Power Point números racionales

1. LOS NÚMEROS
RACIONALES
Prof. Isaías Correa Marín

2. OBJETIVOS:
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos
numéricos en sus diversas formas de expresión,
tanto en las ciencias exactas como en las ciencias
sociales y en el ámbito cotidiano.
• Aplicar la operatoria básica en los números
naturales y enteros.

3. OBJETIVOS:
• Aplicar las operaciones básicas en los números
racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones
con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

4. 1. Números racionales (Q)
1.1 Propiedades de los racionales
1.2 Operatoria en los racionales
1.3 Transformaciones de números racionales
1.4 Comparación de fracciones
2. Números irracionales (Q*)
Contenidos
3. Números reales ( IR )
4. Números imaginarios ( II )
5. Números complejos ( C )
1.5 Secuencia numérica

5. 1.NÚMEROS RACIONALES (Q)
Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde
todos los números se pueden escribir como fracción,
es decir:
a
b
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
Q =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2;
7
0,489; 2,18; -0,647
-1;
8
14;
3
15
,0
NO es racional
a: numerador y b: denominador

6. Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0),
3 es Entero (3 Z), y como
3 = , 3 es racional (3 Q).
3
1



IN IN0 Z Q
  
Todo número entero es racional.


7. Diagrama representativo:

8. 1.1 Propiedades de los racionales
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙
3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el
numerador como el denominador por un mismo
número.
6
6
Al amplificar la fracción por 6 resulta:
2
3
=
12
18
• Las fracciones se pueden clasificar en:
Fracción propia, donde el numerador es menor que el
denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que
el denominador.
Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y
de otra fraccionaria.

9. Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el
numerador como el denominador por un mismo
número.
3
3
=
9
15
Al simplificar la fracción por 3 resulta:
27
45
27 :
45 :
• Inverso multiplicativo o recíproco
de una fracción
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2
9
es: 9
2
Ejemplo:

10. 1.2 Operatoria en los racionales
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15
+
7
15
=
11
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15
+
7
45
=
2∙3 + 7∙1
45
=
6 + 7
45
=
13
45
4
15
-
7
15
=
-3
15
y

11. 3. Si los denominadores son primos entre sí:
5
12
+
7
18
=
5∙3 + 7∙2
36
15 + 14
36
= =
29
36
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
4
5
+
7
8
=
4∙8 + 5∙7
40
32 + 35
40
= =
67
40

12. -4
5
∙
8
7
=
-32
35
=
• Multiplicación:
Ejemplo:
-4
5
7
8
=
∙
-28
40
=
28
40
-
• División:
Ejemplo:
-4
5
:
7
8
=
32
35
-
• Número Mixto:
Ejemplo:
8
3
5 =
8∙5 + 3
5
=
43
5

13. 1.3 Transformación de números racionales
• De fracción a decimal:
Ejemplo:
Se divide el numerador por el denominador.
7
4
= 1,75
• De decimal finito a fracción:
Ejemplo:
El numerador corresponde al número sin comas, y el
denominador es una potencia de 10 que depende del
número de decimales que tenga el número.
100
175 =
1,75 = 7
4
25∙7
25∙4
=

14. • De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el
número decimal completo, sin la coma, y la parte
entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233
99 99
Ejemplo 2:
0,376 = 376 – 0 = 376
999 999
Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se
repite indefinidamente.

15. 3,21 = 321-32 = 289
90
90
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia
entre el número decimal completo, sin la coma; y la
parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como
cifras tenga el ante período.
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay
entre la coma decimal, y el período.
Ejemplo:

16. 1.4 Comparación de fracciones
• Multiplicación cruzada:
Ejemplo:
Al comparar (Multiplicando cruzado)
13
15
9
10
y
13 ∙ 10 y 15 ∙ 9
130 y 135
Como 130 < 135, entonces: 13
15
9
10
<

17. • Igualando denominadores:
Ejemplo:
13
15
7
12
Al comparar y (Igualando denominadores)
13∙4
15∙4
7∙5
12∙5
y
52
60
35
60
y
Como 52 > 35, entonces 13
15
7
12
>

18. • Transformar a decimal:
Ejemplo:
13
15
7
12
Al comparar (Transformando a decimal)
y
13
15
= 0,86666666…
7
12
= 0,58333333…
13
15
7
12
>
Como 0,86 > 0,583 , entonces

19. • Igualando Numeradores:
Ejemplo:
Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores
por un factor para obtener el m.c.m.
entre 10 y 13 en este caso 130)
10
3
13
4
y
10·13
3·13
13·10
4·10
y
130
39
130
40
y
Por lo tanto,
10
3
13
4
es mayor que

20. Ejemplo:
En la secuencia: 6 ,
5
16 ,
5
26 ,
5
36 , ...
5
¿Qué número tendríamos que sumar a
para obtener el 7° término ?
1 ,
5
De acuerdo a las características de la secuencia,
el 7° término es 66 .
5
Tendríamos que sumar a para
obtener el 7° término.
65
5
1 ,
5
65 = 13
5
Es decir:
Respuesta:
1.5 Secuencia Numérica

21. Observación:
La secuencia anterior también se puede analizar
de la siguiente manera:
1 + 1 ,
5
1 + 3 ,
5
1 + 5 ,
5
1 + 7 ,
5
1 + 13…
5
... ,
1° 2° 3° 4° ... , 7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es , más un número impar, lo que se expresa como:
1
5
1 + (2n - 1)
5
(Con n = posición del término)

22. Son aquellos que NO se pueden escribir como
una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
2. Números Irracionales (Q*)
,....

,


,
2

,
3
..... 
Q* =
Q
U
Q*=

23. 3. Números Reales (IR)
Es el conjunto formado por la unión entre los números
racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2;
7
2,18; ;
2
 23,491002
IN IN0 Z Q IR
   
Q* IR


24. 4. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son
imaginarios.
IR
U
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
,
2
6

,
4
 4
16

,
25


25. 5. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por el producto cartesiano
entre los números reales y los números imaginarios.
Diagrama representativo:
IN IN0 Z Q IR C
    
II C

IR x II = C

26. Sinteticemos en el siguiente
mapa conceptual
lo que hemos aprendido

27. Conjunto Q
Propiedades
y comparación
Operatoria Transformaciones
Decimal finito a
fracción
Decimal periódico a
fracción
Decimal semiperiódico
a
fracción
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
Simplificación
Amplificación
Fracciones
equivalentes

28. Q U Q* = IR
Conjunto IR Conjunto II
IR ∩ II = O
IR x II
Conjunto C
Conjunto Q*
Decimales
infinitos
NO periódicos
Conjunto Q
Fracciones
Impropia
Propia
Número
mixto
Decimales
Finitos
Infinitos
periódicos
Infinitos
semiperiódicos