1. Fracciones Algebraicas
Capitulo 4
4. FRACCIONES ALGEBRAICAS.
4.1. Definición y clasificación.
4.2. Propiedades.
4.3. Simplificación.
4.4. Multiplicación de fracciones.
4.5. División de fracciones.
4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
4.7. Suma y resta de fracciones.
4.8. Simplificación de fracciones complejas.
El concepto de número entero es uno de los más antiguos en matemáticas. El concepto de los números
racionales (llamados así debido a que son razones de los números enteros) se desarrollo mucho después
debido a que las tribus iletradas no tenían necesidad de un concepto de esta clase. Los números irracionales
evolucionaron durante un largo período, debido a la necesidad de ciertos tipos de medición. Por ejemplo:
tomamos una varilla y cortamos dos pedazos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo? Un medio, por
supuesto. Si cortamos la misma varilla en cuatro pedazos iguales, entonces cada pedazo tiene un longitud de
¼. Dos estos pedazos tendrán longitud 2 4 , lo que nos dice que deberíamos tener 2 4  12
Ideas como éstas condujeron al desarrollo de la aritmética de los números racionales. Durante la Edad de
Bronce, las inscripciones de jeroglíficos egipcios muestran los recíprocos de enteros mediante un signo oval
alongado.
4.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo
se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así,
a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b
(divisor).
Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones
simples:
2 x 1 x 2  2x  2
, 2 , .
x 1 x  x  4 x 1
Fracción propia e impropia
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se
llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

2. FRACCIONES ALGEBRAICAS
20 xy 2 x 1 x 2  2x  2 x 2  2x  2
Por ejemplo, , son fracciones propias, mientras que , son
36 x 3 y 6 9 x 2  14 x  45 x2 1 x 1
fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción
propia.
a 3  3a 2  4a  7 9a  11
 a4
a  a 1
2
a2  a 1
Fracción compuesta
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su
denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:
x2 3 x2

x 4
2 x  1 2 x 2  3x  2
,
2x  5 4
1
x  2x  3
2 2x  1
Significados de una fracción
Significado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 divido por 4 o bien 34.
Cuando una fracción significa división, el numerador es el dividendo y el denominador es el
divisor.
Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4 o bien 3:4. Cuando una
fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben estar expresadas en las mismas
unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la
equivalencia de 2 semanas a 14 días eliminándose luego la unidad común.
Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por ejemplo, ¾ puede
expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas.
Numerador o Denominador Nulo
Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo siempre que el denominador sea
x5
distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0. La fracción para x = 5
3
vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado.
Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador sea cero es imposible. Por
ejemplo 30 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, si x = 0 la fracción 5x es imposible o
bien 5/x carece de sentido.
4.2 PROPIEDADES
Fracciones equivalentes
Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a
sus números literales. l valor de una fracción no varía si el numerador y el denominador se multiplican (o
dividen) por una misma cantidad no nula.
a a a c
 1  
b b b c
ac

bc
4- 2

3. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Ya que la división entre un número es equivalente a la multiplicación por su recíproco, tenemos que:
1 a
a
a d  d

b 1 b
b
d d
Entonces las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, pero distintos numerador y
2 20 20 x 2 20 20 x
denominador. Por ejemplo , y son fracciones equivalentes porque  
3 30 30 x 3 30 30 x
Para obtener fracciones equivalentes se aplican las siguientes propiedades:
Propiedad 1: Se multiplican numerador y denominador de una fracción por un mismo número distinto de
cero, la fracción no varía.
3 30
 Tanto 3 como 4 se han multiplicado por 10
4 40
5 5x
 Tanto 5 como 7 se han multiplicado por x
7 7x
Propiedad 2: Se dividen numerador y denominador de una fracción por un mismo número, distinto de cero,
la fracción no varía.
400 4
 Tanto 400 como 500 se han divido entre 100
500 5
7a 2 7
2
 Tanto 7a2 como 9a2 se han divido entre a2
9a 9
Fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por los valores dados:
2 5 x 4x x-3 x2 x2+x-3
2 4 10 2x 8x 2x  6 2x2 2x 2  2x  6
3 6 15 3x 12 x 3x  9 3x 2 3x 2  3x  9
a 2a 5a ax 4ax ax  3a ax 2 ax 2  ax  3a
7 14 35 7x 28 x 7 x  21 7x 2 7 x 2  7 x  21
3 6 15 3x 12 x 3x  9 3x 2 3x 2  3x  9
x 2x 5x x 2
4x 2
x  3x
2
x3 x 3  x 2  3x
Fracciones equivalentes a las dadas dividiendo numerador y denominador:
2 5 x 4x x2 20x2
20 x 2 10 x 2 4x2 20 x 5x 20 1
80 x 2 40 x 2 16 x 2 80 x 20 x 80 4
40 x 3 20 x 3 8 x3 40 x 2 10 x 2 40x 2x
60 x 2 30 x 2 12 x 2 60 x 15 x 60 3
El reciproco de un número
El reciproco de un número de un número es igual a la unidad dividido por dicho número. Por ejemplo, el
inverso de 5 es 1/5. Asimismo, el reciproco de 2/3 es 3/2, porque 3/2=12/3
4- 3

4. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Propiedad 1. Las fracciones a/b y b/a son reciprocas; esto es, el reciproco de una fracción se obtiene
permutando numerador y denominador.
2 3 a b
Propiedad 2. El producto de dos recíprocos es la unidad. Por ejemplo  1,  1
3 2 b a
Propiedad 3. Para dividir por un número o una fracción se multiplica por el reciproco. Por ejemplo
2 3 1 7
8  8   12 , 7  5  7  
3 2 5 5
Propiedad 4. Para resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario se multiplican los dos miembros por
2
la fracción reciproca. Por ejemplo para resolver la ecuación x  10 , se multiplican ambos
3
3 3 2 3
miembros por . Es decir  x   10 de donde x = 15
2 2 3 2
Forma estándar de una fracción
a a a a a a
 se escribe como  se escribe como  se escribe como
b b b b b b
a a a a a a
se escribe como  se escribe como se escribe como
b b b b b b
a a
Las formas y se llaman formas estándar de una fracción y sirven para escribir respuestas que incluyen
b b
fracciones.
4.3 SIMPLIFICACIÓN
Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no
existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a
sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en
común. Este proceso se llama también cancelación de factores comunes:
Ejemplo
2x3  2x
Simplificar la fracción
4 x 4  8 x 3  12 x 2
SOLUCIÓN: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos los factores
comunes a ellos:
 
 1
1 
2x  2x
3
2x x  1 2
2 xx  1x  1 x 1
  
4 x  8 x  12 x
4 3 2 2

4x x  2x  3
2
 2 x1x  3
x
 
2
 2 xx  3
2x 1
Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el numerador entre el
denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una expresión algebraica entera. Si la
división no es exacta, se prosigue la división hasta que el primer término del resto sea de menor grado que el
4- 4

5. FRACCIONES ALGEBRAICAS
primer termino del divisor y al cociente así obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo
denominador es el divisor.
Ejemplo
18 x 3 y  12 x 2 y 2  6 xy 3
Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica
xy
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
18x3 y  12 x 2 y 2  6 xy 3 xy
-18x3y 18x 2  12 xy  6 y 2
 12 x 2 y 2  6 xy 3
12x2y2
6xy3
-6xy3
18 x 3 y  12 x 2 y 2  6 xy 3
Así pues = 18x 2  12 xy  6 y 2
xy
Ejemplo
2 x 4  8x 2  6 x  1
Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica
2x
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
2 x 4  8x 2  6 x  1 2x
4
-2x 3x3-4x-3
-8x2 - 6x +1
8x2
6x +1
-6x +1
1
2 x 4  8x 2  6 x  1 1
Como la división no es exacta tendremos  x 3  4x  3 
2x 2x
Ejemplo
2 x 5  3x 4  2 x 2  x  1
Reducir a expresión algebraica mixta la fracción
x 1
4- 5

6. FRACCIONES ALGEBRAICAS
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
2x 4  x 3  x 2  x  2
x 1 2 x 5  3x 4  2x 2  x  1
 2x 5  2x 4
x4  2x 2  x  1
 x 4  x3
 x 3  2x 2  x  1
x3  x 2
 x2  x 1
2x  1
2 x  2
-3
2 x 5  3x 4  2 x 2  x  1 3
Como la división es inexacta. Tendremos = 2x 4  x 3  x 2  x  2 
x 1 x 1
Ejemplo
27 x 3 y 2 z 4
Reducir a su mínima expresión
3x 2 y 3 z
27 x 3 y 2 z 4  3x 2 y 2 z 9 xz 3
SOLUCIÓN: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es 3x 2 y 2 z , entonces: 
3x 2 y 3 z  3x 2 y 2 z y
Ejemplo
a b
Reducir a su más simple expresión
a2  b2
a b a b a  b  a  b  1
SOLUCIÓN:   
a b
2 2 a  ba  b a  ba  b  a  b a  b
Ejemplo
x 3  x 2  6x
Reducir a su mínima expresión
x 3  3x 2  2 x
x 3  x 2  6x


x x2  x  6   xx  3x  2  x  3
xx  3x  2 xx  1x  2 x  1
SOLUCIÓN:
x  3x  2 x
3 2 2
Ejemplo
a 5  a 4 b  ad 4  bd 4
Reducir a su mínima expresión
a 4  a 3 b  a 2 d 2  abd 2
4- 6

