Este documento presenta conceptos sobre campos vectoriales en matemáticas aplicada a la ingeniería. Explica definiciones clave como gradiente, divergencia y rotacional de funciones escalares y vectoriales. También introduce conceptos de integrales de línea y superficie de campos vectoriales y sus aplicaciones en física, como flujos de calor y campos gravitacionales.

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FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
CARRERA PROFESIONAL: INGENIERIA ELECTRONICA CON MENCION EN TELECOMUNICACIONES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Curso: Matemática Aplicada a la Ingeniería III
Tema: Campos Vectoriales en 𝑹 𝒏
–Integrales de Superficie
Expositor Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Octubre del 2018
Proyecto de aulas de Matemáticas
Objetivo General
El objetivo de este proyecto es complementar a los
estudiantes al cálculo vectorial y su utilización como
modelos de fenómenos físicos. Se enfatizará la
elaboración y presentación de los conceptos, así
como la argumentación matemática (geométricos,
físicos, etc.). También se destacará la flexibilidad del
cálculo vectorial como una herramienta para el
modelado y solución de problemas de la física.
Objetivos específicos
Estudiar las integrales de línea de funciones escalares
Interpretación de los campos vectoriales como
modelos físicos.
Introducir integrales de superficie de funciones
escalares y vectoriales.
Introducir los conceptos de divergencia y rotacional e
interpretarlos como “derivadas” de un campo
vectorial Discutir los teoremas clásicos del cálculo
vectorial: Teoremas de Green, Gauss y Stokes.
Contenido
Campos Vectoriales
 Flujos y campos vectoriales
 Divergencia y rotacional
 Identidades del cálculo vectorial
Integrales de Línea de Campos Vectoriales
 Integrales de línea sobre trayectorias y trabajo
 Independencia de las integrales bajo
reparametrizaciones.
 Integrales de línea sobre curvas
 Teorema Fundamental para Campos Gradientes
 Principio de Conservación de la Energía
 Teorema de Green
 Caracterización de los campos gradientes
(conservativos)
Integrales de Superficie
 Presentación intuitiva del concepto de superficie
 Representación de superficies
 Representación paramétrica
 Integrales de superficie y flujos
 Flujos sobre gráficas de funciones, cilindros y
esferas
 Cálculo de Funciones Vectoriales
 Teorema de Gauss
 Teorema de Stokes
 El rotacional y la divergencia como “derivadas”
de un campo vectorial
 Aplicaciones

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En este tema consideraremos funciones vectoriales
: .n nF U   En particular, el dominio y el
rango están en un espacio de la misma dimensión.
CAMPOS VECTORIALES EN n
Sean 1 2, ,..., nf f f funciones escalares de las variables
1 2, ,..., nx x x definidas de una región  de .n
la
función
 ( , ,... ), ( , ,... ),... ( , ,... )
1 1 2 2 1 2 1 2
F f x x x f x x x f x x x
n n n n

se llama Campo vectorial sobre  .
Si 2 2:F U   se le denota como:
 ( , ), ( , ) .F M x y N x y
Si 3 3:F U   se le denota como:
 ( , , ), ( , , ), ( , , ) .F M x y z N x y z P x y z
Ejemplo 01:
2 2:F U   tal que
2 2
(2 , )F x y x y  
Ejemplo 02:
2 2:F U   tal que
2 2
( , 3 )y
F x y xe 
Ejemplo 03:
3 3:F U   tal que
2 2 3
(2 , ,z )F x y x y  
Ejemplo 04: Describir algunos de los vectores del
campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦) = −𝑦 𝑖 + 𝑥 𝑗 = (−𝑦, 𝑥).
Solución.
Podríamos dibujar unos cuantos vectores de este
campo vectorial al azar, pero es mucho más
esclarecedor si intentamos dibujar conjuntos de
vectores en posiciones es algo ordenadas.
Por ejemplo
𝐹(1, 0) = (0, 1) = 𝑗,
𝐹(0, 1) = (−1, 0) = −𝑖,
𝐹(−1, 0) = (0, −1) = −𝑗,
𝐹(0, −1) = (1, 0) = 𝑖.
Algunos otros vectores, junto con los calculados
anteriormente se muestran en la Figura
Algunos vectores que representan a 𝐹(𝑥, 𝑦) =
−𝑦 𝑖 + 𝑥 𝑗
Algunos ejemplos físicos comunes de campos
vectoriales son:
a) Si un fluido se mueve en un recipiente, cada
partícula tiene una velocidad 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧), la cual es un

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vector que depende de la posici´on (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la
partícula en cada momento.
b) Si en un recipiente se aplica una fuente de calor, la
temperatura en cada punto (x, y, z) es un campo
escalar 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧). El flujo de calor viene dado por un
campo vectorial de ecuación 𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑘 ·
𝛻𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧), donde 𝑘 > 0 es una co ( ) 0x f  
instante, llamada conductividad (el signo negativo
indica que el calor fluye desde la parte más caliente
hacia la más fría).
c) El campo de fuerzas gravitacional que producen
dos masas 𝑚 𝑦 𝑀 sobre un punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) es un
campo vectorial de ecuación
 
