 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒊𝒏 = 𝟐𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 𝟑𝑿𝟏+ 𝑿𝟐 ≥ 3 𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 ≥ 2 𝟒𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 ≥ 6 Dual Restricción 1 Restricción 2 F.O 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝑿𝟏 + 𝟔𝑿𝟐 + 𝟐𝑿𝟑 3𝑿𝟏 + 𝟒𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 ≤ 𝟐 𝑿𝟏 + 𝟑𝑿𝟐 + 𝟐𝑿𝟑 ≤ 1 Z R Z F1 1 0 0 1 R1 F2 0 1 0 -1 R2 F3 0 0 1 1 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝟑 𝟓 𝟏 𝟓 − 𝟒 𝟓 𝟐 𝟓 𝟑 𝟓 𝟔 𝟓 𝟏𝟐 𝟓 𝟏 𝟓 𝟑 𝟓 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒊𝒏 = 𝟐𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒊𝒏 = 𝟐 𝟑 𝟓 + 𝟔 𝟓 𝑿𝟏 = 𝟑 𝟓 𝑿𝟐 = 𝟔 𝟓 𝒁 = 𝟏𝟐 𝟓 𝑭. 𝑶. 𝒁 𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟐 𝟓