Operaciones Algebraicas

Operaciones Algebraicas
Capitulo 3
3. OPERACIONES ALGEBRAICAS.
3.1. Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes, enteros y fraccionarios.
3.2. Introducción y supresión de signos de agrupación.
3.3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación.
3.4. Multiplicación por polinomios.
3.5. Definición de producto y producto notable.
3.5.1. Cuadrado de un binomio.
3.5.2. Binomios conjugados.
3.5.3. Binomio con un término común.
3.5.4. Cubo de un binomio.
3.5.5. Teorema del binomio.
3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos
3.5.7. Cuadrado de un trinomio.
3.6. Leyes de los exponentes enteros para la división.
3.7. División de polinomios.
3.8. División sintética.
3.9. Factorización.
3.9.1. Factor común.
3.9.2. Diferencia de cuadrados.
3.9.3. Trinomios con término de segundo grado.
3.9.4. Suma y diferencia de cubos.
3.9.5. Por agrupación.

Así como la aritmética surgió la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el
tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que
debieron transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de
número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra
se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (siglo IX
d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.

Los primeros vestigios históricos sobre el desarrollo del álgebra en la antigüedad han sido
encontrados en Egipto. Los egipcios desarrollaron muchísimos las matemáticas como
consecuencia de la creación de las pirámides y otros monumentos y de las inundaciones del
Nilo que contribuyeron a desarrollar la agrimensura y con ella la geometría. En los
documentos escritos hallados se han encontrado ingeniosos métodos de resolución de
ecuaciones de segundo grado, lo cual pone de manifiesto la familiaridad de los egipcios con
el álgebra

OPERACIONES ALGEBRAICAS

3.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTES
ENTEROS Y FRACCIONARIOS.

SUMA
La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.
EJEMPLO:
Supongamos que se desea sumar 3x 2  7 x  3 y 5x 2  2 x  9 ; es decir deseamos encontrar
3x 2
 
 7 x  3  5x 2  2 x  9 
Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir:
3x 2
    
 7 x  3  5 x 2  2 x  9  3x 2  5 x 2  7 x  2 x    3  9
 3  5x  7  2x   3  9
2

 8x 2  5x  6

EJEMPLO:
3 2 1
De manera semejante, la suma de 4 x 3  x  2 x  3 y 6 x 3  x 2  9 , se escribe como:
7 7
 3 3 2   3 1 2 

3 2 1 2

 4 x  x  2 x  3    6 x  x  9   4 x  6 x   x  x    2 x   3  9
3 3

 7   7  7 7 
2
 10 x 3  x 2  2 x  12
7
EJEMPLO:
Para sumar  3x  7 x 2  2 y  4 x 2  3  5x ; primero escribimos ambos polinomios en orden
descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos

7 x 2
    
 3x  2   4 x 2  5 x  3  7 x 2  4 x 2   3x  5 x    2  3
 3x 2  2x   5
 3x 2
 2x  5
EJEMPLO:
Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios.
Por ejemplo, para sumar los polinomios  7 x  x 2  3 , 6 x 2  8  2 x y 3x  x 2  5 , escribimos
cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna y
sumamos:

 7 x  x 2
       
 3  6 x 2  8  2 x  3x  x 2  5  x 2  7 x  3  6 x 2  2 x  8   x 2  3x  5   
 x 2
 6x 2  x    7 x  2 x  3x    3  8  5
2

 6 x 2   2 x    6
 6x 2  2x  6

3-2


RESTA
Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c
Para eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de resta)
debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo mismo que
multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1.

EJEMPLO:
  
Efectuar la operación 3x 2  2 x  1  4 x 2  5x  2  
3x 2
  
 2 x  1  4 x 2  5 x  2  3x 2  2 x  1  4 x 2  5 x  2

SOLUCIÓN:
 
 3x 2  4 x 2   2 x  5 x   1  2
  x 2  7 x   1
 x 2  7x 1

EJEMPLO:
2 2  3 2 
Resolver x y  x y
5  10 

2 2  3 2  2 2 3 43 2 7
SOLUCIÓN: x y    x y   x y  x2 y  x y  x2 y
5  10  5 10 10 10

EJEMPLO:
Restar 8x4  5x3 y  3x2 y 2 y 4 x4  2 x3 y  5x2 y 2

 8 x 4  5 x3 y  3x 2 y 2    4 x 4  2 x3 y  5 x 2 y 2   8 x 4  5 x3 y  3x 2 y 2  4 x 4  2 x3 y  5 x 2 y 2
   
SOLUCIÓN:    
 4 x 4  3x3 y  2 x 2 y 2

EJEMPLO:
1 2 1 1 1 1 1
Restar x y  xy 2  x3 y x 2 y  xy 2  x3
3 4 6 6 3 4
1 3 1 2 1
x  x y  xy 2
6 3 4
1 1 1
SOLUCIÓN:  x 3  x 2 y  xy 2
4 6 3
1 1 7
 x3  x 2 y  xy 2
12 6 12

3-3


EJERCICIOS 3.1:
Resolver los ejercicios siguientes:
1.- 2 y  y  1  6 y  2 y  1 
2 2

2.- 4x  3x  1  5x  x  1 
2 2

3.- z  4z  1  2z  z  1 
2 2

4.- y  3 y  5  y  4 y  3 
2 2

5.- 2xy  6xy  x  2xy  x 
2

6.- 5ax  3ax  4  2ax  3 
2 2

7.- 2x  y  z   x  2 y  z   x  y  2z   x  3 y  4z  
8.- a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c 
9.- 2g  3h  k   2g  3h  k   2g  2h  2k   3g  h  k  
10.- 2x  2 y  z   x  2 y  z   3x  2 y  z   x  4 y  5z  
3 2   1 1  1 1 
11.-  a 2  b2     ab  b2    ab  b2  
4 3   3 9  6 3 

9 25 1  1  5 7 1  7 
12.-  m2  n 2     15mn     n 2  m2     m 2  30mn  3  
 17 34 4  2   17 34 4   34 
1 3  3 1   1 1   3 1 
13.-  b 2 m  cn  2    b 2 m  6  cn     b 2 m  cn  4    2cn   b 2 m  
2 5  4 10   4 25   5 8 
5 2 3 2 5
14.- a  a  a 
6 8 6
1 3 
15.-  a  b    8a  6b  5  
2 5 
2 3 1   7 1 2 1 
16.-   x3 y 2  xy 4     x 4 y  x3 y 2  x 2 y 3  xy 4  7  
9 7 8   8 14 3 3 
 2 1 7 5 3  3 3 5 
17.-   m6  n6  m4 n2  m2 n4     m4 n 2  m2 n 4  n6  
 13 3 20 14 5   10 7 9 
5 7  5 1 1
18.-  a3  ab2  6    a 2b  ab 2   
6 8  8 4 3
19.- 0.2a3  0.4ab2  0.5a 2b   0.8b3  0.6ab2  0.3a 2b   0.4a3  6  0.8a 2b    0.2a 3  0.9b3  1.5a 2b  
       

3-4


3.2 INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por
ejemplo, para combinar términos semejantes en 3x  5  2 x  2 tenemos que suprimir los
paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo) enfrente de los paréntesis,
podemos simplemente eliminar; esto es,
 a  b  a  b
 a  b  a  b

EJEMPLO:
3x  5  2 x  2  3x  5  2 x  2
 3x  2 x  5  2
 3x  2 x   5  2
 5x  3

La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera siguiente:

EJEMPLO:
8 x  2x  1  x  3  8 x  2 x  2  x  3
 8x  2 x  2  x
 8 x  2 x  x   2  3
 5x  1

En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión,
utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo general no escribimos
x  5  3 , sino x  5  3. Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los
símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.

