Guía para Cuarto medio electivo

1. Profesor: Erwin Coronado C.
Sector: Matemática
Puerto Montt Curso: IV° Medio Electivo
1
Guía de ejercicios N°1, Primer Semestre
Tema: El conjunto de los Números Reales  .
Debes saber que:
Para el desarrollo de esta unidad es necesario identificar el conjunto de los números reales y sus
propiedades. Esta guía presentará, de manera muy sucinta las propiedades de los números reales
que constituyen la base sobre la cual se construye el cálculo diferencial e integral. Las propiedades
aritméticas de estos números han formado parte de tu enseñanza básica y media. Es probable que
algo hayas visto del orden y nada de su propiedad más trascendente - su continuidad - la que está
reflejada en el axioma del supremo.
La actual presentación de los números reales como conjunto de números fue formalizada durante
el siglo 19, dos siglos más tarde de la creación del cálculo.
En clases se te ha señalado que se establecerá los fundamentos de la teoría de los números reales
admitiendo varios hechos elementales como axiomas, de los que deduciremos ciertas
consecuencias, las que se presentarán como teoremas, pero que aceptaremos, en su mayoría, sin
demostración. Estos axiomas presentan al conjunto de los números reales como un cuerpo
ordenado completo. Es posible que cuando trabajaste con los números reales, no lo hayan definido
de esta manera; aunque eso no quiere decir que desconozcas totalmente de lo que hablamos.
Posiblemente lo sepas pero sin haber usado exactamente las mismas palabras. Algebraicamente
hablar de cuerpo es hablar de las propiedades abstractas de la suma, la resta la multiplicación y la
división. Hablar de ordenado es hablar de las relaciones de orden, de positivos y negativos.
Finalmente la completitud nos garantizará que tenemos todos los números que esperaríamos o
desearíamos que fueran números reales.
Los Números Reales
En clases ya viste los axiomas de cuerpo y de orden, no obstante, se retoman estos axiomas para que
esta guía tenga una continuidad. Además se incorporan datos que no se presentaron y que te serán de
utilidad para que desarrolles tus ejercicios.
La aritmética de los números reales: axiomas de cuerpo
Aceptaremos la existencia de un conjunto no vacío, que denotaremos por y que llamaremos
conjunto de los números reales. Sobre él se ha definido una relación de igualdad y dos operaciones
algebraicas.
La relación de igualdad " " satisface las propiedades de:
1. Reflexividad: a a
2. Simetría: si a b , entonces b a
3. Transitividad: si a b y b c , entonces a c .


2. Profesor: Erwin Coronado C.
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2
Las dos operaciones definidas sobre son la suma   y la multiplicación   .
Estas operaciones satisfacen las reglas siguientes, llamadas:
1. Ley asociativa para la suma:    a b c a b c     .
2. Existencia de un elemento identidad (neutro) para la suma: 0 0a a a   
3. Existencia de inversos para la suma: 0a a a a 
    .
4. Ley conmutativa para la suma: a b b a  
5. Ley asociativa para la multiplicación:
6. Existencia de un elemento identidad para la multiplicación:
7. Existencia de inversos para la multiplicación: ; para
8. Ley conmutativa para la multiplicación:
9. Ley distributiva:
Estas operaciones son compatibles con la relación de igualdad, es decir, si entonces a
y
A partir de estos axiomas y las reglas de la lógica formal se pueden obtener todas las otras propiedades
de la aritmética usual que has aprendido durante la enseñanza básica y media. Los siguientes teoremas,
serán enunciados con el propósito de recordar las propiedades más importantes que se derivan de los
axiomas de cuerpo.
Teorema 1: Dado a se cumple: 0 0 0a a   
Nota: La demostración de esta propiedad es dejada de tarea.
Teorema 2: Dados , se tienen las siguientes propiedades:
i) .
ii)
iii) .
Teorema 3: Dados , ; , se tienen las siguientes propiedades:
i) .
ii) .
iii) .
iv) .
Teorema 4: Leyes de cancelación. Dados se cumple:
i) .
ii) .
   a b c a b c    
1 1a a a   
1 1
1a a a a 
    0a 
a b b a  
 a b c a b a c    
a b
a c b c   a c b c  
,a b
 a a  
     a b a b ab      
   a b ab   
,a b 0a  0b 
 
11
a a


 
11 1
a b a b
 
  
 
11 1
a b a b
 
  
 
