Este documento trata sobre varios números irracionales importantes como π, e y el número áureo. Explica brevemente la historia, definiciones y propiedades de cada uno. También describe cómo se han utilizado estos números en matemáticas y ciencia a lo largo de la historia.
Este documento presenta ejercicios de programación declarativa en Prolog. Cubre temas como operaciones con listas, aritmética, estructuras de datos, retroceso, corte y negación, programación lógica de segundo orden, estilo y eficiencia en programación lógica. El documento está licenciado bajo Creative Commons para su copia, distribución y modificación siempre que se reconozcan los créditos.
Este documento proporciona una introducción a LibreOffice Writer y sus principales funciones. Explica la interfaz de usuario de Writer, incluidas las barras de estado y herramientas. Detalla cómo trabajar con texto, darle formato y realizar tareas como cortar, copiar y pegar, buscar y reemplazar, e insertar símbolos. También cubre cómo dar formato a páginas mediante estilos de página, encabezados, pies de página y numeración, y cómo agregar notas, índices de contenido e índices a
Este documento trata sobre la educación a distancia. Explica las características de la educación a distancia, incluyendo sus ventajas y desventajas. También describe las diferentes generaciones de educación a distancia y los roles involucrados en este tipo de educación. Por último, discute brevemente la educación semipresencial y la educación a distancia en Hispanoamérica y España.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de algoritmos y estructuras de datos. Explica los componentes de una computadora y conceptos relacionados como lenguajes de programación, algoritmos, estructuras de datos como colas, y más. También incluye ejemplos y referencias a temas adicionales.
Este manual da una introducción al Software Libre Maxima v5.25.1, presentándolo como un potente Sistema de Álgebra Computacional (Computer Algebra System, o CAS) cuyo objeto es la realización de cálculos matemáticos, tanto simbólicos como numéricos; además de ser expandible, pues posee un lenguaje de programación propio.
Este documento describe las principales características y funciones de Impress, el programa de presentaciones de LibreOffice. Explica las diferentes partes de la interfaz de usuario como el panel de diapositivas, el área de trabajo y las barras de herramientas. También describe cómo crear y dar formato a diapositivas, agregar texto e imágenes, y cómo trabajar con vistas como la normal, esquema y notas. El objetivo es guiar al usuario en la creación de presentaciones básicas en Impress.
Este documento presenta un manual para un curso de introducción a LATEX. Explica los objetivos del curso, que son proporcionar los conceptos básicos y la forma de trabajar con LATEX para crear documentos desde informes simples hasta artículos de investigación. También describe los contenidos del curso, que incluyen introducción a LATEX, conceptos básicos, creación y formato de documentos, edición elemental y especializada, y personalización. Finalmente, incluye un índice general de los temas que se cubrirán.
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Este documento presenta una introducción a Scilab. Explica que Scilab es un software de cómputo científico interactivo y programable de código abierto desarrollado por INRIA. Describe algunas de las características y capacidades de Scilab, como el cálculo numérico, vectores, matrices, gráficas, optimización y programación. También incluye ejemplos de uso.
Este documento trata sobre bibliotecas, lectura, libros y literatura. En la sección sobre bibliotecas, describe la etimología, definiciones, historia y tipología de las bibliotecas. La sección sobre lectura cubre temas como la mecánica, proceso, técnicas y beneficios de la lectura, así como la enseñanza y comprensión de la lectura. Otras secciones tratan sobre la historia y tipos de libros, así como definiciones de literatura.
El documento presenta las principales novedades de Microsoft Word XP, incluyendo etiquetas inteligentes que ofrecen opciones de pegado y autocorrección al pasar el ratón sobre los iconos correspondientes, paneles de tareas que permiten acceder a funciones importantes desde un único lugar, mejor compatibilidad de formatos de archivo, opciones para recuperar documentos y una herramienta para reparar y extraer información de archivos dañados. También incluye una opción de multi-selección para seleccionar varios elementos a la vez.
The document introduces the new features of Microsoft Word XP including smart tags, task panels, improved paste options, auto-correction options, backward compatibility, and improved document recovery features. It also provides an overview of the basic Word interface elements like menus, toolbars, ruler, status bar, and different view modes for working with and presenting documents.
Este documento presenta un curso taller sobre el uso del editor científico LaTeX. El curso cubrirá instrucciones básicas de LaTeX, la estructura de documentos, la edición de texto y matemáticas, figuras y tablas, listas, bibliografías y los tipos de documentos más comunes. El objetivo del curso es proporcionar las herramientas básicas para crear composiciones en LaTeX, un formato estándar a nivel internacional.
Este documento describe las diferentes funciones y herramientas disponibles en el programa Microsoft Word. Explica las opciones del menú Archivo como guardar, abrir y cerrar documentos. También cubre las herramientas de formato de texto, tablas, imágenes e inserción de otros objetos. Por último, detalla las opciones de revisión y edición de documentos como corrección ortográfica, traducción y control de cambios.
Este documento presenta un manual de introducción a Excel dividido en 9 capítulos. El capítulo 1 introduce los elementos básicos de Excel como iniciar el programa, la pantalla inicial, las barras de herramientas y la ayuda. Los capítulos 2 al 4 cubren conceptos básicos, operaciones con archivos y manipulación de celdas. Los capítulos 5 al 7 se enfocan en datos, funciones y formato de celdas. Los capítulos 8 y 9 tratan sobre cambios a la estructura de hojas e inserción y eliminación de elementos.
Este documento describe la estructura estándar recomendada para la presentación de trabajos académicos y tesis en la Universidad Tecnológica del Perú. La estructura incluye elementos pre-textuales, textuales y post-textuales. Los elementos pre-textuales son obligatorios y comprenden la tapa, lomo, contraportada, acta de sustentación, ficha bibliográfica y resúmenes. Los elementos textuales incluyen la introducción, desarrollo y conclusiones. Los elementos post-textuales son las referencias,
Este manual describe el uso del servidor de anuncios publicitarios e-planning ad server. Explica conceptos básicos como banners, pautas, segmentación y estadísticas. Detalla los pasos para crear y administrar sitios web, espacios, pautas y anuncios. También cubre temas avanzados como grupos de pautas, seguimiento de conversiones y trabajo con múltiples ad servers. El manual proporciona una guía completa para el uso de esta herramienta de gestión de campañas publicitarias digitales.
Este documento presenta el resumen anual 2017 de las actividades de la Asociación TEDER de Tierra Estella. Incluye información sobre el servicio de apoyo a la creación y consolidación de empresas, la estrategia de desarrollo local participativa, el servicio Punto Infoenergía, proyectos de la Fundación Caja Navarra, servicios de interés general y la Agenda Local 21. Además, describe otras iniciativas como el Camino Natural del Ferrocarril Vasco Navarro y la promoción del uso de la biomasa.