EJEMPLO:

x 2
       
 1  2 x  5  x  2  3x 2  3  x 2  1  2 x  5  x  2  3x 2  3 
 x 2
 2 x  4   3x 2

 x5
 x 2  2 x  4  3x 2  x  5
 2 x 2  3x  1

Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:
ab  c   ab  ac

La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números dentro de los
paréntesis. Por tanto ab  c  d   ab  ac  ad . Además b  c a  ba  ca

3-5


3.3 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA MULTIPLICACIÓN
Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en
un producto. Por ejemplo, x 3  x x x  . La notación exponencial proporciona un modo
sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base.

PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES.
Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.
Considera que m y n son enteros positivos:
x m  x n  x m n

Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la
base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que
asegurarnos de que las bases sean las mismas.

Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Por ejemplo, la expresión
3x 2 tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, el coeficiente numérico de 5x 3 es 5.
Si decidimos multiplicar 3x 2 por 5x 3 , solo multiplicamos números por números (coeficientes)
y letras por letras. Este procedimiento es posible debido a las propiedades conmutativa y
asociativa de la multiplicación. Luego de aplicar estas dos propiedades, escribimos:

EJEMPLO:
3x 5x   3  5x
2 3 2

 x 3  15x 23  15x 5

EJEMPLO:
8x y 4xy 2x y   8  4  2x
2 2 5 3 2
 
 x1  x 5 y1  y 2  y 3  64 x 8 y 6

SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES.
Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.
Si m y n son enteros positivos: x m   n
 x mn
Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y multiplicamos los
exponentes.
  3
Considera la expresión x 4 , que significa que x 4 está elevado al cubo. Esta expresión
puede simplificarse como se muestra enseguida:
x   x x x   x  x
4 3 4 4 4 4 4 4 12

En forma parecida y   y y y y y   y
2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 y10
Debido a que la multiplicación es en realidad una suma que se repite, es posible obtener los
mismos resultados en los ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los exponentes.

3-6


EJEMPLO:

5 
3 6
 536  518

EJEMPLO:

x y 
2 3 3
 x2 y3  x2 y3  x2 y3
 
 x2  x2  x2 y3  y3  y3 
 x   y 
2 3 3 3

 x 23 y 33
 x6 y9

TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES.
Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir
Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los
factores.
Simbólicamente: ab   a n b n
n

EJEMPLO:

2 x 3  2 x 2 x 2 x 
 222 x x x
 23 x 3
 8x 3

EJEMPLO:

3xy   3 x y 
2 4 4 4 2 4
 81x 4 y 8

EJEMPLO:

 2x y    2 x  y 
2 3 3 3 2 3 3 3
 8x 6 y 9

Ene general se cumple:
 x n  x n Si n es número par  x n   x n Si n es número impar

EJEMPLO:
 24  2 4  16  25  25  32

3-7


3.4 MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS
La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una
cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de
modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el
multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador
reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres
polinomios cualesquiera x, y, z se cumplirá que xy z  x yz  . Esta ley acostumbra a
enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir,
que dados los polinomios cualesquiera x, y , se cumplirá que xy  yx . Esta ley acostumbra
a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro
puntos siguientes:
a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo
positivo.  x    y    xy
b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el
producto tendrá signo negativo.  x    y    xy
c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el
producto tendrá signo negativo.  x    y    xy
d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo
positivo.  x    y    xy

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:
+  + =+
+  - =-
-  + =-
-  - =+

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:
a) Multiplicación de monomios.
b) Multiplicación de un polinomio por un monomio
c) Multiplicación de polinomios

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.
Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las
letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a
la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el
que le corresponda al aplicar la regla de los signos.

3-8


EJEMPLO:
  
Multiplicar 3x 3  5 x 4
SOLUCIÓN: 3x  5x   3  5  x
3 4 3 4
 15x 7

EJEMPLO:

Multiplicar  8ab 2  3a 2 b 2 c  
Solución:  8ab 2  3a b c  8  3  a
2 2 1 2
 b 22  c1  24a 3b 4 c

EJEMPLO:
  
Multiplicar  4 x   5x 3 y 2   2 x 2 y
SOLUCIÓN:  4 x   5x y   2 x y    4  5  2  x
3 2 2 13 2
 y 21  40 x 6 y 3

EJEMPLO:
    
Multiplicar  2a 3bc   4a 2 b 2 c 2  5abc    6ab 2

SOLUCIÓN:
 2a bc  4a b c  5abc   6ab    2  4  5  6  a
3 2 2 2 2 3 2 11
 b1 21 2  c1 21
 240a 7 b 6 c 4
El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.

MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del
polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los
productos parciales así obtenidos.

EJEMPLO:


Multiplicar 3a 3  5a 2  4  3a  
SOLUCIÓN:
3a 3
 5a 2  4 3a   3a  3a   5a  3a   4  3a 
3 2

 9a 4  15a 3  12a

EJEMPLO:


Multiplicar: x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3  2 xy  
SOLUCIÓN:
x 3
 3x 2 y  3xy 2  y 3  2 xy   x 3  2 xy   3x 2 y  2 xy   3xy 2  2 xy   y 3  2 xy 
 2 x 4 y  6 x 3 y 2  6 x 2 y 3  2 xy 3

3-9


EJEMPLO:

2 1 5 4 2 5  1 2
Multiplicar:  a 3b 2  a 2 b 3  ab  b     ab 
3 4 6 5   2 
SOLUCIÓN:
2 3 2 1 2 3 5 4 2 5  1 2
 a b  a b  ab  b     ab 
3 4 6 5   2 
2   1  1   1  5 4  1 2 2 5  1 2
  a 3b 2     ab 2    a 2 b 3     ab 2    ab     ab    b     ab 
3   2  4   2  6   2  5   2 
1 1 5 1
  a 4 b 4  a 3b 5  a 2 b 6  ab 7
3 8 12 5

EJEMPLO:

2 4 2 3 2 4 5 6 2
Multiplicar: x y  x y  y por  a 2 x3 y 2
3 5 6 9
2 4 2 3 2 4 5 6
x y  x y  y
3 5 6
2
SOLUCIÓN:  a 2 x 3 y 2
9
4 2 5
 a 2 x7 y 4  a 2 x5 y 6  a 2 x3 y8
27 15 27

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por
cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a
continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

EJEMPLO:
 
Multiplicar: 2a 3  3a 2 b  4ab 2  2b 3  3a 2  4ab  5b 2 
2a  3a b  4ab
3 2 2
 2b 3

3a 2
 4ab  5b 2
6a 5  9a 4 b  12a 3 b 2  6a 2 b 3
8a 4 b  12a 3 b 2  16a 2 b 3  8ab 4
 10a 3 b 2  15a 2 b 3  20ab 4  10b 5
6a 5  a 4 b  10a 3 b 2  25a 2 b 3  28ab 4  10b 5

3 - 10


EJEMPLO:
  
Multiplicar: 3x 2  2 x  1  4 x 2  2 x  2  2 x 2  3x  4 
SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos
3x 2  2 x  1
4x 2  2x  2
12 x 4  8 x 3  4 x 2
 6x3  4x 2  2x
6x 2  4x  2
12 x 4  2 x 3  2 x 2  6 x  2

A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.

