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Movimiento en una
dimensión
M.SC. OSCAR ANDRÉS ARROYO CHAVARRÍA

Posición, velocidad y rapidez
La posición x de una partícula es la ubicación de la partícula respecto
a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un
sistema coordenado. El movimiento de una partícula se conoce por
completo si la posición de la partícula en el espacio se conoce en
todo momento.
 ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0

Es muy importante reconocer la diferencia
entre desplazamiento y distancia recorrida.
Distancia es la longitud de una trayectoria
seguida por una partícula. Es una cantidad
física escalar.
Desplazamiento es la línea recta que une el
punto inicial con el punto final de la
trayectoria de un móvil. Es una cantidad
física vectorial.

Todos los fenómenos físicos se llevan a cabo durante un tiempo, por lo tanto, es
posible relacionar los conceptos de distancia y desplazamiento con esta variable.
La rapidez media (rapidez promedio) es la razón entre la distancia total recorrida y
el tiempo ocupado para recorrerla. Es una cantidad física escalar y su unidad de
medida en el S.I. es el m/s.
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 = =
𝑑
∆𝑡

Ejemplo → Sears y Zemansky (2019).
Física Universitaria con Física Moderna.
Pearson Educación: 14ª edición. pp. 58

Por otra parte, la velocidad media (velocidad promedio) es la razón entre el
desplazamiento total efectuado y el tiempo ocupado para recorrerlo. Es una
cantidad física vectorial y su unidad de medida en el S.I. es el m/s.
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑣𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡

Velocidad y rapidez instantáneas
Con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una partícula
en un instante específico en el tiempo t en lugar de la velocidad
promedio durante un intervalo de tiempo finito Δt.
En este particular, la velocidad instantánea vx es igual al valor límite de
la razón Δx/Δt conforme Δt tiende a cero:
𝑣𝑥 = lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
En notación de cálculo, este límite se llama derivada de x respecto a
t, y se escribe dx/dt:
𝑣𝑥 = lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡

Velocidad y rapidez instantáneas
La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero.
La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud
de su velocidad instantánea. Como con la rapidez promedio, la
rapidez instantánea no tiene dirección asociada con ella.

Análisis de modelo: la partícula
bajo velocidad constante
Un análisis de modelo es una situación común que se presenta una y otra vez en
la resolución de problemas de física. Puesto que representa una situación común,
también representa un tipo común de problemas que ya se ha resuelto. Cuando
se identifica un análisis de modelo en un nuevo problema, la solución al nuevo
problema se puede modelar después de que el problema previo ya fue resuelto.
Los análisis de modelos nos ayudan a reconocer situaciones comunes y nos guían
hacia una solución al problema.

La forma que toma un análisis de modelo es una de cualquiera de las dos
descripciones siguientes: (1) el comportamiento de alguna entidad física o (2) la
interacción entre dicha entidad y el entorno. Cuando encuentre un nuevo
problema, debe identificar los detalles fundamentales del mismo e intentar
reconocer cuál de los tipos de problemas que ya resolvió sirve como modelo para
el nuevo.
Cuando se resuelve un problema, es necesario identificar el análisis de modelo
que sea apropiado para el problema. Para hacer esto, piense cuidadosamente
acerca de qué está pasando en el problema y hágalo coincidir con una situación
que ya haya tenido. Una vez que se ha identificado el análisis de modelo, hay un
pequeño número de ecuaciones para elegir que sean apropiadas para ese
modelo, a veces una sola ecuación. Por lo tanto, el modelo le indica qué
ecuación(es) utilizar para la representación matemática.

El modelo de partícula bajo velocidad constante se aplica a cualquier
situación en la que una entidad que se pueda representar como partícula
cuyo cambio de posición en el tiempo sea el mismo para cualquier intervalo
analizado.
Si la velocidad de una partícula es constante, su velocidad instantánea en
cualquier instante durante un intervalo es la misma que la velocidad promedio
durante el intervalo. De esta manera:
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚
durante el intervalo. De esta manera, despejando la ecuación anterior:
𝑣𝑥 ∙ ∆𝑡 = ∆𝑥

durante el intervalo. De esta manera:
𝑣𝑥 =
∆𝑥
∆𝑡
Despejando Δx:
𝑣𝑥 ∙ ∆𝑡 = ∆𝑥
Recuerde que ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0. Sustituyendo esto en la ecuación anterior se obtiene:
𝑣𝑥 ∙ ∆𝑡 = 𝑥 − 𝑥0
Finalmente, al despejar x, se obtiene:
𝑥0 + 𝑣𝑥 ∙ ∆𝑡 = 𝑥

Aceleración
Cuando la velocidad de ésta cambia con el tiempo, se dice que la
partícula acelera.
La aceleración promedio ax,prom de la partícula se define como el cambio
en velocidad Δvx dividido entre el intervalo Δt durante el que ocurre el
cambio:
𝑎𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚 = =
∆𝑣𝑥
∆𝑡
Al igual que con la velocidad, cuando el movimiento a analizar sea
unidimensional se usan los signos positivo y negativo para indicar la
dirección de la aceleración