Este documento proporciona una introducción al uso de MySQL. Explica cómo conectarse a una base de datos, crear y usar tablas, insertar, actualizar y eliminar datos. También cubre consultas más avanzadas como combinaciones de tablas, subconsultas, agregación y tipos de datos. El documento está dividido en tres partes que cubren los fundamentos de MySQL, tipos de datos y tablas, y consultas SQL avanzadas.
Este documento proporciona una guía sobre las funciones básicas de Microsoft Word 2010. Se divide en 11 capítulos que cubren temas como la edición de texto, formato, tablas, estilos, plantillas, imágenes y gráficos. Explica cómo crear, guardar y abrir documentos de Word, seleccionar texto, copiar y pegar contenido, y revisar ortografía y gramática. También describe cómo personalizar el diseño de página, insertar y modificar tablas, estilos y plantillas, e incorporar imágenes
Este documento describe las partes principales de los gráficos y diferentes tipos de gráficos. Explica las 12 partes más importantes de un gráfico, incluyendo el título, ejes, marcadores, etiquetas de datos y leyenda. También describe cinco partes menos conocidas como líneas de tendencia. Además, detalla diferentes tipos de gráficos como barras, líneas, histogramas y de dispersión, explicando cuándo usar cada uno. Por último, proporciona consejos sobre el diseño de gráficos como dar formato
Este documento presenta una guía para el desarrollo de aplicaciones Android. Explica los términos de la licencia Creative Commons bajo la cual se publica el contenido. Incluye capítulos sobre los componentes básicos de Android, el desarrollo de interfaces gráficas, almacenamiento de datos, servicios de ubicación, mapas y más.
Los números surgieron desde tiempos antiguos para contar objetos y realizar operaciones básicas. Inicialmente, se utilizaron sistemas como marcas en palos o cuerdas, pero hacia el año 4000 a.C. los sumerios desarrollaron un sistema de escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla. Más tarde, culturas como los indios y árabes desarrollaron el sistema de numeración posicional hindú-arábigo que eventualmente se globalizó. Finalmente, en el siglo XIX, Richard Dedekind estableció la teor
Numeros enteros juan pablo pantoja juan pablo mamian EXPLICACION SOBRE ESTE...juanpabloauywqie37e
El documento trata sobre los números enteros. Explica que los números enteros incluyen tanto los números naturales como sus opuestos negativos y cero. También describe las operaciones básicas con números enteros como la suma, resta, multiplicación y división, así como algunas de sus propiedades fundamentales como la regla de los signos.
Este documento resume la historia, representaciones y aplicaciones de los números enteros. Explica que los símbolos numéricos han cambiado a través del tiempo en diferentes culturas como Egipto, China y Babilonia. También describe cómo los números negativos fueron rechazados hasta el siglo XVIII a pesar de haber sido estudiados por matemáticos como Cardano en el siglo XVI. Finalmente, menciona diversas aplicaciones de los números enteros en la vida cotidiana y tipos especiales como los números narcisistas, primos al revés, vampiros y amigos
Este documento describe la historia de los números desde sus orígenes hasta el sistema de numeración hindú actual. Explica que las primeras civilizaciones como los egipcios, mesopotámicos y griegos desarrollaron sus propios sistemas, y que los romanos utilizaron letras para representar números. Más tarde, los hindúes introdujeron el cero y un sistema posicional que facilitó las operaciones matemáticas. Finalmente, los árabes transmitieron el sistema hindú al resto del mundo.
El documento resume brevemente la historia del número 0, notando que apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a.C. y fue escrito de una manera diferente por la civilización árabe, además de señalar que hay pocos ejemplos históricos del cero debido a que originalmente no se le veía un uso concreto a este número. El texto también proporciona un enlace y una búsqueda de Google para explorar más sobre la historia general de los números.
Este documento describe los números enteros y las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. Explica que los números enteros incluyen tanto números positivos como negativos en una línea numérica infinita. Luego detalla las reglas para sumar y restar números enteros, señalando que para la suma se conserva el signo si son iguales o el del número de mayor valor absoluto si son distintos, y para la resta se realizan dos cambios de signo para convertirla en suma.
El documento habla sobre los números enteros, dividiéndolos en historia, suma, resta, multiplicación, división y conjuntos. Explica brevemente la historia de los números enteros y cómo se realizan operaciones como la suma, resta, multiplicación y división con ellos. También menciona que los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que comparten propiedades estructurales.
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Este documento presenta el resumen anual 2017 de las actividades de la Asociación TEDER de Tierra Estella. Incluye información sobre el servicio de apoyo a la creación y consolidación de empresas, la estrategia de desarrollo local participativa, el servicio Punto Infoenergía, proyectos de la Fundación Caja Navarra, servicios de interés general y la Agenda Local 21. Además, describe otras iniciativas como el Camino Natural del Ferrocarril Vasco Navarro y la promoción del uso de la biomasa.
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Este documento proporciona una guía sobre las funciones básicas de Microsoft Word 2010. Se divide en 11 capítulos que cubren temas como la edición de texto, formato, tablas, estilos, plantillas, imágenes y gráficos. Explica cómo crear, guardar y abrir documentos de Word, seleccionar texto, copiar y pegar contenido, y revisar ortografía y gramática. También describe cómo personalizar el diseño de página, insertar y modificar tablas, estilos y plantillas, e incorporar imágenes
Este documento describe las partes principales de los gráficos y diferentes tipos de gráficos. Explica las 12 partes más importantes de un gráfico, incluyendo el título, ejes, marcadores, etiquetas de datos y leyenda. También describe cinco partes menos conocidas como líneas de tendencia. Además, detalla diferentes tipos de gráficos como barras, líneas, histogramas y de dispersión, explicando cuándo usar cada uno. Por último, proporciona consejos sobre el diseño de gráficos como dar formato
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Los números surgieron desde tiempos antiguos para contar objetos y realizar operaciones básicas. Inicialmente, se utilizaron sistemas como marcas en palos o cuerdas, pero hacia el año 4000 a.C. los sumerios desarrollaron un sistema de escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla. Más tarde, culturas como los indios y árabes desarrollaron el sistema de numeración posicional hindú-arábigo que eventualmente se globalizó. Finalmente, en el siglo XIX, Richard Dedekind estableció la teor
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El documento trata sobre los números enteros. Explica que los números enteros incluyen tanto los números naturales como sus opuestos negativos y cero. También describe las operaciones básicas con números enteros como la suma, resta, multiplicación y división, así como algunas de sus propiedades fundamentales como la regla de los signos.