12 x 4  2 x 3  2 x 2  6 x  2
2 x 2  3x  4
24 x 6 - 4 x 5  4 x 4  12 x 3  4 x 2
 36 x 5  6 x 4  6 x 3  18 x 2  6 x
48 x 4  8 x 3  8 x 2  24 x  8
24 x 6 - 32 x 5  38 x 4  26 x 3  30 x 2  30 x  8

3 - 11


EJERCICIOS 3.2:
Resolver los ejercicios siguientes:

1.- 2x y 3xy  
2 3 5

2.-  4xy 5x y  2 2 4

3.-  2a a  b  c  2

4.- 3x y 2x y  5xy
2 3 2 2

 4x 2 y 2 

5.- 2a  b3a  2b 
6.- x 4
 2x 3  3 x 2  2x  3   
7.- a  1  a  1 
8.- 2ab 3a bc  
2 4 2

9.-  3b c 8ab c 
2 3 3

10.- 2x yz  4x y  
2 3 3 2

1 2  2 2 
11.-  a  b  a  
2 3  5 

 2 6 1 4 2 3 2 4 1 6  5 3 4 3 
12.-  x  x y  x y  y  a x y  
5 3 5 10  7 

13.-  3a  5b  6c    3 a 2 x3  
 
 10 

2 4 1 4  3 3 4 
 x  x y  y  x y  
2 2
14.-
9 3  7 

2 3  2 3 
15.-  a  b   a b  
3 4  3 

3 3 1 2 2 2 1 3  2 2 5 2 2 
16.-  m  m n  mn  n  m  n  mn  
4 2 5 4  3 2 3 

1 1 2 1 1 3  3 2 1 1 
17.-   x  x  x  x   x  
2 3 4 4  2 5 10 

1 1  1 1 
18.-  2 a  3 b  3 a  2 b 
  

1 2 2 2  1 3 
19.-  a  ab  b   a  b  
4 3  4 2 

3 - 12


3.5. DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE
Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se
multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o
productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede
ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

3.5.1. Cuadrado de un binomio
El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más el
doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del
segundo.

Consideremos que x  y  . Tendremos que x  y   x  y   x  y  . Por tanto
2 2

 x  y  x  y   x2  xy  xy  y 2  x2  2xy  y 2
Es decir x  y   x 2  2 xy  y 2
2

EJEMPLO:

Desarrollar x  2
2

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: x 2
El doble del producto del primer número por el segundo: 2  x  2  4 x
El cuadrado del segundo número: 2 2  4
Así pues x  2  x 2  4 x  4
2

EJEMPLO:
Al desarrollar 3x  2 y 
2

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 3x   9 x 2
2

El doble del producto del primer número por el segundo: 2  3x   2 y   12 xy
El cuadrado del segundo número: 2 y   4 y 2
2

Así pues 3x  2 y   9 x 2  12 xy  4 y 2
2

EJEMPLO:


Al desarrollar 4 x 2  3 y 3 
2

SOLUCIÓN:
4 x 2
 3y3   4 x 
2 2 2
   
 2  4x 2  3y 3  3y 3
2

 16 x 4  24 x 2 y 3  9 y 6

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos
el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del
segundo número.

3 - 13


Consideremos que x  y  .
2

Tendremos que x  y   x  y   x  y  .
2

Por tanto  x  y  x  y   x 2  xy  xy  y 2  x 2  2 xy  y 2

Es decir x  y   x 2  2 xy  y 2
2

EJEMPLO:
Desarrollar x  3
2

SOLUCIÓN:
x  32  x 2  2  x    3   32
 x 2  6x  9

EJEMPLO:

Desarrollar 2 x  4 y 
2

2 x  4 y 2  2 x 2  2  2 x    4 y    4 y 2
SOLUCIÓN:
 4 x 2  16 xy  16 y 2

EJEMPLO:


Desarrollar 2 x 3  5 y 2 2

SOLUCIÓN:
2 x 3
 5y2   2 x 
2 3 2
   
 2  2x 3   5 y 2   5 y 2 
2

 4 x 6  20 x 3 y 2  25 y 4

EJEMPLO:

 
2
Desarrollar 4a 2  3b3

SOLUCIÓN:  4a  3b    4a
2 3 2
  2(4a 2 )  3b3    3b3 2
2 2

 16a 4  24a 2b3  9b6

3.5.2 Binomios conjugados
El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos
el cuadrado del segundo número.

Consideremos el producto: x  y x  y 
 x  y  x  y   x2  xy  xy  y 2  x2  y 2
Es decir x  y x  y   x 2  y 2

EJEMPLO:
Multiplicar x  4x  4

3 - 14


SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: x   x 2
2

Cuadrado del segundo número: 4  16
2

Así pues, x  4x  4  x 2  16

EJEMPLO:
Multiplicar 5x  2 y 5x  2 y 
SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 5 x   25 x 2
2

Cuadrado del segundo número: 2 y   4 y 2
2

Así pues, 5x  2 y 5x  2 y   25x 2  4 y 2

EJEMPLO:
 
Multiplicar 5x 2  3 y 3 5x 2  3 y 3 
   25x
SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 5 x 2
2 4

Cuadrado del segundo número: 3 y   9 y 3 2 6

Así pues, 5x  2 y 5x  2 y   25x  9 y
2 3 2 3 4 6

EJEMPLO:
Multiplicar 3  8x 8x  3
SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número de la diferencia: 3  9
2

Cuadrado del segundo número de la diferencia: 8 x   64 x 2
2

Así pues, 3  8x 8x  3  9  64 x 2

3.5.3. Binomio con un término común
El producto de dos binomios del tipo x  a x  b es igual al cuadrado del primer término,
más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el
producto de los segundos términos.

Se trata de demostrar que x  a x  b  x 2  a  bx  ab .
Tendremos que:  x  a  x  b   x 2  ax  bx  ab  x 2   a  b  x  ab

Es decir x  a x  b  x 2  a  bx  ab , tal como queríamos demostrar.

EJEMPLO:
Comprobar que x  4x  5  x 2  4  5x  4  5 .

3 - 15


 x  4  x  5 
SOLUCIÓN: Tendremos  x 2   4  5 x  4  5 .
 x 2  9 x  20

EJEMPLO:
Comprobar que x  2x  3  x 2   2  3x   2  3

SOLUCIÓN: Tendremos  x  2  x  3  x 2   2  3 x   2   3 .
2

 x  x6

EJEMPLO:
Comprobar que x  6x  4  x 2  6  4x  6   4 .

SOLUCIÓN: Tendremos  x  6  x  4   x 2   6  4  x  6   4  .
2

 x  2 x  24

EJEMPLO:
Comprobar que x  5x  3  x 2   5  3x   5   3 .

