1) El documento presenta tres problemas relacionados con intervalos de confianza. El primero calcula un intervalo de confianza del 99% para la temperatura corporal promedio basado en una muestra. El segundo calcula intervalos de confianza del 95% para el precio promedio de diferentes marcas de atún. El tercero calcula un intervalo de confianza del 98% para la proporción de personas que opinan que el cine está mejorando o empeorando.

1. Universidad Autónoma de Yucatán
Facultad de Ingeniería
Probabilidad y Estadística
Unidad 5 ADA 1
Intervalos para una muestra
Alumno: Puc Ciau José Ángel
Fechade entrega: 21 de abril del 2016

2. Problema 1. ¿Cuál es la temperatura corporal normal para personas sanas? Una muestra
aleatoria de 130 temperaturas corporales en personas sanas proporcionadas por Allen
Shoemaker dio 98.25 grados y desviación estándar de 0.73 grados.
 Dé un intervalo de confianza de 99% para el promedio de temperatura corporal de
personas sanas.
𝑥̅ = 98.25° ơ = 0.73° 𝑛 = 130 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠
Procedimiento: El intervalo de confianza bilateral es del 99% para la media:
1 − 𝛼 = 0.99−→ 𝛼 = 0.01
Lo que significa que, en la tabla de la normal, se usará ese valor para hallarlo. Entonces, siendo
el límite biliteral:
𝑧 𝛼
2
= 𝑧0.01
2
= 𝑧0.005
Se recuerda que el valor de 0.005 de α, es un valor que se ubica en la parte terminal de la gráfica
de la normal. El valor que buscamos estaría dado por:
0.5 −
𝑎
2
= 0.5 − 0.005 = 0.495
Quedando una nueva Z
𝑍0.495
Para calcular el valor de la Z, utilizaremos la tabla para la distribución normal. En esta tabla
buscaremos la Z que nos da el valor de 0.495, dicho valor se encuentra comprendido entre dos
cantidades, entre 2.57 y 2.58, para hallar el valor que se quiere, se interpola (siendo 𝑍2 el valor
mayor de Z y 𝑍1 la menor, 𝑍3 el valor de Z de la probabilidad a hallar, 𝑃2 la probabilidad de acuerdo
a 𝑍2, y 𝑃1 en relación a 𝑍1, y 𝑃3 la probabilidad de 𝑍3.

3. 𝑍2 − 𝑍1
𝑍2 − 𝑍3
=
𝑃2 − 𝑃1
𝑃2 − 𝑃3
2.58 − 2.57
2.58 − 𝑥
=
0.4951 − 0.4949
0.4951 − 0.495
0.01 = 5.16 − 2𝑥
−5.15 = −2𝑥−→ 𝑥 = 2.575 < − − 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑍 𝑎 𝑢𝑠𝑎𝑟.
Sustituyendo en la fórmula para límite inferior:
𝐿𝑖 = 𝑥̅ − 𝑧 𝛼
2
∗
ơ
√ 𝑛
𝐿𝑖 = 98.25 − 2.575 ∗
0.73
√130
= 98.085
Para el límite superior:
𝐿 𝑠 = 𝑥̅ + 𝑧 𝛼
2
∗
ơ
√ 𝑛
𝐿𝑖 = 98.25 + 2.575 ∗
0.73
√130
= 98.415
El intervalo de confianza con un 99% es:

4. 𝟗𝟖. 𝟎𝟖𝟓° ≤ µ ≤ 𝟗𝟖. 𝟒𝟏𝟓°
Interpretación: Para un nivel de confianza del 99% se sabe que la temperatura media de la
muestra aleatoria de 130 temperaturas corporales tomadas en personas sanas proporcionadas
por Allen Shoemaker (media: 98.25 grados) y con una desviación estándar de 0.73 grados, la
media de las temperaturas está dentro del intervalo de 98.085° y 98.415°.
 El intervalo de confianza obtenido en el inciso a ¿contiene el valor de 98.6 grados, que es
el promedio aceptado de temperatura citado por médicos y otros? ¿Qué puede usted
concluir?
No se contiene al valor de 98.6 grados, esto quiere decir que algún factor al momento de tomar
las temperaturas (como de la precisión de los instrumentos), pudo haber influenciado en éste
proceso, y por ende a la muestra de las temperaturas.

5. Problema 2: Consumer Reports da el precio promedio estimado para una lata de 6 onzas o una
bolsa de 7.06 onzas de atún, con base en precios pagados a nivel nacional en supermercados.
Los precios se registran para una variedad de marcas de atún en la tabla siguiente:
Suponga que las marcas de atún incluidas en el estudio representan una muestra aleatoria de
todas las marcas de atún existentes en Estados Unidos. Encuentra un intervalo de confianza de
95% para cada tipo.
Procedimiento: Se calculó la media para cada marca de atún, así como su desviación estándar:
 Paso 1. Para la media (se usaron los valores del atún blanco en aceite en el ejemplo):
𝑋̅ =
∑ 𝑓
𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑋̅ =
1.27 + 1.22 + 1.19 + 1.22
4
= 1.225
 Paso 2. Para la desviación estándar:
𝑠 = √
∑ ( 𝑋𝑖 − 𝑥̅)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
𝑠 = √
(1.225 − 1.27)2 + (1.225 − 1.22)2 + (1.225 − 1.19)2 + (1.225 − 1.22)2
4 − 1
= 0.03316
 Paso 3. Definir el dato de la tabla de t de Student que se empleó, para el intervalo de
confianza, 𝛼 = 0.025, y los grados de libertad con v=n-1=4-1=3, por lo tanto, para el valor
de 𝑡0.025,3 = 3.182

