conceptos y ejercicos

1. CAPITULO Nº 2
LA DERIVACION
2.1 OBJETIVOS: Terminado el capitulo se espera que el estudiante esté en capacidad de.
* Asignar significado a los contenidos temáticos desarrollados mediante una auténtica comprensión
teórica.
* Extender el concepto de límite para definir la derivada de una función
* Hacer una interpretación significativa de los principales aspectos del cálculo diferencial
* Identificar el cálculo diferencial como la matemática de los cambios
* Calcular la razón de cambio de una cantidad en relación con otra equivalente
* Aplicar las reglas del álgebra de derivadas para calcular la derivada de cualquier función
* Aplicar el concepto de derivada en la resolución y planteamiento de problemas contextuales.
2.2 INTRODUCCION
El cálculo diferencial conjuntamente con el integral forman una de las ramas de la matemática más
importantes, ya que en un mundo cambiante como el nuestro, es fundamental desarrollar métodos
matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar dichos cambios, que es el firme propósito del
cálculo diferencial, esto es, por esta razón al cálculo diferencial se le conoce actualmente como “la
matemática de los cambios”.
El cálculo diferencial es una asignatura tradicional y fundamental en los planes de estudios a nivel
universitario en los diferentes programas o carreras, y en la historia de la matemática se resalta a Gottfried
Wilhelm Leibniz, filósofo y matemático alemán junto con Isaac Newton, físico, matemático y astrónomo
inglés, quien trabajando de forma independiente llegó también al cálculo diferencial y por tales motivos
son considerados como los pioneros del cálculo diferencial.
A Leibniz se debe entre otras cosas el nombre de cálculo diferencial y la notación
dx
dy
, mientras que
Newton basado en el estudio del movimiento llegó al importante concepto de derivada.
Para su estudio el cálculo diferencial puede ser introducido por dos caminos distintos, mediante la
consideración de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de su dominio usando el
concepto de límite y mediante el enfoque de razones de cambio, que según la historia, el cálculo
diferencial inicialmente desarrolló una noción intuitiva de la razón de cambio y después se formalizó lo
que es el límite y la continuidad; esto significa que este enfoque determinó su origen y objetivos iniciales.
Aquí se asume este segundo enfoque, por que permite describir el cambio relativo de una magnitud con
respecto a otra y llegar así a muchos problemas significativos para los estudiantes de administración.
2.3 RAZON DE CAMBIO
Por razón de cambio se entiende la medida en que una variable cambia con respecto a otra, esto es, si
dos magnitudes (variables) están conectadas mediante una relación funcional, es posible estudiar el
cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otra y para tales fines se precisa seguidamente
lo que se conoce como cambio o incremento de una variable o función, razón de cambio promedio o tasa
de cambio promedio y razón de cambio instantáneo.
Definición: Dada una función )(xfy  , con 21 xyx valores de su dominio, tal que
2211 )()( yxfyyxf  son las imágenes bajo f de 21 xyx respectivamente, entonces.

2. a) El cambio en la variable independiente x cuando pasa de 21 xax , esto es, 12 xx  , se le llama
incremento de x, el cual se representa por x , es decir, 12 xxx  , lo que significa la diferencia entre
un valor final respecto a uno inicial.
b) El cambio (real) en los valores de la función (imágenes), al pasar de 21 yay está dado por la
diferencia 12 yy  , que se le denomina incremento de la función y se simboliza por
)()( 1212 xfxfyyy  .
c) El cociente
x
y


, esto es,
x
xfxxf

 )()(
se le llama razón de cambio promedio o tasa de cambio
promedio de y respecto a x, en donde xxxyxx  21 .
d) La expresión
x
xfxxf
x 