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Este documento describe la historia de los números desde sus orígenes hasta el sistema de numeración hindú actual. Explica que las primeras civilizaciones como los egipcios, mesopotámicos y griegos desarrollaron sus propios sistemas, y que los romanos utilizaron letras para representar números. Más tarde, los hindúes introdujeron el cero y un sistema posicional que facilitó las operaciones matemáticas. Finalmente, los árabes transmitieron el sistema hindú al resto del mundo.
El documento resume brevemente la historia del número 0, notando que apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a.C. y fue escrito de una manera diferente por la civilización árabe, además de señalar que hay pocos ejemplos históricos del cero debido a que originalmente no se le veía un uso concreto a este número. El texto también proporciona un enlace y una búsqueda de Google para explorar más sobre la historia general de los números.
Este documento describe los números enteros y las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. Explica que los números enteros incluyen tanto números positivos como negativos en una línea numérica infinita. Luego detalla las reglas para sumar y restar números enteros, señalando que para la suma se conserva el signo si son iguales o el del número de mayor valor absoluto si son distintos, y para la resta se realizan dos cambios de signo para convertirla en suma.
El documento habla sobre los números enteros, dividiéndolos en historia, suma, resta, multiplicación, división y conjuntos. Explica brevemente la historia de los números enteros y cómo se realizan operaciones como la suma, resta, multiplicación y división con ellos. También menciona que los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que comparten propiedades estructurales.
El documento describe cómo los pastores primitivos contaban su ganado utilizando piedras como una forma primitiva de numeración. Colocaban una piedra en un zurrón por cada animal que salía a pastar, y luego comparaban la cantidad de piedras con la cantidad de animales al traerlos de vuelta, para asegurarse de que no faltaba ninguno. Este sistema de contar con objetos como piedras dio origen al concepto primitivo de número, y la palabra "cálculo" proviene del latín "calculus", que significa piedra.
Los números arábigos que usamos provienen de los fenicios y fueron popularizados por los árabes. Cada número se originó a partir de la cantidad de ángulos que lo componen: 1 tiene un ángulo, 2 tiene dos ángulos, y así sucesivamente. Incluso el cero se originó como la ausencia de ángulos.
Las matemáticas surgieron de forma independiente en antiguas civilizaciones para resolver problemas prácticos. Con el tiempo, se desarrollaron sistemas de numeración y conceptos como las fracciones. Los griegos descubrieron las magnitudes inconmensurables, como la diagonal de un cuadrado y su lado, lo que llevó al desarrollo de los números racionales. Los números racionales se definen como el cociente de dos enteros y forman un conjunto denso en la recta numérica, permitiendo resolver ecuaciones como ax = b.
El documento describe la historia de los sistemas de numeración desde las primeras civilizaciones hasta la adopción del sistema hindú-arábigo moderno. Resume que los antiguos egipcios, mesopotamios y griegos desarrollaron sus propios sistemas, mientras que los hindúes introdujeron el concepto del cero y un sistema posicional que fue adoptado por los árabes y eventualmente se convirtió en el estándar global.
El documento describe brevemente la historia de los números, desde cómo el hombre primitivo contaba objetos hasta el desarrollo de sistemas de numeración más complejos. Explica que los primeros sistemas se basaban en objetos como dedos, piedras o marcas, y que con el tiempo surgieron los sistemas aditivos, híbridos y posicionales. Finalmente, destaca que el sistema decimal posicional que usamos actualmente se originó en la India y fue popularizado por los árabes, y que se basa en agrupar cantidades de diez en diez
Los números naturales fueron inventados por los hindúes para contar objetos de un conjunto finito. Comienzan en 1 y pueden extenderse indefinidamente agregando 1 más. El cero no se incluye originalmente. Los hindúes también inventaron el valor posicional y el cero, y los árabes difundieron estos sistemas. El mercader Leonardo Fibonacci popularizó el sistema hindú-arábigo en Europa en el siglo 13.
Los sistemas de numeración han evolucionado a lo largo de la historia. En la prehistoria, los pastores contaban sus cabras con piedras y los cazadores utilizaban conchas para contar presas. Los incas usaban quipus, cuerdas con nudos, para llevar registros. Los egipcios, griegos y romanos desarrollaron sistemas basados en letras y símbolos. Los mayas crearon un sistema con cero. Finalmente, los números arábigos, introducidos por los árabes en el siglo X, se convirtieron
Este documento proporciona una introducción general a las matemáticas. Explica que las matemáticas son el estudio de conceptos como cantidades, estructuras, espacios y cambios. Se divide en matemáticas puras y aplicadas. Las matemáticas puras se centran en el rigor y la lógica internos, mientras que las aplicadas se utilizan para resolver problemas prácticos. El documento también describe las principales ramas de las matemáticas como el álgebra, el análisis, la geometría y la trigonometría.
Este documento presenta un libro sobre cálculo diferencial escrito por el Dr. Antonio Rivera Figueroa. El libro cubre temas fundamentales sobre los números reales, funciones, y cálculo diferencial. Incluye secciones sobre sumatorias infinitas, números racionales e irracionales, funciones reales de una variable, gráficas de funciones, y composición y funciones inversas. El libro provee una introducción sólida a los conceptos matemáticos subyacentes del cálculo diferencial.
Este documento presenta un libro sobre cálculo diferencial escrito por el Dr. Antonio Rivera Figueroa. El libro cubre temas fundamentales como los números reales, funciones, derivadas e integrales. Incluye aplicaciones y notas históricas sobre el desarrollo del cálculo diferencial. El libro fue publicado por primera vez en formato electrónico en 2014 por el Grupo Editorial Patria en México.
Este documento presenta una guía introductoria para LaTeX. Explica la estructura básica de los documentos LaTeX, incluyendo la clase del documento y los paquetes requeridos. También cubre la entrada de texto, fórmulas matemáticas, encabezados, márgenes y diagramas. El objetivo es proporcionar una introducción inicial al uso de LaTeX para la creación de documentos.
Este documento presenta una guía de laboratorio sobre ciclos iterativos anidados. Explica conceptos como ciclos anidados en pseudocódigo, diagrama de flujo y C. Luego, muestra ejemplos como el triángulo de Pascal, cuadrados mágicos y números de Armstrong usando ciclos anidados. Finalmente, propone varios ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
El documento presenta un libro sobre cálculo integral escrito por el Dr. Antonio Rivera. El libro contiene cinco capítulos y un apéndice que cubren los fundamentos de la integral, series y sucesiones, y aplicaciones a otras áreas. Cada capítulo incluye ejemplos resueltos y problemas para el estudiante. Además, el libro cuenta con una página web con videos y explicaciones adicionales.