3
( , , ),
, ,
m M G
F x y z
x y z
 
   donde G es la constante
de gravitación universal. En este caso, ,F V 
donde .
( , , )
m M G
V
x y z
 
 
d) El campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥) representa
el movimiento giratorio de un punto (𝑥, 𝑦) en el
plano.
En los ejemplos (𝑏) 𝑦 (𝑐), los campos vectoriales son
campos gradientes de funciones escalares. En
general, si 𝐹 = 𝛻𝑓, decimos que 𝑓 es el potencial del
campo vectorial F. En un campo vectorial F, se llama
línea de flujo a cualquier trayectoria 𝜎(𝑡) tal que
( ) ( ( )).t F t   De este modo, F representa el
campo de velocidad de la trayectoria 𝜎(𝑡).
Un campo conocido es la gradiente, ,f de una
función escalar .f
Si llamaos el vector , , ,
x y z
   
   
   
operador
nabla, podemos obtener la definición del gradiente y
otras definiciones más.
DEFINICIONES
Sea f una función escalar y ( , , )F M N P un
campo vectorial. Se define:
1. El Gradiente de f como el vector
, , , ,
f f f
f f
x y z x y z
        
     
        
2. La Divergencia de F como
 , , , ,
f f f
F M N P
x y z
   
   
   
M N P
x y z
  
  
  
3. El rotación de F como el vector
i j k
xF
x y z
M N P
  
 
  
4. El Laplaciano de f como
2
f f  
, , , ,
f f f
x y z x y z
        
    
        
2 2 2
2 2 2
f f f
x y z
  
  
  
PROPIEDADES
Sea f una función escalar y sean F y G campos
vectoriales. Entonces:
1.  F G F G    
2. ( ) ( ) ( )fF f F f F     
3. ( ) ( ) ( )x fF f xF f xF    
4.    ( )FxG xF G xG F      
5. ( ) 0x f  
6. ( ) 0xF  
7. ( )x f xF x xF     
CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS
Un campo vectorial F se dice que es conservativo
si existe alguna función diferenciable f tal que
.F f  La función f se llama función potencial
de .F
Teorema: Un campo vectorial F es conservativo y
si sólo si 0.xF 

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Ejemplo 01.- Determine si
2
(2 , )F xy x y  es
conservativo. En caso de serlo encuentre la función
potencial.
Solución
El rotacional de 𝐹⃗ sería:
i j k
xF
x y z
M N P
  
 
  
2
2 0
i j k
x y z
xy x y
  

  

(0, 0, 2 2 ) (0, 0, 0)x x  
Por tanto, 𝐹⃗ si es conservativo.
Note que para campos de 𝑅2
, basta que
N M
x y
 

 
para ser conservativos. ¿Por qué?
Cuando el campo es conservativo la función
potencial existe y además:
2
, (2 , )
f f
F f xy x y
x y
  
     
  
Es decir conocemos las derivadas parciales de la
función potencial, entonces:
2
f
xy
x



 2f xydx  
2
1( , ) ( )f x y x y g y c  
2f
x y
y

 

  2
f x y dy  
2
2
2( , ) ( )
2
y
f x y x y h x c   
Haciendo superposición de soluciones, la función
potencial sería:
2
2
( , )
2
y
f x y x y C  
Ejemplo 02.- Determine
2 2
(2 , , 2 )F xy x z zy  es
conservativo. En caso de serlo encuentre la función
potencial.
Solución
El rotacional de 𝐹⃗ sería:
i j k
xF
x y z
M N P
  
 
  
2 2
2 2
i j k
x y z
xy x z zy
  

  

(2 2 , 0, 2 2 ) (0, 0, 0)z z x x   
Por tanto, 𝐹⃗ si es conservativo.
Ahora tenemos:
2 2
, , (2 , ,2 )
f f f
F f xy x y zy
x y y
   
     
   
Entonces
2f xydx   2
1( , , ) ( , )f x y z x y g y z c  
 2 2
f x z dy  
2 2
2( , , ) ( , )f x y z x y z y h x z c   
 2f zy dz   2
3( , , ) ( ,y)f x y z z y h x c  
Haciendo superposición de soluciones:
2 2
( , , )f x y z x y z y C  
INTEGRALES DE LÍNEAS
Trataremos de integrales de funciones escalares y
funciones vectoriales sobre curvas.
INTEGRALES DE LÍNEAS DE FUNCIOJES
ESCALARES.
Sea : n
f U  una función escalar de 𝑛
variable definida en una región 𝑈 que contiene una
curva suave 𝐶 de longitud finita, la integral de línea
de 𝑓 sobre 𝐶 se define como:
1 2 1 2
0
1
(x , x ,..., x ) lim (x , x ,..., x )
n
n n i
ic
f ds f s
 

 
Supuesto que este límite exista.

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TEOREMA: Cálculo de una integral de línea como
integral definida.
Sea 𝑓 continua en una región que contiene una curva
suave 𝐶, definida por 1x (t), donde ,a t b 
entonces:
 (t) (t)
c c
fds f r r dt 
     
2 2 2
1 2 1 2 1( ( ), ( ),..., ( )) x (t) x (t) ... x (t)
b
n
a
f x t x t x t dt    
Si 𝑓 = 1 entonces ,
c
ds la longitud de la curva.
Ejemplo 01. Calcular  2
3
c
x y z dz  donde 𝐶:
segmento de recta desde el punto (0, 0, 0) al punto
(1, 2, 1)
Solución
La ecuación de 𝐶es
0
0 2 ; : (t) ( ,2 , ).
0
x t
y t esdecir r t t t
z t
 

  
  