7. FRACCIONES ALGEBRAICAS
a 5  a 4 b  ad 4  bd 4

a 4 a  b   d 4 a  b 

a  d a  b  a  d 
4 4 4 4
a 4  a 3 b  a 2 d 2  abd 2 a 3 a  b   ad 2 a  b  a  ad a  b a  ad 
3 2 3 2
SOLUCIÓN:

a 2

 d 2 a2  d 2  a 2
d2

a a2  d 2  a
Para reducir una expresión algebraica mixta a fracción algebraica, se multiplica la parte entera por el
denominador y el producto resultante se le suma algebraicamente el numerador. El resultado así obtenido es
el numerador de la fracción algebraica. El denominador de la fracción algebraica es el mismo que el de la
expresión algebraica mixta.
Ejemplo
2 xy
Reducir x  a fracción algebraica
x y
SOLUCIÓN: Tendremos: x( x  y)  x 2  xy
x 2  xy  2 xy  x 2  3xy Que es el numerador de la fracción algebraica.
2 xy x 2  3xy
Así pues, x  
x y x y
Ejemplo
x y
Reducir 2  a fracción algebraica
x y
SOLUCIÓN: Tendremos: 2( x  y)  2 x  2 y
2 x  2 y  ( x  y)  2 x  2 y  x  y  x  3 y
x  y x  3y
Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues, 2  
x y x y
Ejemplo
2
Reducir x  1  a fracción algebraica
x2
SOLUCIÓN: Tendremos: ( x  1)( x  2)  x 2  x  2
x2  x  2  2  x2  x
2 x2  x
Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues, x  1  
x2 x2
Fracciones Irreducibles
Un fracción es irreducible cuando su numerador y denominador no tienen más factores (divisores), comunes
que la unidad.
4- 7

8. FRACCIONES ALGEBRAICAS
3x
Por ejemplo no es irreducible porque x es un factor común al numerador y denominador (es un divisor de
7x
ambos). Eliminando x por división resulta 3/7, que sí es irreducible.
Para hallar la fracción irreducible de una dada.
1.- Descomponer en factores sus términos (numerador y denominador).
2.- Dividir ambos términos por cada factor común.
Ejemplo
Reducir: 3ab 2 c 8a  8b 2a 2  2b 2
3ab 2 d 12a  12b 5a  5b
Soluciones 2  
1 1

3ab c
1
2
c 8(a  b)

8(a  b) 2

2(a  b)( a  b) 2(a  b)(a  b) 2(a  b)
 
3ab d
1
2

d 12(a  b) 12(a  b) 3
3
 

5(a  b) 5(a  b)
 
5
1 1
Propiedad 1: Si dos expresiones son exactamente iguales su cociente es 1
1
5abc ab 8( x  x  5)
2
8
1 1,  4
5abc ba 2( x  x  5)
2 2

1
Propiedad 2: El cociente de dos binomios opuestos es -1.
x y
 1 ,
5  x 5  x   1 , a  b7  c   1
yx x  5x  5 b  a c  7
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores monomios comunes
Ejemplo
39rs 32a 3 b 3 5 x  35 21a 2
52rs 64a 2 b 15 x 14a 2  7ab

3 1

1 ab
2

1  3a
39rs 32a 3 b 3 5( x  7) 21a 2
52rs
 64a 2 b
15 x
 7 a ( 2a  b)

4 1  3 1
2 1
3 ab 2 x7 3a
4 2 3x 2a  b
4- 8

9. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos comunes
Ejemplo
2x  6 x2  x 3x  3 y (b  c) 2
3ax  9a 2  2x 3 y  3x
2 2
 acx  abx
2( x  3) x( x  1) 3( x  y ) (b  c)(b  c)
3a( x  3) 2(1  x) 3( y  x)( y  x)  ax(c  b)
1 x( x  1) 
1 1

2( x  3) 2(1  x) 3( x  y ) (b  c)(b  c)
3a ( x  3) 3( y  x)( y  x)  ax(c  b)
  x 
   

1 1 1
2
2 1 bc
3a yx  ax
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos opuestos
Ejemplo
1  1
1  
4 y (4  y ) (4  y ) 1 5  5r 5(1  r ) 5(1  r ) 1 1
a)    b)    
3 y  12 3( y  4) 3( y  4) 3 10rt  10t 10t (r  1) 10t (r  1)
  2t 2t
 
2
1

d 2  49 (d  7)( d  7) (d  7)(d  7)  1  d  7   d  7
c)    
14  2d 2(7  d ) 2(7  d ) 2 2

1

( w  x)
d) 2 
w  x w  x   w  x w  x    1  w  x    w  x  x  w
2
x  w 2 x  wx  w x wx  w

 
 x  w xw xw
Fracciones que tienen al menos un término trinómico
Ejemplo
1 

b 2  3b bb  3 bb  3 b
a) 2   
b  10b  21 b  3b  7  b3b  7  b  7

1
1

b)
x 2  9 x  20

x  5x  4  x  5x  4   x  5  5  x
4x  x 2 x4  x  x4  x  x x
 

1

c) 2 
 y  5 y  3   y  5 y  3  y  5
y 2  2 y  15
2 y  12 y  18 2 y  3 y  3 2 y  3 y3 2 y  3
 