Este documento presenta una introducción general a la geometría. Explica que la geometría es el estudio de las propiedades de figuras en el plano y el espacio, y que tiene sus orígenes en la solución de problemas relacionados con medidas. Además, describe brevemente la historia de la geometría, los tipos de geometría según el espacio y la representación, y algunas de sus aplicaciones prácticas en campos como la física, la ingeniería y la cartografía.
Este documento presenta una introducción general a la geometría. Explica que la geometría es el estudio de las propiedades de figuras en el plano y el espacio, y que tiene sus orígenes en la solución de problemas relacionados con medidas. Además, describe brevemente la historia de la geometría, los tipos de geometría según el espacio y la representación, y algunas de sus aplicaciones prácticas en campos como la física, la ingeniería y la cartografía.
Este documento presenta una introducción general a la geometría. Explica que la geometría es el estudio de las propiedades de figuras en el plano y el espacio, y que tiene sus orígenes en la solución de problemas relacionados con medidas. Además, describe brevemente la historia de la geometría, los tipos de geometría según el espacio y la representación, y algunas de sus aplicaciones prácticas en campos como la física, la ingeniería y la cartografía.
Este documento trata sobre funciones cuadráticas y parábolas. Explica la historia, definición y propiedades de funciones cuadráticas, ecuaciones de segundo grado y parábolas. Describe cómo representar funciones cuadráticas analíticamente y gráficamente, y cómo calcular sus raíces, extremos y presencia. También analiza las ecuaciones de parábolas y sus propiedades geométricas como el lado recto, tangentes y semejanza.
Técnicas y Conceptos Básicos en Matemáticas autor Jairo Alvarez Gaviria, Erne...RosaLuciaBazanCandue
Este documento presenta los conceptos y técnicas básicas de matemáticas. Explica los diferentes tipos de números y conjuntos numéricos, así como conceptos como expresiones matemáticas, números irracionales, demostraciones directas e indirectas y cálculo proposicional. También introduce conceptos como mediciones, números reales, estructura algebraica de los reales, orden numérico, intervalos y propiedades de los números reales. El objetivo es reconstruir y organizar los conocimientos matemáticos fundamentales de una manera sistemática
Este documento introduce Scilab, un software libre para cálculo científico. Explica conceptos básicos como crear variables, operaciones matemáticas y funciones. También cubre temas como vectores, matrices, gráficas, programación y optimización.
1321. Matemáticas básicas para el acceso a la universidad.pdfwuilmer mayta mamani
Este documento presenta un libro de texto sobre matemáticas básicas para el acceso a la universidad. El libro cubre temas como números reales, ecuaciones algebraicas, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y geometría en el plano y el espacio. El libro proporciona definiciones, ejemplos y problemas resueltos de cada uno de estos temas matemáticos fundamentales.
La educación en Lengua conlleva conocimientos que se generan día a día y va modificándose continuamente. Por ello, te presento un libro que reúne aquellos primeros pasos que te permitirán sacar dudas y corregir tu habla.
El documento describe el número áureo, un número irracional representado por φ. Surge de dividir una línea en media y extrema razón, dando aproximadamente 1,618. Ha sido importante en matemáticas, geometría, arte y naturaleza a lo largo de la historia. También describe el icosaedro y sus relaciones con el número áureo, así como la historia, técnicas y materiales de la pintura. Finalmente, analiza las conexiones entre música y matemáticas en aspectos como el tiempo, la forma, el sonido y la armon
Este documento presenta los apuntes preliminares de un futuro texto sobre el papel de la lógica en la computación. Los capítulos cubren temas como lógica proposicional, lógica de predicados de primer orden, programación lógica y lenguaje Prolog. Los autores solicitan comentarios y sugerencias para mejorar los contenidos y su exposición.
El documento describe las propiedades de los números racionales e irracionales. Introduce los números enteros y racionales desde un punto de vista abstracto, destacando sus propiedades algebraicas y de orden. Explica cómo los números reales satisfacen un axioma de completitud que los números racionales no cumplen, lo que permite resolver ecuaciones como x2 = 2.
El documento presenta un resumen de los conceptos básicos de conjuntos y números. En el Capítulo 1 se definen conjuntos, subconjuntos, operaciones con conjuntos como unión e intersección, y diagramas de Venn. El Capítulo 2 describe los diferentes tipos de números como naturales, enteros y reales, así como operaciones con números reales e intervalos numéricos. Los capítulos subsiguientes cubren potenciación, valor absoluto, polinomios y otras operaciones algebraicas.
Este documento provee una introducción al uso de Mathematica, enfocándose en tres aspectos principales:
1) El funcionamiento básico de Mathematica, incluyendo las interfaces de cuaderno y basada en texto.
2) Los tipos básicos de cálculos que puede realizar Mathematica, como aritmética, funciones matemáticas, números complejos y cálculos con precisión arbitraria.
3) La estructura general de Mathematica y cómo usar cuadernos, paquetes, ayuda y advertencias.
El documento sirve como guía para que
Este documento presenta una guía y cuadernillo de trabajo para un curso de álgebra. Explica el propósito del curso, que es desarrollar el razonamiento matemático mediante el uso del lenguaje algebraico para resolver problemas de la vida cotidiana. Incluye un mapa del curso que describe los temas a cubrir como expresiones algebraicas, operaciones fundamentales, ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas. También contiene índices y evaluaciones de autoevaluación.
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Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
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José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
4. Capítulo 1
Cuenta (matemáticas)
En matemática, una cuenta o cálculo es una operación o un conjunto de operaciones aritméticas, como por ejemplo
una multiplicación o una sucesión de sumas. Aunque generalmente se efectúa con números, una cuenta matemática
es también un cómputo: un proceso deliberado de transformar una o más variables por medio de algún algoritmo; en
este sentido se utiliza también dentro de la informática, la estadística matemática y la teoría de la computabilidad.[1][2]
1.1 Etimología
Cuenta deriva de «contar», a su vez del lat. «computāre», computar o numerar. También puede referirse a la acción de
«narrar», pero ese no es el contexto desarrollado en el presente artículo.[3]
Expresiones derivadas como por ejemplo
«Echar cuentas», «Hacer las cuentas», «Llevar la cuenta», ..., se utilizan coloquialmente para denotar la puntuación
de una partida o competición, es decir el cómputo efectuado; «Pedir la cuenta» se utiliza frecuentemente en el idioma
español para requerir una factura o recibo (o para pagar una consumición).