Entonces:
 (t) (t)
c c
fds f r r dt 
 
1
2 2 2
0
2 3 1 2 1t t t dt    
1
2
0
6 ( )t t dt 
1 1
6
3 2
 
  
 
5 6
6c
fds 
Ejemplo 02. Calcular
c
xds donde 𝐶: es la curva
que se representa en el gráfico:
Solución
Por lo forma de C debemos hacer dos integrales; es
decir:
1 2c c c
xds xds xds    donde 1 :C y x y
2
2 : .C y x
Para la primera integral 1
x t
C
y t

 

1
1
1 2
2 2
0 0
1 1 2
2c
t
xds t dt
 
    
 
 
1
2
2c
xds 
Para la segunda integral 2 2
x t
C
y t

 

2
0
2 2
1
1 (2t)
c
xds t dt  
13
0 2 2
2 2
1
0
2 (1 4t )
1 4
3 8
t t dt

 
2
3
2
1 5
12 12c
xds  
Por tanto:
1 2c c c
xds xds xds   
3
2
2 1 5
2 12 12
  

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INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS
VECTORIALES.
Sea : n nF U   un campo vectorial continuo
definido sobre una curva suave C dada por
1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))nr t x t x t x t donde .a t b  La
integral de línea de 𝐹⃗ sobre 𝐶 se define como:
c c
F dr F Tds 
Reemplazando
(t)
(t)
r
T
r



y (t)ds r dt
(t)
(t)
(t)
b
c a
r
F Tds F r dt
r


 
Entonces:
 1 2( ( ), ( ),..., ( )) ( ( )n
c c
F dr F x t x t x t r t dt 
  
Ejemplo. Calcular
c
F dr donde
2
( , , )F x xy z  yC
es la curva definida por ( ) (cos , , )r t t sent t desde el
punto (0, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 2𝜋).
Solución
2
2
0
( , , ) ( ,cos ,1)
c
F dr x xy z sent t dt

   
2
2
0
(cos , cos , ) ( ,cos ,1)t tsent t sent t dt

  
2
2 2
0
( cos cos )tsent tsent t dt

   
2
2 3 3
0
cos cos
2 3 3
t t t

 
   
 
3
1 1 8 1 1
0
2 3 3 2 3
   
        
  
3
8
3c
F dr


La integral de línea que acabamos de definir se la
puede interpretar como el trabajo que tiene que
realizar un campo 𝐹⃗ al desplazar una partícula sobre
la curva 𝐶, si denotamos al trabajo como 𝑊, entonces:
c
W F dr 
FORMA DIFERENCIAL
En la integral ( )
c
F r t dt  
Suponga que ( , , )F M N P y que
: ( ) ( ( ), ( ), ( ))C r t x t y t z t entonces tenemos que
(t) , ,
dx dy dz
r
dt dt dt
    
 
Reemplazando:
(t)
c
F r dt    , , , ,
c
dx dy dz
M N P dt
dt dt dt
  
   
  

Entonces:
(t)
c
F r dt   (t)
c c
F r dt Mdx Ndy Pdz      
Ejemplo. Calcular
c
F dr donde
2
( , )F y x y
2
: 4C y x x  desde el punto (4, 0) hasta el punto
(1, 3).
Solución
Empleando la forma diferencial
c c
F dr Mdx Ndy    2
c c
F dr ydx x dy  
En este caso
2
4y x x  entonces (4 2 )dy x dx 
Reemplazando:
1
2 2 2
4
(4 ) (4 2 )
c
ydx x dy x x dx x x dx     
1
2 2
4
(4 ) (4 2 )x x dx x x dx   

7. Página 7 de 18
1
2 3
4
(4 3 2 )x x x dx  
12 3 4
4
4 3 2
2 3 4
x x x 
   
 
2 69
2c
ydx x dy 
Veamos ahora que existen campos vectoriales que
producen el mismo efecto independientemente de la
trayectoria.
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA
Ejemplo. Calcular
c
F dr donde
2
(4 , 2 )F xy x y
2
:C y x desde el punto (0, 0) hasta el punto (1, 1)
Solución
Empleando la forma diferencial
c c
F dr Mdx Ndy  
2
4 2
c
xydx x dy 
En caso
2
y x entonces 2dy xdx
Reemplazando:
1
2 2 2
0
4 2 4 ( ) 2 (2 )
c
xydx x dy x x dx x xdx   
1
3
0
8x dx 
14
0
8
4
x

2
4 2 2
c
xydx x dy 
Si empleamos la trayectoria
2
y x entonces
2
3dy x dx
Reemplazando:
1
2 3 2 2
0
4 2 4 (x )dx 2x (3 )
c
xydx x dy x x dx   
1
4
0
10x dx 
15
0
10
5
x

2
4 2 2
c
xydx x dy 
Si empleamos la trayectoria y x entonces
dy dx
Reemplazando:
1
2 2
0
4 2 4 (x)dx 2x ( )
c
xydx x dy x dx   
1
2
0
6x dx 
13
0
6
3
x

2
4 2 2
c
xydx x dy 
Note que se obtienen los mismos resultados para
diferentes trayectorias, además observe que el campo
𝐹⃗ es conservativo debido a que:
N M
x y
 

