Continuación del tema de vectores.

1. MECÁNICA
Cinemática

2. Cinemática
 La Mecánica es la rama de la Física que
estudia el movimiento de los cuerpos, para
ello consideraremos a los cuerpos como
partículas.
 Una partícula será todo cuerpo en el que
puedo despreciar sus dimensiones para
describir su movimiento. Esto dependerá del
problema que estemos tratando, así laTierra
la podemos considerar una partícula cuando
describimos su movimiento alrededor del …

3. Cinemática
 … Sol, pero no se puede considerar una
partícula cuando estudiamos su movimiento
de rotación sobre su eje, ya que en este
problema si interesan sus dimensiones y la
situación es diferente en el ecuador que en
una latitud, digamos de 42°.
 Para describir su movimiento necesitamos
ubicar la partícula en el espacio y esto
depende de nuestro sistema de referencia.

4. Cinemática
 Por sistema de referencia consideramos al
conjunto de cuerpos que permanecen en
reposo respecto a nosotros. Para operar con
este concepto introducimos un sistema de
coordenadas (normalmente un sistema
cartesiano, pero dependiendo de la simetría
del problema se toman otros sistemas de
coordenadas como el cilíndrico o el esférico).
Se necesita además un sistema de relojes
para medir el tiempo.

5. Cinemática
 El movimiento de una partícula se conoce por
completo si la posición de la partícula en el
espacio se conoce en todo momento. La
posición de una partícula es la ubicación de la
partícula respecto a un punto de referencia
elegido que se considera el origen de un
sistema coordenado. Otra herramienta
indispensable para avanzar en la descripción
del movimiento es su representación con
gráfico de funciones.

6. Cinemática
 No basta saber donde está la
partícula, sino además saber
para donde se mueve, noción
que se representa con el
concepto de velocidad.
 Las sucesivas posiciones
tomadas por el cuerpo,
determinan una línea que puede
ser curva o recta y a la que
llamamos trayectoria del cuerpo
puntual.

7. Cinemática
 En síntesis, el movimiento es relativo porque
“depende” del sistema de referencia elegido y
para poder describirlo correctamente es
conveniente considerar un sistema de referencia
fijo.
 Considere un automóvil que se mueve a lo largo
del eje 𝑥. Cuando se comenzó a recopilar datos
de posición, el automóvil está a 30 m a la derecha
de una señal del camino, que usará para
identificar la posición de referencia 𝑥 = 0.
Aplique el modelo de partícula para identificar la
posición del automóvil en diferentes instantes.

8. Cinemática
 Active el cronómetro y una vez cada 10 s
anote la posición del automóvil en relación
con la señal en 𝑥 = 0.
 Los datos obtenidos son
Tabla 1

9. Cinemática
 Si graficamos estos datos, poniendo la
posición en el eje de las ordenadas y el tiempo
en el eje de las abscisas tenemos:
Fig. 2

10. Cinemática
 El gráfico contiene toda la información
esencial del movimiento que describe.
 Por ejemplo, describamos el movimiento que
está contenido en el siguiente gráfico:
X (km)
60
1.0 2.2 4.3
t (h)

11. Cinemática
 A partir de los datos de la tabla I, se determina
fácilmente el cambio en posición del automóvil
para varios intervalos de tiempo. El
desplazamiento de una partícula se define como
su cambio en posición en algún intervalo de
tiempo. Conforme la partícula se mueve desde
una posición inicial 𝑥𝑖 a una posición final 𝑥 𝑓, su
desplazamiento se calcula así:
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖

12. Cinemática
 Es muy importante reconocer la diferencia entre
desplazamiento y distancia recorrida. Distancia es
la longitud de una trayectoria seguida por una
partícula.
 La velocidad promedio 𝑣promedio de una
partícula se define como el desplazamiento ∆𝑥 de
la partícula dividido entre el intervalo de tiempo
∆𝑡 durante el que ocurre dicho desplazamiento:
𝑣promedio =
∆𝑥
∆𝑡

