Ejercicios resueltos - método simplex

1. Método Simplex
Antes de iniciar con la selección del pivote y con las
iteraciones, debemos estandarizar la función Z. Para esto se
deben tener en cuenta algunos puntos para las restricciones:
• Cuando es ≤ se utilizan variables de holgura (s)
• Cuando es ≥ se utilizan v. de exceso (-s) + v. artificial (A)
• Cuando es = se utiliza la variable artificial (A)
Sebastian García
Estudiante de Ing. Industrial

2. Método Simplex
caso ≤
Ejemplo:
𝑍 𝑚á𝑥 = 4𝑥1 + 3𝑥2
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎:
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 60
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 40
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Estandarización
𝑍 𝑚á𝑥 − 4𝑥1 − 3𝑥2 = 0
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎:
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 60
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 40

3. Método Simplex
Selección del pivote
Columna
• Cuando es Z máx, se toma el valor más negativo de Z
• Cuando es Z mín, se toma el valor más positivo de Z
Fila
• Se realiza la división entre
𝑏0
𝑥0
y se elige el menor valor que
sea >0

4. Método Simplex
¿Cuándo termino de iterar?
• Cuando la función es Z máx, termino cuando
no quedan valores negativos en la fila de z.
• Cuando la función es Z mín, termino cuando
no quedan valores positivos en la fila z.

5. Método Simplex
VB Bo X1 X2 S1 S2 Bo/Xo
F1 S1 60 2 1 1 0
F2 S2 40 1 1 0 1
F3 Z 0 -4 -3 0 0
1. Organizar en la tabla
2. Seleccionar el pivote (Caso Z máx)
VB Bo X1 X2 S1 S2 Bo/Xo
F1 S1 60 2 1 1 0 30
F2 S2 40 1 1 0 1 40
F3 Z 0 -4 -3 0 0
El pivote es 2, entra X1 y sale S1
(ver en la siguiente diapositiva)

6. Método Simplex
VB Bo S1 X2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 60 2 1 1 0
F2 S2 40 1 1 0 1
F3 Z 0 -4 -3 0 0
3. Utilizar el método de Gauss (operaciones entre filas) para convertir el 2 en 1 y después los otros valores en 0
VB Bo S1 X2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 60 2 1 1 0
F2 S2 40 1 1 0 1
F3 Z 0 -4 -3 0 0
F1/2
-F1+F2
4F1+F3

7. Método Simplex
VB Bo S1 X2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 30 1 1/2 1/2 0
F2 S2 40 1 1 0 1
F3 Z 0 -4 -3 0 0
F1/2
-F1+F2
VB Bo S1 X2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 30 1 1/2 1/2 0
F2 S2 10 0 1/2 -1/2 1
F3 Z 0 -4 -3 0 0

8. Método Simplex
4F1+F3
VB Bo S1 X2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 30 1 1/2 1/2 0
F2 S2 10 0 1/2 -1/2 1
F3 Z 120 0 -1 2 0
VB Bo S1 X2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 30 1 1/2 1/2 0 60
F2 S2 10 0 1/2 -1/2 1 20
F3 Z 120 0 -1 2 0
4. Seleccionar el siguiente pivote y operar nuevamente entre filas El pivote es 1/2, entra X2 y sale S2
(ver en la siguiente diapositiva)

9. Método Simplex
VB Bo S1 S2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 30 1 1/2 1/2 0
F2 X2 10 0 1/2 -1/2 1
F3 Z 120 0 -1 2 0
VB Bo S1 S2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 30 1 1/2 1/2 0
F2 X2 10 0 1/2 -1/2 1
F3 Z 120 0 -1 2 0
5. Nuevamente utilizar el método de Gauss para convertir el ½ en 1 y después los otros valores en cero
(-1/2)F2+F1
(2)F2
F2+F3

10. Método Simplex
VB Bo S1 S2 S1 S2 Bo/Xo
F1 X1 20 1 0 1 -1
F2 X2 20 0 1 -1 2
F3 Z 140 0 0 1 2
Al realizar las operaciones observamos que no quedan valores negativos en la fila de Z, por
tanto ya no debemos continuar iterando.
La respuesta será:
Z máx = 140
X1 = 20
X2 = 20