 
2
(2 ) (4 )x xy
x y
 

 
4 4x x
Teorema: si 𝐹⃗ es continuo en una región abierta
conexa, entonces la integral de línea
c
F dr es
independiente del camino si y solo si 𝐹⃗ es
conservativo.
Ejemplo: Calcular
c
F dr donde
3 2
( 1,3 1)F y xy   y : ( ) (1 cos , )C r t t sent 
desde el punto (0, 0) hasta el punto (2, 0).
Solución
Empleando la forma diferencial
c c
F dr Mdx Ndy  
3 2
(y 1) (3xy 1)
c
dx dy   
En este caso
1 cosx t
y sent
 


entonces
cos
dx sentdt
dy tdt



Reemplazando:

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3 2
(y 1) (3xy 1)
c
dx dy  
   3 2
(sen 1) (3(1 cost)sen 1) cos
c
t sentdt t tdt    
Se observa que la integral esta difícil de evaluar.
Ahora veamos si 𝐹⃗ es conservativo:
N M
x y
 

 
2 3
(3 1) ( 1)xy y
x y
   

 
3 3
3 3y y
Como 𝐹⃗ si es conservativo, entonces es independiente
de la trayectoria:
Mejor empleemos una trayectoria simple:
𝑦 = 0 entonces 𝑑𝑦 = 0
Reemplazando:
2
3 2
0
( 1) (3 1) (0 1) (0 1)(0)
c
y dx xy dx       
2
0
dx 
2
0
x
3 2
( 1) (3 1) 2
c
y dx xy   
Sin embargo podemos evaluar la integral de línea de
otra manera para campos conservativos.
Teorema Fundamental: Sea 𝐶 una curva suave a
trozos situada a una región abierta 𝑅 dada por
1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))nr t x t x t x t donde .a t b  Si
( , , )F M N P es conservativo en 𝑅; 𝑦 𝑀, 𝑁 𝑦 𝑃 son
continúas en R entonces:
final inicial
C C
F dr f dr f f    
Siendo 𝑓 una función potencial de 𝐹⃗.
c c
F dr f dr    , , , ,
c
f f f
dx dy dz
x y z
   
  
   

, ,
c
f f f
dx dy dz
x y z
   
  
   
 c
df 
final inicial
c
F dr f f 
Ejemplo 1. En el ejemplo anterior, como
 3 2
1,3 1F y xy   es conservativo podemos
encontrar su función potencial y aplicar el teorema
anterior:
Solución
Hallando la función potencial.
3
1
f
y
x

 

 3
1(y 1)x g(y) cf    
2
3 1
f
xy
y

 

 3
2xy (x) cf y h   
Entonces:
3
(x,y) xyf x y C   
final inicial
c
F dr f f 
3 3
2(0) 2 0 0(0) 0 0
c
F dr C C             
2
c
F dr 
Ejemplo 2.- Calcular
c
F dr donde
, ,ln
z z
F xy
x y
 
  
 
y
2
2
1
: ( ) , 1,
1
C r t t t t
t
 
   
 
1 1.t t   
Solución
Realizar el cálculo de la integral de línea
convenientemente puede resultar complicado.
Veamos si 𝐹⃗ es conservativo:
ln
i j k i j k
xF
x y z x y z
M N P z z
xy
x y
     
  
     
1 1
, ,0 0
x y
xy y xy x
 
    
 
(0, 0, 0)

9. Página 9 de 18
(0,0,0)xF 
Entonces 𝐹⃗ es conservativo y por ende independiente de
la trayectoria; se podría utilizar una trayectoria simple,
por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto:
2
2
1
( 1) , ( 1) ( 1) 1, ( 1)
1 ( 1)
r
 
       
  
1
( 1) , 1, 1
2
r
 
   
 
Al punto:
2
2
1
(1) , (1) (1) 1, (1)
1 (1)
r
 
   
 
1
(1) , 3, 1
2
r
 
  
 
O mejor aún, se podría utilizar la función potencial,
hallémosla:
, ,
f f f
F f
x y z
   
    
   
, ,ln
z z
xy
x y
 
  
 
1ln ( , )
z
f dx z x g y z c
x
   
2lny (x, )
z
f dy z h z c
y
   
3ln lnxy (x,y)f xydz z i c   
3ln ln ( , )z x z y i x y c   
Por lo tanto ( , , ) lnf x y z z xy C 
1 1
,3,1 ,1, 1
2 2c
F dr f f
   
     
   

1 1
1ln (3) ( 1)ln (1) C
2 2
C
      
          
      
3 1
ln ln
2 2
 
3
ln
4

3
ln
4c
F dr 
Si la trayectoria es cerrada y si el campo es conservativo
y continúo dentro de la región que cierra la curva
entonces:
0
c
F dr 
Ejemplo. Calcular
c
F dr donde
2 2 2 2
,
y x
F
x y x y
 
  
  
y
2 2
: 1C x y 
Solución
Veamos si 𝐹⃗ es conservativo. Como es un campo de 𝑅2
:
2 2
N x
x x x y
  
  
   
 
 
2 2
22 2
1 (2x)x y x
x y
 


2 2
2 2 2
(x y )
x y 


2 2
M y
y y x y
   
  
   
 
 
2 2
22 2
1 (2 )x y y y
x y
  


2 2
2 2 2
(x y )
x y 


Por lo tanto 𝐹⃗ si es conservativo.
Como la trayectoria es cerrada se podría pensar que el
valor de la integral de línea debería ser cero, pero observe
que el campo no es continuo en (0,0), entonces debemos
evaluar la integral de línea.
La curva en forma paramétrica es
cos
:
x t
C
y sent



y en
forma vectorial ( ) (cos , )r t t sent
La integral de línea sería:
2
2 2 2 2
0
, ( ,cos )
c c
y x
F dr F r dt sent t dt
x y x y