SOLUCIÓN: Tendremos  x  5 x  3  x 2   5  3 x   5    3 .
2

 x  8 x  15

3.5.4. Cubo de un binomio
El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del
producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del
primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

 
Consideremos x  y   x  y x  y x  y   x  y  x  y   x 2  2 xy  y 2 x  y  , por lo
3 2

tanto
x 2  2 xy  y2
x  y
x 2  2x 2 y  xy 2
x 2 y  2 xy 2  y 3
x 2  3 x 2 y  3 xy 2  y 3
Es decir x  y   x 2  3x 2 y  3xy 2  y 3
3

EJEMPLO:
Desarrollar x  2
3

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: x   x 3
3

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3  x   2  6 x 2
2

3 - 16


Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3  x 2  12 x
2

Cubo del segundo número: 2  8
3

Así pues x  2  x 3  6 x 2  12 x  8
3

EJEMPLO:
Desarrollar 3x  2 y 
3

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 3x   27 x 3
3

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3  3x   2 y   54 x 2 y
2

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3  3x 2 y   36 xy 2
2

Cubo del segundo número: 2 y   8 y 3
3

Así pues 3x  2 y   27 x 3  54 x 2 y  36 xy 2  8 y 3
3

EJEMPLO:


Desarrollar 3a 2  2b 3  3

SOLUCIÓN:
3a 2
 2b 3   3a 
3 2 3
 33a 2   2b 3   33a 2  2b 3   2b 3 
2 2 3

 27a 6  54a 4 b 3  36a 2 b 6  8b 6

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el triple
del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del
primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número.


Consideremos x  y   x  y x  y x  y   x  y  x  y   x 2  2 xy  y 2 x  y  , por lo
3 2

tanto
x 2  2 xy  y2
x  y
x 2  2x 2 y  xy 2
 x 2 y  2 xy 2  y 3
x 2  3x 2 y  3xy 2  y 3
Es decir x  y   x 2  3x 2 y  3xy 2  y 3
3

EJEMPLO:
Desarrollar x  3
3

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: x   x 3
3

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3x   3  9 x 2
2

3 - 17


Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3x  3  27 x
2

Cubo del segundo número:  3  27
3

Así pues x  3  x 3  9 x 2  27 x  27
3

EJEMPLO:
Desarrollar 2 x  3 y 
3

2 x  3 y 3  2 x 3  32 x 2   3 y   32 x    3 y 2   3 y 3
SOLUCIÓN:
 8 x 3  36 x 2 y  546 xy 2  27 y 3

EJEMPLO:


Desarrollar 4a 2  2b 3 
3

SOLUCIÓN:
4a 2
 2b 3   4a 
3 2 3
 34a 2    2b 3   34a 2   2b 3    2b 3 
2 2 3

 64a 6  96a 4 b 3  48a 2 b 6  8b 6

3.5.5. Teorema del binomio
El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con
la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y
positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de  a  b  :
n

Por multiplicación directa podemos obtener

 a  b 1  a  b
 a  b 2  a 2  2ab  b2
 a  b 3  a3  3a 2b  3ab2  b3
 a  b 4  a 4  4a3b  6a 2b2  4ab3  b4
 a  b 5  a5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  b5
De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en
su formación:
1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de  a  b  empieza con a n y termina con b n . En
n

cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b
aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1
en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del
término.

3 - 18


4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene
multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo
ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se
puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como
Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de  a  b  .
n

n0 1
n 1 1 1
n2 1 2 1
n3 1 3 3 1
n4 1 4
4 1 6
n5 1 5 10 10 5 1
n6 1 6 15 20 15 6 1
n7 1 7 21 35 35 21 7 1

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se
observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último
término son iguales a 1.

Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda
y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los
elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer
coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del
renglón superior, y así sucesivamente.

EJEMPLO:

Desarrollar por el teorema del binomio:  a  2b 
4

SOLUCIÓN:
Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias
correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,

 a  2b   1 a   4  a   2b   6  a   2b   4  a   2b   1 2b 
4 4 3 1 2 2 1 3 4

efectuando las potencias, se tiene:
 a  2b   1 a 4  4  a3  2b  6  a 2  4b2  4  a  8b3  116b4
4

efectuando los productos:
 a  2b   a 4  8a3b  24a 2b2  32ab3  16b4
4

3 - 19


EJEMPLO:

Desarrollar por el teorema del binomio:  3a  2b 
4

SOLUCIÓN: Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene:
 3a  2b   1 3a   4  3a   2b   6  3a   2b   4 3a   2b   1 2b 
4 4 3 1 2 2 1 3 4

efectuando las potencias:
 3a  2b   181a 4   4  27a3   2b   6  9a 2  4b2   4 3a   8b3   116b4 
4

efectuando los productos:  3a  2b   81a 4  216a3b  216a 2b2  96ab3  16b4
4

3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia
de cubos.
La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer
término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la
suma de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que x 3  y 3  x  y  x 2  xy  y 2 .  
Tendremos:
x 2  xy  y2
x  y
x3  x 2 y  xy 2
 x 2 y  xy 2  y 3
x3  y3

 
Es decir x  y  x 2  xy  y 2  x 3  y 3 , tal como queríamos demostrar.

EJEMPLO:
Comprobar que x 3  1  x  1 x 2  x  1  
2
 3 2

SOLUCIÓN:  x  1 x  x  1  x3  x  x  x  x  1
2

 x 1

EJEMPLO:

Comprobar que 27 x 3  8 y 3  3x  2 y  9 x 2  6 xy  4 y 2 
SOLUCIÓN:
 3x  2 y   9 x 2  6 xy  4 y 2   27 x3  18x 2 y  12xy 2  18x 2 y  12xy 2  8y 3
 27 x3  8 y 3

3 - 20


EJEMPLO:

Comprobar que 64b 6  27c 3  4b 2  3c 16b 4  12b 2 c  9c 2  
  2 6 2 2 2 2

SOLUCIÓN: 4b  3c 16b  12b c  9c  64b  48b c  36b c  48b c  36b c  27c
2 4 2 2 2 3

 64b6  27c3

La diferencia de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término
más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la diferencia de
los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que x 3  y 3  x  y  x 2  xy  y 2 .  
 
Tendremos:  x  y  x 2  xy  y 2  x3  x 2 y  xy 2  x 2 y  xy 2  y 3  x3  y 3

 
Es decir x  y  x 2  xy  y 2  x 3  y 3 , tal como queríamos demostrar.