Si bien el origen de las matemáticas se relaciona con el conteo, no es razonable reducir las matemáticas a una forma
básica de contar o enumerar. Es necesario que exista algún tipo de registro numérico y, para ello, alguna representación
de los números, es decir, algún tipo de sistema de numeración, para establecer «el comienzo» de las matemáticas más
precisamente.[4]
La elaboración de conceptos matemáticos más avanzados que el simple proceso de conteo, conlleva
además, la implementación de utensilios o herramientas; las primeras «cuentas» se realizaron sobre huesos, piedras
o palos tallados, para representar números enteros o períodos de tiempo.
1.2 Historia
Históricamente, el arte del cómputo (o de hacer cuentas matemáticas) se desarrolla antes incluso que la escritura.[5]
Los registros más antiguos de cálculos matemáticos conciernen papiros egipcios datados de aproximadamente 2,000
años a.C. que hacen referencias claras a aproximaciones para π y raíces cuadradas. La numeración con varillas ,
desarrollada antiguamente en China, también permite resolver problemas de este tipo, así como raíces cúbicas o n-
ésimas, y resolver sistemas de ecuaciones, que llevan al cálculo de números negativos o complejos. d'Alembert en su
encyclopédie (editada entre los años 1751 y 1772), los califica de raíces falsas e imaginarias, y no las acepta como
resultado de un cálculo final.[6][7]
El desarrollo de las nociones elementales de aritmética y las cuatro operaciones básicas, de los sistemas de numeración,
las fracciones o las proporciones, así como los problemas de álgebra elemental y las operaciones más complejas como
la extracción de raíces, la potenciación, y profundizan y diversifican los instrumentos y las herramientas matemáticas:
desde los ábacos y máquinas de sumar mecánicas, hasta las calculadoras analógicas.
1.3 Herramientas de cálculo
1.3.1 Instrumentos antiguos
1
5. 2 CAPÍTULO 1. CUENTA (MATEMÁTICAS)
Palos de conteo
• En la Prehistoria, entendida como el período de tiempo anterior a la invención de la escritura, las muescas
encontradas en huesos datadas de aproximadamente 20,000 años, pueden interpretarse como un rudimental
intento de conteo, representando valores numéricos.
Varilla de cálculo
• En algunas regiones de Asia, el cálculo con varillas ( ) fue el método desarrollado para realizar cálculos
matemáticos, probablemente durante el siglo IV a. C. Este sistema permitía representar números y fracciones;
su uso decayó tras la aparición del ábaco.
•
Quipu
• Instrumento nemotécnico inca de uso contable, hecho de cuerdas de colores y nudos, para el registro de censos
y cosechas, utilizado por las civilizaciones andinas, alrededor de 1500. Al no poseer un sistema de escritura
propiamente, el quipu cumplía una función más amplia que la de mera calculadora, complementándose posi-
blemente con el Yupana, para tareas de cálculo.[8]
Ábaco
• El ábaco es considerado como el más antiguo instrumento de conteo o de cálculo. Utilizado principalmente para
hacer operaciones aritméticas y adaptado por numerosas civilizaciones. En china es conocido como suanpan
( ); en Japón como sorobán ( ); son muy similares a las versiones utilizadas por los griegos y romanos.
Muy populares hasta bien entrado el siglo XVIII. Algunos modelos de ábaco (como el suanpan o el soroban)
permiten efectuar, además de las cuatro operacionoes básicas de la aritmética, operaciones más complejas
como la extracción de raíces.
•
6. 1.3. HERRAMIENTAS DE CÁLCULO 3
1.3.2 Calculadoras mecánicas
• Como apoyo al trabajo numérico, comptómetros, ábacos neperianos, reglas de cálculo y máquinas de sumar.
Las calculadoras modernas realizan, además de cálculos aritméticos, cálculos complejos (gráfico de funciones,
números complejos, etc.).
7. 4 CAPÍTULO 1. CUENTA (MATEMÁTICAS)
Regla de cálculo
• Instrumento de cálculo para la realización de operaciones aritméticas complejas. Sustituida paulatinamente por
las calculadoras y los ordenadores electrónicos hacia finales del siglo XX.
•
1.3.3 Calculadoras electrónicas
1.4 Véase también
• Historia de la matemática
• Cálculo mental
• Calculadora humana
• Contar con los dedos
• Palo de conteo
• Aritmética
• Cálculo
• Cuenta
1.5 Referencias
[1] «cálculo», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/
search?key=c%C3%A1lculo..
[2] http://science.jrank.org/pages/7536/Calculation-Computation.html Calculation and Computation - Premodern, Early Mo-
dern, Non-western, Late Modern Period, Contemporary Period, Bibliography.
[3] La palabra cuenta tiene múltiples acepciones, ver «cuenta», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia
Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/search?key=cuenta.; «cuenta» Diccionario María Moliner.
[4] Astroseti, Historia de las Matemáticas.
[5] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Arithmetic» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
[6] Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, art. EQUATION.
[7] Georges Ifrah, introduction à l’Histoire universelle des chiffres.
[8] J J O'Connor and E F Robertson. «Mathematics of the Incas». Mathematics of the Incas (en inglés). Consultado el 3 de
septiembre de 2011.
1.6 Enlaces externos
• “El levantamiento del velo en las operaciones de cálculo” es un manuscrito, de los del siglo 18, disponible en
árabe, de Al-Marrakushi ibn Al-Banna, acerca de los procesos de cálculo
8. Capítulo 2
Contar
Contar es un proceso de abstracción que nos lleva a otorgar un número cardinal como representativo de un conjunto.
Gelman y Gallistel fueron los primeros en enunciar en 1978 los cinco principios que, a modo de estadios, ha de ir
descubriendo y asimilando el niño hasta que aprende a contar correctamente:[cita requerida]
2.1 Principios del conteo
Contar es un proceso aritmético concreta ya sea una suma, una resta, etc repetidamente. El conteo es una de las
habilidades numéricas más tempranas en el desarrollo infantil.
Sin embargo, no es fácil determinar cómo lo adquiere el niño, en los inicios de estas habilidades se fundan en una
comprensión mecánica o en un aprendizaje memoristica carente de sentido.
2.1.1 Principio de correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca
• Trae consigo la coordinación de dos subprocesos: la partición y la etiquetación.
• La partición consiste en otorgar la categoría de contado o no contado formando dos grupos entre el conjunto
de objetos que se quieren contar. Esto se realiza generalmente señalando el objeto, agrupándolo a un lado o
bien a través de la memoria visual.