)()(
lim
0
se le llama razón de cambio instantáneo de f en x, o pendiente
de la recta tangente a la gráfica de f en (x, f(x)).
El siguiente gráfico permite visualizar el cambio en la variable independiente x y en la dependiente y.
)( xxf 
f
f(x)
x
x xx 
Ejemplo 1: Dada la función 12)(  xxf y supóngase que x cambia de 3 a 3.25, hallar
a) Incremento de la función (cambio real)
b) Razón de cambio promedio
c) Razón de cambio instantáneo
Solución: a) Los datos del ejercicio plantean que 25.325.0,3  xxyxx , por lo tanto
usando 1615.6)132(125.32)3()25.3()()(  ffxfxxfy , esto es, el
incremento o cambio real de la función es 5.0y .
b) La razón de cambio promedio se obtiene por
25.0
)132(125.32)()( 






x
xfxxf
x
y
,
entonces 2
25.0
5.0
25.0
1615.6





x
y
, lo cual significa que el cambio de la variable dependiente con
respecto a la independiente, es el doble, o lo que es lo mismo, están en la relación de 2 a 1.
c) La razón de cambio instantáneo será
x
xxx
x
xfxxf
xx 





)12(1)(2
lim
)()(
lim
00
, luego
22lim
2
lim
12122
lim
)12(1)(2
lim
0000









 xxxx x
x
x
xxx
x
xxx
Aquí puede verse el cambio en x, de un valor inicial
a uno final, esto es, 12 xxx  y el cambio que
experimenta la función al pasar de un valor inicial x
a un valor final xx  , en donde se puede inferir
que cuando x sea lo suficientemente pequeño,
entonces el valor de f(x) se aproximará lo suficiente
a )( xxf 

3. Ejemplo 2: La ecuación xxC 15000500000)(  determina el costo de producir x unidades de cierta
maquinaria en una empresa.
a) ¿Cuál es el aumento en los costos al incrementar la producción de 800 a 1000 unidades?
b) ¿Cuál es la razón de cambio promedio o tasa de cambio promedio del costo con respecto al
número de unidades producidas?
Solución: a) Aquí se tiene que 1000200,800  xxyxx , por lo tanto aplicando
80015000500000100015000500000)800()1000()()(  ffxfxxfy , esto es,
30000001200000015000000 y , se obtiene que 000.000.3y , lo cual significa que el
aumento en los costos de producción al pasar de 800 a 1000 unidades es $ 3.000.000.
b) Aplicando la expresión vista anteriormente, 15000
200
000.000.3)()(






x
xfxxf
x
y
, esto
es, la tasa de cambio promedio es 15000


x
y
Lo anterior significa que los costos con respecto al cambio en las unidades producidas se han
incrementado en $ 15000
Ejemplo 3: El costo total para un fabricante de bolígrafos está conformado por costos indirectos fijos de
$ 200, más $ 50 de costos de producción por cada unidad.
a) Expresar el costo total como una función de la cantidad de unidades producidas
b) Encontrar el costo promedio cuando la producción pasa de 150 a 100 unidades fabricadas
Solución: a) Si x representa el número de unidades producidas y C(x) indica el costo total
correspondiente, entonces costo total = (costo por unidad)(número de unidades) + costos indirectos,
además como, 50 = costo por unidad; x = número de unidades y 200 = costos indirectos, entonces la
función de costo total estará dada por 20050)(  xxC
b) La tasa de cambio o razón de cambio promedio del costo con respecto al número de unidades
producidas es
150100
)100()150()()(







 CC
x
xCxxC
x
C
, por lo tanto la tasa de cambio o razón de
cambio es 50
50
2500
50
20050002007500
50
)200100*50(200)150(50











x
C
.
Observación: El signo menos en la respuesta indica una disminución en los costos de producción al
disminuir el número de unidades fabricadas.

