El documento describe el algoritmo simplex, un método para resolver problemas de programación lineal maximizando una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Explica que el método se basa en iterar entre soluciones factibles maximizando la función en cada paso, y fue desarrollado por George Dantzig en 1947 para optimizar costos militares. También provee un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del algoritmo.

1. E.E.S.T.Nº2
6º 3ª
Investigación Operativa
Bustamante Diego,
Miño Ezequiel y
Raichs Mara
ALGORITMOS SIMPLEX

2. Definición
En la optimización, el termino algoritmo
simplex habitualmente se refiere a un conjunto de
métodos muy usados para resolver problemas
de programación lineal, en los cuales se busca el
máximo de una función lineal sobre un conjunto de
variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones
lineales.

3. Historia
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al
menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de
Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo
matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los
gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las
pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947.
En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. Los
fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo
simplex en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en
el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso que utiliza técnicas
similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía
en 1975. En 1979 otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el
problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más
tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto
interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un
enorme avancen los principios teóricos y prácticos en el área.
(STAMATO-LOPEZ 6to 3ra EET N°2)

4. Características
El método del simplex se basa en la siguiente
propiedad:
Si la función objetivo: f, no toma su valor máximo
en el vértice A, entonces hay una arista que parte
de A, a lo largo de la cual f aumenta. Es aplicable a
problemas de PL multidimensionales. Tiene como
base el algebra matricial y el proceso de eliminación
de Gauss-Jordan. Es un proceso de búsqueda que se
vuelve sorprendentemente eficiente para
solucionar problemas muy grandes.

5. Variante
Método Simplex Primal: Parte de una solución básica
FACTIBLE(Punto extremo del polígono de
soluciones) y se continua iterando a través de
soluciones básicas factibles sucesivas hasta alcanzar
el optimo valor.
Método Simplex Dual: Trata con soluciones básicas
INFACTIBLES hasta la ultima iteración, donde la
solución básica asociada debe ser factible.

6. Funcionamiento
Pasos lógicos:
1-Convertimos las desigualdades en igualdades, agregando tantas variables de holgura
como restricciones tengamos.
2-Igualamos a cero la función objetivo.
3-Trasladamos valores a la tabla.
– En Variables básicas, los nombres de las variables de holgura y la de la función objetivo.
– En Z los coeficientes que tiene la variable Z de cada igualdad.
– En X1 los coeficientes de X1 de cada igualdad.
– En X2 los coeficientes de X2 de cada igualdad.
– En X3 los coeficientes de X3 de cada igualdad.
– En X4 los coeficientes de X4 de cada igualdad.
– En solución los valores que se encuentran a la derecha del igual de cada igualdad.
4-Iteración, hasta que Z tenga valores positivos.
– Ubicamos el menor valor de la fila de Z para hallar columna pivote.
– Dividimos la solución por el valor de la celda de la columna respectiva para hallar la fila
pivote. Donde se encuentre el resultado menor es la fila pivote.
– Con el valor de la celda pivote dividimos toda la fila pivote.
– Para el resto de las filas se utiliza la siguiente fórmula: Multiplico el valor de la celda
pivote por el valor de la nueva fila de la columna respectiva y se la resto a la vieja celda.

7. Ejemplo
z = 2x1 + 3x2
x1 + 3x2 <= 6
3x1 + 2x2 <= 6
x1, x2 >= 0
*Conversión*
x1 + 3x2 + x3 = 6
3x1 + 2x2 + x3 = 6
z - 2x1 – 3x2 = 0

8. Tabulación

9. Iteración
a) Ubicar el menor valor en fila Z

10. b) Divido solución por los valor respectivos de la
columna pivote.

11. c) Divido la fila por el valor de la celda
pivote.

12. d) Aplico la formula para el resto de las filas: Multiplico
el valor de la celda pivote por el valor de la nueva fila de
la columna respectiva y se la resto a la vieja celda

13. Al estas los valores de z en positivo, se halla la
solución óptima.
X1 = 0,85
X2 = 1,72
Z = 6,85

14. Ejercicios

15. En un grafico
Partiendo del valor de la función objetivo en un
vértice cualquiera, el método consiste en
buscar sucesivamente otro vértice que mejore
al anterior. La búsqueda se hace siempre a
través de los lados del polígono (o de las
aristas del poliedro, si el número de variables
es mayor). Cómo el número de vértices (y de
aristas) es finito, siempre se podrá encontrar
la solución. Podemos ver un claro ejemplo en
la siguiente imagen…

17. Ejemplo
El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor
asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es
un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La
potencia de computación necesaria para examinar
todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor
asignación es inmensa; el número de posibles
configuraciones excede al número de partículas en el
universo. Sin embargo, toma sólo un momento
encontrar la solución óptima mediante el
planteamiento del problema como una programación
lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de
la programación lineal reduce drásticamente el número
de posibles soluciones óptimas que deberán ser
revisadas.