11. Método Simplex – Gran M
Caso ≥
Para usar el método de la Gran M se debe tener en cuenta:
• Cuando la función es Zmín, la estandarización de la FO no se iguala a
cero, solamente se agregan las variables artificiales con el coeficiente
+M y las de holgura y exceso con coeficiente 0
• Cuando la función es Zmáx, la estandarización de la FO no se iguala a
cero, solamente se agregan las variables artificiales, pero con el
coeficiente –M y las de holgura y exceso con coeficiente 0

12. Método Simplex – Gran M
Caso ≥
Ejemplo:
𝑍 𝑚í𝑛 = 0,05𝑥1 + 0,1𝑥2
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎:
2𝑥1 + 12𝑥2 ≥ 24
7𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 28
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Estandarización
𝑍 𝑚í𝑛 = 0,05𝑥1 + 0,1𝑥2 + 𝑀𝐴1 + 𝑀𝐴2 + 0𝑠1 + 0𝑠2
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎:
2𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑠1 + 𝐴1 = 24
7𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑠2 + 𝐴2 = 28

13. Método Simplex – Gran M
Caso ≥
1. Organizar en la tabla
La fila y columna de CJ lleva los coeficientes de las variables de la función objetivo.
Se debe tener en cuenta que las variables de holgura y de exceso no contribuyen entonces llevan coeficiente 0
CJ
0,05 0,1 0 0 +M +M
VB Bo X1 X2 S1 S2 A1 A2
F1 +M A1 24 2 12 -1 0 1 0
F2 +M A2 28 7 2 0 -1 0 1
Z 52M 9M 14M -M -M M M
ZJ-CJ 52M 9M-0,05 14M-0,1 -M -M 0 0

14. Método Simplex – Gran M
Caso ≥
2. Se elige el ZJ-CJ más positivo porque la función es de minimizar y para la fila se elige el menor coeficiente > 0
CJ
0,05 0,1 0 0 +M +M
Bo/XiVB Bo X1 X2 S1 S2 A1 A2
F1 +M A1 24 2 12 -1 0 1 0 2
F2 +M A2 28 7 2 0 -1 0 1 14
ZJ-CJ 52M 9M-0,05 14M-0,1 -M -M 0 0
El pivote es 12, entra X2
(ver en la siguiente diapositiva)
Este valor es el resultado de:
12*M+2*M – 0,1

15. Método Simplex – Gran M
Caso ≥
3. Proceder con el método de Gauss hasta que no queden valores positivos de ZJ-CJ
F1/12
-2F1+F2
CJ
0,05 0,1 0 0 +M +M
Bo/XiVB Bo X1 X2 S1 S2 A1 A2
F1 0,1 X2 2 1/6 1 -1/12 0 1/12 0
F2 +M A2 24 20/3 0 1/6 -1 -1 5/6
ZJ-CJ 0,2+24M -0,03+ 6,7M 0 -0,01+0,2M -M 0,01-2M -0,17M

16. 4. Siguiente pivote
CJ
0,05 0,1 0 0 +M +M
Bo/XiVB Bo X1 X2 S1 S2 A1 A2
F1 0,1 X2 2 1/6 1 -1/12 0 1/12 0 12
F2 +M A2 24 20/3 0 1/6 -1 -1 5/6 3,6
ZJ-CJ 0,2+24M -0,03+ 6,7M 0 -0,01+0,2M -M 0,01-2M -0,17M
El pivote es 20/3, entra X1
CJ
0,05 0,1 0 0 +M +M
Bo/XiVB Bo X1 X2 S1 S2 A1 A2
F1 0,1 X2 7/5 0 1 -7/80 1/40 13/120 -1/48
F2 0,05 X1 18/5 1 0 1/40 -3/20 -3/20 1/8
ZJ-CJ 0,32 0 0 -3/400 -1/200 1/300-M 1/240-M
(3/20)F2
(-1/6)F2+F1

17. 5. Como ya no quedan valores positivos en la fila de ZJ-CJ entonces ya terminamos
Respuesta:
Zmín = 0,32
X1 = 18/5 = 3,6
X2 = 7/5 = 1,4