4. 2.4 TALLER: Usa la información tratada, tus conocimientos y tu capacidad investigativa para responder
los ejercicios y problemas propuestos.
1: Encuentra el incremento de la función y la tasa de cambio en cada uno de los casos propuestos
1.1 104)( 2
 xxxf , si x pasa de 6 a 8 1.2 724)( 23
 xxxxf , si x pasa de 3 a 5
1.3
5
73
)(


x
xf , si x pasa de – 1 a 1 1.4
1
2
)(



x
x
xf , si x pasa de 0 a 2
1.5
1
1
)(



x
x
xf , si x pasa 1 a 3 1.6 34
2)( xxxf  , si x pasa de 2 a 3
2: Resuelve los problemas planteados e interpreta los resultados obtenidos
2.1 La ecuación de oferta
150
405000
)(
p
px

 relaciona el número de unidades vendidas x de cierto
artículo, a un precio p por unidad.
¿Cuál es el cambio en las ventas al incrementar el precio de $ 50 a $ 57.50?.
2.2 La ecuación de demanda
40
1505000
)(
x
xP

 , relaciona el número de tarjetas vendidas con el precio
p; si el ingreso está dado por pxI  , en donde p es el precio unitario y x el número de tarjetas vendidas,
encuentra la tasa de cambio promedio del ingreso al incrementarse el número de tarjetas vendidas de 15
a 20.
2.3 La ecuación xxp  1000)( , determina la relación entre el precio y el número de artículos que se
venden en una fábrica, cuya ecuación de costos es xxC 150000.000.10)(  . Si la producción se
incrementa de 40.000 a 48.400 unidades, hallar.
a) Incremento en los costos b) Incremento en los ingresos c) Incremento en la utilidad
d) Tasas de cambio para el costo, ingreso y utilidad. Recuerde: utilidad = ingresos - costos
2.4 El precio de cierto pan integral aumenta según la ecuación 862)(  ttP , donde t es el número de
meses después de uno referencial.
Si el primero de enero el precio era de $ 100, ¿cuál será el precio del pan el 30 de abril del mismo año
2.5 Un fabricante puede vender cierto producto a $ 110 la unidad. El costo total equivale a costos
indirectos fijos de $ 7500 más costos de producción de $ 60 por unidad.
a) ¿Cuántas unidades debe vender para alcanzar el equilibrio?
b) ¿Cuál es la utilidad o la pérdida del fabricante si vende 100 unidades?
c) ¿Cuántas unidades debe vender para obtener una utilidad de $ 1250?

5. 2.6 LA DERIVADA
Después de hablar de razones de cambio de una variable con respecto a otra, el objetivo de esta sección
se centra en proporcionar las herramientas adecuadas para calcular la derivada de una función en un
punto de su dominio; para tal propósito, anteriormente se definió la razón de cambio instantáneo, que en
la práctica se conoce como “derivada de una función”, esto es, su definición formal es.
Sea f(x) una función cualquiera, la derivada de f con respecto a x, se define como
x
xfxxf
x 


)()(
lim
0
, siempre que exista el límite.
Desde el punto de vista meramente simbólico, la derivada tiene entre otras las siguientes
representaciones: y
dx
dy
dx
df
Dxfxf  ;;;;)(
Ejemplo 1: Si 104)(  xxf , hallar )(xf 
Solución: Aquí el proceso consiste en hallar el límite cuando x tiende a cero de la razón de cambio
promedio, para lo cual se utiliza la fórmula vista en secciones anteriores, esto es,
x
xxx
x
xxx
x
xfxxf
xf
xxx 









1041044
lim
)104(10)(4
lim
)()(
lim)(
000
, luego
44lim
4
lim)(
00




 xx x
x
xf , entonces se tiene que 4)(  xf
Ejemplo 2: Dada la función 2
)( xxf  , hallar )5(f 
Solución:
x
xxx
x
xxxxx
x
xxx
xf
xxx 









2
0
222
0
22
0
)(2
lim
)(2
lim
)(
lim)( , luego se
tiene xxxx
x
xxx
xf
xx
2022lim
)2(
lim)(
00