EJEMPLO:
Comprobar que x 3  8  x  2 x 2  2 x  4  
 
SOLUCIÓN:  x  2  x  2 x  4  x  2x  4x  2x  4x  8
2 3

 x3  8

EJEMPLO:

Comprobar que 64 x 3  27 y 3  4 x  3 y  16 x 2  12 xy  9 y 2 
SOLUCIÓN:
 4 x  3 y  16 x 2  12 xy  9 y 2   64 x3  48x  36 xy  48x  36xy  27 y 3
 64 x3  27 y 3

EJEMPLO:

Comprobar que 8a 6  27b 9  2a 2  3b 3 4a 4  6a 2 b 3  9b 6 

SOLUCIÓN: 2a  3b
2 3
 4a 4
 6a 2b3  9b6   8a 6  12a 4b3  18a 2b6  12a 4b3  18a 2b6  27b9
 8a 6  27b9

3.5.7. Cuadrado de un trinomio
El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los
términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en
dos.
a  b  c2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc

3 - 21


EJEMPLO:

Efectuar  2 x  3 y  5 z 
2

2 x  3 y  5z 2  2 x 2  3 y 2   5z 2  22 x 3 y   22 x  5z   23 y  5z 
SOLUCIÓN:
 4 x 2  9 y 2  25 z 2  12 xy  20 xz  30 yz

EJEMPLO:
2
1 2 
Efectuar  x  y  z 
3 5 
SOLUCIÓN:
2 2 2
1  1   2   1  2   1  2 
 x  y  z    x    y    z   2 x  y   2 x  z   2 y  z 
2 2

3 5  3  5   3  5   3  5 
1 4 2 4 2 4
 x2  y  z 2  xy  xz  yz
9 25 15 3 5

EJEMPLO:

Efectuar  a  2b  3c 
2

SOLUCIÓN:
a  2b  3c 2  a 2  2b2   3c 2  2a 2b  2a  3c   22b 3c 
 a 2  4b 2  9c 2  4ab  6ac  12bc

3 - 22


EJERCICIOS 3.3:
Desarrollar los siguientes productos notables:
1. x  22  
22. 2 x 2  3 y 2  2


2. 3  a 2  
23. 2a 2  4  2

3. 2 x  y 2  
24. 2a 3  4b 2  2

4. 3  5 y 2  
25. x 4  2y 3 2

5. 2a  3 2


26. 3x 3  2 y 2  2

6. 2a  3b 2


27. 4a 5  3b 4 2

7. 2  4a  2 2

28.  x  y  x  y  
8. 3a  4b 2

29.  m  n  m  n  
9. 2x 3
 6b  2
 30.  a  x  x  a  


10. 2 x 3  3 y 2  2
 31.  x2  a 2  x2  a 2  


11. 3x 4  2 y 3  2
 32.  2a  11  2a  


12. 3x 2 y  z 3  2
 33.  n  1 n  1 

34. 1  3ax  3ax  1 

13. 4a 2 y 3  3c 2 d 3  2

35.  2m  9  2m  9  

14. 2 x y  4mn
2 3 3 2
 
36.  a3  b2  a3  b2  

15. 3x 5  4 y 6  2

37.  y 2  3 y  y 2  3 y  
16. x  3 
2

38. 1  8xy 8xy  1 
17. 2a  4 
2

39.  6 x2  m2 x  6 x2  m2 x  
18. 4  2 x  
2

40.  a m  bn  a m  bn  
19. 3x  2 y  
2

41.  3x a  5 y m  5 y m  3xa  
20. 5x  3 y  
2

42.  a x1  2b x1  2b x1  a x1  

21. x 2  y 2  2
 43. 2a  b2a  b 

3 - 23


44. 2 x  3 y 2 x  3 y    
69. x 5  4 x 5  6  
45. 4  2a 4  2a   70. x 6
 4x 6
 8 

 
46. 2m 2  3n 2 2m 2  3n 2   71. xy  3xy  2 

47. 3x  23x  2  72. ab  4ab  6 

48. 2 x  42 x  4    
73. x 2 y 2  2 x 2 y 2  5 
49. 2  4 y 2  4 y   74. a b  5a b  4 
3 3

50. 3x  53x  5  75. a  3a  6 
 
51. 2 x 3  y 2 2 x 3  y 2   76. a  2 
3

52. 2x 2
 3x 2 x 2
 3x   77. x  1 
3

53. 3  4ab3  4ab 
78. m  3 
3

54. x  3x  4 
79. n  4 
3

55. a  5a  2 
80. 2x  1 
3

56. a  3a  8 
81. 1  3 y  
3

57. x  2x  3 

58. a  6a  2 

82. 2  y 2  3


83. 1  2n 
3
59. a  4a  5 

60. a  1a  4  84. 4n  3 
3

61. a  2a  3  
85. a 2  2b   3

62. x  7x  8  86. 2 x  3 y  
3

 
63. x 2  3 x 2  4   
87. 1  a 2  3

64. a 2
 3a  5 
2

88. 3a 3  2 y 3  3

65. x 2
 2x  7 
2
89. 5  2 x  
3

66. x 3
 5x  4 
3

90. x  5 
3

67. a 3
 15a  4 
3

68. x 4
 3x  2 
4

3 - 24


3.6. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA DIVISIÓN
am
Lo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma
an
35 3  3  3  3  3
 
  3  3  3  33
3 2
33
 

Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente del
cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para cualquier par
de números completos m y n
am
 a mn con m  n
an
EJEMPLO:
Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:
45 44444
 4 52  4 3 porque  43
4 2
44
x6 xxxxxx
 x 62  x 4 porque  x4
x 2
xx
p5  q7
 p 5 2  q 7 5  p 3  q 2
p q
2 5

Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor que m
entonces:
am
n
1
 mn n  m
a a

EJEMPLO:
x2 xx
  1 x2 1 1
  3 o bien 5  52  3
x 5
xxxxx x
  x x x

EJEMPLO:

6 x 3 y 2 2  3  x  x  x  y  y 3x 2
    6 x 3 y 2 3x 31 3x 2
 o bien  4 2  2
2 xy 4    
2 x y  y y y y2 2 xy 4 y y

Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para todo número completo m
1
a m 
am

3 - 25


EJEMPLO:
1 1
Como en el caso: 4  2  m 3 
42 m3
1 a
ab 1  a   Ya que el exponente solo afecta a b
b1 b

Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1. Por
a2 a2
ejemplo 2  1 . Si utilizamos la regla anterior, encontramos que 2  a 22  a 0  1
a a

Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier número real excepto el
cero.
p0=1 30=1

3.7. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un
producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el
producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor
por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos 8xy  2 xy  4 , se cumplirá que 4  2 xy  8xy
cociente dividendo
divisor dividendo  cociente
divisor

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:
dividendo residuo
 cociente 
divisor divisor

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes
y los coeficientes de las cantidades que se dividen.
(+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=–

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO
Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del
divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada
letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el
exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar
la regla de los signos.

3 - 26


EJEMPLO:
Dividir 8x 6  4 x 4
  
SOLUCIÓN: 8x 6  4 x 4  8x 6 : 4 x 4  8 : 4x 64  2 x 2

EJEMPLO:
 12 x 3 y 2 z
Dividir
3xy
 12 x 3 y 2 z
SOLUCIÓN:   12 : 3x 31  y 21  z 10  4 x 2 yz
3xy

EJEMPLO:
 18a 3b 4 c 2
Dividir
 6a 3 b 2 c 2
 18a 3b 4 c 2
SOLUCIÓN:   18 : 6a 33  b 42  c 22  3b 2
 6a 3 b 2 c 2

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división
propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:
a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada
dicha letra en el divisor.
b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

EJEMPLO:
12a 2 b 3 c 2
Dividir 
 18a b c d 3abcd
3 4 2

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del
polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los
cocientes parciales así obtenidos.