 
   
  
  
2
0
cos
, ( ,cos )
sent t
sent t dt
t t

 
  
 

 
2
2 2
0
cossen t t dt

 
2
0
dt

 
2
c c
F dr F r dt   
Existe otro mecanismo para evaluar integrales de
líneas en el caso de caminos cerrados.
TEOREMA DE GREEN
Sea 𝐹⃗ = (𝑀, 𝑁)un campo vectorial de 𝑅2
. Sea 𝑅 una
región simplemente conexa con frontera 𝐶 suave a
trozos orientada en sentido anti horario. Si 𝑀, 𝑁,
,
N
x


M
y


son continuas en una región abierta que
contiene a 𝑅, entonces:

10. Página 10 de 18
c c R
N M
F dr Mdx Ndy dA
x y
  
    
  
  
Ejemplo 01. Calcular
c
F dr donde
 3 3 2
, 3F y x xy  y 𝐶: es el camino desde (0, 0) a
(1, 1) sobre
2
y x y desde (1, 1) 𝑎 (0, 0) sobre
y x
Solución
La evaluaremos primero empleando una integral de
línea y luego por el Teorema de Green para comparar
procedimientos y comprobar resultados.
Primer método: Por integral de línea:
3 3 2
( 3 )
c c c
F dr Mdx Ndy y dx x xy dy      
Hay 2 trayectorias:
2
1 :C y x entonces 2dy xdx
1
3 3 2
( 3 )
c
y dx x xy dy 
 
1
2 3 3 2 2
0
( ) 3 ( ) (2 )x dx x x x xdx  
1
6 4 6
0
( 2 6 )x x x dx  
1
6 4
0
(7 2 )x x dx 
17 5
0
7 2
7 5
x x
 
3 3 2 7
( 3 )
5c
y dx x xy dy  
2 :C y x entonces dy dx
2
0
3 3 2 3 3 2
1
( 3 ) ( ) ( 3 ( ) )( )
c
y dx x xy dy x dx x x x xdx     
1
3 3 3
0
( 3 )x x x dx 
0
3
1
(5 )x dx 
04
1
5
4
x

2
3 3 2 5
( 3 )
4c
y dx x xy dy   
Por lo tanto
1 2
7 5 3
5 4 20c c c
F dr F dr F dr      
Segundo método: empleando el Teorema de Green
c c R
N M
F dr Mdx Ndy dA
x y
  
    
  
  
La región 𝑅 es:
2
1
2 2 2
0
(3 3 3 )
x
R x
N M
dA x y y dydx
x y
  
    
  
  
2
1
2
0
(3 )
x
x
x dydx   2
1
2
0
3
x
x
x y dx 
1
2 2
0
3 ( )x x x dx 
 
1
3 4
0
3 3x x dx 
4 5
3 3
4 5
x x
  3 3
4 5
 
3
20R
N M
dA
x y
  
  
  

Ejemplo 2. Calcular
c
F dr donde

11. Página 11 de 18
2 2
( ,cos )F arcsenx y y x   y 𝐶: es el camino que
se describe en la gráfica:
Solución
Aquí es el mejor por GREEN, ¿por qué?
c R
N M
F dr dA
x y
  
  
  
 
2 2
(cos ) ( )
R
y x arcsenx y
dA
x y
    
  
  

 2 2
c R
F dr x y dA   
Pasando a polares:
 
2
0 1
2 2 2 ( cos )
R
x y dA r rsen rdrd

       
2
2
0 1
2 (cos )sen r drd

    
23
0 0
2 (cos sen )
3
r
d

    
 
3 3
0
2 1
2 cos
3 3
sen

 
 
    
 
 
8 1
2 1 ( 1)
3 3
 
     
 
 
28
2 2
3R
x y dA   
INTEGRAL DE LÍNEA PARA ÁREA DE UNA
REGIÓN PLANA
Con integrales de líneas también podemos calcular el
área de regiones planas. En la fórmula de Green, si
tomamos
1
2
M y  y
1
2
N x entonces
R C
N M
dA Mdx Ndy
x y
  
   
  
 
1 1 1 1
2 2 2 2R C
dA ydx xdy
  
      
  
 
1
2R C
dA xdy ydx  
Teorema: Sea R una región plana limitada por una
curva cerrada simple a trozos 𝐶. El área de 𝑅 viene
dada por:
1
2 C
A xdy ydx 
Ejemplo 01: Emplear una integral de línea para
calcular el área de la región limitada por
2
2 1
4
y x
y x
 

 
Solución
Haciendo un dibujo de la región
La curva C que encierra R está compuesta por dos
trayectorias diferentes, calcularemos la integral de
línea por cada trayectoria, y luego sumaremos los
resultados.
Primero: 1 : 2 1C y x  entonces 2dy dx
Reemplazando y evaluando:
1
1
3
1 1
(2 ) (2 1)
2 2C
xdy ydx x dx x dx

    
1
3
1
(2x 2x 1)dx
2 
  
1
3
1
2
dx

 
1
3
1
2
x

 
1
1
2
2 C
xdy ydx  

12. Página 12 de 18
Segundo:
2
2 : 4C y x  entonces 2dy xdx 
Reemplazando y evaluando:
1
3
2
1
1 1
( 2 ) (4 )
2 2C
xdy ydx x xdx x dx