4- 9

10. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracciones algebraicas con mínimo común denominador
Reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones
equivalentes que tengan el menor denominador posible.
Para reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador se procede del modo siguiente:
a) Se simplifica al máximo las fracciones dadas.
b) Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, que será el mínimo común denominador
de las fracciones equivalentes.
c) Para hallar los numeradores de las fracciones equivalentes se divide al mínimo común denominador
anteriormente obtenido entre cada uno de los denominadores y los cocientes resultantes se
multiplican por cada uno de los numeradores respectivos.
Ejemplo
Para reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
3 5 7
3
, 2
,
32 x 48 x 40 x 4
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo
común múltiplo de los denominadores. Para ello descomponemos factorialmente los coeficientes
32 2 48 2 40 2 Es decir 32 =25
16 2 24 2 20 2 48 =243
8 2 12 2 10 2 40 =235
4 2 6 2 5 5
2 2 3 3 1 m.c.m.= 2535 =480
1 1
Así pues el mínimo común denominador será: 480x4
A continuación dividiremos el mínimo común denominador entre cada uno de los denominadores.
Tendremos:
480x4  32x3 = 15x 480x4  48x2 = 10x2 480x4  40x4 = 12
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos:
15x  3 = 45x 10x2  5 = 20x2 12  7 = 84
3 5 7 45 x 50 x 2 84
Por consiguiente: , , = 4
, 4
,
32 x 3
48 x 2
40 x 4
480 x 480 x 480 x 4
Ejemplo
Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
5 3 4
, ,
54( x  y) 64( x  y ) 81( x  y)
2 2
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo
común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los
coeficientes.
4- 10

11. FRACCIONES ALGEBRAICAS
54 2 64 2 81 3 Es decir 54 =233
27 3 32 2 27 3 64 =26
9 3 16 2 9 3 81 =34
3 3 8 2 3 3
1 4 2 1 m.c.m.= 2634 =5184
2 2
1
Así pues, el mínimo común denominador (m.c.d.) será: 5184(x2-y2)
Enseguida dividir el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:
5184(x2-y2):54(x+y)=96(x-y) 5184(x2-y2) : 64(x2-y2) = 81 5184(x2-y2):81(x-y)=64(x+y)
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos
96(x-y)  5 = 480(x-y) 81  3 = 243 64 (x+y)  4 = 256 (x+y)
5 3 4 480( x  y) 243 256( x  y)
Por consiguiente: , , = , ,
54( x  y) 64( x 2  y 2 ) 81( x  y) 5184( x 2  y 2 ) 5184( x 2  y 2 ) 5184( x 2  y 2 )
Ejemplo
3z 5x 3y
Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas: 2
, 2 3
,
80 xy 72 y z 64 x 2 z 2
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo
común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los
coeficientes.
80 2 72 2 64 2 Es decir 80 =245
40 2 36 2 32 2 72 =2332
20 2 18 2 16 2 64 =26
10 2 9 3 8 2
5 5 3 3 4 2 m.c.m.= 26325 =2880
1 1 2 2
1
Así pues, el mínimo común denominador será: 2880(x2y2z3)
Se divide el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:
2880(x2y2z3): 80xy2 = 36xz3 2880(x2y2z3) : 72y2z3 = 40x2 2880(x2y2z3): 64x2z2 = 45y2z
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos
36xz3 3z = 108xz4 40x2  5x = 200x3 45y2z 3y = 135y3z
3z 5x 3y 108 xz 4 200 x 3 135 y 3 z
Por consiguiente: , , = 2 3
, 2 3
,
80 xy 2 2 3
72 y z 2 2
64 x z 2880 xy z 2880 xy z 2880 xy 2 z 3
4- 11

12. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo
5ab 2 7cd 8 fb 3
Reduce a su mínimo común denominador las siguientes fracciones: , ,
8cd 2 10b 2 e 15de 3

SOLUCIÓN: El m.c.m. de 18cd 2 , 10b 2 e, 15de 3  120cd 2 b 2 e 3 
Ahora : 120cd  
b e  8cd 2 5ab 2  75ab 4 e 3
2 2 3
120cd 2 2 3
b e 10b e7cd   84c d e
2 2 3 2
120cd 2 2 3
b e 15de 8 fb   64cdb f
3 3 5
75ab 4 e 3 84c 2 d 3 e 2 64cdb 5 f
Por lo tanto las fracciones quedan así: , ,
120cd 2 b 2 e 3 120cd 2 b 2 e 3 120cd 2 b 2 e 3
Ejemplo
2x 6x
5x  9 35x  x  12
Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones: , 2 2
5x  9  5x  3x  3 2
35x  x  12  7  5x  3x  4
SOLUCIÓN: Factorizas primero ambos denominadores 2
m.c.m. de 5x  9 y 35x  x  12  35x  3x  3x  4
2 2
Ahora 35x  3x  3x  4  5x  3x  32x  14xx  4
35x  3x  3x  4  35x  3x  46x  6xx  3
14 xx  4 6 xx  3
Quedando las fracciones de la manera siguiente: ,
35x  3x  3x  4 35x  3x  3x  4
Ejemplo
5 a a2
Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones: , ,
3a 3  6a 2 a 2  6a  8 a 3  8
3a 3  6a 2  3a 2 a  2
SOLUCIÓN: Factorizando los denominadores a 2  6a  8  a  2a  4

a 3  8  a  2 a 2  2a  4 
m.c.m. de los denominadores: 3a 2 a  2a  4 a 2  2a  4  
3a 2
a  2a  4a 2  2a  4 3a 2 a  25  5a  4a 2  2a  4
3a 2
a  2a  4a 2  2a  4 a  2a  4a  3a 3 a 2  2a  4
3a 2
a  2a  4a 2  2a  4 a  2a 2  2a  4a 2  3a 4 a  4
Con lo cual los quebrados quedan de la manera siguiente:

5a  4 a 2  2a  4  
3a 3 a 2  2a  4  3a 4 a  4
  ,
 
3a 2 a  2a  4 a 2  2a  4 3a 2 a  2a  4 a 2  2a  4 3a 2 a  2a  4 a 2  2a  4
,
 
4- 12

13. FRACCIONES ALGEBRAICAS
4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto es irreducible
a) Multiplicar los numeradores, obteniéndose el numerador del producto.
b) Multiplicar los denominadores, obteniéndose el denominador del producto.
Ejemplo
3 7 37  21 x 5 x5 5 x
a)    b)   
5 11 511 55 3 r 3r  3r
a 9 c 7 a9c 7  63ac 2 c x 2c x  2cx
c)      d)    
4 2 d a  c 42d a  c  8d a  c  d 5 y d 5 y  5dy
3c 5 xy 3c  15cxy a 3 r  5 a3r  5 3ar  5
e) 5xy    f)    
ab ab ab 4 r a  2 4r a  2 4r a  2
Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto se puede simplificar
1) Descomponer en factores los polinomios que figuran en los numeradores y denominadores.
2) Dividir por los factores comunes del numerador y denominador.
3) Multiplicar los factores restantes.
Ejemplo
   
3 10 77 3  10  77 3  2  5  7  11 3  2  5  7  11
a)       11
5 7 6 576 5 7 3 2    
5 7 3 2
7x 2a 7x 2a 
7x 
2a 2x
b)      
a 7  7x a 71  x  a 71  x  1  x
 
1 

5x3a  3b 
5x 3a  b  15
c) 2 2    
a b x aba  b x
  ab
1
1 1

d)
y 2  6 y  5 7 y  21
 
 y  5 y  1  7 y  3 
 y 1
7 y  63 5  y 
2 2 7 y  3 y  3 5  y 5  y   y  35  y 

   
 
1 1
  1
1 1  1 
 a
a  4 2 a  8 a  4 4a
2
a  4 2a  4 a  2a  2 4a 2
2
aa  2
e)        
4a 4  a 24  12a 4  a 4a
 4a
 122a  4  a
   6
1 1 6 1 1
Ejemplo
x 2  6x  9 x2
Calcula el producto de por
x x 3
SOLUCIÓN: Multiplicamos entre sí los numeradores y los denominadores. A continuación simplificamos la
fracción que resulte.
4- 13

14. FRACCIONES ALGEBRAICAS
x 2  6x  9 x 2
 
 

x 2  6 x  9 x 2 x  3x  3x 2 x  3x
  xx  3
x x 3 xx  3 xx  3 1
Ejemplo
x2  x  6 x2  x  6
Calcula el producto de por
x2  4 x2 9
x2  x  6 x2  x  6
 

x2  x  6 x2  x  6  
SOLUCIÓN:
x2  4 x2 9 x2  4 x2 9   

x  3x  2x  3x  2  x  2x  2x  3x  3  1  1
x  2x  2x  3x  3 x  2x  2x  3x  3 1
Ejemplo
6 x 2  5x  4 8x 2  6 x  9
Multiplica por
2 x 2  5x  3 12 x 2  7 x  12
6 x 2  5x  4

8x 2  6 x  9

6 x 2

 5x  4 8x 2  6 x  9  
3x  42 x  14 x  32 x  3
2 x  5 x  3 12 x  7 x  12
2 2
2 x  5x  312 x
2 2
 7 x  12  2 x  3x  13x  44 x  3
SOLUCIÓN:

2 x  33x  44 x  32 x  1  2 x  1
2 x  33x  44 x  3x  1 x  1
4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción se multiplica por la fracción recíproca
Ejemplo
2 2 5 2 1 21 2 9 a 9 3 27
a) 5       b)    
3 3 1 3 5 35 15 4 3 4 a 4a
a

2
a2
a a2 b a
c) 2    2   d)
14 1 14 7 14 3 2 3 6
2       
b 
b b a b  x 3 x 3 
x 7 x 1 x
b
1