EJEMPLO:
 
Dividir 4 x 3  6 x 2  8x  2 x 

SOLUCIÓN:
4 x 3
    
 6 x 2  8 x  2 x   4 x 3  2 x   6 x 2  2 x   8 x   2 x 
 2 x 2  3x  4

3 - 27


EJEMPLO:
6 x 4 y  9 x 3 y 2  12 x 2 y 3  6 xy 4
Dividir
3xy

6 x 4 y  9 x 3 y 2  12 x 2 y 3  6 xy 4 6 x 4 y 9 x 3 y 2 12 x 2 y 3 6 xy 4
   
SOLUCIÓN: 3xy 3xy 3xy 3xy 3xy
 2 x 3  3x 2 y  4 xy 2  2 y 3

EJEMPLO:
3x 3 y 2  5 x 2 y  6 xy 2
Dividir
4x 2 y

3x 3 y 2  5 x 2 y  6 xy 2 3x 3 y 2 5 x 2 y 6 xy 2
  
4x 2 y 4x 2 y 4x 2 y 4x 2 y
SOLUCIÓN:
3 5 3y
 xy  
4 4 2x

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.
Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:
1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,
obteniéndose así el primer término del cociente
3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así
obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe
cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto
no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el
lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.
4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor,
obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.
5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así
obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.
6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y
se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

EJEMPLO:

Dividir: 5 x 2  xy  3 y 2 15 x 4  7 x 3 y  6 x 2 y 2  7 xy 3  3 y 4

3 - 28


3x 2  2 xy  y 2
5 x 2  xy  3 y 2 15 x 4  7 x 3 y  6 x 2 y 2  7 xy 3  3 y 4
 15 x 4  3 x 3 y  9 x 2 y 2
 10 x 3 y  3 x 2 y 2  7 xy 3  3 y 4
10 x 3 y  2 x 2 y 2  6 xy 3
5 x 2 y 2  xy 3  3 y 4
 5 x 2 y 2  xy 3  3 y 4
0
Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:
En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a
la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, 15x 4 , entre el primer
término del divisor, 5x 2 , obteniéndose 3x 2 , por cada uno de los términos del divisor,
obteniéndose como resultado 15x 4  3x 3 y - 9 x 2 y 2 , que se escribe debajo de los
términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos
semejantes, obteniéndose como primer resto  10 x 3 y  3x 2 y 2  7 xy 3  3 y 4 .

Después se ha dividido  10 x 3 y entre 5x 2 obteniéndose como cociente  2 xy , que es el
segundo término del cociente. Multiplicando  2 xy por todos los términos del divisor que
se obtiene como resultado  10 x 3 y  2 x 2 y 2  6 xy 3 , que se escribe debajo de los
términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para
efectuar la resta.
A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,
obteniéndose como segundo resto 5x 2 y 2  xy 3  3 y 4

Finalmente se ha dividido 5 x 2 y 2 entre 5x 2 , obteniéndose como cociente y2 .
Multiplicando y 2 por todos los términos del divisor se obtiene como producto
5x 2 y 2  xy 3  3 y 4 , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto
cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha
procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer
resto 0, con lo cual queda acabada la división.

EJEMPLO:
  
Dividir: x 4  5x 3  11x 2  12 x  6  x 2  3x  3 

3 - 29


x 2  2x  2
x 2  3 x  3 x 4  5 x 3  11x 2  12 x  6
- x 4  3x 3  3x 2
 2 x 3  8 x 2  12 x  6
SOLUCIÓN: 2x3  6x 2  6x
2x 2  6x  6
- 2x 2  6x  6
0

EJEMPLO:
  
Dividir: 1  a  a 5 - 3a 2  1  2a  a 2 
 3a 3  2a 2  3a  1
a 2  2a  1  a 5  3a 2  a  1
a 5  2a 4  a 3
2a 4  a 3  3a 2  a  1
 2a 4  4a 3  2a 2
SOLUCIÓN:  3a 3  5a 2  a  1
3a 3  6a 2  3a
a 2  2a  1
 a 2  2a  1
0

EJEMPLO:
  
Dividir: 8 y 6  21x 3 y 3  x 6  24 xy 5  3xy  x 2  y 2 

3 - 30


SOLUCIÓN:
x 4  3 x 3 y  8 x 2 y 2  42 xy 3  118 y 4
 x 2  3 xy  y 2  x 6  21x 3 y 3  24 xy 5  8y6
x 6  3x 5 y  x 4 y 2
 3 x 5 y  x 4 y 2  21x 3 y 3  24 xy 5  8y6
3x 5 y  9 x 4 y 2  3x 3 y 3
 8 x 4 y 2  18 x 3 y 3  24 xy 5  8y6
8 x 4 y 2  24 x 3 y 3  8x 2 y 4
 42 x 3 y 3  8x 2 y 4  24 xy 5  8y6
42 x 3 y 3  126 x 2 y 4  42 xy 5
 118 x 2 y 4  18 xy 5  8y6
118 x 2 y 4  354 xy 5  118 y 6
 336 xy 5  126 y 6

Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:
a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es
divisible entre el primer término del divisor.
b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor.
c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor
exponente que en el primer término del divisor.

3.8. DIVISIÓN SINTÉTICA
La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la
división de un polinomio entero en x por x-a.

Dividamos x 3  5x 2  3x  14 entre x  3
x 2  2x  3
x3 x 3  5 x 2  3 x  14
 x 3  3x 2
 2 x 2  3 x  14
2x 2  6x
 3 x  14
3x  9
5

3 - 31


 
Podemos apreciar que el cociente x 2  2 x  3 es un polinomio en x de un grado menor
que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al
coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo es 5.
Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla
práctica:
1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del
dividendo.
2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer
término del dividendo.
3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el
coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor,
cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que
ocupa el mismo lugar en el dividendo.
4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor,
cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del
dividendo.

EJEMPLO:
Dividamos x 3  5x 2  3x  14 entre x  3

SOLUCIÓN:
Dividendo Divisor
x3  5x 2  3x  14 x  3
1 5 3  14 3
1 3  3  2  3  6  3  3  9
1 -2 -3 +5

Resultado x 2  2 x  3 residuo: 5

EJEMPLO:
2 x 3  5x 2  7 x  8
Efectuar por división sintética
x4
SOLUCIÓN:
Dividendo Divisor
2 5 7 8 x  4
24  8 34  12 194  76 4
2 3 19 68

Resultado 2 x 2  3x  19 residuo: 68

3 - 32


EJEMPLO:
 
Efectuar por división sintética x 2  8x  5  x  2

SOLUCIÓN:
Dividendo Divisor
1 8 5 x  2
1 2  2  10 2  20 2
1 - 10 25

Resultado x  10 residuo: 25

EJEMPLO:
Efectuar por división sintética x 5  16 x 3  202 x  81 entre x  4

SOLUCIÓN:
Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos x 4 y x 2 , al escribir los
coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estos
términos.

Dividendo Divisor
1 0 - 16 0 - 202  81 x  4
4 16 0 0  808 4
1 4 0 0 - 202  727
Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del cociente
son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es x 4  4 x 3  202 y el residuo es -727

3 - 33


3.9. FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a
la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el
propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la
factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que
multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorización
  
24  2  2  2  3
24  2  3  4
24  4  6
24  8  3
24  12  2
  
Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores.
Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos,
escribiremos 3  5  15 . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que
lo factoricemos; entonces tendremos 15  3  5

Al factorizar el número 20, tendremos 20  4  5 o 20  10  2 .