13. Cinemática
 La velocidad promedio tiene dimensiones de longitud
divididas entre el tiempo (L/T), o metros por segundo
en unidades del SI.
 La velocidad promedio de una partícula que se mueve
en una dimensión es positiva o negativa, dependiendo
del signo del desplazamiento. (El intervalo de tiempo
∆𝑡 siempre es positivo.)
 La velocidad promedio se interpreta geométricamente
al dibujar una línea recta entre dos puntos en la
gráfica posición-tiempo . Esta línea forma la
hipotenusa de un triángulo rectángulo de altura ∆𝑥 y
base ∆𝑡. La pendiente de esta línea es la proporción
∆𝑥 ∆𝑡, que se definió como velocidad promedio.

14. Cinemática
La pendiente de esta línea es la
proporción ∆𝑥 ∆𝑡, que se
definió como velocidad
promedio. Por ejemplo, la línea
entre las posiciones A y B en la
figura 2 tiene una pendiente
igual a la velocidad promedio
del automóvil entre dichos dos
tiempos
(52 m – 30 m)/(10 s –0 s) = 2.2 m/s.

15. Cinemática
 En el uso cotidiano, la rapidez y la velocidad
promedio son intercambiables. De cualquier
 modo, en física, hay una clara distinción entre estas
dos cantidades. Considere una competidora de
maratón que corre una distancia d = 40 km y aún así
termina en su punto de partida. Su desplazamiento
total es cero, ¡así que su velocidad promedio es cero!
No obstante, es necesario cuantificar cuán rápido
corre. Una relación ligeramente diferente logra esto.
La rapidez promedio de una partícula, una cantidad
escalar, se define como la distancia total recorrida
dividida entre el intervalo de tiempo total requerido
para recorrer dicha distancia:
𝑣rapidez promedio =
𝑑𝑖𝑠𝑡
∆𝑡

16. Cinemática
 Con frecuencia es necesario conocer la velocidad
de una partícula en un instante específico en el
tiempo en lugar de la velocidad promedio durante
un intervalo de tiempo finito. En otras palabras,
nos gustaría poder especificar su velocidad de
manera tan precisa como detalla su posición al
notar lo que ocurre en una lectura particular de
reloj; esto es, en algún instante específico. A
finales del siglo XVII, con la invención del
cálculo, los científicos empezaron a razonar las
formas de describir el movimiento de un objeto en
cualquier momento del tiempo.

17. Cinemática
Ya se discutió la velocidad promedio para el intervalo
durante el cual el automóvil se mueve desde la posición A
hasta la posición B (dada por la pendiente de la línea azul).
El automóvil comienza a moverse hacia la derecha, que se
define como la dirección positiva. Enfoquémonos en la
línea azul, en la medida que consideramos menores
intervalos de tiempo, el punto B se mueve más a la
izquierda a lo largo de la curva, hacia el punto A, como en
la figura. La línea entre los puntos se vuelve cada vez más
inclinada, y conforme los dos puntos se vuelven en extremo
próximos, la línea se convierte en una línea tangente a la
curva, indicada por la línea verde en la figura. La pendiente
de esta línea tangente representa la velocidad del automóvil
en el punto A. Lo que se hizo fue determinar la velocidad
instantánea en dicho momento. En otras palabras, la
velocidad instantánea 𝑣 es igual al valor límite de la
proporción ∆𝑥 ∆𝑡 conforme ∆𝑡 tiende a cero:
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡

18. Cinemática
 En notación de cálculo, este límite se llama derivada de 𝑥 respecto a 𝑡,
que se escribe 𝑑𝑥 𝑑𝑡:
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero,
dependiendo del signo de la pendiente de la grafica posición- tiempo.
En el punto B, la pendiente y la velocidad instantánea son cero y el
automóvil está momentáneamente en reposo.
 De aquí en adelante, se usa la palabra velocidad para designar
velocidad instantánea.
 Cuando se esté interesado en velocidad promedio, siempre se usará el
adjetivo promedio.
 La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud de
su velocidad instantánea. Como con la rapidez promedio, la rapidez
instantánea no tiene dirección asociada con ella.