Aceleración instantánea
En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede ser diferente
durante distintos intervalos de tiempo. Por lo tanto, es útil definir la aceleración
instantánea como el límite de la aceleración promedio conforme Δt tiende a cero.
Este concepto es análogo a la definición de velocidad instantánea que se discutió
con anterioridad.
En este particular, la aceleración instantánea ax es igual al valor límite de la razón
Δvx/Δt conforme Δt tiende a cero:
𝑎𝑥 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣𝑥
∆𝑡
En notación de cálculo, este límite se llama derivada de vx respecto a t, y se
escribe dvx/dt:
𝑎𝑥 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2

Aceleración instantánea
La figura ilustra como una gráfica aceleración-tiempo se relaciona con
una gráfica velocidad-tiempo. La aceleración en cualquier tiempo es
la pendiente de la grafica velocidad-tiempo en dicho tiempo. Los
valores positivos de la aceleración corresponden a los puntos en la
figura a, donde la velocidad aumenta en la dirección x positiva. La
aceleración alcanza un máximo en el tiempo tA, cuando la pendiente
de la grafica velocidad-tiempo es un máximo. Después, la aceleración
llega a cero en el tiempo tA, cuando la velocidad es un máximo (esto
es: cuando la pendiente de la grafica vx–t es cero). La aceleración es
negativa cuando la velocidad disminuye en la dirección x positiva, y
llega a su valor más negativo en el tiempo tC.

Movimiento con aceleración
constante
Si la aceleración de una partícula varía con el tiempo, su movimiento es complejo y
difícil de analizar. Sin embargo, un tipo muy común y simple de movimiento
unidimensional es aquel en el que la aceleración es constante. En tal caso, la
aceleración promedio ax,prom en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual
a la aceleración instantánea ax en cualquier instante dentro del intervalo, y la
velocidad cambia con la misma proporción a lo largo del movimiento.

Movimiento con aceleración
constante
 Por lo tanto, el movimiento acelerado más sencillo es el rectilíneo con
aceleración constante. En este caso, la velocidad cambia al mismo ritmo a
lo largo del movimiento. Gráficamente, se observa de la siguiente manera:

Ecuaciones que describen el
movimiento con aceleración
constante
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥 ∙ 𝑡
𝑣𝑥
2 = 𝑣0𝑥
2
+ 2 ∙ 𝑎𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥0
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 ∙ 𝑡 +
1
2
∙ 𝑎𝑥 ∙ 𝑡2
𝑥 = 𝑥0 +
1
2
𝑣0𝑥 + 𝑣𝑥 ∙ 𝑡

Caída libre
 Cuando dejamos caer un objeto, su velocidad inicial (en el momento en
que se suelta) es cero. En un momento posterior, mientras cae, tiene una
velocidad distinta de cero. Hubo un cambio en la velocidad y, por lo tanto,
por definición hubo una aceleración. Esta aceleración debida a la
gravedad (g) cerca de la superficie terrestre tiene una magnitud
aproximada de 9,8 m/s2 y esta dirigida hacia abajo (hacia el centro de la
Tierra). En unidades inglesas, el valor de g es de aproximadamente 32.2 ft/s2.

Caída libre
 Los valores que damos aquí para g son
aproximados porque la aceleración debida
a la gravedad varía un poco en los
diferentes lugares, como resultado de
diferencias en la altura sobre el nivel del mar
y en la densidad media regional de masa de
la Tierra. Se ignorarán esas pequeñas
variaciones, a menos que se indique lo
contrario. La resistencia del aire es otro
factor que afecta (reduce) la aceleración
de un objeto que cae; pero en esta sección
será despreciada para simplificar el modelo.
Videos
https://www.youtube.com/w
atch?v=yerkQ7_7bOQ
https://www.youtube.com/w
atch?v=BNEI9wop1KM

Ecuaciones que describen el
movimiento vertical con aceleración
constante
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑔 ∙ 𝑡
𝑣𝑦
2
= 𝑣0𝑦
2
+ 2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦 − 𝑦0
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 ∙ 𝑡 +
1
2
∙ 𝑔 ∙ 𝑡2
𝑦 = 𝑦0 +
1
2
𝑣0𝑦 + 𝑣𝑦 ∙ 𝑡

Ecuaciones cinemáticas
deducidas del cálculo
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + න
0
𝑡
𝑣𝑥(𝑡) ∙ 𝑑𝑡 𝑣𝑥 𝑡 = 𝑣0𝑥 + න
0
𝑡
𝑎𝑥(𝑡) ∙ 𝑑𝑡
𝑥(𝑡) 𝑣𝑥(𝑡) 𝑎𝑥(𝑡)
𝑣𝑥 𝑡 =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑎𝑥 𝑡 =
𝑑𝑣𝑥(𝑡)
𝑑𝑡

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