11 1
a b a b
 
  
, ,a b c
a b a c b c    
, 0ab ac a b c   

3. Profesor: Erwin Coronado C.
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3
Teorema 5: Dados ,a b se cumple: .
Definición:
Dados ,a b , escribiremos para simbolizar el número ; a tal número lo
llamaremos la diferencia de y .
Teorema 6: Dados se tienen las siguientes propiedades:
i)
ii)
iii) .
Demostración de (i)
Por definición, tenemos
Definición:
Dados ; , escribiremos o para simbolizar el número y lo
llamaremos el cuociente entre y , o, dividido por .
.
Comparación de los números reales: axiomas de orden
Siguiendo la presentación axiomática, aceptaremos la existencia de un subconjunto de , llamado
conjunto de los números reales positivos, denotado por , que satisface las propiedades siguientes:
1. es cerrado para la suma, es decir, si ,a b pertenecen a , entonces a b pertenecen a
.
2. es cerrado para la multiplicación, es decir, si ,a b pertenecen a , entonces a b
pertenece a .
3. Para todo número real a se cumple una y sólo una de las afirmaciones:
a.
b. pertenece al conjunto
c. pertenece al conjunto .
Observación:
El axioma 3 se llama propiedad de tricotomía de los números reales
   0 0 0ab a b    
a b  a b 
a b
,a b
 a b a b   
0a b a b   
 a b a a b a    
    a b a b
a b
     
 
,a b 0b 
a
b
a b 1
a b

a b a b

 

 

0a 
a 
a 

4. Profesor: Erwin Coronado C.
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4
Definición:
i) si y sólo si
ii) si y sólo si
Teorema 7: Dados los números reales se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
i)
ii)
iii)
Teorema 8: Dado un número real a se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
i)
ii)
iii)
Teorema 9: La relación " " tiene las propiedades siguientes:
i) No es reflexiva. Para todo a , no es verdad que
ii) Es asimétrica. Si , entonces no puede tenerse
iii) Es transitiva. Si a < b y b < c, entonces a < c.
Demostración de (i)
Si para algún , , entonces , lo cual implicará que , que contradice la
propiedad de tricotomía.
Definición:
Llamaremos conjunto de los números reales negativos al conjunto .
Observa que 0 , lo que pone de manifiesto que el cero no es ni positivo ni negativo. Además
, pero por tricotomía todo número real pertenece a uno y sólo a uno de los conjuntos
 : , , 0 
. Así los números reales quedan particionados como .
a b b a 
 
a b a b 
 
,a b
a b
a b
a b
0a 
0a 
0a 

a a
a b b a
a a a a a 
  0 

 ;x x 
   
 
  
 0 
  

5. Profesor: Erwin Coronado C.
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5
Para la relación  se tiene:
Definición:
i) si y sólo si
ii) si y sólo si
Teorema 10 : si y sólo si
Teorema 11:
i) Si y es un número positivo, entonces
ii) Si y es un número negativo, entonces .
Teorema 12: si y sólo si y o y .
Teorema 13: si y sólo si y o y .
Teorema 14: El cuadrado de un número real no nulo es positivo: Si ; , entonces
.
Teorema 15:
Teorema 16: Sean : Si , entonces
Observación
El teorema anterior puede leerse diciendo que entre dos números reales distintos, siempre
existe un tercer número c . Como son distintos, puede aplicarse la conclusión a ellos y obtener
un cuarto número real d , y así sucesivamente. Como este proceso puede extenderse
indefinidamente, lo que obtenemos es que entre dos números reales distintos existen infinitos
números reales. Esta importante propiedad se llama densidad de los números reales.
Definición:
Decimos que un conjunto de números reales es denso si y sólo si entre dos elementos distintos
de existe un elemento tal que .
a b a b  a b
a b a b  a b
a b a c b c  
a b c a c b c  
a b c a c b c  
0a b   0a  0b   0a  0b 
0a b   0a  0b   0a  0b 
a 0a  2
a 

1 

,a b a b
2
a b
a b

 
,a b
,a c
A
,x y A z A x z y 

6. Profesor: Erwin Coronado C.
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6
Una distancia en : el valor absoluto
Los axiomas de orden nos permiten comparar números reales y gracias a la densidad de sabemos
que si a < b, entre ellos podemos insertar una infinidad de números reales distintos. Esto puede hacer
perder la perspectiva de cuán lejos o cercanos están estos números. Aun cuando el estar cerca o lejos
es una cuestión relativa al problema concreto en que estamos involucrados, es útil tener un método
para poder discernir en cada caso.
Para ello se define una distancia en eligiendo como punto de referencia, en principio, el cero. Esta
idea la realiza el llamado valor absoluto de un número.
Definición:
Llamaremos valor absoluto del número x , denotado por x al número:
si 0
0 si 0
si 0
x x
x x
x x


 
 