19. Cinemática
 Considere que un objeto representado como una partícula en
movimiento a lo largo del eje 𝑥 tiene una velocidad inicial 𝑣𝑖 en el
instante 𝑡𝑖 y una velocidad final 𝑣𝑓 en el tiempo 𝑡𝑓. La aceleración
promedio 𝑎promediode la partícula se define como el cambio en
velocidad ∆𝑣 dividido por el intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el que
ocurre el cambio:
𝑎promedio =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 Como con la velocidad, cuando el movimiento a analizar sea
unidimensional, se usan los signos positivo y negativo para indicar el
sentido (dirección) de la aceleración. Puesto que las dimensiones de
velocidad son L/T y la dimensión de tiempo es T, la aceleración tiene
dimensiones de longitud divididas entre el tiempo al cuadrado, o L/T2.
La unidad del SI de aceleración es metros por segundo al cuadrado
(m/s2). Es más sencillo interpretar estas unidades si piensa en ellas
como metros por segundo por segundo.

20. Cinemática
 En algunas situaciones el valor de la aceleración
promedio puede ser diferente durante distintos intervalos
de tiempo. Por lo tanto, es útil definir la aceleración
instantánea como el límite de la aceleración promedio
conforme ∆𝑡 tiende a cero. Este concepto es análogo a la
definición de velocidad instantánea.
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 Esto es: la aceleración instantánea es igual a la derivada
de la velocidad respecto al tiempo, que por definición es
la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo.

21. Cinemática
 En consecuencia, tal como la velocidad de una partícula
en movimiento es la pendiente en un punto sobre la
gráfica 𝑥 − 𝑡 de la partícula, la aceleración de una
partícula es la pendiente en un punto sobre la gráfica 𝑣 −
𝑡 de la partícula. Uno puede interpretar la derivada de la
velocidad respecto al tiempo como la relación de cambio
de velocidad en el tiempo. Si 𝑎 es positivo, la aceleración
está en la dirección 𝑥 positiva; si 𝑎 es negativa, la
aceleración está en la dirección 𝑥 negativa.
 Para el caso de movimiento en una línea recta, la
dirección de la velocidad de un objeto y la dirección de
su aceleración se relacionan del modo siguiente. Cuando
la velocidad y la aceleración del objeto están en la misma
dirección, el objeto aumenta su velocidad. Por otra parte,
cuando la velocidad y la aceleración del objeto están en
direcciones opuestas, el objeto frena.

22. Cinemática
 Dijimos al inicio que era necesario determinar
donde está y para donde va la partícula, a esto se
le conoce como el estado mecánico de la
partícula. Estas nociones se formalizan con los
conceptos de vector posición y vector velocidad.
 Existen magnitudes físicas que quedan
completamente definidas por un número y sus
unidades, por ejemplo la masa o la temperatura;
dichas magnitudes se denominan magnitudes
escalares. Otras magnitudes como la fuerza,
además de su valor o magnitud (y sus unidades)

23. Cinemática
 … es necesario determinar su dirección y sentido (y
problemas del movimiento de los cuerpos
macroscópicos, sólidos, su punto de aplicación); a
estas magnitudes se les denomina magnitudes
vectoriales.
 La suma y resta de magnitudes escalares deben ser
dimensionalmente coherentes, es decir deben tener las
mismas unidades para poder sumarse o restarse.
Ejemplo:
Realizar la suma de las siguientes magnitudes escalares:
a) 25 m, 10 m, 7 m.
Realizando la suma se tiene: 25 m + 10 m + 7 m = 42 m.