• La etiquetación es el proceso por el que el niño asigna un cardinal a cada elemento del conjunto, que se rige
además por el conjunto de orden estable.
Los niños asignan un número a cada objeto desde los dos años, sin embargo, cuando no dominan esta habilidad pueden
equivocarse, por ejemplo, dejando sin contar algún objeto o, por el contrario, contando otros varias veces.
2.1.2 Principio de orden estable
La secuencia de números a utilizar ha de ser estable y estar formada por etiquetas únicas, y poder repetirse en cualquier
momento para facilitar su aprendizaje a los niños. De este modo, niños de muy corta edad son capaces de detectar
muy fácilmente cuándo se produce una asignación completamente aleatoria en el conteo (i.e.: 2, 5, 3, 9, 24...), aunque
les cuesta mayor dificultad si esta secuencia respeta un orden de menor a mayor (1, 2, 5, 6, 9, 10...). De este modo
cuanto más se aleja la secuencia del orden convencional más fácil resulta detectar el error. Este principio se consigue
en torno a los tres ó cuatro años. En edades anteriores, cuando los niños cuentan, asignan los número arbitrariamente
o empiezan a contar por cualquier número (5, 8, 2...).
2.1.3 Principio de cardinalidad
Se refiere a la adquisición de la noción por la que el último númeral del conteo es representativo del conjunto, por ser
cardinal del mismo. Según Gelman y Gallistel podemos decir que este principio se ha adquirido cuando observamos:
5
9. 6 CAPÍTULO 2. CONTAR
1. que el niño repite el último elemento de la secuencia de conteo,
2. que pone un énfasis especial en el mismo o
3. que lo repite una vez ha finalizado la secuencia.
Según estos autores, el niño logra la cardinalidad en torno a los dos años y siete meses y también, según ellos, para
lograr la cardinalidad es necesario haber adquirido previamente los principios de correspondencia uno a uno y orden
estable. Sin embargo, otros autores como Fuson ven la adquisición de la cardinalidad como un proceso más gradual,
en el que existe un estadio intermedio denominado cuotidad, en el que el niño es capaz de responder a la pregunta de
¿cuántos elementos hay en...? pero no formulada de otra manera, como sería plantearle equivalencias entre conjuntos,
por lo que para ellos este principio estaría completamente logrado en torno a los cinco años de edad.
2.1.4 Principio de abstracción
Este principio determina que los principios de orden estable, correspondencia uno-a-uno y cardinalidad puedan ser
aplicados a cualquier conjunto de unidades, sea cual fuere el grado de heterogeneidad de sus elementos. Según este
principio, el conteo puede ser aplicado a cualquier clase de objetos reales e imaginarios. De este modo, los cambios
de color u otros atributos físicos de los objetos no deben redundar en los juicios cuantitativos de las personas en este
caso niños que, habiendo logrado esta noción, los contarán como cosas. Este principio lo adquirirá el niño en torno a
los tres años.
2.1.5 Principio de irrelevancia en el orden
Se refiere a que el niño advierta que el orden del conteo es irrelevante para el resultado final. El niño que ha adquirido
este principio sabe que:
1. el elemento contado es un objeto de la realidad, y no un 1 o un 2;
2. que las etiquetas son asignadas al contar de un modo arbitrario y temporal a los elementos contados;
3. que se consigue el mismo cardinal con independencia del orden de conteo de los elementos seguido.
Investigaciones posteriores al enunciado de este último principio han demostrado que, para que el niño haya adquirido
este concepto, debe ser capaz de contar elementos aleatoriamente, realizando saltos sobre el conjunto a contar, lo que
sucedería en torno a los cuatro años.
Estos principios deberían fomentarse en la etapa infantil, puesto que son la base imprescindible para entender las
operaciones matemáticas y el valor posicional de las cifras. La mayoría de los niños los adquiere, de manera no
formal, en los medios en los que se desenvuelve. Si el niño no los ha adquirido antes de los seis años necesitará ayuda
especializada.
En una etapa posterior, si en el sujeto se presentasen dificultades en la adquisición del conteo o la numeración.
Principio de unicidad. Como una función de contar es asignar valores cardinales a conjuntos para diferenciarlos o
compararlos, es importante que los niños no sólo generen una secuencia estable y asignen una etiqueta, y sólo una, a
cada elemento de un conjunto, sino también que empleen una secuencia de etiquetas distintas o únicas. Por ejemplo,
un niño puede usar la secuencia “1, 2, 3, 3” de manera sistemática y emplear estas etiquetas en una correspondencia
biunívoca, pero como no todos sus elementos están diferenciados, etiquetará de la misma manera conjuntos de tres
y cuatro elementos (con la designación cardinal “3”) (Baroody y Price, 1983). Incluso cuando un niño tiene que
recurrir al empleo de términos no convencionales, la apreciación del principio de unicidad (comprender la función
diferenciadora de contar) le impediría escoger términos empleados previamente. Por ejemplo, el empleo sistemático
de la secuencia no convencional “1, 2, 3, diecionce” etiquetaría erróneamente conjuntos de cuatro elementos pero al
menos los diferenciaría de conjuntos con menos elementos. Por tanto, además de los principios de orden estable y de
correspondencia, es importante que los niños sigan el principio de unicidad. ((Baroody, Arthur J. (1997)))
2.2 Véase también
• Discalculia
11. Capítulo 3
Número entero
La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es
negativo: en la imagen, solo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).
Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a los positivos (1, 2, 3, ...), a los negativos
opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno»,
«menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia
entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando
no se le escribe signo al número se asume que es positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} [1]
, entonces un entero
natural es un entero positivo y el conjunto ℕ es parte propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los números enteros
se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números»,
pronunciado [ˈtsaːlən]).
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma
similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para conta-
bilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de
último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede
decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del
Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por
debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
8
12. 3.1. HISTORIA 9
3.1 Historia
Los números enteros negativos son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con
diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números positivos y negativos, siempre representaban una cantidad de
unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos
del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones
de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India. [2]
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad
poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy
llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de
30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
3.2 Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3 − 5 = ?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin
embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias
y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde
1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde
2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o
perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades
se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000
− 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una
ganancia negativa.
3.2.1 Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos
(«−») delante se obtienen los números negativos:
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama
números positivos.
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar
o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».
3.2.2 La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están
ordenados se utiliza la recta numérica:
13. 10 CAPÍTULO 3. NÚMERO ENTERO
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto
mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
3.3 Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números
naturales.