La definición de valor absoluto nos dice en particular que , , . En general,
podemos apreciar que el número y su inverso aditivo están a igual distancia del cero. Usando
algunas consecuencias del orden de , sabemos que todo número negativo es menor que uno positivo.
Así, podemos hacer el siguiente gráfico:
Teorema 17:
i) .
ii) .
iii) .
iv) .
v)
vi) Si ; .
vii) Si ; o .
viii) (desigualdad triangular).
0 0 4 4  4 4
a a
0a 
a a 
a a a  
0 0a a  
a b a b  
0b  a b b a b    
0b  a b a b   a b 
a b a b  

7. Profesor: Erwin Coronado C.
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7
Ejemplo
Analice en qué casos la desigualdad triangular se transforma en una igualdad.
Solución:
i) Si y son números positivos, es positivo, entonces tenemos:
ii) Si y son números negativos, es negativo, entonces tenemos:
iii) Si y tienen signos diferentes, la desigualdad es una desigualdad estricta. Por ejemplo, si
y , entonces , en cambio,
Ejercicios
1. Demuestra el teorema 1
2. Demuestra el teorema 2 i
3. Demuestra el teorema 2 iii
4. Presenta tres ejemplos para cada caso del teorema 4
5. Si se tiene x , tal que 2
2 3x x , por qué no se puede cancelar x , es decir, aplicar el teorema
4 ii).
6. Aplica el teorema 5 en la solución de
a. 2
2 1x x 
b. 4 3
6 2 0x x 
7. Da tres ejemplos para cada caso del teorema 11
8. Demuestra el teorema 16
9. Encuentra tres valores entre los números e y 
a b a b
a b a b a b    
a b a b
     a b a b a b a b         
a b
4a   2b   4 2 2 2a b       4 2 6a b   

8. Profesor: Erwin Coronado C.
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8
10. Presenta gráficamente el teorema 17 vi)
11. Sean , .a b p , tales que 0b  , a b y
2 2
2 2
2
a b
p
a ab b


 
. Muestre que siempre se tiene que
1p 
12. Calcula los siguientes valores absolutos:
a. 60 3  d.  5 6 2 2 5     
b. 42 5 60   e.    3 9 10 6 21 5   
c.  20 3 5 12 5    f.     4 13 15 5 8 3 7 15 24      
13. Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
a. 4 3x  
b. 3 5 4 9x 
c. 5 16x  
d. 1 2 1x x  
e. 2 5 10 0x   
f. 2
5 4x  
g. 2
2 2 12x   
14. Resuelva cada una de las siguientes situaciones que se plantean:
a. Si 2 x y  . Calcule el valor de y si : 2 3x y x   
(R. 1y   ).
b. Si y x ; 2 2
27x y  ; 3x y  ¿ Cuál es el valor de x y ?.
(R. 9x y  ).
c. Si 1x  ¿Cuál es el valor de x en la ecuación :
2
2 1 1 1 10x x x x      
(R. { 3 })

9. Profesor: Erwin Coronado C.
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9
Completitud de los números reales: axioma del supremo
Con el Axioma del Supremo se completa el conjunto de axiomas que caracterizan totalmente a , es
decir, es el único conjunto que verifica los axiomas de Cuerpo, de Orden y el Axioma del Supremo.
Para tener una idea intuitiva de lo anterior, podemos pensar como un continuo geométrico: la recta
numérica, lo que se obtiene una vez que al conjunto de los números racionales se le agregan los
números irracionales que pueden ser concebidos como supremos de ciertos conjuntos de números
racionales.
Pero para llegar a la definición el concepto de supremo, comenzaremos presentando los siguientes
conceptos previos.
Definición:
Si A es un conjunto de números reales, entonces y es una cota superior de A si y solo si y es un
número real y para cada x A , se tiene x y .
Ejemplo
1. El conjunto  1,2,3,4,7,8,9S  es acotado superiormente por cualquier número mayor o igual
a 9.
2. El conjunto  ; 5P x x   es acotado superiormente por cualquier número mayor o igual
a 5.
Observación:
De la definición de cota superior, observa que esta puede o no pertenecer al conjunto. En el ejemplo
1, la primera cota del conjunto, 10, pertenece al conjunto, mientras que en el ejemplo 2 la cota
superior 5 no pertenece al conjunto.
Una observación importante es que si un conjunto tiene una cota superior entonces existen infinitas
cotas superiores del conjunto. Por lo tanto, tiene sentido la siguiente definición.
Definición:
Si A es un conjunto de números reales, el número y es el supremo de A si y solo si y es una cota
superior de A y para cada z que es cota superior de A se tiene y z . Es decir el supremo es la
menor de las cotas superiores.

