Material para 2do de Bachillerato

1. Números Complejos
Pedro Campillo
28-9-2010
Versión 0.3

2. Números Complejos

3. Números
Necesidad cultural de todas
las sociedades.
Bibliografía: “Historia universal de las cifras”
Georges Ifrah Editorial Espasa Calpe 1997
Ejemplos de números Egipcios

4. Números
Números Mayas:
Números Babilonicos

5. Números Romanos
XXVII (Cada 10, tenemos una X), (Cada 5 una V)

6. Números Contar de 10 en 10

7. Números Contar de 10 en 10

8. Números La DOCENA

9. Números La DOCENA

10. Números romanos
Suma: XII+ VI=XVIII (muy fácil)
Producto: XVI*VII (difícil)

11. Sistema posicional
Según la posición de 1 (este vale, 1, 10, 100, etc)
Invento Indio, que paso a los árabes, que fueron los que lo
trajeron a Europa.
Simplifica las multiplicaciones

12. Números Naturales
Importante INFINITOS NÚMEROS
Siempre hay un siguiente.
¿En que conjunto hay más números en los Naturales, o en los
pares?

13. ¿En que conjunto hay más números en los Naturales, o en los
pares? Para ello lo mejor es comparar los conjuntos.

14. Para ello montemos cada indio en un
caballo

15. Comparemos los Números Naturales y los Pares

16. Comparemos los Números Naturales y los Pares

17. Números naturales
A los conjuntos de este tipo, que podemos ordenar, para poder
contarlos, (para asociarle a cada elemento del conjunto, un
elemento de los números naturales) se le llama
conjuntos infinitos númerables.

18. Números naturales
En los número naturales podemos resolver ecuaciones de la
forma:
2+X=5

19. Números naturales
En los número naturales podemos resolver ecuaciones de la
forma:
2+X=5
Solución X=3

20. Números naturales
Pero que pasa ante una ecuación
5+X=3

21. Números naturales
Pero que pasa ante una ecuación
5+X=3
la solución es -2 pero

22. Números naturales
Pero que pasa ante una ecuación
5+X=3
la solución es -2 pero

23. Números naturales
Pero que pasa ante una ecuación
5+X=3
la solución es -2 pero
Necesitamos inventar un nuevo conjunto que incluya el -2
El conjunto de los números Enteros

24. Números Enteros
Ya no son números que solamente sirven para contar.
Y ademas se inventa un número el 0 (que claramente sirve
para contar nada)
Yo creo que como número el 0 es lo más abstracto:
Si los números son para contar el 0 es un número para contar
la nada.

25. Números Enteros
Los Números Enteros nos resuelve
ecuaciones de este tipo:
2*x=6

26. Números Enteros
Los Números Enteros nos resuelve
ecuaciones de este tipo:
2*x=6
Solución x=3

27. Números Enteros
Ante ecuaciones de este tipo:
6*x=2

28. Números Enteros
Ante ecuaciones de este tipo:
6*x=2
Solución es:

29. Números Enteros
Ante ecuaciones de este tipo:
6*x=2
Solución es:
Pero

30. Números Racionales
Necesitamos inventar un nuevo conjunto de Números
que amplié el conjunto de los números Enteros.
Este sera el conjunto de los números racionales
Lo que llamamos las fracciones.

31. Números racionales
Fueron los griegos los que se plantearon el problemas de
encontrar la diagonal de un cuadrado.

32. Números racionales
Fueron los griegos los que se plantearon el problemas de
encontrar la diagonal de un cuadrado.
Pero esta diagonal valdrá:
aplicando el teorema de
Pitagoras, tendremos:

33. Números racionales
Fueron los griegos los que se plantearon el problemas de
encontrar la diagonal de un cuadrado.
Pero esta diagonal valdrá:
aplicando el teorema de
Pitagoras, tendremos:

34. Números racionales
Fueron los griegos los que se plantearon el problemas de
encontrar la diagonal de un cuadrado.
Pero esta diagonal valdrá:
aplicando el teorema de
Pitagoras, tendremos:

35. Números racionales
Fueron los griegos los que se plantearon el problemas de
encontrar la diagonal de un cuadrado.
Pero esta diagonal valdrá:
aplicando el teorema de
Pitagoras, tendremos:

36. ¿ es racional? ¿ ?
Los Pitagóricos, que, cómo filósofos presocráticos, habían
considerado cómo núcleo dogmático de su Filosofía que «los
números son la esencia del universo», encuentran que las
consecuencias de su Teorema atentan contra los fundamentos
de su doctrina, que les había llevado a establecer un
paralelismo entre el concepto numérico y la representación
geométrica.
En efecto, el cuadrado que es una de las figuras geométricas
más simples, proporciona un terrible ente geométrico, la
diagonal, que no es conmensurable con el lado.

37. ¿ es racional? ¿ ?
«Se dice que primero que reveló la naturaleza de la
conmensurabilidad e inconmensurabilidad a los indignos de
participar de tales conocimientos fue aborrecido [por la
comunidad pitagórica] hasta el punto de que no sólo lo
expulsaron de la vida y de la vivienda en común, sino que
incluso le erigieron una tumba cómo si él, que había sido una
vez compañero, hubiese abandonado la vida entre los hombres.
[...] Otros afirman que la divinidad se enojó contra quien
divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo cómo un impío en
el mar por sacrílego al haber revelado la doctrina de los
números irracionales y la inconmensurabilidad.»