3.3.1 Suma
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
3.3.2 Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
14. 3.4. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 11
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
3.3.3 Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto
del resultado.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad
distributiva:
Ejemplo.
• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
3.4 Propiedades algebraicas
• El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene
una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una relación de orden. Los números enteros
pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.
• El conjunto ℤ de los números enteros es coordinable con el conjunto ℕ de los números naturales. O sea que se
puede establecer un correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos. [3]
3.5 Véase también
• Parte entera
• Entero (tipo de dato)
3.6 Referencias
[1] Una de las versiones constructivas de los números naturales de Peano
[2] Raúl Rodríguez y otros.« Cálculo diferencial e integral. » Primera parte. Editorial Pueblo y Educación. La Habana (1988)
pág. 2
[3] Lía Oubiña. «Introducción a la teoría de conjuntos». Publicación de Eudeba. Buenos Aires
15. 12 CAPÍTULO 3. NÚMERO ENTERO
3.6.1 Bibliografía
• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006). Mathematics. Applications and
Concepts. Course 2 (en inglés). McGraw-Hill. ISBN 0-07-865263-4.
• Héfez. Introducción al álgebra
• A. G. Tsipkin. Manual de matemáticas.
• Birkhoff y Mac Lane. Álgebra Moderna
• A. Adrian Albert. Álgebra superior
• Frank Ayres. Álgebra Moderna
• César A. Trejo. Concepto de número
3.6.2 Enlaces externos
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número entero.Wikcionario
16. Capítulo 4
Signo (matemáticas)
Los signos más y menos se utilizan para mostrar el signo de un número entero, racional o real.
En matemáticas, la palabra signo se refiere a la propiedad de ser positivo o negativo. Todos los números enteros
distintos de cero son positivos o negativos, y tienen por tanto un signo. Lo mismo ocurre para los números racionales
o reales no nulos (para los números complejos, en cambio, no puede definirse un signo global, sólo signos para las
partes real e imaginaria, ya que no son un conjunto que admita un orden compatible con la multiplicación).
El signo de un número se representa con los signos más y menos, «+» y «−». La palabra «signo» también se utiliza
para referirse estos símbolos matemáticos, entre otros (como el signo de multiplicación).
4.1 Signo de un número
En matemáticas es necesario a veces representar cantidades más pequeñas que cero. Existen diversos ejemplos:
13
17. 14 CAPÍTULO 4. SIGNO (MATEMÁTICAS)
• Temperatura: a cero grados Celsius, 0°C, el agua se congela; sin embargo, es posible enfriar aún más el hielo
u otras sustancias, y dichas temperaturas son por tanto más pequeñas que 0°C.
• Altitud: en geografía, la altitud de un punto se mide con respecto al nivel del mar. Algunas zonas deprimidas
pueden estar por debajo del nivel del mar, y por tanto su altura es menor que cero metros, 0 m.
Los números más pequeños que cero son números negativos y para representarlos se les añade un signo menos, «−».
Todos los números negativos son pues menores que cero: −2 < 0 , −7/2 < 0, etc. Los números mayores que cero,
como 1, 7, 13/5, ..., son números positivos, y para distinguirlos mejor de los negativos, se les añade un signo más «+»
delante:
Así que 5 y +5 representan el mismo número. Como los números positivos son mayores que cero se tiene que : 5 > 0
, 9,4 > 0 , etc.
El signo de un número es por tanto una manera de hablar tanto del símbolo que lo precede, como de la propiedad
que tenga ese número de ser mayor o menor que cero.
Es habitual también distinguir entre la propiedad de ser positivo y la propiedad de ser no negativo, y viceversa. Como
su propio nombre indica, un número que es no negativo no es negativo, por lo que o es positivo o es el cero:
Una manera de representar esto es mediante los símbolos «mayor o igual» y «menor o igual», ≥ y ≤. Los números
no negativos son mayores o iguales a cero, ≥ 0; y los números no positivos son menores o iguales a cero, ≤ 0.
4.1.1 Signo de cero
El cero, 0, no es un número positivo ni negativo, ya que no es mayor ni menor que sí mismo. Sin embargo, se puede
representar con signo más o menos, +0 ó −0, indistintamente, ya que no causa ninguna ambigüedad en las operaciones
aritméticas.
(En algunos contextos, el signo de cero puede ser relevante, de forma que +0 y −0 representen cosas distintas. Véase
cero con signo.)
4.1.2 Regla de signos
La regla de signos resume el comportamiento del producto de números positivos y negativos. El producto de dos nú-
meros positivos es evidentemente un número positivo, igualmente puede argumentarse intutivamente que el producto
de un número negativo por un positivo es negativo. Menos intuitivo es el hecho de que el producto de dos números
negativos es un número positivo. La regla de signos se expresa mediante cuatro partes:
(+) · (+) = (+)
(−) · (−) = (+)
(+) · (−) = (−)
(−) · (+) = (−)
4.2 Función signo
La función signo, sgn(x) es una función que sólo depende del signo del número sobre el que actúa. Esto significa que
sgn(x) tiene un cierto valor para todos los números positivos, otro cierto valor para todos los números negativos, y
otro para cero. Más concretamente, la función signo es:
4.3 Existencia de signo
El hecho de que pueda definirse el signo sobre un conjunto de números que forma un anillo requiere que pueda
definirse una relación de orden total y conjunto de números positivos (o noción de positividad)
18. 4.3. EXISTENCIA DE SIGNO 15
La función signo.
El signo puede definirse siempre que pueda definirse la noción de positividad o conjunto de números positivos P que
satisface las siguientes condiciones:
1. Dados dos números a y b que pertenecen a P, entonces a + b pertenecen a P.
2. Dados dos números a y b que pertenecen a P, entonces a · b pertenecen a P.
3. Si c∈P sólo una de las siguientes proposiciones es válida:
c ∈ P, c = 0, −c ∈ P
donde −c designa el elemento opuesto respecto a la suma.
El hecho de que los números complejos no admitan un signo compatible con el definido para los números reales se
refleja en que tanto la suposición de que i > 0 y i < 0 conducen a contradicción:
Si 0 < i eso implicaría que 0 < i·i = −1
Si 0 > i entonces −i > 0 y eso implicaría que 0 < (−i)·(−i) = −1
En los dos casos se obtiene una contradicción.
Para los cuerpos finitos tampoco se puede definir la noción de signo ya que al ser cíclicos respecto a la multiplicación
existe un n tal que:
19. 16 CAPÍTULO 4. SIGNO (MATEMÁTICAS)
n
a + · · · + a = −a
Por la primera condición que define el conjunto de los positivos, si a>0 entonces el primer término debe ser positivo,
pero por la tercera condición −a<0 , lo cual es una contradicción.