10. Profesor: Erwin Coronado C.
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10
Observación:
La definición de supremo, salvo en casos elementales, no es fácil de usar, para fines más prácticos
suele usarse la siguiente caracterización del supremo.
Caracterización del supremo:
Si A es un conjunto de números reales entonces y es el supremo de A si y solo si y es una cota
superior de A y para cada número real positivo  existe un x en A tal que y x  .
Geométricamente tenemos
Axioma del Supremo: Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, entonces
tiene supremo en .
Observación:
Cada una de las definiciones yconclusiones relativas a cotas superiores ysupremos tiene un paralelo
en la definición de cota inferior e ínfimo.
Definición:
Si A es un conjunto de números reales, entonces y es una cota inferior de A si y solo si y es un
número real y para cada x en A , x y .
Definición:
Si A es un conjunto de números reales, entonces y es el ínfimo de A si solo si y es una cota
inferior de A y para cada z que es una cota inferior de A , y z . Es decir, el ínfimo es la mayor
de las cotas inferiores.

11. Profesor: Erwin Coronado C.
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11
Caracterización del ínfimo:
Si A es un conjunto de números reales, entonces y es el ínfimo de A si y solo si y es una cota
inferior de A y para cada número real positivo  existe un x x en A tal que x y   .
Geométricamente tenemos
Ejercicios
1. Dados los siguientes conjuntos indique dos cotas superiores, dos cotas inferiores, el supremo,
el ínfimo. Indique además si el ínfimo y supremo pertenecen o no al conjunto. En el caso que
corresponda, identifique los elementos del conjunto.
a.  1,4,7,10,13,16A 
b.  100, 91, 82, 71, 62, 51, 42B        
c.  ;5 1 20C n n   
d.  2
; 4 37D n n   
e.  2
; 4 46E a a   
f.  ; 3 6F x x    
2. Analice los siguientes conjuntos e indique si tienen ínfimo y/o supremo
a. 
b.
c.  ; 2 ;P a a k k
   
d.
1
;A n
n
 
  
 
e.
1
; ; 0B a a
a
 
   
 
f.  
1
; 1
n
S n
n
 
    
 

12. Profesor: Erwin Coronado C.
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12
Con lo anteriormente expuesto, podemos presentar los siguientes conjuntos de números reales.
Definición:
Llamaremos intervalos acotados a cualquiera de los siguientes conjuntos:
Intervalo Abierto
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo cerrado
donde son números fijos tales que .
Definición:
Llamaremos intervalos no acotados a cualquiera de los siguientes conjuntos:
Intervalo abierto por la izquierda y no acotado por la derecha
Intervalo cerrado por la izquierda y no acotado por la derecha
Intervalo abierto por la derecha y no acotado por la izquierda
Intervalo cerrado por la derecha y no acotado por la izquierda
donde son números fijos.
   ; ,x a x b a b   
   ; ,x a x b a b   
   ; ,x a x b a b   
   ; ,x a x b a b   
,a b a b
   ; ,x a x a   
   ; ,x a x a   
   ; ,x b b   
   ; ,x x b b   
,a b

13. Profesor: Erwin Coronado C.
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13
Es decir, dado un conjunto de números reales, es posible identificarlo como conjunto o bien como
intervalo y además darle una representación gráfica.
Ejemplo
1. Dado el conjunto
2
; 4
3
D x x
 
    
 
, represente el intervalo que corresponde y
represéntelo gráficamente.
Solución.
Este conjunto representa un intervalo cerrado. Luego
2
,4
3
D
 
   
y su representación gráfica es
2. Se tiene el intervalo  1,3 . Escriba el conjunto respectivo y represéntelo gráficamente.
Solución.
Sea  1,3R   . Este intervalo corresponde al conjunto  ; 1 3R x x    
y su representación gráfica es
3. Dado
1 10
,2 0,
3 3
   
      
. Determine el conjunto resultante y escríbalo en lenguaje de conjunto
Solución.
La representación geométrica de la unión de estos
intervalos es
Luego, la representación del intervalo resultante es
Es decir el intervalo resultante es un intervalo semiabierto y el conjunto respectivo es
1 10
;
3 3
F x x
 
     
 

14. Profesor: Erwin Coronado C.
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14
Ejercicios
1. Exprese como intervalo y represente de manera gráfica los siguientes conjuntos.
a.  / 3A x x   
b.
1
/ 1,33
5
B x x
 
    
 
c.  / 3C x x   
d.  / 12 5,8D x x    
2. Determine el conjunto resultante
a.  
7 5
, 0,
4 3
 
   
b.       ,2 12, 0,20  
c.
1
, 5,1
2
 
   
 
  
3. Completa la siguiente tabla:
Conjunto Notación Gráfico
 / 0 5x x  
 2,
 / 3x x 