, por lo tanto xxf 2)(  , entonces como se
pide para un valor específico, 1052)5( f , es decir, 10)5( f
Se estableció antes que, mediante el enfoque de razón de cambio, la derivada de una función en un punto
de su dominio corresponde a la razón de cambio instantáneo, ahora, desde el punto de vista geométrico
la derivada de una función representa la recta tangente a la función en un punto determinado, lo cual se
ilustra en el siguiente gráfico.
f/x)
Q
P
Aquí se ha construido un conjunto de rectas secantes
a la gráfica de la función f(x), con la similitud de que
todas pasan por el punto P. Suponga que el punto Q
se mueve a lo largo de la curva aproximándose cada
vez más a P, entonces la última recta construida con
doble flecha corresponde a la recta tangente a la
curva en el punto P, a la ecuación de dicha recta se
le conoce como “derivada de f en el punto P”

6. 2.7 ALGEBRA DE DERIVADAS
El uso de la definición para calcular derivadas tiene algunas dificultades, pues en muchos casos la
resolución del límite resultaría tediosa; para fortuna tales dificultades pueden obviarse aplicando algunas
propiedades que permiten calcular las derivadas de forma rápida y relativamente fácil, siempre y cuando
se haga un buen uso de ellas. En resumen las principales propiedades son las siguientes.
1: DERIVADA DE LA FUNCION CONSTANTE: La derivada de una función constante es igual a cero,
esto es, si f(x) = c, entonces 0)(  xf
Ejemplo: Dada la función f(x) = 4, entonces aplicando la definición de derivada vista anteriormente se
tiene 0
0
lim
44
lim
)()(
lim)(
000









 xxx
xfxxf
xf
xxx
2: DERIVADA DE LA POTENCIA: Si n
xxf )( es una función diferenciable y n un número real
cualquiera, entonces 1
)( 
 n
nxxf .
Ejemplo 1: Dada la función 2
)( xxf  , entonces xxf 2)( 
Ejemplo 2: Si 2
3
)( xxf  , entonces 2
1
2
3
x
dx
dy
 ; aquí puede observarse que el nuevo exponente
2
1
,
corresponde a restar 1 al exponente original, esto es,
2
1
2
23
1
1
2
3
1
2
3



3: DERIVADA DEL MULTIPLO CONSTANTE DE UNA FUNCION: Si f(x) = cg(x), es una función
derivable, en donde c es un número real cualquiera, entonces )()( xgcxf  .
Lo anterior significa que la derivada de una función multiplicada por una constante, es igual a la constante
multiplicada por la derivada de la función.
Ejemplo: Dada la función 3
5)( xxf  , entonces 22
1535)( xxxf 
4: DERIVADA DE LA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: Si f(x) y g(x) son funciones
derivables en un punto x de su dominio, entonces la derivada de la suma( o diferencia) de ellas es igual
a la suma(diferencia) de las derivadas, esto es, si      )()()()( xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
 .
Ejemplo: Dada la función 85)( 23
 xxxf , halla )(xf 
Solución: Lo que afirma la propiedad literalmente es que se debe derivar cada término de la función
teniendo en cuenta los casos anteriores, entonces xxxxxf 2150235)( 22

5: REGLA DEL PRODUCTO DE FUNCIONES: Si f(x) = g(x)h(x), con g y h funciones derivables en
el mismo punto x de su dominio, entonces )()()()()( xgxfxgxfxf 
Ejemplo: Si )35)(4()( 3
 xxxf , calcula )(xf 
Solución: Aquí comparando el ejercicio dado con la fórmula, puede notarse con facilidad que las
funciones g y h son, 35)(4)( 3
 xxhyxxg respectivamente, además 2
3)( xxg  y
5)(  xh entonces 20920915205)35(35)4()( 2323323
 xxxxxxxxxf

7. 6: DERIVADA DEL COCIENTE: Si
)(
)(
)(
xh
xg
xf  , con g y h funciones derivables en el mismo punto
x de su dominio y 0)( xh , entonces
 2
)(
)()()()(
)(
xh
xhxgxgxh
xf