     
3
2 2
1
1
( 2 4)
2
x x dx

   
3
2
1
1
( 4)
2
x dx

  
32
1
1
4
2 3
x
x

 
   
 
1
1 38
2 3C
xdy ydx 
Finalmente, sumando:
38
2
3
A   
32
3
A 
Ejemplo 2: Hallar el área de la elipse con ecuación
2 2
2 2
1
x y
a b
 
Solución
Las ecuaciones paramétricas de la elipse son:
cos
:
x a t
C
y sent



entonces
cos
dx asentdt
dy b tdt
 


Reemplazando en la formula anterior y luego
evaluando, resulta:
1
2 C
A xdy ydx 
2
0
1
( cos )( cos ) ( )( )
2
a t b tdt bsent asentdt

  
2
2 2
0
1
cos
2
ab tdt absen tdt

 
2
2 2
0
1
(cos )
2
ab t sen t dt

 
2
0
1
2
abdt

 
2
0
1
2
ab dt

 
2
0
1
2
abt


1
2 C
A xdy ydx ab  
INTEGRALES DE SUPERFICIE
INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIIONES
ESCALARES.
En el capítulo de integrales dobles se estableció la
manera de calcular área de una superficie, ahora se
trata de calcular el efecto de una función escalar sobre
una superficie. Es decir, evaluar integrales del tipo:
( , , )
S
f x y z dS
Ejemplo. Calcular ( )
S
f xyz dS donde S: porción del
plano 3x y z   en el primer octante.
Solución
Primero hacemos un dibujo de la superficie:
Proyectamos la superficie en el plano 𝑥𝑦, por tanto:
2 2
( ) ( ) 1 x y
S S
f xyz dS f xyz z z dydx   
La región de integración sería:

13. Página 13 de 18
Haciendo las sustituciones correspondientes y
evaluando la integral doble:
2 2
( ) 1 x y
S
f xyz z z dydx 
3 3
2 2
0 0
( (3 )) 1 ( 1) ( 1)
x
xy x y dydx

       
3 3
2 2
0 0
3 (3 )
x
xy x y xy dydx

   
33 2 3
2
0 0
3 (3x x )
2 3
x
y y
x

 
   
 

3 2 3
0
(3 x) (3 x)
3 (3 x)
2 3
x x dx
  
   
 

3
3
0
1 1
3 (3 x)
2 3 u
dv
x dx
 
   
 

34 4
0
3 (3 x) (3 x)
6 4 4
x dx
  
    

34 5
0
3 (3 x) (3 x)
6 4 20
x
  
   
5
3 3
6 20
 
  
 
2 2 81 3
( ) 1
40
x y
S
f xyz z z dydx  
Las integrales de funciones escalares sobre
superficies parametrizadas serian de la forma:
( ( , ), ( , ), ( , )) u v
R
f x u v y u v z u v r xr dudv
Las integrales de superficies nos permitirán evaluar
integrales de funciones vectoriales sobre curvas que
cierran superficies, para lo cual tenemos una
generalización del teorema de GREEN.
TEOREMA DE STOKES
Sea 𝑆 una superficie orientada con vector unitario 𝑁
cuyo contorno es una curva cerrada simple 𝐶, suave a
trozos. Si 𝐹⃗ es un campo vectorial cuyas funciones
componentes tienen derivadas parciales continuas en
una región abierta 𝑅 que contiene a 𝑆 y a 𝐶, entonces:
( )
C S
F dr xF NdS  
Ejemplo. Comprobar el teorema de Stokes para
2
(2 , , ),F z x y 𝑆: superficie del paraboloide
2 2
5z x y   y 𝐶: traza de 𝑆 en el plano 1z 
Solución
Identificando 𝑆 𝑦 𝐶
Por integral de línea.
c c
F dr Mdx Ndy Pdz   
2
2
c
zdx xdy y dz  
En este caso
2cos
: 2
0
x t
C y sent
z



 
entonces
2
2cos
0
dx sentdt
dy tdt
dz
 


 
Reemplazando y evaluando:

14. Página 14 de 18
2
2
c
zdx xdy y dz 
   
2
2
0
2(0) 2 (2cos ) 2cos (2sent) (0)sentdt t tdt

   
2
2
0
4cos tdt

 
2
0
(1 cos2t)
4
2
dt


 
2
0
2
2
2
sen t
t

 
  
 
2
2 4
c
zdx xdy y dz   
Aplicando el teorema de Stokes. Por integral de
superficie.
( )
c S
F dr xF NdS  
Calculando el rotacional, el vector normal a la
superficie y el diferencial de superficie:
2
(2 ,2,1)
2
i j k
xF y
x y z
z x y
  
  
  
2 2
(2 ,2 ,1)
(2 ) (2 ) 1
S x y
N
S x y

 
  
2 2
(2 ) (2 ) 1dS x y dydx  
Reemplazando:
( )
S
xF NdS
2 2
2 2
(2 ,2 ,1)
(2 ,2,1) (2 ) (2 ) 1
(2 ) (2 ) 1R
x y
y x y dydx
x y
  
 

(4 4 1)
R
xy y dydx  
En este caso la región de integración es el círculo
centrado en el origen de radio 2, pasando a
coordinadas cilíndricas:
2 2
0 0
(4( cos )( ) 4 1)r rsen rsen rdrd

