Apuntes para 3º PMAR MAtemáticas

1. Los números enteros
1
MatemáticasTEMA 1

2. Los números enteros
2
MatemáticasTEMA 1
Introducción
En esta unidad veremos propiedades de los números enteros, como se opera con ellos (con y
sin calculadora), los números primos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo y por
últimos resolveremos problemas aplicando lo aprendido
1. Los números enteros
De sobra conoces ya los números naturales, son los
primeros que aprendiste, todos son positivos y no
son decimales: 1, 2, 3….134…1598….
En la vida real hay situaciones en las que los
números naturales no son suficientes.
Por ejemplo: si tienes 10 euros y debes 15 euros
¿De cuánto dispones?.
En invierno, hace tanto frío que a veces hay
temperaturas por debajo de 0º C, a veces decimos
hay -4 º C.
El conjunto de los números enteros (Z) son una
ampliación de los naturales:
Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +).
Los enteros negativos van precedidos del signo -.
El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.
Figura 1.- Conjuntos de números

3. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
Los números enteros se pueden representar en la recta numérica, es una línea en
la que los positivos se colocan a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda del
0, la distancia entre dos números consecutivos tiene que ser siempre la misma:
El valor absoluto de un número entero es la distancia que le separa del cero.
Se escribe entre dos barras | | y es el número sin su signo:
|+a| = a |-a| = a
|+3| = 3 |-4| = 4
2.- Suma y diferencia de números enteros
 Si dos números enteros tienen el mismo signo se suman los valores
absolutos y al resultado se le pone el signo de los sumandos:
(+4)+(+3)= (+7) (-5)+(-6)= (-11)
 Si dos números enteros tienen distinto signo, se restan sus valores
absolutos y el resultado tendrá el signo de el de mayor valor absoluto.
(+8)+(-3)= (+5) (-7)+(+6)= (-1)
Diferencia
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto al sustraendo:
(-3) - (+5) = (-3) + (-5) = (-8)
Suma de tres o más enteros
Para sumar tres ó más enteros tenemos dos métodos:
1) agrupar los dos primeros sumandos y sumar al resultado el tercer sumando
+6 -4 +3 = +2 +3 = +5
En el caso de 4 sumandos se puede agrupar de dos en dos:
+6 -4 +3 -2 = +2 +1 = +3

4. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
2) sumar los positivos por un lado (tener) y los negativos (deber) por el otro y finalmente
hallar el resultado
deber tener
-7 +8 -5 = -12 +8 = -4
deber tener
+6 -4 +3 -2 = -6 +9 = +3
Operaciones con paréntesis
No podemos escribir dos signos seguidos, debemos separarlos mediante un
paréntesis.
+ (+a) = +a - (+a) = - a
+ (- a) = - a - (- a) = +a
Para suprimir un paréntesis que tenga delante un signo (+) se dejan los signos del
interior del paréntesis como están.
Ejemplo: 6 + (–2 + 5 – 4) = 6 – 2 + 5 – 4 = 5
• Si el signo que precede al paréntesis es (–), se cambian todos los signos del
interior.
Ejemplo: 6 – (–1 + 5 – 4) = 6 + 1 – 5 + 4 = 6
3.- Criterios de divisibilidad
Un numero primo solo es divisible por uno y por si mismo.
Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un
múltiplo de 4.
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5.
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores
absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus
cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.

5. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
4.- Descomposición de números en factores primos
Imagina que tienes el número 12 y queremos descomponer en factores primos:
un factor puede ser 6 otro, 2 y ya tenemos que
12 = 2 x 6
Pero 6 no es un número primo porque 6 = 2 x 3
Cuando vamos a descomponer un número en factores primos, comenzamos
siempre por los factores más pequeños.
Escribimos el número a descomponer y a su derecha trazamos una recta vertical y
detrás de ésta, vamos colocando los factores primos comenzando por el menor.
Ahora tienes que recordar muy bien cuándo un número es divisible por 2, 3, 5, 7,
11, 13,
Ejemplo descompón 360 en factores primos
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El mínimo común múltiplo (m.c.m. o mcm) de varios números es el menor de
submúltiplos comunes.
Para calcularlo:
Factorizamos los números
Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores
exponentes
El m.c.m. es el producto de los factores anteriores
Ejemplo:

6. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
Los factores son: 2,3,5 y elevados a los mayores exponentes (dentro de un
recuadro) serían: 23
, 32
, 5.
Multiplicando los factores anteriores se obtiene el mcm
Máximo común divisor (M.C.D)
El Máximo Común Divisor (M.C.D. o MCD) de varios números es el mayor de
susdivisores comunes.
Para cacularlo:
Factorizamos los números
Tomamos todos los factores comunes elevados a los menores exponentes
El M.C.D. es el producto de los factores anteriores
Ejemplo:

7. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
Factores comunes (a todos los números): 2, y elevado al menor exponente (dentro
de un recuadro) sería: 22.
Por tanto:
5.- Multiplicación y división de números enteros
La multiplicación y división de enteros se realiza de izquierda a derecha, igual que
las mismas operaciones con números naturales, pero en dos fases: por un lado
calculamos el resultado de operar los signos (+ o -, según los números sean
positivos o negativos), y por otro lado calcularemos el resultado de operar
las cantidades (ya sin su signo).
Por ejemplo, para operar (-7)·(-4), multiplicaremos - · - por un lado, y 7 por 4 por
otro.
La operación de "multiplicar signos" se rige de nuevo por la regla de los signos.

8. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
Así, 7 por 4 da 28, y "menos" por "menos" da "más", de manera que el resultado es
+28 (si el número es positivo escribiremos simplemente 28).
Esto sirve también para el caso de la división y la regla de los signos es igualmente
válida.
Operaciones combinadas
Las operaciones combinadas son operaciones mixtas sobre enteros, es decir, se
hacen distintas operaciones, sumas, restas, productos o cocientes. Para ello es
necesario establecer una prioridad a la hora de operar.
Prioridad de operaciones:
En las operaciones combinada pueden aparecer corchetes [], paréntesis() ,
productos, cocientes, sumas o restas. Las prioridades operando son:
1. Corchetes
2. Paréntesis
3. Productos y cocientes
4. Sumas y restas
Ejemplo
4 [ -9 (8-6-4) -8 ] +2 [ - (-9+3+9) -3 ]
Se quitan los paréntesis que hay dentro de cada corchete operando con su
contenido
4[-9(-2)-8]+2[-(+3)-3]
Calculamos dentro de los corchetes
4[18-8]+2[-6]=4·10+2·(-6)
Finalmente multiplicamos y sumamos, concediendo prioridad al producto
40-12=28
Ejercicios ya hechos
Números reales troncho y poncho

9. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
1.- Potencias
Una potencia; no es más que una expresión abreviada, que se utiliza para escribir el producto
de factores iguales.
Ejemplo:
26
= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 64
Donde:
Base= 2
Exponente= 6
Potencia = 64
Potencia de base de un número negativo
En las potencias de números de base negativa; obtenemos alternativamente resultados
positivos y negativos.
Por ejemplo:
(-2)1
= -2
(-2)2
= (-2)•(-2) = 4
(-2)3
= (-2)•(-2)•(-2)= - 8
(-2)4
= (-2)•(-2)•(-2)•(-2)= 16
Con lo cual podemos inducir la siguiente regla:
Al elevar un número entero negativo a una potencia de exponente natural par; el resultado
tendrá siempre signo positivo.
Al elevar un número entero negativo a una potencia de exponente natural impar; el resultado
tendrá siempre signo negativo.
2.- Propiedades de la potenciación:
1. Exponente cero:
Toda potencia elevada a un exponente cero, es igual a la unidad.

10. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
a0
= 1 30
= 1 (-2)0
= 1
2. Exponente unitario:
Toda potencia elevada a exponente unitario, es igual a la misma base.
a1
= a 51
= 5 (-3)1
= -3
3 Operaciones con potencias
Ejercicios:

11. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
3.- Notación científica
La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y
representar en forma sencilla números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se
usan potencias de diez.
En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la
denominada notación científica.
Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la
desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el
número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos
lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda
de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma
decimal.
Es más fácil entender con ejemplos:
732,5051 = 7,325051 • 102
(movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)
−0,005612 = −5,612 • 10−3
(movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).
Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos
indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es
2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.
Escala del Universo
Potencias de 10 y notación científica video
Como usar la calculadora en modo científico
Operaciones con números en notación científica
Multiplicar
Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales de las notaciones científicas y se
aplica producto de potencias para las potencias de base 10.
Ejemplo:
(5,24 • 106
) • (6,3 • 108
) = 5,24 • 6,3 • 106 + 8
= 33,012 • 1014
= 3,301215

12. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
Dividir
Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de
potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva
notación científica.
Hagamos una división:
(5,24 • 107
)
(6,3 • 104
)
=
(5,24 ÷ 6,3) • 107−4
= 0,831746 • 103
= 8,31746 •
10−1
• 103
= 8,31746 • 102
Suma y resta
Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este
ejemplo:
5,83 • 109
− 7,5 • 1010
+ 6,932 • 1012
=
lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las
potencias de 10, en este caso el factor será 109
(la potencia más pequeña), y factorizamos:
109
(5,83 − 7,5 • 101
+ 6,932 • 103
) = 109
(5,83 − 75 + 6932) = 6.862,83 • 109
Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda:
6,86283 • 1012
, si eventualmente queremos redondear el número con solo dos decimales,
este quedará 6,86 • 1012
.
Potenciación
Si tenemos alguna notación científica elevada a un exponente, como por ejemplo
(3 • 106
)2
¿qué hacemos?
Primero elevamos (potenciamos) el 3, que está al cuadrado (32
) y en seguida multiplicamos los
exponentes pues la potencia es (106
)2
, para quedar todo:
9 • 1012
4.- Múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida
En muchas ocasiones, y dado que carece de sentido expresar el resultado de una medida en la
unidad correspondiente del Sistema Internacional, se recurre al empleo de múltiplos y
submúltiplos.

13. Los números enteros
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MatemáticasTEMA 1
No tendría mucho sentido expresar la distancia entre la Tierra y la Luna en metros, ni tampoco
sería adecuado utilizar esta unidad para medir el grosor de un cabello.
La tabla adjunta contiene los múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional de Unidades.
Puesto que hay medidas tan grandes y tan pequeñas, para facilitar los cálculos, las medidas
suelen expresarse mediante lo que se conoce como notación científica.