Calculo de analisis vectorial

1. Tema 2: Análisis Vectorial y Tensorial
Dr. José Manuel Aller Castro
Universidad Politécnica Salesiana
Cuenca, Abril 2015

2. Definición de campo I
Campo o cuerpo: es una estructura algebraica en la que es
posible realizar operaciones de adición, substracción,
multiplicación y división.
Provee una generalización de los dominios numéricos, como el
campo de los números reales, el de los números racionales y el
de los números complejos.
Un campo es cualquier aplicación definida en un subconjunto
de E y evaluada en R, V o V2 = Lin, en cuyo caso es
denominado campo escalar, vectorial o tensorial
respectivamente.
En física, un campo representa la distribución espacial de una
magnitud física que muestra cierta variación en una región del
espacio.
Matemáticamente, los campos se representan mediante la
función que los define.

3. Definición de campo II
Gráficamente, se suelen representar mediante líneas o
superficies de igual magnitud.
Figura: Ejemplo de líneas de campo magnético

4. Definición de campo III
Una clasificación posible atendiendo a la forma matemática de
los campos es:
Campo escalar: aquel en el que cada punto del espacio lleva
asociada una magnitud escalar. (campo de temperaturas de un
sólido, campo de presiones atmosféricas...)
Campo vectorial: aquel en que cada punto del espacio lleva
asociado una magnitud vectorial (campos de fuerzas,...).
Campo tensorial: aquel en que cada punto del espacio lleva
asociado un tensor (campo electromagnético en
electrodinámica clásica, campo gravitatorio en teoría de la
relatividad general, campo de tensiones de un sólido, etc.).

5. Operadores diferencial I
Sea W un espacio vectorial normado (en la práctica
W = R, V, o V2 = Lin)
Una función f : R ⊂ E →W definida en un conjunto abierto
R de E, se dice que es diferenciable en un punto x ∈ R si
existe una aplicación lineal X : V −→W tal que,
f (x + h) − f (x) − Xh = o (h) cuando h →0
lím
h → 0
f (x + h) − f (x) − Xh W
h V
= 0.
Si f es diferenciable en x, entonces la aplicación X es única y
se denomina la diferencial de f en x.
Usualmente se define como Df (x).

6. Extensión del operador diferencial a espacios afines I
La definición anterior se puede extender a aplicaciones en
espacios afines.
En este caso el diferencial Df (x) es una aplicación lineal de V
en si misma (Df (x) ∈ Lin) que satisface:
lím
h → 0
f (x + h) − f (x) − Xh V
h V
= 0.
debe destacarse que la expresión anterior tiene sentido debido
a que f (x + h) − f (x) ∈ V
Con la definición anterior se deduce que para un vector u ∈ V
se puede calcular la derivada:
Df (x) u =
lím
α → 0
f (x + αu) − f (x)
α

7. Extensión del operador diferencial a espacios afines II
Utilizando al vector unitario e ∈ V, la derivada direccional de f
en la dirección e en el punto x es:
Def (x) = Df (x) e =
lím
α → 0
f (x + αe) − f (x)
α
Si el vector u corresponde a una de las direcciones del vector
de bases {ei } entonces a esta derivada se le denomina
derivada parcial de f en el punto x ⇒ ∂f
∂xi
(x), o fi (x)

8. Gradiente de un escalar I
Supongamos que ϕ sea un campo escalar, el cual es
diferenciable en x:
Dϕ (x) : V −→ R
Entonces el único vector gradϕ (x) a = (ϕ) · a ∀a ∈ V, se
denomina el gradiente de ϕ en x.
Calculando las coordenadas del vector ϕ (x)con respecto a
las bases ortonormales {ei } se obtiene:
( ϕ (x))i = ϕ (x) · ei = Dϕ (x) e,i = ϕ,i (x) ⇒
ϕ (x) = ϕ (x) =
N
i=1
ϕi (x) ei

9. Gradiente de un escalar II
El vector gradiente de f evaluado en un punto genérico x del
dominio de f , f (x), indica la dirección en la cual el campo f
varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de
variación de f en la dirección de dicho vector gradiente.
El gradiente se representa con el operador diferencial nabla
seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente
con la divergencia, ésta última se denota con un punto de
producto escalar entre el operador nabla y el campo).
También puede representarse mediante f , o usando la
notación .