2
8 12 x282 7 b 2 b3 b5
e) 3  2  3   f) b 2    
x x x
  12 3x b3 1 7 7
x 3

6
5 y 2 x x 5 5 y 2 x 42 60
  
g)    
7 y 42 7 y  x4
  x
5
1 x4
1 5
h)
a  100 2a  20 a  100
2
  
20 2

a  10a  10  20  5a  10
8 20 8 2a  20 8
 2a 
  10 4
2 1
4- 14

15. FRACCIONES ALGEBRAICAS

1 1 1
 
g) 2
5a

25ab  25a

5a

b  7b  6

2
5a 

b  6b  1  1
b  36 b 2  7b  6 b 2  36 25ab  25a b  6b6 25ab1
     5b  6
1 5 1

1 1  1 
 
h)
4x 2  1

2x 2  7x  4
 4 x  1 x  7 x  12 2 x  12 x  1 x  3x  4  2 x  1 1  2 x
2 2
    
9 x  3x 2 x 2  7 x  12 9 x  3x 2 2 x 2  7 x  4 3x3x 

2 x x4
 1  3x 3x
1 1 1
Ejemplo
x2  x  6 x2  4
Dividir entre
x 2 1 x 1
SOLUCIÓN: Como se ha indicado, invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación.
x2  x  6

x 2  4 x 2  x  6 x 1
  2 
 
x 2  x  6 x  1
x 1
2 x 1 x 2 1 x  4  
x 2 1 x 2  4 

x  3x  2x  1  x  3
x  1x  1x  2x  2 x  1x  2
4.7 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores comunes.
Procedimiento
1) Poner el denominador común y sumar algebraicamente los numeradores.
2) Reducir la fracción que resulte.
Al sumar algebraicamente los numeradores encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis precedido
del signo que corresponde a su fracción.
Ejemplo

1
2a 7a 4a 2a  7a  4a 5a a
a)     
15 15 15 15 15 3

3
5a 2a  9 5a  2a  9 3a  9 3a  3

b)      a3
3 3 3 3 
3
7 5  x 7  5  x  2  x
c)     1
x2 x2 x2 x2
Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores distintos.
Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, primero las convertimos a fracciones que
tengan el mismo denominador. Cuando los denominadores son opuesto multiplicamos una de ellas por 1,
1
escrito en la forma , para obtener un común denominador.
1
4- 15

16. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo
x y
Sumar 
x y yx
x y x  1  y
   
x  y y  x x  y  1  y  x
x y
SOLUCIÓN:  
x y  yx
x y x y
   1
x y x y x y
Cuando los denominadores de dos o más fracciones son distintos, en ocasiones es necesario multiplicar una o
más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada, para obtener un común denominador.
Ejemplo
3 4
Sumar 
x y
3 4 3 y 4 x 3 y 4x 3y  4x
SOLUCIÓN:        
x y x y y x xy xy xy
Ejemplo
7
Sumar 3 
x2
7 3 7 3x  2 7 3x  6 7
3      
x  2 1 x  2 1x  2 x  2 x  2 x  2
SOLUCIÓN:
3x  6  7 3x  1
 
x2 x2
Ejemplo
4x 7x
Sumar 
x2 x2
4x 7x 4 x x  2  x  27 x  4 x 2  8 x  7 x 2  14 x
  
x  2 x  2 x  2x  2 x  2x  2 x  2x  2 x  2x  2
SOLUCIÓN: 
4 x 2
  
 8 x  7 x 2  14 x 4 x 2  8 x  7 x 2  14 x

x  2x  2 x  2x  2
 3x 2  22 x

x  2x  2
Ejemplo
a b c
Efectúa la siguiente operación:  
2b 2a 3ab
SOLUCIÓN: El m.c.m. de los denominadores: 6ab
6ab  2ba  3a 2 6ab  2ab  3b2 6ab  3ab  2c
4- 16

17. FRACCIONES ALGEBRAICAS
a b c 3a 2 3b 2 2c 3a 2  3b 2  2c
entonces:      
2b 2a 3ab 6ab 6ab 6ab 6ab
Ejemplo
5
Efectúa la siguiente operación: x 2  2 x  5 
x 1
2
SOLUCIÓN: Los enteros los convertimos en quebrados poniéndoles a la unidad como denominador:
x2 2x 5 5
   2
1 1 1 x 1
m.c.m. de los denominadores: x  1
2
 
( x 2  1)  1 x 2  x 2 ( x 2  1)
( x  1)  12 x  2 x( x  1)
2 2
( x  1)  15  5( x  1)
2 2
x 2 2x 5
   2
5
 
 
 2

x 2 x 2  1 2x x 2  1 5 x 2  1
 2
5   
1 1 1 x 1 x 1
2
x 1
2
x 1 x 1
x 4  x 2  2 x 3  2 x  5x 2  5  5

x2 1
x 4  2x3  4x 2  2x

x2 1
Ejemplo
x 3  2 xy y x
 
Efectúa la siguiente operación:

3x y
2 2
6 x  6 y 4x  y 

3 x 2  y 2  3x  y x  y  
SOLUCIÓN: Primero factorizaremos los denominadores: 6 x  6 y  6x  y 
4x  y   4x  y 
el m.c.m. de los denominadores es: 12x  y x  y  . Ahora:
12x  y x  y   3x  y x  y x3  2 y   4 x3  8xy
12x  y x  y   6x  y   y   2 xy  2 y 2
12x  y x  y   4x  y  x   3x 2  3xy
luego:
x 3  2 xy y x 4 x 3  8 xy 2 xy  2 y 2 3x 2  3xy
    
