Problema de optimización en la se buscan las dimensiones óptimas de una lata de refresco de 333 ml

1. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
¿Qué medidas tiene que tener la lata de¿Qué medidas tiene que tener la lata de
un tercio de litro para que su fabricaciónun tercio de litro para que su fabricación
sea lo más barata posible?sea lo más barata posible?

2. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
El coste de fabricación va implícito en laEl coste de fabricación va implícito en la
cantidad de material que utilicemos paracantidad de material que utilicemos para
fabricar la lata, y el material utilizado, lofabricar la lata, y el material utilizado, lo
da la superficie de la lata.da la superficie de la lata.

3. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
El coste de fabricación va implícito en laEl coste de fabricación va implícito en la
cantidad de material que utilicemos paracantidad de material que utilicemos para
fabricar la lata, y el material utilizado, lofabricar la lata, y el material utilizado, lo
da la superficie de la lata.da la superficie de la lata.
Por tanto, hay que determinar las
dimensiones de un cilindro de un tercio de
litro de volumen con área total mínima.

4. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Queremos hacer mínimo el área de
un cilindro:
AT=AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r2

5. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Un tercio de litro = 333 cm3
Queremos hacer mínimo el área de
un cilindro:
AT=AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r2
Con el dato del volumen buscamos la relación
entre las incógnitas r y h que aparecen en el
área
V =⋅r2
⋅h=333  h=
333
⋅r2

6. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
AT =AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r
2
AT =2⋅⋅r⋅
333
⋅r
2
2⋅⋅r
2

7. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
AT =AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r
2
AT =2⋅⋅r⋅
333
⋅r
2
2⋅⋅r
2
AT =
666
r
2⋅⋅r
2

8. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
AT =AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r
2
AT =2⋅⋅r⋅
333
⋅r
2
2⋅⋅r
2
AT =
666
r
2⋅⋅r
2
Luego, la función a minimizar es :
f r=
666
r
2⋅⋅r
2

9. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2

10. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r

11. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r
Igualamos a cero la derivada para buscar los puntos
críticos
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r=0

12. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r
Igualamos a cero la derivada para buscar los puntos
críticos
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r=0  4⋅⋅r=
666
r
2
 r
3
=
666
4

13. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r
Igualamos a cero la derivada para buscar los puntos
críticos
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r=0  4⋅⋅r=
666
r
2
 r
3
=
666
4
r=
3
666
4
≃3,75 cm

14. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r r=
3
666
4
≃3,75 cm
Comprobamos que ese r es mínimo relativo de la función

15. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r r=
3
666
4
≃3,75 cm
Comprobamos que ese r es mínimo relativo de la función
f ' ' r=
666⋅2
r
3
4⋅

16. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r r=
3
666
4
≃3,75 cm
Comprobamos que ese r es mínimo relativo de la función
f ' ' r=
666⋅2
r
3
4⋅ f ' ' 3,75=
666⋅2
3,75
3
4⋅ 0

17. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
f ' r=
−666
r
2
4⋅⋅r r=
3
666
4
≃3,75 cm
Comprobamos que ese r es mínimo relativo de la función
f ' ' r=
666⋅2
r
3
4⋅ f ' ' 3,75=
666⋅2
3,75
3
4⋅ 0
r=
3
666
4
≃3,75 cm
Es mínimo relativo de la funciónEs mínimo relativo de la función
área totalárea total

18. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
r=
3
666
4
≃3,75 cm
Además no hay otros posibles extremos absolutos pues el dominio
en el contexto del problema de la función sería el intervalo (0,+∞)
Es mínimo relativo de la funciónEs mínimo relativo de la función
área totalárea total
Por tanto, ese es el mínimo de la funciónPor tanto, ese es el mínimo de la función

19. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Minimizar f r=
666
r
2⋅⋅r
2
r=
3
666
4
≃3,75 cm
Además no hay otros posibles extremos absolutos pues el dominio
en el contexto del problema de la función sería el intervalo (0,+∞)
Es mínimo relativo de la funciónEs mínimo relativo de la función
área totalárea total
Por tanto, ese es el mínimo de la funciónPor tanto, ese es el mínimo de la función
Altura asociada: h=
333
⋅r2
=
333
⋅3,752
≈7,5 cm

20. La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco
Por tanto, las medidas óptimas paraPor tanto, las medidas óptimas para
fabricar una lata de refrescos de unfabricar una lata de refrescos de un
tercio de litro son 3,75 cm de radio y 7,5tercio de litro son 3,75 cm de radio y 7,5
cm de altura.cm de altura.