1. TEMA: OPERACIONES CON NUMEROS REALES
SEMESTRE: II Msc. Alberto Pazmiño.
NUMEROS RACIONALES
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS
RACIONALES
• Es un conjunto Infinito.
• Es un conjunto muy denso, entre dos
números racionales siempre existe otro
número racional.
• Todo número racional tiene una
expresión decimal equivalente.
• A cada número racional le corresponde
un punto en la recta numérica, pero a todo
punto no le corresponde un número racional.
• Es un conjunto ordenado, entre dos
números racionales diferentes, siempre es
uno mayor que el otro.
Las fracciones irreductibles, representan una
clase de equivalencia y forman el conjunto de
los números racionales Q,
DE FRACCION A NUMERO DECIMAL
• 3,8 =
9
35
9
338
=
−
Decimal periódico mixto
• 1,26 =
15
19
90
114
90
12126
==
−
NUMEROS IRRACIONALES
Un número irracional se puede expresar por:
• Un número decimal no periódico de infinitas
cifras.
• Un conjunto de números racionales con
aproximación por defecto o por exceso
Algunos números irracionales.
2 = 1,414213...
3 = 1,732 050...
5 = 2, 236 067 ...
7 = 2, 645 751 ...
11 = 3, 316 624 ...
π = 3, 141592 ...
∈ = 2, 718281 ...
Ejercicios
1. Halla la fracción generatriz de:
a) 4,5 b) 3,128 282 8...
2. Halla la fracción generatriz y
resuelve
2,7 –5,3 . 0,27
3. Resuelve 1,5 + 0,8 - 23,1
2,0
4. Indica que tipo de expresión
decimal representa las fracciones
a)
11
13
b)
15
16
c)
31
33
5. Halla la suma de los
numeradores de las generatrices
de 0,32 y 1,1316
FRACCION
EXPRESIÓN DECIMAL
TIPO
2
3
2
3
=
10
15
= 1,5
Exacto o
limitado
11
5
11
5
= 0,4545...
Periódico
puro
6
13
6
13
= 2,1666...
Periódico
mixto
GENERATRIZ DE UN NUMERO
DECIMAL
Expresión
decimal
Fracción generatriz
1,625
Exacto o
limitado
1,625 =
8
13
1000
1625
=
2,1717...
Periódico
Puro
2,17 =
99
215
99
2217
=
−
2,45151...
Periódico
mixto
2,451 =
330
809
990
2427
990
242451
==
−
Decimal limitado:
0,25 =
4
1
100
25
=
Decimal periódico puro
0,36 =
11
4
33
12
99
36
==

2. NUMEROS REALES
El conjunto de los números racionales y el de
los de los números irracionales conforman el
conjunto de los números reales y se designa
por R
Existen números reales positivos, R+
, y
números reales negativos, R-
R = R-
∪ {0} ∪ R+
R
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
I ⊂ R
R = Q ∪ I
RECTA REAL
2
9−
-
π -
2
10
5
5 9
RECTA REAL
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
APROXIMACIONES
Cuando necesitamos operar con números
reales nos vemos obligados, en muchas
ocasiones, a manejar decimales con muchas
cifras. sabemos que las expresiones decimales
de un número real se reducen a los siguientes
tipos
Redondeamos los decimales hasta los
centésimos:
4,736 = 4,74
1,318 = 1,32
0,576 = 0,58
Aproximación de 4,736
4,736
4,73 4,736 4,74
Aproximación de 0,576
0,576
0,57 0,576 0,58
Para truncar un número decimal se eliminan sus
cifras a partir de un cierto orden. Para redondear
hasta cierto orden n, se deja la cifra de orden n
como está, si la que sigue es menor que 5; y se
aumenta en una unidad, si la que sigue es mayor o
igual que 5
Ejercicios
1. Ubica en la recta real los números
irracionales π y 2
Solución
Hallamos la expresión decimal de cada uno:
π = 3,1416... 2 = 1,4142...
• Ubicamos sus valores aproximados
2 π
0 1 2 3
2. ¿Cual es el valor de 2 + 3 con
aproximación a las milésimas?
Solución
Hallamos los valores decimales de cada raíz:
2 = 1,4142... 3 = 1,7320...
Calculamos la suma con los valores decimales
aproximados a las milésimas.
2 + 3 = 1,414 + 1,732 = 3,146
Tarea
Resuelve las siguientes operaciones y redondea según se
indique
a)
2
5
(al centésimo)
b) π + 5 - 2,49 (al centésimo)
c) 0,51 x 2,13 (al milésimo)
d) 9 - 4 + 2,13 + 7 (al centésimo)
e) 2
3
12
:6
15
2
4
5
+−x (al milésimo)
Exacto Periódico
puro
Periódico mixto Ilimitado no
periódico
4,736 0,576 1, 318 2 = 1,41421356...
Como no podemos operar con infinitas cifras,
tomamos aproximaciones de estos números
para efectuar operaciones con ellos.
Una aproximación o valor aproximado de un
número es otro número próximo al primero al
cual representa y sustituye. Por ejemplo, el
decimal 0,33 es una aproximación del número
0, 3 . Para aproximar un número se suelen
utilizar dos técnicas: truncamiento y redondeo.
Ejemplos:
Truncamos los decimales hasta los centésimos:
4,736 = 4,73
1,318 = 1,31
0,576 = 0,57
Q I
Z
N