10. Gradiente de un escalar III
Figura: El gradiente de la función f (x, y) = −(cos2
x + cos2
y)2
representada como una proyección del campo vectorial en el plano
inferior

11. Gradiente de un escalar IV
Ejemplos:
Dada la función f (x, y, z) = 2x + 3y2
− sin(z) su vector
gradiente es el siguiente:
– f = ∂f
∂x , ∂f
∂y , ∂f
∂z = 2, 6y, − cos(z) .
Dada la función z(x, y) = x2
+ 2x + y2
+ y3
+ xy su vector
gradiente es el siguiente:
z = ∂z
∂x , ∂z
∂y = 2x + y + 2, 2y + 3y2
+ x .
Dada la función ξ(α, β, γ) = α4
+ eβ3
+e2
arctanγ
+ γ2π
su vector
gradiente es el siguiente:
ξ = ∂ξ
∂α
, ∂ξ
∂β
, ∂ξ
∂γ =
= 4α3, 3β2eβ3
+e2
arctanγ, e2
1+γ2 eβ3
+e2
arctanγ + 2πγ2π−1
https://www.youtube.com/watch?v=ynzRyIL2atU
Explicación del gradiente

12. Gradiente de un vector I
En un espacio euclidiano tridimensional, el concepto de
gradiente también puede extenderse al caso de un campo
vectorial, siendo el gradiente de F un tensor que da el
diferencial del campo al realizar un desplazamiento:
dF
dr
(v) := l«ım
v→0
F(r + v) − F(r)
v
= ( F) · v
Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse por
una matriz 3 × 3, que en coordenadas cartesianas está formada
por las tres derivadas parciales de las tres componentes del
campo vectorial.
El gradiente de deformación estará bien definido sólo si el
límite anterior existe para todo v y es una función continua de
dicho vector.

13. Gradiente de un vector II
Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa que
la aplicación lineal de la que la matriz jacobiana es su
expresión explícita en coordenadas.
Consideremos el caso donde W = V o W = E . Entonces
Du (x) : V → V. Si u es diferenciable en todo punto de R, se
puede definir el campo tensorial denominado gradiente del
vector del campo u.
R ⊂ E → Lin
x → Du (x)

14. Gradiente de un vector III
Supongamos u (x) = N
i=1 ui (x) ei ⇒
( u (x))ij = u (x) ej · ei = uj (x) · ei =
=
lím
α → 0
u (x + h) −u (x)
α
· ei =
=
lím
α → 0
ui (x + h) −ui (x)
α
= ui,j (x)
De aquí:
u (x) =
N
i,j=1
ui,j (x) ei ⊗ ej
Entonces el único vector ϕ (x) a = (ϕ) · a ∀a ∈ V, se
denomina el gradiente de ϕ en x.
Ejemplo:

15. Gradiente de un vector IV
Sea F(x1, x2, x3) = (x1, 5x3, 4x2
2 − 2x3) una función
F : R3
→ R3
, su gradiente será:
F =



∂Fx1
∂x1
∂Fx2
∂x1
∂Fx3
∂x1
∂Fx1
∂x2
∂Fx2
∂x2
∂Fx3
∂x2
∂Fx1
∂x3
∂Fx2
∂x3
∂Fx3
∂x3


 =


1 0 0
0 0 5
0 8x2 −2



16. Divergencia de un vector I
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre
el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre
la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si
el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene
"sumideros", la divergencia será negativa.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un
campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial
por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del
punto tiende a cero:
divF = · F = l«ım
∆V →0
1
∆V
˛
S
F · dS
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en
el límite.
El símbolo representa el operador nabla.

17. Divergencia de un vector II
Dado un campo vectorial diferenciable u, el campo escalar:
· u : R ⊂ E → R
x → · u = Tr ( u (x))
Se denomina divergencia de u.
En coordenadas con respecto a la base ortonormal {ei }
· u (x) = Tr ( u (x)) = Tr


N
i,j=1
ui,j (x) ei ⊗ ej

 =
=
N
i,j=1
ui,j (x) Tr (ei ⊗ ej ) =
N
i,j=1
ui,j (x) δij =
N
i=1
ui,i (x)
https:
//www.youtube.com/watch?v=lVe7gqf-zscDivergencia