Advierte que 20  4  5 y 20  10  2 no están factorizados por completo. Contienen
factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc.
Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera
factorización 4  2  2 , de modo que 20  2  2  5 mientras que la segunda
factorización 10  2  5 , de modo que 20  2  5  2 , en cualquier caso la factorización
completa para 20 es 2  2  5 .

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo
por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De
1
esta manera no factorizamos 20 como 20   80 .
4
Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas.

3 - 34


3.9.1. Factor común.
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos
descubrir un patrón.

4 x  4 y  4x  y 
5a  10b  5a  2b 
2 x 2  6 x  2 xx  3
3a 2  6ab  3aa  2b 

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: ab  c   ab  ac .
Cuando factorizamos ab  ac  ab  c  .

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a
todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es
seleccionar el máximo factor común, ax n . Aquí tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término ax n , es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.


De este modo para factorizar 6 x 3  18x 2 , podríamos escribir 6 x 3  18x 2  3x 2 x 2  6 x 
Pero no está factorizado por completo por que 2 x 2  6 x puede factorizarse aún más.
Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los
términos es x 2 . De esta manera la factorización completa es 6 x 3  18x 2  6 x 2 x  3 .
Donde 6x 2 es el MFC.

EJEMPLO:
8 x  24  8  x  8  3
Factorizar
 8x  3

EJEMPLO:
 6 y  12  6  y  6  2
Factorizar
 6 y  2
EJEMPLO:
10 x 2 25 x 3  5 x 2 2  5 x 2  5 x
Factorizar
 5 x 2  5 x 
2

3 - 35


EJEMPLO:
6 x 3 12 x 2  18 x  6 x x 2 6 x  2 x  6 x  3
 6 xx 2  2 x  3
Factorizar

EJEMPLO:
10 x 6 15 x 5  20 x 4  30 x 2  5 x 2  2 x 4 5 x 2  3x 3  5 x 2  4 x 2  5 x 2  6
 5 x 2 2 x 4 3x 3  4 x 2  6
Factorizar

EJEMPLO:
2 x 3 4 x 4  8 x 5  2 x 3  1  2 x 3  2 x  2 x 3  4 x 2
 2 x 3 1  2 x 3  4 x 2 
Factorizar

EJEMPLO:
3 2 1 5 1 1 1
x  x    3x 2   x   5
Factorizar
4 4 4 4 4 4
1
 3x 2  x  5
4
 

3.9.2. Diferencia de cuadrados.
Aquí tenemos un producto notable  A  B A  B  A2  B 2 podemos utilizar esta
relación para factorizar una diferencia de cuadrados. A2  B 2   A  B  A  B 

EJEMPLO:
x 2  4  x 2  22
Factorizar
 x  2x  2

EJEMPLO:
Factorizar 4 x 2  25  2 x   5  2 x  52 x  5
2 2

EJEMPLO:


Factorizar 9a 8 b 4  49  3a 4 b 2   7  3a b
2 2 4 2

 7 3a 4 b 2  7 

3.9.3. Trinomios con término de segundo grado.
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un
trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

3 - 36


x  32  x 2  6 x  9
x  32  x 2  6 x  9
Los trinomios x 2  6 x  9, x 2  6 x  9 , son trinomios cuadrados porque son cuadrados
de un binomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.
A. Dos de los términos deben de ser cuadrados A 2 y B 2
B. No debe haber signo de menos en A 2 o en B 2
C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB
o su inverso aditivo -2AB.

¿Es x 2  6 x  11 un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al
cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.

Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:
A 2  2 AB  B 2  ( A  B) 2
A 2  2 AB  B 2  ( A  B) 2
Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.

EJERCICIOS 3.4:
1.- x 2  14 x  49
2.- x 2  6x  9
3.- 16 x 2  56 xy  49 y 2

4.- 9 x 2  18xy  9 y 2

5.- 36m 2  48mn  16n 2
6.- 16 x 2  40 x  25
7.- x 2  4 xy  4 y 2

8.- x 2  2x  1

3.9.4. Suma y diferencia de cubos.
Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las
siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.
A3  B 3   A  B A 2  AB  B 2 
A3  B 3   A  B A 2  AB  B 2 

3 - 37


EJEMPLO:
Factorizar y 3  27 , observemos primero que se puede escribir en otra forma: y 3  33
Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de
factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:


y 3  27  y 3  33   y  3 y 2  3 y  9 
EJEMPLO:
Factorizar 8x 3  27  2 x   33  2 x  3 4 x 2  6 x  9
3
 
EJEMPLO:

Factorizar t 3  1  t  1 t 2  t  1 

3.9.5. Por Agrupación.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro
términos. Consideremos x 3  x 2  2 x  2 . No hay ningún factor diferente de 1. Sin
embargo podemos factorizar a x 3  x 2 y 2 x  2 por separado:

x 3  x 2  x 2 x  1 2 x  2  2x  1

Por lo tanto x 3  x 2  2 x  2  x 2 x  1  2x  1 . Podemos utilizar la propiedad
distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1


x 2 x  1  2x  1  x  1  2  x 2 
Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las
expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.

EJEMPLO:

6 x 3  9 x 2  4 x  6  6 x 3  9 x 2  4 x  6 
 3x 2 x  3  22 x  3
2

 2 x  3 3x 2  2  
EJEMPLO:
Factorizar

x 3  x 2  x  1  x 3  x 2  x  1 
 x x  1  1x  1
2


 x  1 x 2  1 

3 - 38


EJEMPLO:
Factorizar
x 3  2 x 2  x  2  x 3  2 x 2    x  2
 x 2  x  2  1 x  2
 x 2  x  2  1x  2
  x  2x 2  1
  x  2x  1x  1

EJEMPLO:
Factorizar
x 2 y 2  ay 2  ab  bx 2  y 2 x 2  a   bx 2  a 
 x 2  a y 2  b 

3 - 39


RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.1:
1.- 2 y  y  1  6 y  2 y  1 
2 2

2.- 4x  3x  1  5x  x  1 
2 2

3.- z  4z  1  2z  z  1 
2 2

4.- y  3 y  5  y  4 y  3 
2 2

5.- 2xy  6xy  x  2xy  x 
2

6.- 5ax  3ax  4  2ax  3 
2 2

7.- 2x  y  z   x  2 y  z   x  y  2z   x  3 y  4z  
8.- a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c 
9.- 2g  3h  k   2g  3h  k   2g  2h  2k   3g  h  k  
10.- 2x  2 y  z   x  2 y  z   3x  2 y  z   x  4 y  5z  

RESULTADOS DEL EJERCICIO 3.2:
1.- 2x y 3xy   6x y
2 3 5 3 8

2.-  4xy 5x y   20x y
2 2 4 3 6

3.-  2aa  b  c   2aa    2a b   2ac  2a  2ab  2ac
2 2 3

4.-
3x y 2 x y  5xy  4 x y   3x y 2 x y   3x y  5xy   3x y 4 x y 
2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2