38. ¿ es racional? ¿ ?
La tempestad provocada por el descubrimiento pitagórico de
los irracionales precipitó la primera crisis de fundamentos en la
Historia de la Matemática, propiciando «el horror al infinito»,
que caracteriza casi toda la Matemática griega posterior.
Esto llevara al desarrollo de La Geometría al margen de la
Aritmética, la ausencia de un Álgebra simbólica y la conversión
de toda la Matemática en Geometría
Y al severo rigor de Los Elementos de Euclides

39. ¿ es racional? ¿ ?
Hagamos la demostración de que

40. ¿ es racional? ¿ ?
Hagamos la demostración de que
Para ello utilizaremos un método de demostración:
REDUCCIÓN AL ABSURDO

41. ¿ es racional? ¿ ?
Hagamos la demostración de que
Para ello utilizaremos un método de demostración:
REDUCCIÓN AL ABSURDO
Idea:
Suponemos cierto lo contrario a lo que queremos demostrar

42. ¿ es racional? ¿ ?
Hagamos la demostración de que
Para ello utilizaremos un método de demostración:
REDUCCIÓN AL ABSURDO
Idea:
Suponemos cierto lo contrario a lo que queremos demostrar
Hacemos razonamientos logicos

43. ¿ es racional? ¿ ?
Hagamos la demostración de que
Para ello utilizaremos un método de demostración:
REDUCCIÓN AL ABSURDO
Idea:
Suponemos cierto lo contrario a lo que queremos demostrar
Hacemos razonamientos logicos
Llegamos a algo imposible ===> Contradición

44. ¿ es racional? ¿ ?
Hagamos la demostración de que
Para ello utilizaremos un método de demostración:
REDUCCIÓN AL ABSURDO
Idea:
Suponemos cierto lo contrario a lo que queremos demostrar
Hacemos razonamientos logicos
Llegamos a algo imposible ===> Contradición
La suposición del principio es FALSA

45. ¿ es racional? ¿ ?
Hipótesis: Supongamos que

46. ¿ es racional? ¿ ?
Hipótesis: Supongamos que
De las posibles fracciones, la tomamos reducida,

47. ¿ es racional? ¿ ?
Hipótesis: Supongamos que
De las posibles fracciones, la tomamos reducida,
es decir que a y b no tiene factores comunes.

48. ¿ es racional? ¿ ?
Hipótesis: Supongamos que
De las posibles fracciones, la tomamos reducida,
es decir que a y b no tiene factores comunes.
(a y b no son divisibles por el mismo número)

49. Demostracción no es racional
Hipótesis: Supongamos que

50. Demostración no es racional?
Hipótesis: Supongamos que

51. Demostración no es racional?
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación

52. Demostración no es racional
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación

53. Demostración no es racional
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación

54. Demostración no es racional
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación
Tenemos que tiene que se un número par.

55. Demostración no es racional
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación
Tenemos que tiene que se un número par.
Es decir es el mismo número par.

56. Demostración no es racional
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación
Tenemos que tiene que se un número par.
Es decir es el mismo número par.

57. Demostración no es racional
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación
Tenemos que tiene que se un número par.
Es decir es el mismo número par.
Luego es par,

58. Demostración no es racional
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación
Tenemos que tiene que se un número par.
Es decir es el mismo número par.
Luego es par,

59. Demostración no es racional
Hipótesis: Supongamos que
Elevamos al cuadrado la ecuación
Tenemos que tiene que se un número par.
Es decir es el mismo número par.
Luego es par,

60. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego

61. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego

62. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo

63. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo
Elevamos al cuadrado

64. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo
Elevamos al cuadrado
Tendremos

65. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo
Elevamos al cuadrado
Tendremos
Dividimos por 2

66. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo
Elevamos al cuadrado
Tendremos
Dividimos por 2
Luego es par

67. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo
Elevamos al cuadrado
Tendremos
Dividimos por 2
Luego es par, es decir es par.

68. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo
Elevamos al cuadrado
Tendremos
Dividimos por 2
Luego es par, es decir es par.
es par,

69. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo
Elevamos al cuadrado
Tendremos
Dividimos por 2
Luego es par, es decir es par.
es par, luego

70. Demostración no es racional
Hipótesis: Hemos supuesto que
es par luego luego
Podemos ponerlo
Elevamos al cuadrado
Tendremos
Dividimos por 2
Luego es par, es decir es par.
es par, luego aquí tenemos una
contradicción

71. Demostración no es racional
Habíamos supuesto que
Siendo la fracción más simplificada

72. Demostración no es racional
Habíamos supuesto que
Siendo la fracción más simplificada
Y hemos visto que tras el razonamiento lógico

73. Demostración no es racional
Habíamos supuesto que
Siendo la fracción más simplificada
Y hemos visto que tras el razonamiento lógico
Luego se puede simplificar la fracción

74. Demostración no es racional
Habíamos supuesto que
Siendo la fracción más simplificada
Y hemos visto que tras el razonamiento lógico
Luego se puede simplificar la fracción: contradicción.

75. Demostración no es racional
Habíamos supuesto que
Siendo la fracción más simplificada
Y hemos visto que tras el razonamiento lógico
Luego se puede simplificar la fracción: contradicción.
Luego la Hipotesis de partida es falsa

76. Demostración no es racional
Habíamos supuesto que
Siendo la fracción más simplificada
Y hemos visto que tras el razonamiento lógico
Luego se puede simplificar la fracción: contradicción.
Luego la Hipotesis de partida es falsa
no se puede expresar como una fracción,

77. Demostración no es racional
Habíamos supuesto que
Siendo la fracción más simplificada
Y hemos visto que tras el razonamiento lógico
Luego se puede simplificar la fracción: contradicción.
Luego la Hipotesis de partida es falsa
no se puede expresar como una fracción,
Luego no es un Número Racional