18. Divergencia de un vector III
Ejemplo:
Divergencia en coordenadas cartesianas
F(r) = Fx (x, y, z)ˆi + Fy (x, y, z)ˆj + Fz (x, y, z)ˆk
· F =
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
Divergencia en un sistema genérico de coordenadas
· F =
1
h1h2h3
∂(F1h2h3)
∂q1
+
∂(h1F2h3)
∂q2
+
∂(h1h2F3)
∂q3
Divergencia en el sistema de coordenadas cilíndricas
· F =
1
ρ
∂(ρFρ)
∂ρ
+
1
ρ
∂Fϕ
∂ϕ
+
∂Fz
∂z
(hρ = hz = 1, hϕ = ρ)

19. Divergencia de un vector IV
Divergencia en el sistema de coordenadas esféricas
· F =
1
r2
∂(r2
Fr )
∂r
+
1
r sin θ
∂(sin θFθ)
∂θ
+
1
r sin θ
∂(Fϕ)
∂ϕ
(hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ)
Visualización de la divergencia
Video sobre la interpretación física de la divergencia
http://www.academatica.com/
interpretacion-fisica-de-la-divergencia/
Interprestación física de la divergencia
Video sobre la divergencia en cilíndricas y esféricas
http://www.academatica.com/
rotacional-y-divergencia-deduccion-de-las-formulas/
La divergencia en coordenadas cilíndricas y esféricas

20. Divergencia de un tensor I
Dado S : R ⊂ E sea un campo tensorial. Se define el vector un
campo de la div S de la siguiente forma:
· S · a = · St
a (x) ∀a ∈ V
Si S se expresa en la base {ei }, entonces:
S (x) =
N
i,j=1
Sij (x) ei ⊗ ej
· S (x) =
N
l=1
dl (x) el

21. Divergencia de un tensor II
Escogiendo a = ek se tiene:
dk (x) = ·S (x)·ek = · St
ek (x) = ·


N
i,j=1
Sij ei ⊗ ej · ek

 =
= ·


N
j=1
Skj ej

 (x) =
N
j=1
Skj,j (x)
T = Ti1...im
j1...jn
∂
∂xi1
⊗
∂
∂xim
⊗ dxj1
⊗ dxjn
[ ·T]i1...im
j1...jn
= αT
i1...im−1α
j1...jn
= ∂αT
i1...im−1α
j1,...,jn
+Γi1
αβTβ...im
j1...,jn
+· · ·+Γim
αβTi1...β
j1...,jn

22. Laplaciano de un campo escalar I
El operador Lapalciano es un operador diferencial elíptico de
segundo orden en un espacio euclideo n-dimensional.
Se define como la divergencia ( ·) de un gradiente ( ϕ). Si f
es una función real diferenciable
∆ϕ = · ( ϕ) (x) = 2
ϕ (x) = · ϕ (x)
donde:
∆ϕ =
∂2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
+
∂2ϕ
∂z2
∆f =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂ϕ
∂ρ
+
1
ρ2
∂2ϕ
∂ϕ2
+
∂2ϕ
∂z2
∆f =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ϕ
∂r
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂ϕ
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂2ϕ
∂ϕ2

23. Laplaciano de un campo vectorial I
Para un campo vectorial u : R ⊂ E → R, se define su
Laplaciano como:
∆u = · ( u) (x) = 2
u (x) = · u (x)
∆u = ( · u) − × ( × u) = ( · )u
Considerando el vector u definido en un sistema de
coordenadas u (x) = N
i,j=1ui (x) ei , entonces:
∆u (x) =
N
i=1
∆ui (x) ei
Esta expresión no es correcta para coordenadas curvilíneas.

24. Rotor de un campo vectorial I
Asumiendo que N = 3. Seleccionemos u : R ⊂ E → V sea un
campo vectorial suave.
El rotor del vector u en x, × u (x)será:
× u (x)×a = ×u (x)×a = × u (x) − ut
(x) a ∀a ∈ V
En otras palabras, × u (x) es el vector axial del tensor
hemisimétrico W = ( × u (x) − ut (x)).
Para escribir el operador × en coordenadas de bases
ortonormales
× u =
e1 e2 e3
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3
u1 u2 u3
https:
//www.youtube.com/watch?v=vkYEIjDa3i4Rotacional de
un campo vectorial

25. Algunas identidades I
1. (ϕv) = ϕ v + v ⊗ ϕ
2. · (ϕv) = ϕ · v + v · ϕ
3. (v · w) = ( w)t
v + ( v)t
w
4. · (v ⊗ w) = v · w + ( v) w
5. · (Stv) = S · v + v · · S
6. · (ϕS) = ϕ · S + S ϕ
7. · (v × w) = w· ×v−v · × w
8. · vt = ( · v)