3. TEMA: INTERVALOS
SEMESTRE: II Msc. Alberto Pazmiño
INTERVALOS
Alguna vez hemos escuchado que se ha
averiado un tramo de una carretera. Por
ejemplo, nos dicen que entre los kilómetros 12
y 18 de la carretera central ha caído un
“huaico”.
Tramo de la Carretera Central
A un tramo de la recta numérica se llama intervalo.
CLASES DE INTERVALOS
INTERVALOS NO ACOTADOS
X < 3 x ≥ 3
-1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7
] [3;∞− = {x /x ∈R, x < 3} [ [∞;3 = {x /x ∈R, x
≥ 3}
OPERACIONES CON INTERVALOS
Unión de intervalos:
La unión de dos intervalos I1 = [ ]6;2− y I2 =
[1; 8] es el conjunto de números reales que
pertenecen a l menos a uno de los dos
intervalos .
I2
I1
I1 ∪ I2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
I1 ∪ I2 = [-2; 6] ∪ [1; 8] = [-2; 8]
Intersección de intervalos:
Intervalo
Abierto
] [ba,
Intervalo
cerrado
[ ]ba,
Intervalo
abierto a la
derecha
[ [ba,
Intervalo abierto
a la izquierda
] ]ba,
-1 3
a b
-1 3
a b
-1 3
a b
-1 3
a b
Km
12
Km
18
Un intervalo de números reales es el conjunto de
números correspondientes a una parte de la recta
numérica, en consecuencia, un intervalo es un
subconjunto del conjunto de los números reales

4. La Intersección de dos intervalos es el
conjunto de los números reales que
pertenecen a la vez a los dos intervalos.
I2
I1
I1 ∩ I2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
I1 ∩ I2 = [-2; 6] ∩ [1; 8] = [1; 6]
Diferencia de Intervalos :
La diferencia del intervalo I1 y I2 es el conjunto
de los números reales que pertenecen al
intervalo I1 y no pertenecen al intervalo I2
I2
I1
I1 - I2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
I1 - I2 = [-2; 6] - [1; 8] = [-2; 1[
Ejemplo 1: ¿Cuál es la unión, la intersección y
la diferencia de intervalos?.
• El intervalo abierto ] [ba, está formado
por los números reales x comprendidos entre
a y b excluidos a y b. Se expresa:
] [ba, = {x/x ∈ R, a< x < b}
• El intervalo cerrado [ ]ba, está formado
por los números reales x comprendidos entre
a y b incluidos a y b. Se expresa:
[ ]ba, = {x/x ∈ R, a ≤ x ≤ b}
• El intervalo semiabierto [ [ba, está
formado por los números reales x
comprendidos entre a y b incluidos a. Se
expresa: [ [ba, = {x/x ∈ R, a ≤ x < b} el
Intervalo semiabierto ] ]ba, está
formado por los números reales x
comprendidos entre a y b incluidos b. Se
expresa
] ]ba, = {x/x ∈ R, a < x ≤ b}
• Otros intervalos que se consideran en la
recta son los no limitados o no acotados.
Ejemplo 1. el conjunto de números
menores que 3 se expresa por x< 3 y se
representa por una semirrecta de origen 3
que no contiene al 3.
El conjunto de números mayores o iguales a
3 se expresa por x ≥ 3 y se representa por
Una semirrecta de origen 3 que contiene al 3

5. VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
El valor absoluto de un número real es la
distancia del punto al cual corresponde, con
respecto al origen. Se denota por |a| (valor
absoluto) donde:
| -a | = a | +a | = a
- Si |x| = < 2, x es cualquier número real
del intervalo abierto ] –2; 2 [
|x| < 2, ó –2 < x < 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
- Si |x| = ≤ 2, x es cualquier número real
del intervalo cerrado [ –2; 2 ]
|x| ≤ 2, ó –2 ≤ x ≤ 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
- Si |x| = > 2, x es cualquier número real de
los intervalos ]– ∞ ; -2[ ∪ ]2; ∞ [
- Si |x| = ≥ 2, x es cualquier número real
de los intervalos ]– ∞ ; -2] ∪ [2; ∞ [
PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO
[a; b] =
2
ba +
Ejemplo; El punto medio del intervalo [-5, 3]
Solución
[-5, 3] = 1
2
35
−=
+−
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Ejemplo 2: Representa en notación
conjuntista y grafica el siguiente intervalo:
a) ] 3; 9]
Expresamos la notación conjuntista
] 3; 9] = { x/x ∈R; 3< x ≤ 9}
Representamos gráficamente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ejemplos 3:Hallar los posibles valores de x
en: |X – 4| = 6
Solución
Si el valor absoluto es 6, entonces lo que está
dentro del paréntesis tiene la posibilidad de
tener dos valores:
Si x – 4 = 6, entonces x = 10
Si x – 4 = -6, entonces x = -2
Comprobación
Para x = 10
Para x = -2
Ejemplo 4: Hallar los posibles valores de:
|3x – 2| ≤ 11
Solución
Expresamos el valor absoluto de |3x – 2| ≤ 11
- 11 ≤ 3x – 2 ≤ 11
-11 + 2 ≤ 3x ≤ 11+ 2
-9 ≤ 3x ≤ 13
-
3
9
≤ x ≤
3
13
- 3 ≤ x ≤
3
13
Expresamos en intervalo y representamos en
la recta numérica 





−
3
13
;3
3
13
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Tarea:
1. Representa gráficamente el punto medio
del intervalo: [ -6; -5/2]
2. Calcula y representa en la recta numérica
los siguientes intervalos:
A) ]1; 5[∩ [4; 6]
B) [-4; 7] ∩ ]4; 8]
C) ]-3; 6] – [2; 7]
3. Halla los posibles valores de x en cada
caso:
a) |2x – 5| = 11
b) |x - 15| = 2
4. Halla el resultado de las siguientes
operaciones:
a) |-5 +|-2-3|| b) |-3 – 10| - 20

6. VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
El valor absoluto de un número real es la
distancia del punto al cual corresponde, con
respecto al origen. Se denota por |a| (valor
absoluto) donde:
| -a | = a | +a | = a
- Si |x| = < 2, x es cualquier número real
del intervalo abierto ] –2; 2 [
|x| < 2, ó –2 < x < 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
- Si |x| = ≤ 2, x es cualquier número real
del intervalo cerrado [ –2; 2 ]
|x| ≤ 2, ó –2 ≤ x ≤ 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
- Si |x| = > 2, x es cualquier número real de
los intervalos ]– ∞ ; -2[ ∪ ]2; ∞ [
- Si |x| = ≥ 2, x es cualquier número real
de los intervalos ]– ∞ ; -2] ∪ [2; ∞ [
PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO
[a; b] =
2
ba +
Ejemplo; El punto medio del intervalo [-5, 3]
Solución
[-5, 3] = 1
2
35
−=
+−
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Ejemplo 2: Representa en notación
conjuntista y grafica el siguiente intervalo:
a) ] 3; 9]
Expresamos la notación conjuntista
] 3; 9] = { x/x ∈R; 3< x ≤ 9}
Representamos gráficamente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ejemplos 3:Hallar los posibles valores de x
en: |X – 4| = 6
Solución
Si el valor absoluto es 6, entonces lo que está
dentro del paréntesis tiene la posibilidad de
tener dos valores:
Si x – 4 = 6, entonces x = 10
Si x – 4 = -6, entonces x = -2
Comprobación
Para x = 10
Para x = -2
Ejemplo 4: Hallar los posibles valores de:
|3x – 2| ≤ 11
Solución
Expresamos el valor absoluto de |3x – 2| ≤ 11
- 11 ≤ 3x – 2 ≤ 11
-11 + 2 ≤ 3x ≤ 11+ 2
-9 ≤ 3x ≤ 13
-
3
9
≤ x ≤
3
13
- 3 ≤ x ≤
3
13
Expresamos en intervalo y representamos en
la recta numérica 





−
3
13
;3
3
13
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Tarea:
1. Representa gráficamente el punto medio
del intervalo: [ -6; -5/2]
2. Calcula y representa en la recta numérica
los siguientes intervalos:
A) ]1; 5[∩ [4; 6]
B) [-4; 7] ∩ ]4; 8]
C) ]-3; 6] – [2; 7]
3. Halla los posibles valores de x en cada
caso:
a) |2x – 5| = 11
b) |x - 15| = 2
4. Halla el resultado de las siguientes
operaciones:
a) |-5 +|-2-3|| b) |-3 – 10| - 20