6.  Paso 4. Aplicando los intervalos de confianza
𝐿𝑖 = 𝑥̅ − 𝑧 𝛼
2
, 𝑛−1
∗
𝑠
√ 𝑛
𝐿𝑖 = 1.225− 3.182 ∗
0.03316
√4
= 1.1722
𝐿 𝑠 = 1.225 + 3.182 ∗
0.03316
√4
= 1.2777
 Paso 5. El intervalo de confianza para esa marcade atún está comprendido de la siguiente
manera:
1.1722 ≤ µ ≤ 1.2777
Cada uno de los pasos fue aplicado a cada una de las marcas de atún, obteniendo los
siguientes resultados:
Marca de
atún
Media Desviación
estándar
Grados de
libertad
Valor de t
Student
empleado
Intervalo de
confianza de 95%
Claro en
agua
0.89428 0.3995 13 2.16 0.6658 ≤ µ ≤ 1.127
Blanco en
aceite
1.225 0.03316 3 3.182 1.1722 ≤ µ ≤ 1.2777
Blanco en
agua
1.28 0.13512 7 2.365 1.1670 ≤ µ ≤ 1.3929
Claro en
aceite
1.1473 0.6785 10 2.228 0.6914 ≤ µ ≤ 1.6031

7. Interpretación: Para un intervalo de confianza del 95%, se sebe que para el precio promedio
estimado para una lata de 6 onzas o una bolsa de 7.06 onzas de atún, con base en precios
pagados a nivel nacional en supermercados, para cada uno de las diferentes marcas la media de
sus costos se incluye en el intervalo calculado y el costo del valor poblacional puede ubicarse en
este intervalo (ver tabla de arriba, observar que las medias si están incluidas en sus respectivos
intervalos).

8. Problema 3. En una encuesta Gallup de n = 800 adultos seleccionados aleatoriamente, 45%
indicaron que el cine estaba mejorando mientras que 43% dijeron que el cine estaba
empeorando.
 Encuentra un intervalo de confianza de 98% para p.
𝑛 = 800 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜𝑠
Procedimiento: Se obtuvo una relación con los porcentajes, afín de conseguir el número de
adultos para cada opinión.
45% 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟𝑎 = (0.45 ∗ 800) = 360 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜𝑠
43% 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑒𝑜𝑟𝑎 = (0.43 ∗ 800) = 344 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜𝑠
Se obtuvo el valor estimado de 𝑝̂ para cada opinión, se calculó con la fórmula:
𝐸𝑙 𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟𝑎 𝑝̂ =
𝑥
𝑛
=
360
800
= 0.45
𝐸𝑙 𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑒𝑜𝑟𝑎 𝑝̂ =
𝑥
𝑛
=
344
800
= 0.43
Se verificó que 𝑛𝑝̂ ≥ 5 𝑦 𝑛(1 − 𝑝̂) ≥ 5). Sustituyendo 800 ∗ 0.45 ≥ 5,360 ≥
5, 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 800 ∗ (1 − 0.45) ≥ 5−→ 440 ≥ 5, para los que menciona que el
cine está empeorando: 800 ∗ 0.43 ≥ 5,344 ≥ 5, 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 800 ∗ (1 − 0.43) ≥
5−→ 456 ≥ 5. Ambos casos son cumplidos.
El intervalo de confianza bilateral es del 98% para la media:
1 − 𝛼 = 0.98−→ 𝛼 = 0.02
Lo que significa que, en la tabla de la normal, se usará ese valor para hallarlo. Entonces, siendo
el límite biliteral:
𝑧 𝛼
2
= 𝑧0.02
2
= 𝑧0.01
La fórmula para usar quedaría así:
𝑝̂ − 𝑧0.01√
𝑝̂(1 − 𝑝̂)
𝑛
≤ 𝑝 ≤ 𝑝̂ + 𝑧0.01√
𝑝̂(1 − 𝑝̂)
𝑛