      
22 4 3 2
0 0
2 2 4
4 3 2
r r r
sen sen d

  
 
   
 

2 4 3 2
0
2 2 2
2 2 4
4 3 2
sen sen d

  
 
   
 

2
0
cos2 32
8 ( cos ) 2
2 3


 
   
     
  
(4 4 1) 4
R
xy y dydx    
INTEGRALES DE SUPERFICIES DE CAMPOS
VECTORIALES
INTEGRALES DE FLUJO
Se trata ahora de determinar el efecto de funciones
vectoriales F atravesando una superficie S, para esto
se empleará integrales de superficie de la forma:
S
F NdS
Este tipo de integrales son llamadas integrales de
flujo.
Ejemplo: Calcular
S
F NdS para 2
(2 , , )F z x y y
:S porción del plano 3x y z   en el primer
octante.
Solución
El flujo a través del plano estaría dado por:

15. Página 15 de 18
2 (1,1,1)
(2 , , )
3S S
F NdS z x y dS 
2
(2 )
3S
z x y
dS
 
 
Proyectando la superficie en el plano 𝑥𝑦, la región de
integración sería:
Reemplazando y evaluando:
2
(2 )
3S
z x y
dS
 
 
3 3 2
0 0
(2(3 ) )
1 1 1
3
x
x x y
dydx

  
   
3 3
2
0 0
(6 )
x
x y dydx

   
33 3
0 0
(6 )
3
x
y
x y dx

 
   
 

3
0
(3 )
(6 )(3 )
3
x
x x dx
 
     

3 3
2
0
(3 )
18 9
3
x
x x dx
 
    
 

32 3 4
0
(3 x)
18 9
2 3 12
x x
x
 
     
2 3 4 4
(3) (3) (3 3) 3
18(3) 9
2 3 12 12
   
           
81 27 81
24
2 3 12
   
2
(2 ) 3
43S
z x y
dS
 
 
Si la superficie es cerrada tenemos otra opción para
evaluar la integral de flujo.
TEOREMA DE GAUSS
Sea Q una región sólida limitada por una superficie S
orientada por un vector normal unitario dirigido al
exterior de Q. si F es el campo vectorial cuyas
funciones componentes tienen derivadas parciales
continuas en Q, entonces:
( )
S Q
F NdS F dV   
Es decir, que en lugar de emplear una integral de
superficie para calcular el flujo a través de una
superficie cerrada se puede emplear una integral de
volumen.
Ejemplo 01: Comprobar el teorema de Gauss para
(2 ,2 , )F x y z y Q el sólido limitado por las
superficies 2 2 2
z x y  y 2 2 2
8;x y z   0z 
Solución
Haciendo un dibujo
Primer método: por integral de superficie.
Como hay dos superficies que definen el sólido,
calculamos el flujo por cada una y luego lo sumamos.

16. Página 16 de 18
Primero, flujo por el cono:
1 1
2 2 2
(2x,2y, 2z)
(2x,2y,z)
4 4 4S S
F NdS dS
x y z

  
 
 
Proyectamos la superficie en el plano 𝑥𝑦
1
2 2 2
(2 ,2 , 2 )
(2 ,2 , )
4 4 4S
x y z
x y z dS
x y z


 

1
2 2 2
2 2 2
4 4 4(2 ,2 , 2 )
(2 ,2 , )
24 4 4S
x y zx y z
x y z dA
zx y z
 
 
 

2 2 2
(4x 4 2z )
2R
y
dA
z
 
 
Pasando a coordenadas cilíndricas:
2 2 2
(4x 4 2z )
2R
y
dA
z
 

2 2 2 2
0 0
(4 2 )
2
r r
rdrd
r



  
2 2
2
0 0
r drd

  
23
2
0
0
3
r 

2 2 2
(4x 4 2z ) 16
2 3R
y
dA
z

 

Segundo, el flujo por la esfera
2 2
2 2 2
(2x,2y,2z)
(2x,2y,z)
4 4 4S S
F NdS dS
x y z
  
 
 
Proyectamos la superficie en el plano 𝑥𝑦
1
2 2 2
(2 ,2 , 2 )
(2 ,2 , )
4 4 4S
x y z
x y z dS
x y z


 

2 2 2
2 2 2
4 4 4(2 ,2 ,2 )
(2 ,2 , )
24 4 4R
x y zx y z
x y z dA
zx y z
 
 
 

2 2 2
(4x 4 2z )
2R
y
dA
z
 
 
Pasando a coordenadas cilíndricas:
2 2 2
(4x 4 2z )
2R
y
dA
z
 

2 2 2 2
2
0 0
(4 2(8 ))
2 (8 )
r r
rdrd
r


 


 
2 2 2
2
0 0
(2 16)
2 (8 )
r
rdrd
r





 
2 2 3
2 2
0 0
8
8 8
r r
drd
r r


 
  
  
 
La primera integral es por sustitución trigonométrica
y la segunda por sustitución.
El resultado es:
2
160 176
2
3 3S
F NdS 
 
   
 

Sumando los dos flujos
1 2S S S
F NdS F NdS F NdS      
160 176 16
2
3 3 3
 
 
   
 
160
( 2 1)
3S
F NdS   
Segundo método: Aplicando el teorema de GAUSS
( )
S Q
F NdS F dV   
(2 2 1)
Q
dV  
5
Q
dV 
Lo mejor será pasarlo a coordenadas esféricas:
2 84
2
0 0 0
5 5
Q
dV sen d d d


