Aplicaciones crecimiento poblacional Ecuaciones Diferenciales

1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
CRECIMIENTO POBLACIONAL: MODELO EXPONENCIAL
La rapidez o razón de cambio de la población (P) de una cierta comunidad es
proporcional al tiempo.
Modelo matemático
Sean:
𝑃( 𝑡): 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡
𝑑𝑃
𝑑𝑡
: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 , 𝑘 > 0
Condiciones:
𝑃(0) = 𝑃0
𝑃( 𝑡1) = 𝑃1
Resolución de la ecuación:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 →
𝑑𝑃
𝑃
= 𝑘𝑑𝑡 → ∫
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= ∫ 𝑘𝑑𝑡 → ln( 𝑃) = 𝑘𝑡 + 𝐶
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑃(0) = 𝑃0
ln( 𝑃0) = 𝐶
ln( 𝑃) = 𝑘𝑡 + ln( 𝑃0) → 𝑃 = 𝑒ln( 𝑃0)+𝑘𝑡
→ 𝑃( 𝑡) = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡
PROBLEMA
La cantidadde bacteriasde ciertocultivose incrementaunatasaproporcional al númerode
bacteriaspresentesencualquierinstante ylacantidadoriginal se incrementaun50% en30
minutos.
a) En cuanto tiempose esperatener 3veces lacantidadinicial.
Resolución:
𝑃(0) = 𝑃0

2. 𝑃(1
2⁄ ) = 1.5𝑃0
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 →
𝑑𝑃
𝑃
= 𝑘𝑑𝑡 → ∫
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= ∫ 𝑘𝑑𝑡 → ln( 𝑃) = 𝑘𝑡 + 𝐶
Debemosencontrarlosvaloresde 𝐶 y 𝑘 con los datos que nos dan en el enunciado a
partir de: ln( 𝑃) = 𝑘𝑡 + 𝐶
Primero, encontramos el valor de 𝐶:
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: 𝑃(0) = 𝑃0 → ln( 𝑃0) = 𝐶
Segundo,encontramos el valorde 𝑘:
𝑃(1
2⁄ ) = 1.5𝑃0
𝑘 = 2 ln (
1.5𝑃0
𝑃0
) → 𝑘 = 2ln(1.5)
Finalmentetenemos:
ln( 𝑃) = 𝑘𝑡 + 𝐶 → 𝑘𝑡 = ln (
𝑃
𝑃0
) → 𝑡 =
1
𝑘
ln (
𝑃
𝑃0
)
𝑡 =
ln (
𝑃
𝑃0
)
2ln(1.5)
a) 𝑃( 𝑡1) = 3𝑃0
𝑡1 =
ln(
3𝑃0
𝑃0
)
2ln(1.5)
→ 𝑡1 =
ln(3)
2 ln(1.5)
→ 𝒕 = 𝟏. 𝟑𝟓 𝒉