 
3 x 2  y 2 6 x  6 y 4x  y  12x  y x  y  12x  y x  y  12x  y x  y 
4- 17

18. FRACCIONES ALGEBRAICAS
4 x 3  8 xy  2 xy  2 y 2  3x 2  3 xy

12x  y x  y 
4 x 3  3x 2  3xy  2 y 2

12x  y x  y 
Ejemplo
x 3
Sumar 
x 2  2x 1 x 2 1
SOLUCIÓN: Factorizamos el denominador y determinados el común denominador:
x 2  2 x  1  x  1x  1  x  12
x 2  1  x  1x  1
El mínimo común denominador x  12 x  1
A continuación escribimos cada fracción con su denominador en forma factorizada, y convertimos las
fracciones en unas que tengan el denominador común x  12 x  1 . Por último, sumamos las fracciones.
x 3 x 3
  
x  2x 1
2
x  1 x  1x  1 x  1x  1
2
xx  1 3x  1
 
x  1x  1x  1 x  1x  1x  1
x 2  x  3x  3

x  1x  1x  1
x 2  4x  3

x  12 x  1
Ejemplo
3x 2 x 2  3x  2
Restar 
x  1 x  1x  1
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD= x  1x  1
3x 2 x 2  3x  2
 
x  13x  2 x 2  3x  2
x  1 x  1x  1 x  1x  1 x  1x  1

3x 2  3x
 
   

2 x 2  3x  2 3x 2  3x  2 x 2  3x  2 3x 2  3x  2 x 2  3x  2
x  1x  1 x  1x  1 x  1x  1 x  1x  1
x2  2

x  1x  1
4- 18

19. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo
2x 1 x 1
Hacer las operaciones indicadas  
x 4
2
x  3x  2
2
x  x2
2
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD= x  2x  2x  1
2x 1 x 1 2x 1 x 1
    
x 4
2
x  3x  2
2
x  x2
2 x  2x  2 x  2x  1 x  1x  2
2 xx  1 1x  2  x  1x  2 
  
x  2x  2x  1 x  2x  1x  2 x  1x  2x  2
2 xx  1  1x  2   x  1x  2

x  2x  1x  2
2x 2  2x  x  2  x 2  x  2 3x 2  4 x  4
 
x  2x  1x  2 x  2x  1x  2
En este caso se puede simplificar el resultado final
3x 2  4 x  4

3x  2x  2  3x  2
x  2x  1x  2 x  2x  1x  2 x  2x  1
4.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS
Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el
numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción compleja en la forma de
fracción simple
Se entiende por simplificación de una fracción compleja su transformación a una fracción simple, reducida en
términos a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella. Pueden usarse dos métodos.
Uno: Consiste en transformar el numerador y denominador en fracciones simples (si es necesario) y luego
proceder como en la división de fracciones.
Otro: Que generalmente es más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando el numerador
y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones.
Ejemplo
x2 3

Simplificar x  1 x  1
2
2x  5
x 2  2x  3
SOLUCIÓN: Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra:
x2 3 x2 3x  1
 
x 1 x 1  x 1
2 2 x  1x  1
2x  5 2x  5
x 2  2x  3 x  3x  1
4- 19

20. FRACCIONES ALGEBRAICAS
x2 3x  3 4x  1

 x 1
2 x  1x  1  x  1x  1
2x  5 2x  5
x  3x  1 x  3x  1
1


4x  1

x  3x  1  4 x  1x  3
x  1x1 2 x  5

 x  12 x  5
1
4 x 2  11x  3

2 x 2  3x  5
Ejemplo
x2 3

x 1
Simplificar la misma fracción compleja x  1
2
2x  5
x 2  2x  3
SOLUCIÓN: Utilizaremos ahora el segundo método. Multiplicaremos el numerador y denominador por el
denominador común de todas las fracciones:
3x2 x2 3
 
x  1 x  1x  1 x  1
Factorizamos los denominadores de la fracción x  1
2

2x  5 2x  5
x  2x  3
2 x  3x  1
m.c.d. (denominadores): (x+1)(x-1)(x+3)
x2 3


x  1x  1x  3  x  1x  1 x  1
x  1x  1x  3 2x  5
x  3x  1
1 1
  1

x  1x  1x  3x  2  x  1x  1x  3  3
x1x1
 
 
x1
 
 1 1 1
1  1 
 
x  1x  1x  32 x  5
x3x1
  
1 1

x  3x  2  x  1x  3 3  x 2  5 x  6  3x 2  6 x  9
x  12 x  5 2 x 2  3x  5
4 x 2  11x  3