       
3
( 8) 2
5 1 (2 )
3 2

 
   
 
16 2 2
5 1 (2 )
3 2

 
   
 
 160
5 2 1
3Q
dV  
Ejemplo 02: Sea Q la región limitada por el cilindro
2 2
4,x y  el plano 6x z  y el plano 𝑥𝑦. Hallar
el flujo de 2
( , cos , )y
F x senz xy z xz e    a través
de la superficie que limita a Q.
Solución
Haciendo un dibujo:

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Aquí es mejor aplicar el teorema de Gauss.
( )
S Q
F NdS F dV   
(2 )
Q
x x x dV  
4
S Q
F NdS xdV  
Pasando a coordenadas cilíndricas:
2 2 6 cos
0 0 0
4 4 cos
r
Q
xdV r dzdrd
 
 

   
6 cos2 2
2
0 0 0
4 cos
r
r z drd

 

  
2 2
2
0 0
4 cos (6 rcos )r drd

    
22 3 4
0 0
4 6cos
3 4
r r
d

  
 
  
 

2
2
0
4 (16cos 4cos )d

   
2
0
1 cos2
4 16 4
2
sen d


 
 
  
 

2
0
2
4 16 2
2
sen
sen


 
  
    
  
4( 2(2 )) 
4 16
Q
xdV  
Modalidad De Enseñanza
 Exposición del profesor de los conceptos
fundamentales del curso.
 Organización de talleres para la discusión y
solución de problemas de manera individual y por
equipo.
 Desarrollo de proyectos de trabajo por equipos
sobre aplicaciones o temas complementarios.
 Exploración de los conceptos y sus aplicaciones
con sistemas de cómputo simbólico y de
graficación (Geogebra)
Cantidad de horas 6 horas (teoría - práctica)
S Tema Hora
1 Campos vectoriales
Propiedades
Campos vectoriales conservativos
2 horas
2 Integrales de línea
Teorema de Green
Integral de línea para el área de una
región plana
2 horas
3 Integrales de superficie
Integrales de superficie de funciones
escalares.
Teorema de Stokes
Integrales de flujo
Teorema de Gauss
2 horas
Modalidades De Evaluación
Para la evaluación de los estudiantes, se tomará en
cuenta los resultados de los talleres (mínimo dos), tareas
y trabajos domiciliarios, participación individual y
colectiva en las tres sesiones.
Perfil Académico Del Responsable
El profesor debe tener una sólida formación en
matemáticas y conocimiento de la amplitud e
importancia de las aplicaciones de las matemáticas
que le permitan, por una parte, presentar los
conceptos de forma rigurosa así como ilustrar
argumentos rigurosos de forma intuitiva y plausible,
y por otra parte, transmitir a los estudiantes la

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flexibilidad y fuerza de los conceptos y técnicas del
cálculo en la solución de problemas de otras
disciplinas, con énfasis en problemas de la física.
Conclusión
Luego de haber elaborado el presente proyecto de
aula a plenitud este trabajo se han relacionado todos los
temas que se han visto en el transcurso del ciclo de la
materia de Matemática Aplicada para la Ingeniería III.
Se han visto más detallado y con más exactitud los
teoremas y propiedades que hilan todos los temas
propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la
conclusión de todos los temas están relacionados en
cierta forma ya que en varios de estos se necesita
recurrir a las propiedades que se han visto en temas
anteriores.
Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener
un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en
la carrera de Ingeniería Electrónica, ya que no
podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas
nos forman las bases para comprender y analizar y
poder poner en práctica los temas futuros.
Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de
que no hay que dejar tirado lo ye hemos aprendido
antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar
problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular
si no aprendemos de nuestros errores del pasado los
mismo nos estarán esperando en un futuro.
BIBLIOGRAFÍA
1. El Cálculo. Louis Leithold, 7ª edición
2. Cálculo Avanzado, Wuatson Fulks, Editorial
Limusa, 1973.
3. Análisis matemático 2 Norman B. Haaser, Joseph
P. La Salle, Joseph A. Sullivan, Editorial Trillas,
1977.
4. Zill, Dennis. Ecuaciones diferenciales con
aplicaciones de modelado. Segunda Edición en
Castellano [Original 1968: A First Course in
differential equations with applications]. Traducido
por Eduardo Ojeda Peña y Álvaro Cofré Mata.
México: Thomson, 2007.
5. J. Stewart, Cálculo, 4ta. Edición, Thomson
Learning, 2002
REFERENCIA
http://www.ehu.eus/~mtpalezp/mundo/ana2/campos.
pdf
Campos vectoriales
https://w3.ual.es/~plopez/docencia/ita/EVA_traspte
ma9.pdf
Campos escalares y vectoriales
http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/hect/Calcul
o_de_Varias_Variables_II/capitulo_2_reduced.pdf
Espacio vectorial
https://es.slideshare.net/emy20342/rotacional-de-un-
campo-vectorial-16248514
Ppt
http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/
analisi%20vectorial.htm
Teoria
SOFTWARE
Geogebra Clásico 6.0
VIDEOS
https://www.youtube.com/watch?v=xpbkfOkwNZE
https://www.youtube.com/watch?v=dWPBDzbWaq
M
http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu/hbasees/pegrav.html
Energía potencial
APUNTES
Moisés Villena: Análisis Vectorial
Tabla de integrales y fórmulas