26. Algunas identidades II
9. × (ϕv) = ϕ × v + ϕ × v
10. × (v × w) = vw − w · v + v · w − wv
11. · × v =0
12. × ϕ =0
13. ´v = ( · v) − × ( × v)
14. ∆ ( ϕ) = (´ϕ)
15. · (´v) =∆ ( · v)
16. × (´v) = ∆ ( × v)
17. ∆ (ϕψ) = ϕ∆ψ + ψ∆ϕ + 2 ϕ · ψ

27. Curvas I
Una curva regular c en R es una clase de aplicación C1 1
c : [0, 1] → R
tal que ˙c (s) = 0 ∀s ∈ [0, 1], donde las derivadas ˙c (s) ∈ V
están dadas por:
˙c (s) = lim
h→0
c (s + h) − c (s)
h
El vector ˙c (s) es tangente a c en el punto c (s). Por tanto, el
vector
t (c (s)) =
˙c (s)
|˙c (s)|
es un vector unitario tangente a c en el mismo punto.
La curva es cerrada si c (0) = c(1).
1
La función f se dice que es diferenciable de clase Ck
si las derivadas
f , f , ..., f (k)
existen y son continuas.

28. Longitud de la curva
Si x = c (s) ⇒ dl (x) = |˙c (s)| ds
La longitud de c es el número:
length (c) =
ˆ
c
dl (x) =
ˆ 1
0
|˙c (s)| ds
dl (c (s)) = t (c (s)) dl (c (s)) =
˙c (s)
|˙c (s)|
|˙c (s)| ds = ˙c (s) ds

29. Integral de línea I
Dado v : R ⊂ E → V como un campo vectorial continuo, la
integral de línea de v a lo largo de c es:
ˆ
c
v (x) · dl (x) =
ˆ
c
v (x) · t (x) dl (x) =
ˆ 1
0
v (c (s)) · ˙c (s) ds
Similarmente, dado S : R ⊂ E → V2
un campo tensorial. la
integral de línea de S a lo largo de c es:
ˆ
c
S (x) · dl (x) =
ˆ 1
0
S (c (s)) · ˙c (s) ds

30. Integral de línea II
Si v es el gradiente de un campo escalar φ,
ˆ
c
v (x)·dl (x) =
ˆ
c
φ (x)·dl (x) =
ˆ 1
0
φ (c (s))· ˙c (s) ds =
ˆ 1
0
d
ds
(φ ◦ c) (s) ds = φ (c (1)) − φ (c (0))
En particular cuando c es una curva cerrada,´
c φ (x) · dx = 0

31. Teorema del potencial
Sea v un campo vectorial suave en una región abierta o
simplemente cerrada R y supongamos que
× v = 0
En ese caso existe un campo escalar C2 φ : R → R tal que
v = φ

32. Teorema de Gauss I
El teorema de la divergencia, también llamado teorema de
Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una
superficie cerrada con la integral de su divergencia en el
volumen delimitado por dicha superficie.
Intuitivamente se puede concebir como que la suma de todas
las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo
de salida neto de una región.
Es un resultado importante en Física, sobre todo en
Electrostática y en Dinámica de fluidos.
Desde el punto de vista matemático es un caso particular del
teorema de Stokes.

33. Teorema de Gauss II
Enunciado: Sean H, y U,dos subconjuntos abiertos en R3
donde U ⊂ H es simplemente conexo y el borde de U,
S = ∂U, es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea F : H → R3, un campo vectorial de clase C1, es decir, F
cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces: ¨
S
F · n dS =
˚
U
· F dV
donde el vector n, normal a la superficie apunta hacia el
exterior del volumen V ,.
Sea R una región frontera y asumamos
φ : R → R, v : R → V, y S : R → V2 campos suaves
(derivables), entonces:
ˆ
∂R
ϕndA =
ˆ
R
ϕdV

34. Teorema de Gauss III
ˆ
∂R
v⊗ndA =
ˆ
R
vdV
ˆ
∂R
v·ndA =
ˆ
R
· vdV
ˆ
∂R
n × vdA =
ˆ
R
× vdV
ˆ
∂R
SndA =
ˆ
R
· vSdV
donde ∂R es la frontera de R y n es un vector normal unitario
saliendo de ∂R.
Ejemplo: Calcular el flujo del campo vectorial
F(x, y, z) = xi + yj + zk a través de la superficie esférica
x2 + y2 + z2 = 22