9. Se recuerda que el valor de 0.01 de α, es un valor que se ubica en la parte terminal de la gráfica
de la normal. El valor que buscamos estaría dado por:
0.5 −
𝑎
2
= 0.5 − 0.01 = 0.49
Quedando una nueva Z
𝑍0.49
Para un intervalo de confianza del 98%, el valor de Z para 0.01 se ubica en la tabla de la normal
(se encuentra una nueva Z, se resta 0.01 a 0.5, dando así 0.49), dicho valor se encuentra
comprendido entre dos cantidades, entre 2.32 y 2.33, para hallar el valor que se quiere, se
interpola (siendo 𝑍2 el valor mayor de Z y 𝑍1 la menor, 𝑍3 el valor de Z de la probabilidad a hallar,
𝑃2 la probabilidad de acuerdo a 𝑍2, y 𝑃1 en relación a 𝑍1, y 𝑃3 la probabilidad de 𝑍3.
𝑍2 − 𝑍1
𝑍2 − 𝑍3
=
𝑃2 − 𝑃1
𝑃2 − 𝑃3
2.33 − 2.32
2.33 − 𝑥
=
0.4901 − 0.4898
0.4901 − 0.49
0.01 = 6.99 − 3𝑥
−6.98 = −3𝑥
𝑥 = 2.326 ≪ −𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧0.49
Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente:
 Para quienes mencionan que está mejorando el cine, el intervalo de confianza para el
98% es:
0.45 − 2.326 ∗ √
0.45 ∗ (1 − 0.45)
800
≤ 𝑝 ≤ 0.45 + 2.326 ∗ √
0.45 ∗ (1 − 0.45)
800
𝟎. 𝟒𝟎𝟗𝟏 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎. 𝟒𝟗𝟎𝟗
 Para quienes mencionan que está empeorando el cine, el intervalo de confianza para el
98% es:

10. 0.43 − 2.326 ∗ √
0.43 ∗ (1 − 0.43)
800
≤ 𝑝 ≤ 0.43 + 2.326 ∗ √
0.43 ∗ (1 − 0.43)
800
𝟎. 𝟑𝟖𝟗𝟑 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎. 𝟒𝟕𝟎𝟕
Interpretación: Para un intervalo de confianza del 98%, el porcentaje de las personas que
externaron que el cine está mejorando (0.45) si se encuentra contenido en el intervalo 0.4091 ≤
𝑝 ≤ 0.4909, por otra parte, para el porcentaje de quienes dijeron que el cine está empeorando
(0.43), está contenido en el intervalo 0.3893 ≤ 𝑝 ≤ 0.4707.
 ¿El intervalo incluye el valor de p = 0.50? ¿Piensas que la mayoría de los adultos dice
que el cine está mejorando?
No se incluye al valor de p=0.5 en ninguno de los intervalos calculados, de esta manera se nota
que los adultos no mencionan que el cine está mejorando, puedo que para que esta aseveración
sea correcta, el intervalo para quienes dicen que está mejorando debe ser mayor a la p de 0.5

11. Problema 4. En el trabajo de laboratorio es deseable realizar cuidadosas verificaciones de la
variabilidad de lecturas producidas en muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio
en agua potable realizado como parte de una evaluación de calidad de agua, la misma muestra
estándar se hizo pasar por el laboratorio seis veces en intervalos aleatorios. Las seis lecturas en
partes por millón, fueron 9.32, 9.48, 9.48, 9.70 y 9.26. Estima la varianza población usando un
intervalo de confianza de 90%.
Procedimiento.
 Paso 1. Para la media (se usaron los valores del atún blanco en aceite en el ejemplo):
𝑋̅ =
∑ 𝑓
𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑋̅ =
9.32 + 9.48 + 9.48 + 9.7 + 9.26
5
= 9.448
 Paso 2. Para la desviación estándar:
𝑠2 =
∑ ( 𝑋𝑖 − 𝑥̅)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
𝑠 =
(9.32 − 9.448)2 + 2 ∗ (9.48 − 9.448)2 + (9.70 − 9.448)2 + (9.26 − 9.448)2
5 − 1
= 0.02932
 Paso 3. Encontrar en la tabla de la distribución de Xi cuadrada para un intervalo de
confianza del 90% para 𝑋2 de 0.05 con v= 4 grados de libertad, y para 0.95 con el mismo
valor para los grados de libertad.
( 𝑛 − 1) 𝑠2
𝑋2
0.05,4
≤ ơ2 ≤
( 𝑛 − 1) 𝑠2
𝑋2
0.95 ,4
El valor de la Xi cuadrada seubicó en la tabla de distribución correspondiente, tomando en cuenta
los valores proporcionados.
Nota. Se recuerda que 𝑋2 𝑎
2
= 𝑋20.1
2
=𝑋2
0.05 y para el cado del lado izquierdo y 𝑋2
1−
0.1
2
= 𝑋2
1−
0.1
2
=
𝑋2
1−0,05 = 𝑋2
0.95

12. El valor para 𝑋2
0.05,4 = 9.49 y para 𝑋2
0.95,4 = 0.71
 Paso 4. Sustituir los valores obtenidos en la fórmula del paso 3:
(5 − 1) ∗ 0.02932
9.49
≤ ơ2 ≤
(5 − 1) ∗ 0.02932
0.71
𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟑𝟔 ≤ ơ 𝟐 ≤ 𝟎. 𝟏𝟔𝟓𝟏𝟖
Interpretación:
Para un intervalo de confianza del 90%, la variabilidad de las lecturas producidas a partir de
muestras estándar resultó que se encuentra entre 0.01236 y 0.16518, por lo cual, no varía mucho
cada lectura realizada de la media obtenida (9.448), y la varianza de calcio en agua potable se
puede considerar no importante (por la poca variabilidad).