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Modulo IV CV.pptx
Este documento presenta conceptos básicos de cálculo vectorial como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, campos conservativos e integrales de línea. Incluye definiciones, fórmulas y ejemplos para calcular cada uno de estos conceptos.
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- 5. 17/08/2022 5 Gradiente Operador Nabla𝛻 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 El gradiente se puede escribir como: 𝛻𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑘
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- 13. 17/08/2022 13 Divergencia La divergenciaindica la dirección en que fluye el campo
- 14. 17/08/2022 14 Divergencia Divergencia –Me indica si las líneas de campo entran o salen Sea 𝐹=(Fx, Fy) la divergencia se calcula de las siguiente forma: Divergencia de 𝐹 = 𝜕 𝜕𝑥 𝐹𝑥+ 𝜕 𝜕𝑦 𝐹𝑦+ 𝜕 𝜕𝑧 𝐹𝑧 En términos del operador 𝛻 𝛻 ∙ 𝐹= 𝜕 𝜕𝑥 𝐹𝑥+ 𝜕 𝜕𝑦 𝐹𝑦+ 𝜕 𝜕𝑧 𝐹𝑧
- 15. 17/08/2022 15 Divergencia Ejemplo: Calcularla divergencia de la función dada. F 𝑥, 𝑦 = (2𝑥 + 𝑦2, 3𝑥𝑦 + 𝑧3, 𝑥𝑦𝑧)
- 16. 17/08/2022 16 Rotacional Regla dela mano derecha
- 17. 17/08/2022 17 Rotacional Rotacional –Me indica si las líneas de campo giran alrededor de un punto y en que dirección 𝐹=(𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑧) el rotacional se calcula En términos del operador 𝛻 𝛻 × 𝐹= 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑧 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑓𝑧 − 𝜕 𝜕𝑧 𝑓𝑦 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑥 𝑓𝑧 − 𝜕 𝜕𝑧 𝑓𝑥 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑥 𝑓𝑦 − 𝜕 𝜕𝑦 𝑓𝑥 𝑘
- 18. 17/08/2022 18 Campos conservativos Seusan para hacer referencia a los campos en donde se cumple el principio de conservación de la energía. Criterios para campos conservativos 2D 3D Sean M y N funciones con derivadas parciales continuas. El campo 𝐹 = 𝑀𝑖 + 𝑁𝑗 es conservativo si y sólo si 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕𝑀 𝜕𝑦 Un campo vectorial 𝐹 es conservativo si y sólo si 𝛻 × 𝐹 = 0 Si un campo 𝐹 es conservativo, entonces existe una función diferenciable 𝑓 tal que 𝐹 = 𝛻𝑓 La función 𝑓 se función potencial de 𝐹
- 19. 17/08/2022 19 Campos conservativos Ejemplo:Mostrar si 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 2𝑧) es un campo conservativo, en caso de serlo, hallar una función potencial de 𝐹.
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- 29. 17/08/2022 29 Integral delínea Ejemplo: Calcular la integral de línea de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 a lo largo de la curva C que tiene la representación 𝑥 𝑡 = 𝑡 y 𝑦 𝑡 = 𝑡2 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
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- 34. 17/08/2022 34 Integral delínea Ejemplo: Calcular la integral de línea de la función 𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 𝑦, 𝑦) y a lo largo de la curva C descrita por x=t y y=t2 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝐹 ∙ 𝑑𝑟
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- 39. 17/08/2022 39 Teorema deGreen Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2 , y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea F = (P, Q) : D → R2 un campo vectorial de clase C1 . Entonces se tiene que 𝐶 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝐷 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
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- 41. 17/08/2022 41 Teorema deGreen Ejemplo: Calcular la integral de línea de la función 𝐹 𝑥, 𝑦 = (3𝑥2 + 𝑦, −3𝑥3) y a lo largo de la región C comprendida entre la parábola y=x2 y la recta y=1
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