24. Cinemática
 b) 250 g, 3.1 kg, 3000 g.
 En este caso es necesario realizar una transformación de
unidades, pasando los kilogramos a gramos se tiene:
 3.1 kg
1000 g
1 kg
= 3100 g
 Realizando la suma se tiene: 250 g + 3100 g + 3000 g =
6350 g.
 Entre las magnitudes escalares más comunes se pueden
mencionar: masa, tiempo, volumen, área, distancia.

25. Cinemática
 Magnitud Vectorial: es aquella que para quedar
completamente definida es necesario dar su
magnitud, dirección y sentido.
 La representación gráfica de un vector es dada
por un segmento de recta dirigido.


Figura 4. Representación gráfica de un vector.

26. Cinemática
 La magnitud del vector se relaciona con la
longitud de la flecha. La dirección es dada por el
ángulo con respecto a la horizontal. El sentido se
relaciona con la punta de la flecha.
 Suma gráfica
𝐴
𝐵
𝐶 = 𝐴 + 𝐵

27. Cinemática
 Suma gráfica
𝐴
𝐵
𝐶 = 𝐴 + 𝐵

28. Cinemática
 Propiedades geométricas
 Ley de los senos

29. Cinemática
 Propiedades geométricas
 Ley del coseno
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾

30. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Se denomina vector unitario al que tiene magnitud
uno. Los vectores unitarios más usados son los que
indican la dirección de los ejes cartesianos en el
espacio, y en el plano, se denotan por:
𝑖, para la dirección positiva del eje 𝑥,
𝑗, para la dirección positiva del eje 𝑦,
𝑘, para la dirección positiva del eje 𝑧.
Figura 5.Vectores unitarios en el espacio.

31. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 En el plano cartesiano se tienen solamente el eje
𝑥 y el eje 𝑦.
 Figura 6. Vectores unitarios en el plano cartesiano

32. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 En muchos sistemas se tienen varios vectores actuando sobre
él y el resultado de todos los vectores sobre el sistema es
importante, por lo que es necesario sumar todos estos
vectores, y el vector resultante es el que hace el mismo efecto
de todos los vectores juntos. Todos los vectores que actúan
sobre el sistema se denominan componentes del vector
resultante.
 Las componentes rectangulares de un vector son aquellas que
están a lo largo de los ejes cartesianos.

33. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Para un vector 𝑉en el plano, sus componentes
rectangulares vienen dadas por las relaciones:
 𝑉𝑥 = 𝑉cos𝜃, 𝑉𝑦 = 𝑉sin𝜃
 Siendo 𝑉 la magnitud del vector y θ el ángulo con
respecto al sentido positivo del eje x, estas componentes
también se denominan proyecciones del vector sobre los
ejes cartesianos.
 Utilizando sus componentes el vector será dado por la
relación:
𝑉 = 𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗

34. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Si se tienen las componentes sobre los ejes, 𝑉𝑥, 𝑉𝑦, la
magnitud 𝑉 del vector está dada por:
𝑉 = 𝑉𝑥
2
+ 𝑉𝑦
2
 La dirección, el ángulo con respecto al sentido
positivo del eje 𝑥, está dada por:
𝜃 = arctan
𝑉𝑦
𝑉𝑥
 Ejemplo: Encontrar las componentes rectangulares
de los siguientes vectores.
 a) La magnitud del vector es 25.

35. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 b) El vector se encuentra en el tercer cuadrante del plano
cartesiano.

36. Cinemática
 Propiedades algebraicas
Cuando se tienen diferentes vectores actuando sobre un mismo
sistema, la forma más precisa de encontrar el vector resultante
consiste en descomponer cada vector en sus componentes y
luego sumar, algebraicamente, las componentes en la dirección
𝑥, y las componentes en la dirección 𝑦.
Si se tienen 𝑛 vectores, dados por: 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, … , 𝑉𝑛.
Encontrando sus componentes en la dirección “𝑥” se tienen:
𝑉1𝑥, 𝑉2𝑥, 𝑉3𝑥, … , 𝑉𝑛𝑥
Las componentes en la dirección “𝑦” son dadas por:
𝑉1𝑦, 𝑉2𝑦, 𝑉3𝑦, … , 𝑉𝑛𝑦
Obteniéndose la resultante 𝑉𝑅𝑥 en la dirección “𝑥” por la suma
escalar de las componentes, así:
𝑉𝑅𝑥 = 𝑉1𝑥 + 𝑉2𝑥 + 𝑉3𝑥 + ⋯ + 𝑉𝑛𝑥

37. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 La resultante 𝑉𝑅𝑦, en la dirección “𝑦” se obtiene sumando
escalarmente las componentes en la dirección “y”, así:
𝑉𝑅𝑦 = 𝑉1𝑦 + 𝑉2𝑦 + 𝑉3𝑦 + ⋯ + 𝑉𝑛𝑦
 El vector resultante será dado por la relación
𝑉𝑅 = 𝑉𝑅𝑥 𝑖 + 𝑉𝑅𝑦 𝑗

38. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Ejemplo: Encontrar el vector, magnitud y dirección,
resultante para los vectores dados en la figura siguiente:

39. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵, se escribe como 𝐴 ∙ 𝐵 (Debido al
símbolo punto, con frecuencia al producto escalar se le llama producto
punto.)
El producto escalar de dos vectores cualesquiera 𝐴 y 𝐵 es una cantidad
escalar igual al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno
del ángulo 𝜃 entre ellos:
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵cos𝜃
Como es el caso con cualquier multiplicación, 𝐴 y 𝐵 no necesitan tener las
mismas unidades.
La figura 11 muestra dos vectores 𝐴 y 𝐵 y el ángulo 𝜃 entre ellos, que se
aplica en la definición del producto punto.

40. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Producto escalar de dos vectores
En la figura 11, 𝐵cos𝜃 es la proyección de 𝐵 sobre 𝐴.
Debido a eso, 𝐴 ∙ 𝐵 es el producto de la magnitud de 𝐴
y la proyección de 𝐵 sobre 𝐴.
Fig. 11. Producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵

41. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Producto escalar de dos vectores
 El producto escalar es conmutativo
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴.
 El producto escalar obedece la ley distributiva de la multiplicación,
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶
El producto punto es simple de evaluar cuando 𝐴 es
perpendicular o paralelo a 𝐵. Si 𝐴 es perpendicular a 𝐵 𝜃 =

42. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Producto escalar de dos vectores
 Si el vector 𝐴 es paralelo al vector 𝐵 y los dos apuntan en la misma
dirección (𝜃 = 0), 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵. Si el vector 𝐴 es paralelo al vector 𝐵 pero
los dos apuntan en direcciones opuestas (𝜃 = 180°), 𝐴 ∙ 𝐵 = −𝐴𝐵. El
producto escalar es negativo cuando 90° < 𝜃 ≤ 180°.
 Los vectores unitarios 𝑖, 𝑗 y 𝑘, que se encuentran en las direcciones 𝑥, 𝑦 y
𝑧 positivas, respectivamente, de un sistema coordenado de mano
derecha. Por lo tanto, de la definición del producto punto, los productos
escalares de estos vectores unitarios son
𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1.
𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 = 0.

43. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Producto escalar de dos vectores
 Como los vectores 𝐴 y 𝐵 pueden expresarse como
𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘
 el producto escalar de 𝐴 y 𝐵 se reduce a
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧
 En el caso especial en el que 𝐴 = 𝐵, se tiene
𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴 𝑥
2
+ 𝐴 𝑦
2
+ 𝐴 𝑧
2
= 𝐴2

44. Cinemática
 Propiedades algebraicas
 Producto escalar de dos vectores
 Ejemplo.
Se tienen los vectores 𝐴 = 2 𝑖 + 3 𝑗 y 𝐵 = − 𝑖 + 2 𝑗.
Determine el producto escalar de estos vectores y
encuentre el ángulo entre ellos.