Ejemplo: 3
2
3
)(
x
x
xf

 calcula )(xf 
Solución: Comparando con la fórmula se tiene que 32
)(3)( xxhyxxg  respectivamente,
además 2
3)(2)( xxhyxxg  , por lo tanto,
  6
244
23
223
9323)3(2
)(
x
xxx
x
xxxx
xf



 ,
luego 4
2
42
22
6
24
6
244
)9()9(9932
)(
x
x
xx
xx
x
xx
x
xxx
xf







 ,esto es, 4
2
)9(
)(
x
x
xf


2.7 TALLER: Usa las propiedades vistas para calcular la derivada de la función en cada caso.
1) Calcula la derivada en cada caso y simplifica si es posible
1.1) 1875)( 24
 xxxxf 1.2) 6410872)( 2345
 xxxxxxg 1.3)
8
3
)(
2
x
xf 
1.4) )8(2)( 2
 xxxf 1.5) )12)(1()(  tttf 1.6)
42
3
)(


x
xh
1.7) )43)(32()(  tttf 1.8) 32345
6412854)( 
 xxxxxxxg 1.9)
1
)(
2


t
t
tf
1.10)
6
)3)(2(
)(


tt
tf 1.11) )4)(8)(72()(  xxxxg 1.12)
2
)(
2
x
xh 
1.13) )13()( 2
 xxxh 1.14) 1
4
5
5
3
3
1
)( 456
 xxxxf 1.15) xxg )(
2) Si f(3) = 4; g(3) = 2; 5)3(6)3(  gyf , hallar los siguientes números.
2.1   )3( gf 2.2   )3( fg 2.3   )3( gf 2.4 )3(






g
f
3) Calcula la derivada para cada función en el punto dado
3.1 )25(2)( 2
 xxxxf para x = 2 3.2 643)( 2
 xxxg para x = 0
3.3 3
265)( xxxh  para x = - 2 3.4 )13(2)( 4
ttf  para t = - 5
3.5 20)( xg para x = 40 3.6 )54)(3()( 2
 xxxxh para x = - 2
4) Con la función 124)( 2
 xxxg , hallar
4.1 g
dx
d
4.2 Primero factoriza la expresión y después deriva como un producto
4.3 Compara los resultados obtenidos en 4.1 y 4.2, ¿qué observas?

8. 2.8 REGLA DE LA CADENA
Esta es una regla usada para funciones compuestas, esto es, si f es una función que depende de la variable
u, cuya notación es f = f(u) y esta a su vez depende de la variable x, es decir, u = u(x), entonces la
derivada de f con respecto a x se calcula mediante la expresión
dx
du
du
df
dx
df
 o también por su
equivalente )()()( xuufxf  .
Se puede interpretar la regla de la cadena como una generalización de la derivada de una potencia cuando
la base es un polinomio, en cuyo caso aplicando la simple regla de la potencia no es suficiente.
Ejemplo 1: Si  52
2)(  xxf , hallar )(xf 
Solución: Aquí es preciso señalar que 22
 xu , por lo tanto la función  52
2)(  xxf se transforma
en 5
)( uxf  ; ahora al aplicar la regla se tiene xxxuuxf 2)2(5)(5)( 424
 , en donde 2x
corresponde a la derivada de u, por lo tanto 42
)2(10)(  xxxf .
Ejemplo 2: Calcular )(xf  para 753)( 2
 uuxf , en donde xxu 82

Solución: Aplicando la regla de la cadena se tiene que 5)8(6056)( 2
 xxuxf , por tanto se
tiene que 5486)( 2
 xxxf
2.9 : Usa la regla de la cadena y las reglas vistas en las secciones anteriores para hallar la derivada de
cada una de las siguientes funciones.
1:  32
53)( xxxf  2: 223
)7952()(  xxxxf
3: 3)( 3
 xxf 4:  32
535)( xxxxf 
5:
32
1
3
)( 








x
x
xf 6:  4 32
175)(  xxxf
7: 3 2
4
3
)(


x
x
xf 8:  3
72)(  xxf
9: 2
)2(
4
)(


x
xf 10: 11)(  xxxf