 6 x 5 y 3  15 x 3 y 3  12 x 4 y 3

5.- 2a  b3a  2b  6a 2  ab  2b 2
6.- x 4
 
 2 x 3  3 x 2  2 x  3  x 6  4 x 5  7 x 4  6 x 3  3x 2  6 x  9

7.- a  12  a  13  a  123  a  15
8.- 2ab 3a bc   6a b c
2 4 2 5 3 2

9.-  3b c 8ab c  24ab c
2 3 3 5 4

10.- 2x yz  4x y   8x y z
2 3 3 2 5 3 3

3 - 40


RESULTADOS DEL EJERCICIO 3.3:
1.- x  2  x  4 x  4 28.-  x  y  x  y   x 2  y 2
2 2

2.- 3  a   9  6a  a 2 29.-  m  n  m  n   m2  n2
2

3.- 2 x  y   4 x 2  4 xy  y 2
2 30.-  a  x  x  a   a 2  x 2

4.- 3  5 y   9  30 y  25 y 2
2 31.-  x2  a 2  x2  a 2   x4  a 4

5.- 2a  3  4a 2  12a  9
2 32.-  2a  11  2a   4a 2  1
33.-  n  1 n  1  n2  1
6.- 2a  3b  4a 2  12ab  9b 2
2

34.- 1  3ax  3ax  1  1  9a 2 x 2

7.- 2  4a 2 2
  4  16a  16a 2 4
35.-  2m  9 2m  9   4m2  81
8.- 3a  4b  9a  24ab  16b
2 2 2
36.-  a3  b2  a3  b2   a6  b4

9.- 2 x 3  6b   4x  24x b  36b
2 6 3 2
37.-  y 2  3 y  y 2  3 y   y 4  9 y 2
10.- 2 x  3 y   4 x  12 x y  9 y
3 2 2 6 3 2 4
38.- 1  8xy 8xy  1  1  64 x 2 y 2
11.- 3x  2 y   9 x  12 x y  4 y
4 3 2 8 4 3 6
39.-  6 x2  m2 x  6 x2  m2 x   36 x4  m4 x2
12.- 3x y  z   9 x y  6 x yz  z
2 3 2 4 2 2 3 6 40.-  a m  bn  a m  bn   a 2m  b2n
13.- 4a 2 y 3  3c 2 d 3 2  16a 4 y 6  24a 2 y 3c 2 d 3  9c 4 d 6 41.-  3x a  5 y m  5 y m  3xa   9 x 2a  25 y 2m
42.-  a x1  2b x1  2b x1  a x1   a 2 x2  4b2 x2
14.- 2 x 2 y 3  4mn3 2  4 x 4 y 6  16 x 2 y 3 mn3  16m 2 n 6
43.- 2a  b2a  b  4a 2  b 2

15.- 3x 5  4 y 6  2
 9 x10  12 x 5 y 6  16 y12 44.- 2 x  3 y 2 x  3 y   4 x 2  9 y 2
16.- x  3  x 2  6 x  9 45.- 4  2a 4  2a   16  4a 2
2

17.- 2a  4  4a 2  16a  16
2
 
46.- 2m 2  3n 2 2m 2  3n 2  4m 4  9n 4
18.- 4  2 x   16  16 x  4 x 2
2
47.- 3x  23x  2  9 x 2  4
19.- 3x  2 y   9 x 2  12 xy  4 y 2
2 48.- 2 x  42 x  4  4 x 2  16

20.- 5x  3 y   25x 2  30 xy  9 y 2
2 49.- 2  4 y 2  4 y   4  16 y 2
50.- 3x  53x  5  9 x 2  25

21.- x 2  y 2  x  2x y  y
2 4 2 2 4

  
51.- 2 x 3  y 2 2 x 3  y 2  4 x 6  y 4
22.- 2 x  3 y   4 x  6 x y  9 y
2 2 2 4 2 2 4

52.- 2 x 2
 3x 2 x 2
 3x   4 x 4
 9x 2
23.- 2a  4  4a  16a  16
2 2 4 2
53.- 3  4ab3  4ab  9  16a 2 b 2
24.- 2a  4b   4a  16a b  16b
3 2 2 6 3 2 4
54.- x  3x  4  x 2  7 x  12
25.- x  2 y   x  4 x y  4 y
4 3 2 8 4 3 6
55.- a  5a  2  a 2  7a  10
26.- 3x  2 y   9 x  12 x y  4 y
3 2 2 6 3 2 4
56.- a  3a  8  a 2  5a  24

27.- 4a  3b   16a  12a b  9b
5 4 2 10 5 4 8 57.- x  2x  3  x 2  5x  6

3 - 41


58.- a  6a  2  a 2  4a  12 77.-  x  1  x3  3x 2  3x  1
3

59.- a  4a  5  a 2  a  20 78.-  m  3  m3  9m2  27m  27
3

60.- a  1a  4  a 2  5a  4 79.-  n  4  n3  12n2  48n  64
3

61.- a  2a  3  a 2  a  6 80.-  2 x  1  8a3  12 x 2  6 x  1
3

62.- x  7x  8  x 2  x  56 81.- 1  3 y   1  9 y  27 y 2  27 y 3
3

  
63.- x 2  3 x 2  4  x 4  x 2  12
82.-  2  y 2   8  12 y 2  6 y 4  y 6
3

64.- a 2
 3a  5  a  8a  15
2 4

83.- 1  2n   1  6n  12n2  8n3
3

65.- x 2
 2x  7  x  5x  14
2 4 2

84.-  4n  3  64n3  144n2  108n  9
66.- x  5x  4  x  x  20
3
3 3 6 3

67.- a  15a  4  a  11a  60 85.-  a 2  2b   a6  6a 4b  12a 2b2  8b3
3
3 3 6 3

68.- x  3x  2  x  x  6 86.-  2 x  3 y   8x3  36 x 2 y  54 xy 2  27 y3
3
4 4 8 4

69.- x  4x  6  x  2 x  24 87.- 1  a 2   1  3a 2  3a 4  a 6
5 5 10 5 3

70.- x 6
 4x  8  x  4 x  32
6 12 6
88.-  3a3  2 y3   27a9  54a6 y3  36a3 y 6  8 y9
71.- xy  3xy  2  x 2 y 2  xy  6
72.- ab  4ab  6  a 2 b 2  2ab  24 89.-  5  2 x   125  150 x  60 x 2  8x3
3

  
73.- x 2 y 2  2 x 2 y 2  5  x 4 y 4  3x 2 y 2  10 90.-  x  5  x3  15x 2  75x  125
3

  
74.- a 3b  5 a 3b  4  a 6 b 2  a 3b  20
75.- a  3a  6  a 2  9a  18
76.-  a  2   a3  6a 2  12a  8
3

RESPUESTA DEL EJERCICIOS 3.4:
x 2  14 x  49  x  7 4.- 9 x 2  18xy  9 y 2  3x  3 y 
2 2
1.-
x 2  6 x  9  x  3 5.- 36m 2  48mn  16n 2  6m  4n
2 2
2.-
16 x 2  56 xy  49 y 2  4 x  7 y  6.- 16 x 2  40 x  25  4 x  5
2 2
3.-
x 2  4 xy  4 y 2  x  2 y 
2
7.-

x 2  2 x  1  x  1
2
8.-

3 - 42

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