El documento describe cómo construir la caja de cartón con el mayor volumen posible cortando el cartón. Se define la longitud de corte x y la función de volumen V(x). Al derivar la función y igualarla a cero, se obtienen los valores críticos de x = 1 y x = 3. Al evaluar la segunda derivada, x = 1 es un máximo, por lo que la mejor caja tiene una altura de 1 unidad y una base de 4x4 unidades.
3. La mejor caja
Empezamos llamando “x”
a la longitud que hay
desde la esquina hasta el
punto donde cortamos
4. La mejor caja
Empezamos llamando “x”
a la longitud que hay
desde la esquina hasta el
punto donde cortamos
5. La mejor caja
Empezamos llamando “x”
a la longitud que hay
desde la esquina hasta el
punto donde cortamos
Puesto que x va a ser la altura de la caja, por todos los dados tenemos que hacer ese
corte de longitud x en cada esquina, quedando un cuadrado encada esquina de lado x
que se desperdiciará
8. La mejor caja
Por tanto el cartón
queda así:
Fíjate que si de largo medía 6 y quitamos x en ambos extremos, nos queda en la
base una longitud 6 – 2x. Con el ancho ocurre lo mismo.
9. La mejor caja
Ya sólo queda
levantar las paredes
de cartón y montar la
caja:
10. La mejor caja
Ya sólo queda
levantar las paredes
de cartón y montar la
caja:
11. La mejor caja
Ya sólo queda
levantar las paredes
de cartón y montar la
caja:
El volumen de esta caja es (6 – 2x) · (6 – 2x) · x
( área de la base por altura )
12. La mejor caja
Ya sólo queda
levantar las paredes
de cartón y montar la
caja:
El volumen de esta caja es (6 – 2x) · (6 – 2x) · x; área de la base por altura
Por tanto ya tenemos la función a optimizar:
V(x) = (6 – 2x) ·(6 – 2x )·x
13. La mejor caja
Ya sólo queda
levantar las paredes
de cartón y montar la
caja:
El volumen de esta caja es (6 – 2x) · (6 – 2x) · x
Por tanto ya tenemos la función a optimizar:
V(x) = (6 – 2x) ·(6 – 2x )·x
Y si multiplicamos: V(x) = 4x3 – 24x2 + 36x
14. La mejor caja
Le buscamos el máximo a esa función V(x) = 4x3 – 24x2 + 36x
15. La mejor caja
Le buscamos el máximo a esa función V(x) = 4x3 – 24x2 + 36x
Derivamos: V ' (x) = 12x2 – 48x + 36
16. La mejor caja
Le buscamos el máximo a esa función V(x) = 4x3 – 24x2 + 36x
Derivamos: V ' (x) = 12x2 – 48x + 36
Igualamos a cero y X=1
resolvemos la 12x2 – 48x + 36 = 0
ecuación: X=3
17. La mejor caja
Le buscamos el máximo a esa función V(x) = 4x3 – 24x2 + 36x
Derivamos: V ' (x) = 12x2 – 48x + 36
Igualamos a cero y X=1
resolvemos la 12x2 – 48x + 36 = 0
ecuación: X=3
Segunda derivada V ''(x) = 24x – 48
18. La mejor caja
Le buscamos el máximo a esa función V(x) = 4x3 – 24x2 + 36x
Derivamos: V ' (x) = 12x2 – 48x + 36
Igualamos a cero y X=1
resolvemos la 12x2 – 48x + 36 = 0
ecuación: X=3
Segunda derivada V ''(x) = 24x – 48
X=1 es máximo
V ''(1) = 24·1 – 48 = - 24 relativo
Sustituimos los
puntos
19. La mejor caja
Le buscamos el máximo a esa función V(x) = 4x3 – 24x2 + 36x
Derivamos: V ' (x) = 12x2 – 48x + 36
Igualamos a cero y X=1
resolvemos la 12x2 – 48x + 36 = 0
ecuación: X=3
Segunda derivada V ''(x) = 24x – 48
X=1 es máximo
V ''(1) = 24·1 – 48 = - 24 relativo
Sustituimos los
puntos
V ''(3) = 24·3 – 48 = 24 X=3 es mínimo
relativo
21. La mejor caja
Comprobamos la solución
Para x = 1, el volumen es V(1) = 4·13 - 24·12 + 36·1 = 16 u3
En el contexto del problema, x tiene que tomar valores mayores que
0, pues indica la altura y menores que 3, pues si es mayor que 3,
la longitud del largo o el ancho sería negativo. Si le damos a x el
valor 3 el volumen es 0 y si le damos 0 también, pues en ambos
casos no construimos ninguna caja.
22. La mejor caja
Comprobamos la solución
Para x = 1, el volumen es V(1) = 4·13 - 24·12 + 36·1 = 16 u3
Por tanto, la solución óptima es x = 1. Así la mejor
caja que podemos construir mide 1 unidad de altura
y una base de 4 x 4.