35. Teorema de Gauss IV
Solución: A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el
radio es R = 2. Entonces:
· F =
∂f1
∂x
+
∂f2
∂y
+
∂f3
∂z
= 1 + 1 + 1 = 3
Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:
¨
S
F · n dS =
˚
V
· F dV =
˚
V
3 dV = 3
˚
dV
= 3 ×
4
3
π × 23
= 32 π

36. Fórmulas de Green I
El teorema de Green da la relación entre una integral de línea
alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble
sobre la región plana D limitada por C.
El teorema de Green resulta ser un caso especial del más
general teorema de Stokes.
Enunciado: Sea C una curva cerrada simple positivamente
orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la
región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales
continuas en una región abierta que contiene D
ˆ
C+
(P dx+Q dy) =
˛
C+
(P dx+Q dy) =
¨
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dA

37. Fórmulas de Green II
Las siguientes fórmulas se derivan de las anteriores fórmulas de
Gauss: Sea R una región frontera y asumamos
φ, ψ : R → R, v : R → V, y S : R → V2 campos suaves
(derivables), entonces:
ˆ
∂R
∂φ
∂n
ψdA =
ˆ
R
φ · ψdV +
ˆ
R
∆φψdV
ˆ
∂R
Sn · vdA =
ˆ
R
S · vdV +
ˆ
R
v· · SdV
ˆ
∂R
(Sn) ⊗ vdA =
ˆ
R
S · vt
dV +
ˆ
R
· S ⊗ vdV

38. Fórmulas de Green III
ˆ
∂R
v · nψdA =
ˆ
R
· vψdV +
ˆ
R
v · ψdV
ˆ
∂R
w · nvdA =
ˆ
R
· w vdV +
ˆ
R
vwdV
ˆ
∂R
v × w · ndA =
ˆ
R
w · × vdV −
ˆ
R
v · × vwdV

39. Teorema de Stokes I
El teorema fundamental del cálculo establece que la
integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser
calculada por medio de una antiderivada F de f :
ˆ b
a
f (x) dx =
ˆ b
a
dF = F(b) − F(a)
El teorema de Stokes es una generalización de este teorema.

40. Teorema de Stokes II
Figura: Camino de integración múltiple para el caso especial n = 2.
La zona D reemplaza a la región Ω

41. Teorema de Stokes III
Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos
orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de
grado n − 1 y de clase C1. Si ∂M denota el límite de M con su
orientación inducida, entonces:
ˆ
M
dω =
ˆ
∂M
ω
Sea v un campo vectorial suave en un conjunto abierto
R ⊂ E. Sea S una superficie suave en R limitada por c que se
asume es una curva cerrada.

42. Teorema de Stokes IV
En cada punto de la superficie S seleccionamos un vector
unitario normal n consistente con la dirección de la trayectoria
c utilizando la convención de la mano derecha, entonces:
ˆ
S
× v · ndA =
ˆ
c
v · dl
¨
S
( × A) · dS =
˛
L
A · dl

43. Coordenadas Cartesianas I
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son
un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios
euclídeos, para la representación gráfica de una función, en
geometría analítica , o del movimiento o posición en física,
caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales
entre sí que se cortan en un punto origen.
Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al
origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre
cada uno de los ejes
f : Ω = R3
→ R3
f (u1, u2, u3) = (u1, u2, u3)
Bases:e1, e2, e3

44. Coordenadas Cartesianas II
Figura: Sistema de Coordenadas Cartesianas

45. Operadores diferenciales en coordenadas cartesianas I
Gradiente de un campo escalar:
ϕ =
∂ϕ
∂x1
e1 +
∂ϕ
∂x2
e2 +
∂ϕ
∂x3
e3
Gradiente de un campo vectorial
w =
∂w1
∂x1
e1 ⊗ e1 +
∂w1
∂x2
e1 ⊗ e2 +
∂w1
∂x3
e1 ⊗ e3+
+
∂w2
∂x1
e2 ⊗ e1 +
∂w2
∂x2
e2 ⊗ e2 +
∂w2
∂x3
e2 ⊗ e3+
+
∂w3
∂x1
e3 ⊗ e1 +
∂w3
∂x2
e3 ⊗ e2 +
∂w3
∂x3
e3 ⊗ e3