4.4 Enlaces externos
• Esta obra deriva de la traducción de Sign (mathematics) de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo
la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0
Unported.
20. 4.5. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 17
4.5 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
4.5.1 Texto
• Cuenta (matemáticas) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Cuenta_(matem%C3%A1ticas)?oldid=84774670 Colaboradores: BOT-Superzerocool,
CEM-bot, JAnDbot, Dnu72, Kikobot, Raulshc, Xqbot, Jkbw, RedBot, Jerowiki, ZéroBot, HRoestBot, ChuispastonBot, MerlIwBot, Sa-
rahStierch, Acratta, Addbot y Anónimos: 7
• Contar Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Contar?oldid=83515691 Colaboradores: Vivero, Netzahualcoyotl, Yrbot, The Photograp-
her, CEM-bot, JMCC1, Retama, Ingenioso Hidalgo, Egaida, OceanO, VolkovBot, Technopat, DJ Nietzsche, Muro Bot, Feministo, Racso,
BOTarate, HUB, Leonpolanco, Raulshc, AVBOT, Angel GN, Diegusjaimes, Kender00, Jkbw, Jerowiki, PatruBOT, JA Galán Baho, Ser-
gio Andres Segovia, Grillitus, MercurioMT, Whatsupchap, AleMaster23, Acratta, Minsbot, Addbot y Anónimos: 39
• Número entero Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero?oldid=85981602 Colaboradores: AstroNomo, Maveric149,
Youssefsan, Macar~eswiki, Juancri, Joseaperez, Sabbut, Moriel, Abgenis, Rob Hooft, Pieter, Faco~eswiki, HooftBot~eswiki, Robbot,
Sanbec, Vivero, Zwobot, Comae, Dodo, Yearofthedragon, Ascánder, Sms, Renabot, FAR, Soulreaper, RobotJcb, Airunp, Taichi, Rembia-
po pohyiete (bot), Magister Mathematicae, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Alhen, Superzerocool, Caiserbot, Yrbot, BOT-Superzerocool,
FlaBot, Maleiva, Vitamine, .Sergio, YurikBot, GermanX, Wewe, Beto29, Eloy, Txo, Banfield, Er Komandante, Zanaqo, Juan Marquez,
Kn, BOTpolicia, Hawking, CEM-bot, Jorgelrm, Laura Fiorucci, Rubenerm, JMCC1, Especiales, Marianov, Eli22, Baiji, Karshan, Davius,
Rastrojo, Rosarinagazo, Jjafjjaf, FrancoGG, Ggenellina, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Airwolf, Alvaro qc, Tortillovsky, Escarbot, Roy-
Focker, Doctor C, Botones, Isha, JAnDbot, Karlozshida, Kved, Charly Toluca, Muro de Aguas, Gsrdzl, TXiKiBoT, Alephcero~eswiki,
Gustronico, Humberto, Netito777, Xsm34, Fixertool, KanTagoff, Pólux, Jmvkrecords, Manuel Trujillo Berges, AlnoktaBOT, VolkovBot,
Technopat, C'est moi, Raystorm, Matdrodes, Synthebot, AlleborgoBot, Muro Bot, MiguelAngel fotografo, Gerakibot, SieBot, Mushii, Lo-
veless, MiguelAngelCaballero, Marcelo, Mel 23, Manwë, Greek, BuenaGente, Belb, PipepBot, Xqno, Tirithel, M S, Jarisleif, Javierito92,
Dnu72, Valentin vendetta, Nicop, DragonBot, Farisori, Eduardosalg, Leonpolanco, Pan con queso, Frankilin, Alejandrocaro35, Furti,
Petruss, Poco a poco, BodhisattvaBot, Raulshc, Açipni-Lovrij, Camilo, UA31, AVBOT, Msdus, David0811, Angel GN, Diegusjaimes,
Davidgutierrezalvarez, Tharasia, MelancholieBot, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Borboteo, Jarev, Nixón, Gilaaa, Roninparable,
SuperBraulio13, Juamax, Almabot, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Sofiaa B, Dreitmen, Ricardogpn, Kismalac, Igna, Botarel, Panderine!, BO-
Tirithel, Gusbelluwiki, Hprmedina, Pimer, TobeBot, Halfdrag, Kelvin539, PatruBOT, CVBOT, Fran89, Angelito7, Pabcar, Ripchip Bot,
Humbefa, Foundling, Mathonius, Jonathan11117, Adriansm, Edslov, EmausBot, Bachi 2805, Savh, AVIADOR, ZéroBot, Allforrous,
Sergio Andres Segovia, Camiz10, Africanus, Esteban474, Grillitus, Rubpe19, Jcaraballo, ChuispastonBot, MadriCR, Waka Waka, Wi-
kitanvirBot, Edp3, Jacoki, AvocatoBot, Sebrev, Travelour, Ginés90, Jacastrou, Maaavilapa, JhsBot, Allan Aguilar, -seb-, Harpagornis,
LlamaAl, DarafshBot, Helmy oved, 2rombos, ProfesorFavalli, Miniush, Zimplemente silvestrista, Legobot, Holaquetalcomoteva, Loli-
tololita, Seroto, Ivanretro, Addbot, VALERIAFORERODIAZ, Balles2601, DavosMat, Aydv 2013, Solanni1, Manuel Balarezo, Nicolas
pellizzari, MrCharro, Jarould, Matiia, Crystallizedcarbon, Luisangelventuravelez, BenjaBot, DixieGarzaAlvarez, Información Falsa Para
Todos, Renérafael, Devin Rivera, X2y3, Sfr570, Estibens sanchez, Jesus david rosado, Tarm92, Clawdeen22 y Anónimos: 803
• Signo (matemáticas) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)?oldid=85051822 Colaboradores: BOT-Superzerocool,
Davius, Rwheimle, Dnu72, UA31, Arjuno3, SuperBraulio13, Jkbw, Kismalac, Jerowiki, Savh, AVIADOR, Grillitus, MerlIwBot, KLBot2,
Justincheng12345-bot, JacobRodrigues, Jarould, Crystallizedcarbon, L.F.R.L y Anónimos: 31
4.5.2 Imágenes
• Archivo:AdditionRules-2.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/AdditionRules-2.svg Licencia: CC BY-
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• AdditionRules.svg Artista original: AdditionRules.svg: Ezra Katz
• Archivo:Commons-emblem-question_book_orange.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Commons-emblem-question_
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21. 18 CAPÍTULO 4. SIGNO (MATEMÁTICAS)
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4.5.3 Licencia del contenido
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