Este documento introduce conceptos fundamentales del cálculo integral y diferencial de funciones de varias variables como derivadas parciales, gradiente, divergencia, rotacional, plano tangente y recta normal. Explica cada concepto de manera detallada con definiciones, fórmulas y ejemplos. Concluye que el cálculo nos ayuda a resolver problemas que involucran magnitudes cuyos valores medios se definen indirectamente.

1. Derivación e integración de
funciones de varias variables
Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
universitaria
Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”
Facultad de arquitectura
Sede Barcelona
Autor:
Josue Echeverri
Enero 2020

2. Introducción
• El cálculo integral de funciones de varias variables reales es una materia
fundamental en la formación matemática básica, no sólo en las
facultades de matemáticas, sino también en las de ciencias y en las
escuelas técnicas. Además de ser imprescindible en muchas otras
materias, como la teoría de la probabilidad, el análisis de Fourier, las
ecuaciones diferenciales y funcionales, etc. Además de los teoremas de
integración reiterada y del cambio de variables para integrales
múltiples, se desarrollan otros temas, como la integración de funciones
dependientes de parámetros y las integrales de línea y superficie. Con el
fin de adecuar los temas a los conocimientos de los alumnos a los que va
dirigido el libro, se compaginan los conceptos teóricos con las
demostraciones prácticas, reelaborando muchas de las pruebas y
distribuyendo los temas de forma que sean más cómodos de estudiar.

3. Limite y continuidad de funciones de varias
variables
Es necesario precisar en este punto que el calculo de limites en
funciones de varias variables es extraordinariamente mas complejo
que el correspondiente a funciones reales de variable real.

4. Limite y continuidad de funciones de varias
variables
NOTAS: 1ª. Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea “topológica” de
proximidad, entre los valores de la variable x con 0 x y los de la función f (x) con L.
2ª. También es valioso darse cuenta de que esta definición no proporciona ningún método
para calcular el límite de una función en un punto. La definición sirve, no obstante, para
verificar si dicho límite tiene un valor de terminado.
3ª. También se debe destacar que en el límite de una función en un punto 0 x no influye el
valor ( ) 0 f x de la función en dicho punto.
Para extender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea de
proximidad en el conjunto ℝ al espacio ℝ 𝑛
Para ello se introduce la definición de bola
abierta en ℝ 𝑛
(que equivale al concepto de entrono de un punto en ℝ)

5. Limite y continuidad de funciones de varias
variables

6. Limite y continuidad de funciones de varias
variables

7. Derivada de funciones de varias variables
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar
este concepto en el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una
función de la forma f :I⊂ ℝ→ℝ , donde I⊂ℝ es un intervalo abierto, y x0 ∈ I un punto de
dicho intervalo, se define la derivada de f en 0 x como el límite:

8. Derivada de funciones de varias variables
Desde el punto de vista geométrico, f’ (𝑥0) corresponde a la pendiente de la recta
tangente
a la gráfica de la función f (x) en el punto,( 𝑥0 𝑓 𝑥0 ) por tanto, mide la mayor o menor
inclinación de la gráfica de la función en ese punto. La pendiente de la recta tangente es
el valor de
la tangente del ángulo que forma con la horizontal.

9. Derivadas parciales

10. Derivadas parciales

11. Derivadas parciales
Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente
es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor
de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable
cerca de a. En este caso, f es una función C1.
De la definición propuesta se infiere que las reglas para calcular las derivadas parciales son
las mismas que se usan para hallar la derivada de las funciones de una variable, es
necesario , solo, tener en cuenta , respecto a qué variable se plantea la derivada.

12. Diferencial total
En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales
corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes)
son los del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede
ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n,
donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si z=z (x,y)
una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

13. Gradiente
En análisis matemático (cálculo avanzado), particularmente en análisis vectorial, el
gradiente o también conocido como vector gradiente, denotado 𝛻𝑓 de un campo escalar 𝑓,
es un campo vectorial. El vector gradiente de 𝑓 evaluado en un punto genérico 𝑥 del
dominio de 𝑓, 𝛻𝑓(𝑥) indica la dirección en la cual el campo 𝑓 varía más rápidamente y su
módulo representa el ritmo de variación de 𝑓 en la dirección de dicho vector gradiente.

14. Gradiente
recibe el nombre de Gradiente de una función z= f(x,y), un vector cuyas
proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las correspondientes
derivadas parciales de dicha función:
En análisis matemático (cálculo avanzado), particularmente en análisis
vectorial, el gradiente o también conocido como vector gradiente, denotado
𝛻𝑓 de un campo escalar 𝑓, es un campo vectorial. El vector gradiente de 𝑓
evaluado en un punto genérico 𝑥 del dominio de 𝑓, 𝛻𝑓(𝑥) indica la dirección
en la cual el campo 𝑓 varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo
de variación de 𝑓 en la dirección de dicho vector gradiente.

15. Rotacional
Rotacional en el espacio. Sea F = (P,Q,R) un campo vectorial definido en un
abierto Ω ⊆ R 3 y diferenciable en un punto a ∈ Ω. Del mismo modo que la
divergencia divF(a) se obtiene como el producto escalar simbólico ∇.F(a),
podemos pensar en el producto vectorial, también simbólico, ∇ ×F(a). El vector
que así se obtiene es, por definición, el rotacional del campo F en el punto a y se
denota también por rot F(a). Así pues:

16. Rotacional
Aquí, 𝛻𝑠 es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El
resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su
componente según la dirección normal a 𝛻𝑠 y orientada según la regla de la mano derecha.
Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres
curvas situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y
diferenciable en todos sus puntos.

17. Rotacional
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de
la siguiente ecuación:

18. Rotacional
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
• Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden
entonces el rot (𝛻f) =0
• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
• Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo ℝ3
cuyas componentes
tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial
conservativo.

19. Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo
saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido
solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre
distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como
el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del
punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la
ecuación

20. Divergencia
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo
magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y 𝛻 es el operador nabla, que
se calcula de la siguiente forma:
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo.
Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el
campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El
ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del
campo eléctrico, siendo las cargas positivas fuentes y las negativas sumideros del
campo eléctrico.

21. Divergencia
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere
decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o
manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del
volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto
(diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o
sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula

22. Divergencia
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se
caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen
extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno
de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.

23. Plano tangente y recta normal

24. Plano tangente y recta normal
Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la función vectorial
Entonces, para todo t,
Si F es diferenciable y existen x'(t),y'(t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que
En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es =(gradiente).(vector tangente)

25. Conclusión
• En conclusión vemos como el calculo nos enseña muchas cosas
pero no solo en números si no también en la vida diaria los
integrales o derivabas es un tema muy extenso que nos ayuda a
resolver problemas que involucran magnitudes cuyos valores
medios se suelen definir indirectamente como razones entre
valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la
aceleración media.

26. Bibliografía
Rotacional
https://www.ugr.es/~rpaya/documentos/Teleco/Fund-Mat02.pdf
Wikipedia (2019) gradiente, diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente
https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total
Sangaku maths, Derivadas Parciales
https://www.sangakoo.com/es/temas/derivadas-parciales

27. Anexos
• https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48
• https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
• https://www.youtube.com/watch?v=y3qiqUpPZ9U
• https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_w0