46. Operadores diferenciales en coordenadas cartesianas II
Rotacional
×w =
∂w3
∂x2
−
∂w2
∂x3
e1+
∂w1
∂x3
−
∂w3
∂x1
e2+
∂w2
∂x1
−
∂w1
∂x2
e3
Divergencia
· w =
∂w1
∂x1
+
∂w2
∂x2
+
∂w3
∂x3
Laplaciano escalar
∆ϕ = · ( ϕ) = 2
ϕ =
∂2w1
∂x2
1
+
∂2w2
∂x2
2
+
∂2w3
∂x2
3
Laplaciano vectorial
∆w = · ( w) = 2
w = 2
w1e1 + 2
w2e2 + 2
w3e3

47. Elementos de integración en coordenadas cartesianas I
Linea:
dl (x) = e1dx1 + e2dx2 + e3dx3
Superficie:
dS = (dx2dx3, dx1dx3, dx1dx2)
Volumen:
dV = dx1dx2dx3

48. Coordenadas Cilíndricas I
Dominio
f : Ω = (0, ∞) × (0, 2π) × (−∞, ∞) → R3
Relación con las coordenadas cartesianas
f (ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z)
ρ = x2 + y2
θ = arctan
y
x
z = z
Bases: 


eρ (ρ, θ, z) = cos θe1 + sin θe2
eθ (ρ, θ, z) = − sin θe1 + cos θe2
ez (ρ, θ, z) = e3

49. Coordenadas Cilíndricas II
Figura: Sistema de coordenadas cilíndricas

50. Operadores en coordenadas cilíndricas I
Gradiente de un escalar
ϕ =
∂ϕ
∂ρ
eρ +
1
ρ
∂ϕ
∂θ
eθ +
∂ϕ
∂z
ez
Gradiente de un campo vectorial
w =
∂wρ
∂xρ
eρ ⊗ eρ +
1
ρ
∂wρ
∂θ
−
1
ρ
wθ eρ ⊗ eθ +
∂wρ
∂z
eρ ⊗ ez+
+
∂wθ
∂xρ
eθ ⊗ eρ +
1
ρ
∂wθ
∂θ
−
1
ρ
wρ eθ ⊗ eθ +
∂wθ
∂x3
eθ ⊗ ez+
+
∂w3
∂xρ
ez ⊗ eρ +
∂wz
∂θ
ez ⊗ eθ +
∂wz
∂z
ez ⊗ ez

51. Operadores en coordenadas cilíndricas II
Rotacional
× w =
1
ρ
∂wz
∂θ
−
∂wθ
∂z
eρ + −
∂wz
∂ρ
+
∂wρ
∂z
eθ +
+
1
ρ
∂ (ρwθ)
∂ρ
−
∂wρ
∂θ
ez
Divergencia
· w =
1
ρ
∂ (ρwρ)
∂ρ
+
1
ρ
∂wθ
∂θ
+
∂wz
∂z
Laplaciano escalar
∆ϕ = · ( ϕ) = 2
ϕ =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂ϕ
∂ρ
+
1
ρ2
∂2ϕ
∂θ2
+
∂2ϕ
∂z2

52. Operadores en coordenadas cilíndricas III
Laplaciano vectorial
2
w = 2
wρ −
1
ρ
wρ −
2
ρ2
∂wθ
∂θ
eρ +
+ 2
wθ −
1
ρ2
wθ +
2
ρ2
∂wρ
∂θ
eθ + 2
wzez

53. Elementos de integración en coordenadas cilíndricas
Linea:
dl (x) = dl (x) = eρdρ + ρeθdθ + ezdz
Superficie:
dS = (ρdθdz, dρdz, ρdρdθ)
Volumen:
dV = ρdρdθdz

54. Coordenadas Esféricas I
Dominio
f : Ω = (0, ∞) × (0, π) × (0, 2π) → R3
Relación con las coordenadas cartesianas
f (ρ, θ, z) = (r sin φ cos θ, r sin φ sin θ, r cos φ)
r = x2 + y2 + z2
ϕ = arc cos
z
x2 + y2 + z2
θ = arctan
y
x

