Este documento describe varios métodos de demostración en lógica matemática, incluyendo métodos deductivos, inductivos y por reducción al absurdo. Explica que los métodos deductivos parten de premisas generales para llegar a conclusiones particulares a través de silogismos, mientras que los métodos inductivos y de reducción al absurdo se usan para demostrar propiedades que son verdaderas para números infinitos. El documento también proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar cada método.

1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA
“PUCE-SI”.
Datos Informativos
Carrera: Arquitectura.
Nivel:Primero“A”
Nombre:Sanipatinvinicio
Materia: Lógica Matemática.
Tema: Métodosde demostración.
Fecha: 19 de Octubre del 2010.
Objetivo:conocertodoslosconceptosque se aplicanenlogicamatematicaparaluegorealizar
su coreectaaplicacion
Contenido:
Metodosdeducticvos de demostracion
Segúnel sistemaaristotélico,el métododeductivoesunprocesoque parte de un
conocimientogeneral,yarribaa unoparticular.La aplicacióndel método
deductivonosllevaaunconocimientocongradode certezaabsoluta,y esta
cimentadoenproposicionesllamadas SILOGISMOS.
EJEMPLOS
1. “ Todos lasvenezolanassonbellas”,(Este es el conocimientogeneral)
“Marta Colominaesvenezolana”
Luego:
“Marta Colominaesbella”
2. “Todos losmamíferossonanimales”
“El perro esun animal”
Por lotanto:
“El perroes unmamífero”
Se puede observarque partiendode dospremisas,unade lascualesesuna
hipótesisgeneral se llegaauna conclusiónparticular.Tambiénesde hacernotar que eneste
ejemplolaspremisaspuedenserverdaderasopuedenserfalsas,yporconsiguientela
conclusiónpuede serigualmente verdaderaofalsa.
En la lógicaformal y sobre todoenel universomatemático,el procesodeductivotieneun
significadounpocodiferente,puesestabasadoen AXIOMAS,oproposicionesque son
verdaderaspordefinición.
Por ejemplo,unaxiomaes:

2. “EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”,otro axiomaes
“DOS COSASIGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”.
El primeraxiomadefineel conceptode MAYOR,yel segundoel conceptode IGUAL.
El métododeductivonospermitepartirde unconjuntode hipótesisy llegarauna conclusión,
pudiendoserestainclusive que el conjuntode hipótesis seainválido.
Generalmente,enmatemáticas,ladeducciónesunprocesoconcatenadodel tipo"si A
entonces B,si B entoncesC,si C entoncesD..." hastallegara unaconclusión.
Al conjuntode HIPOTESIS+ DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denominaTEOREMA.
La prácticade losrazonamientosdeductivosenel procesode desarrollodel pensamiento
lógicomatemáticoesmuyimportante.Constituyeunaherramientafundamental parael
trabajoen lamatemáticay otras ciencias.
Demostracionporel metododirecto
Si tomamosuna frase lógicacondicional sencilladel tipo:
P ⇒ Q
Que podemosanalizarcomo“si se cumple Pentoncesse cumple Q”,estolohacemosde forma
natural sincomplicarnosenhaceranálisismasintensivosomasextensivospueslohacemosde
una formainnata.
Si decimos:“El cieloestaencapotado,vaa llover”estamos
realizandounaasociaciónde causay efecto.Enla cual “el cieloestaencapotado”es
la causa y el efecto lógicoesque,“vaa llover”.
Desde el puntode vistade la lógicaestarelaciónesirrevocable.Asímismoenunarelación
matemáticase puede verificarestasencillarelaciónenlacual si se cumple lapremisaP
entoncesse puede decirque se cumplirálaconsecuenciaQ.
A este procesoformal se le denomina“demostraciónmediante el métododirecto”es
innecesariodecirque si nose cumple overifica Pentoncessu consecuenciatampocose
verificará.
¬P ⇒ ¬Q
Supóngase que P⇒Q esuna tautología,endonde Py Q puedenserproposicionescompuestas,
enlas que intervengancualquiernúmerode variablespropositivas,se dice que qse desprende
lógicamente de p.
Supóngase unaimplicaciónde laforma.
(P1∧P2∧ P3∧...∧Pn) ⇒ Q
Es una tautología.
Entoncesestáimplicaciónesverdaderasinimportarlosvaloresde verdadde
cualquierade suscomponentes.Eneste caso,se dice que q se desprende
lógicamente de P1,P2,......,Pn.Se escribe.
El caminoque se debe seguirparallevara cabo una demostraciónformal
usandoel métododirecto.Significaque síse sabe que P1 esverdadera,P2es
verdadera,......yPntambiénesverdadera,entoncesse sabe que Qesverdadera.
La mayoríade losteoremasmatemáticoscumplenconestaestructurabásica:

3. (P1∧P2∧ P3∧...∧Pn)⇒ Q
Donde lasPi condicionessonllamadashipótesisopremisas,yQes la
conclusión.
“Demostrarun teorema”esdemostrarque lacondicional esuna
tautología.
Ojo,no se pide demostrarque laconclusiónesverdadera,loque se quiere es
demostrarque Q esverdaderasiempre ycuandotodaslasPi condicionesson
verdaderas.
En conclusiónpodemosdecirque:
Cualquierdemostración,seade enunciados omatemáticadebe:
a. Comenzarcon lashipótesis.
b. Debe seguirconlastautologíasy reglasde inferenciasnecesariaspara...
c. Llegara laconclusión.
A continuaciónse pruebaunenunciadoendonde se puede apreciarel uso
tanto de lastautologíascomo de las reglasde inferencia.
Sean
p: Trabajo
q: Ahorro
r: Compraré una casa
s: Podré guardar el automóvil enmi casa
Analizarel siguiente argumento:
"Si trabajo y ahorro,entoncescompraré unacasa. Si compro una casa, entonces
podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente,si nopuedoguardarel coche
enmi casa, entoncesnoahorro".
El enunciadoanteriorse puede representarcomo:
p∧q⇒ r; y r⇒ s; entoncess'⇒q'
Equivale tambiénaprobarel siguienteteorema:
[(p∧q) ⇒ r]∧ [r⇒s]; [s'⇒q']
Comose trata de probar un teoremade laforma general:
p1∧ p2∧...... ∧ pn entonces q
Se aplicael procedimientogeneral parademostraciónde enunciadosválidos.
A continuaciónse demuestrael teoremarespaldandocadaunode suspasos en tautologíaso
reglasde inferenciayaconocidas.
1. - (p∧q) ⇒ r Hipótesis
2.- r⇒ s Hipótesis
3.- p ⇒ q SilogismoHipotético
4.- q ⇒ r SilogismoHipotético

4. 5.- q ⇒ s
6. - ¬s ⇒ ¬q Conclusión
Metodoinductivo
Sirve para demostrarfórmulasopropiedadesque sonverdaderasparainfinitosnúmeros
naturales.Esdecirpara demostrarque las propiedadesde laformaP(m) se cumple casi
siempre paratodonúmeronatural m € N siendon+el conjuntode loscaracterísticos sinel
cero V n € N+ (SiendoN*= N-{0}) Se trata de demostrarP(n),V n€ N* El métodode
demostracióninductivoconstade 3 pasos.
1. Paso Básico
Demostrarque la propiedadse cumple parael primervalorde de N que nosdigan,casi
siempre será1. Se trata de demostrarP(1).
2. Paso Inductivo
Consiste endemostrarque si se cumple paraun cierton entoncestambiénse cumplepara
n+1. Es decirque si se cumple paraP(n) entoncesse tiene que cumplirP(n+1).Se tratade
demostrarlaimplicaciónP(n)->P(n+1).SupondremoscomohipótesisP(n) (hipótesisde
inducción).
3. Conclusión
Del paso básicoy del pasoinductivose deduce que laproposiciónse cumple paratodoslosn
naturalesmayoresoigualesa1 (n>=1).
Metodoreduccion absurdo
Sólosabremossi esuna tautología.Supondremosque esunacontradicción,portanto
podemossuponerque puedeserfalsa.Sinconestasuposiciónse llegaaunacontradicción
quería decirque esafalsedadsupuestanuncapodría darse,portanto la proposiciónsería
siempre verdaderaesdecirunatautología.