2 x 2  3x  5
4- 20

21. FRACCIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo
x2
Simplificar 2 x  3x  2
2
4
1
2x  1
SOLUCIÓN: Ahora aplicaremos el segundo método.
Como 2x2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2), resulta que el menor denominador común de las fracciones del numerador
y el denominador es (2x + 1)(x - 2), tenemos
x2 x2 x2
2 x  3x  2 
2 2 x  1x  2  2 x  1x  2  2 x  1x  2
1
4
1
4 2 x  1x  2 1  4
2x  1 2x  1 2x 1
2 x  1x  2x  2

2 x  1x  2 
2 x  1x  2  2 x  1x  24
2x  1
x2 x2 x2
  2  2
2 x  1x  2  4x  2 2 x  3x  2  4 x  8 2 x  7 x  6
Ejemplo
1
1
Simplificar x2
1
1
x
SOLUCIÓN: Multiplicamos por x2 el numerador y el denominador, por ser el m.c.m. de las fracciones incluidas
 1  1
x 2 1  2  x 2  1  x 2 
x2  x 1
2
 x 

 1 x 2 1  x 2 
1 x2  x
x 2 1  
 x x
1


x  1x  1  x  1x  1  x  1
xx  1 xx  1 x


1
Ejemplo
a b

Simplificar b a
a b
2
b a
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores =
4- 21

22. FRACCIONES ALGEBRAICAS
a b a b 1

ab   ab   ab 
  b a
 b a 
a2  b2

a  b a  b   a  ba  b  a  b
a b a
ab  2   ab   ab  2  ab 
b a 2  2ab  b 2 a  b 2 a  bab  a  b

 b a b a 1
Ejemplo
11 6
3
x x2
Simplificar
4 4
3  2
x x
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x2
 11 6 
x2 3   2    11 
  6 
x 2 3  x 2    x 2  2   
 x x   x x 
 
 4 4 
x2 3   2   4
 
 4 
x 2 3  x 2    x 2  2   
 x x   x x 
 11x 2   6 x 2 
3x 2     
 x    x 2  3x 2  11x  6 3x  2x  3 x  3
      
 4x 2   2  3x 2  4 x  4 3x  2x  2 x  2
3x  
2     4x 
  2 
 x   x 
Ejemplo
x2
Simplificar
4
x2
x 1
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-1

x  1x  2 
x  1x  2 
x  1x  2
x  14 x  1x  2  4
x  1 x  2  4 
  x  1x  2 
 x 1  x 1

x  1x  2 
x  1x  2  x  1x  2  x  1
x  x24
2
x2  x  6 x  3x  2 x  3
Ejemplo
6
x 3
Simplificar x4
18
x5
x4
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-4
4- 22

23. FRACCIONES ALGEBRAICAS
x  4 x  3 

6   
 x  4x  3  x  4 6

 x4
 x  4  x  4x  3  6
x  418 x  4x  5  18
x  4 x  5  18  x  4x  5 
 
 x4 x4

x 2  x  12  6

x2  x  6

x  3x  2  x  3
x  x  20  18
2
x2  x  2 x  2x  1 x  1
Ejemplo
x2 3

x 1
Simplificar x  1
2
2x  5
x 2  2x  3
SOLUCIÓN: Dividimos una fracción simple entre otra
x2 3 x2 3x  1 x2 3x  1 x  2  3x  3 4x 1
  
x  1 x  1  x  1 x  1x  1  x  1x  1 x  1x  1  x  1x  1  x  1x  1
2 2
2x  5 2x  5 2x  5 2x  5 2x  5
x  2x  3
2 x  3x  1 x  3x  1 x  3x  1 x  3x  1

4x 1

x  3x  1  4 x  1x  3
x  1x  1 2 x  5 x  12 x  5
Ejemplo
x2
Simplificar la fracción 2 x  3x  2
2
4
1
2x 1
SOLUCIÓN: Obtenemos una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el
menor denominador común de todas las fracciones. Como 2 x 2  3x  2  2 x  1x  2 , resulta que el menor
denominador común de las fracciones del numerador y denominador es 2 x  1x  2 . Por tanto,
multiplicando el numerador y denominador por 2 x  1x  2 , tenemos:
x2 x  22 x  1x  2
2 x  3x  2
2

2 x  1x  2 
x2

x2
42 x  1x  2 2 x  1x  2  4x  2 x  22 x  3
12 x  1x  2 
4
1
2x  1 2 x  1
4- 23

24. FRACCIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIOS 4.1:
Multiplica o divide las siguientes expresiones y simplifica:
2  3x 2 
1.-  
x 4 
 
 3x  2 
2.-   2  
 6  x 
2a 6a
3.-  
3 5
4.-
 
x 2 x 3 3 2 x 1
 
x4 2 x 2
ab  2 3a (b 2 )
5.- 
a 2b 3 2a 2 b 2 2
3ab 3
6.-  2 2 
6 2a b
x 1 a 3
7.-  
a 2 x 2
3 1 a 3b 2  2
8.- 
32 ab  2
5ab 2 3 1 a 2 b 3 
2
9.- 1 3  
3a b (5ab) 1
4- 24