55. Coordenadas Esféricas II
Bases:



er (r, φ, θ) = sin φ cos θe1 + sin φ sin θe2 + cos φe3
eφ (r, φ, θ) = cos φ cos θe1 + cos φ sin θe2 − sin φe3
eθ (r, φ, θ) = − sin θe1 + cos θe2
Figura: Sistema de coordenas cilíndricas

56. Operadores en coordenadas esféricas I
Gradiente de un escalar
ϕ =
∂ϕ
∂r
er +
1
ρ
∂ϕ
∂φ
eφ +
1
r sin φ
∂ϕ
∂θ
eθ

57. Operadores en coordenadas esféricas II
Gradiente de un vector
w =
∂wr
∂r
er ⊗ er +
1
r
∂wr
∂φ
−
1
r
wφ er ⊗ eφ +
+
1
r sin φ
∂wr
∂θ
−
1
r
wθ er ⊗ eθ +
+
∂wθ
∂r
eφ ⊗ er +
1
r
∂wφ
∂φ
−
1
r
wr eφ ⊗ eφ +
+
1
r sin φ
∂wφ
∂θ
−
1
r
cot φwθ eφ ⊗ eθ +
+
∂wθ
∂r
eθ ⊗ er +
1
r
∂wθ
∂φ
eθ ⊗ eφ +
+
1
r sin φ
∂wθ
∂θ
+
1
r
wr +
1
r
cot φwφ eθ ⊗ eθ

58. Operadores en coordenadas esféricas III
Rotacional
× w =
1
r sin φ
∂
∂θ
(wθ sin φ) −
∂wφ
∂θ
er + · · ·
+
1
r sin φ
∂wr
∂θ
−
1
r
∂ (rwθ)
∂r
eφ + · · ·
+
1
r
∂ (rwφ)
∂r
−
∂wr
∂φ
eθ
Divergencia
· w =
1
r2
∂ r2wr
∂r
+
1
r sin φ
∂ (sin φwφ)
∂φ
+
1
r sin φ
∂wθ
∂θ
Lapalaciano escalar
2
ϕ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ϕ
∂r
+
1
r2 sin φ
∂
∂φ
sin φ
∂ϕ
∂φ
+
1
r2 sin2
φ
∂2ϕ
∂θ2

59. Operadores en coordenadas esféricas IV
Laplaciano vectorial
2
w = 2
wr −
2
r2
wr −
2
r2
∂wφ
∂φ
−
2
r2
wφ cot φ −
2
r2 sin φ
∂wθ
∂θ
er + · · ·
+ 2
wφ −
2
r2
∂wr
∂φ
−
1
r2 sin2 φ
wφ −
2 cos φ
r2 sin2 φ
∂wθ
∂θ
eφ + · · ·
+ 2
wθ −
1
r2 sin2 φ
wθ +
2
r2 sin φ
∂wr
∂θ
+
2 cos φ
r2 sin2 φ
∂wφ
∂θ
eθ

60. Elementos de integración en coordenadas esféricas
Linea:
dl (x) = er dr + reφdφ + r sin φeθdθ
Superficie:
dS = r2
dφdθ, r sin φdrdθ, rdrdθ
Volumen:
dV = r2
sin φdrdφdθ

61. Tarea 2 I
1. Demuestre 5 o más de las siguientes identidades presentadas
en este tema (deben incluirse al menos un operador
= 2, , . y ×) :
1.1 (ϕv) = ϕ v + v ⊗ ϕ
1.2 · (ϕv) = ϕ · v + v · ϕ
1.3 (v · w) = ( w)
t
v + ( v)
t
w
1.4 · (v ⊗ w) = v · w + ( v) w
1.5 · (St
v) = S · v + v · · S
1.6 · (ϕS) = ϕ · S + S ϕ
1.7 · (v × w) = w· ×v−v · × w
1.8 · vt
= ( · v)

62. Tarea 2 II
1.9 × (ϕv) = ϕ × v + ϕ × v
1.10 × (v × w) = vw − w · v + v · w − wv
1.11 · × v =0
1.12 × ϕ =0
1.13 v = ( · v) − × ( × v)
1.14 ( ϕ) = ( ϕ)
1.15 · ( v) = ( · v)
1.16 × ( v) = ( × v)
1.17 (ϕψ) = ϕ ψ + ψ ϕ + 2 ϕ · ψ
2. Demuestre la expresión del gradiente escalar de una función
f en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas
3. Lo mismo que en la pregunta 2 pero para el gradiente de una
función vectorial f