Este es el material de apoyo luego se evaluara a traves de daypo y para matematicas tambien tienen el material de apoyo y los ejercicios de aplicacion asi ustedes podran resolver los ejercicios propuestos en el cuaderno de deberes

6. 0RGANIZADOR GRAFICO SOBRE ONDAS, CLASE DE ONDAS UNIDADES

7. Esta es la materia del método de integración por partes pasar al cuaderno de materia
de Matemáticas con los ejercicios de aplicación
Integración por partes
En esta página explicamos el método de integración por partes paso a paso. Calcularemos 11
integrales mediante este método para ver el procedimiento. Este método se basa en la aplicación
de la siguiente fórmula:
∫u dv=u⋅v−∫v du∫u dv=u⋅v−∫v du
donde
 uu es una función y dudu es su derivada
 vv es una función y dvdv es su derivada
El método se aplica, sobre todo, cuando el integrando es un producto de funciones.
Notación: escribiremos la función logaritmo natural (logaritmo en base ee como ln(x)ln⁡(x).
Ejemplo
Calculamos la integral
El integrando es un producto de dos funciones.
1. Identificamos uu y dvdv
Es importante pensar la elección de uu y dvdv porque luego tenemos que derivar uu e
integrar dvdv. Además, tenemos que calcular la integral de la fórmula.
Si escogemos u=xu=x, entonces su derivada es du=dxdu=dx. Pero, entonces, tenemos que
escoger dv=ln(x)dxdv=ln(x)dx y para calcular vv tenemos que integrar el logaritmo.
Por tanto, escogemos la otra opción:
2. Calculamos dudu y vv
Para calcular dudu tenemos que derivar uu:

8. Para calcular vv tenemos que integrar dvdv:
3. Aplicamos la fórmula
Sólo tenemos que sustituir las variables de la fórmula:
4. Calculamos la integral que queda
La integral que queda es inmediata:
Por tanto,

9. No olvidéis la constante de integración KK.
Más integrales resueltas
No es necesario tener un producto en el integrando para aplicar integración por partes. La
siguiente integral es un ejemplo de ello.
Integral 1
Solución
Antes que nada, aprovechamos las propiedades de los logaritmos para simplificar el integrando:
Vamos a calcular la integral del logaritmo natural (luego ya multilicaremos por 2).
Podemos escribir el integrando como un producto para ver claramente la aplicación de la fórmula:

10. 1. Identificamos uu y dvdv
Obviamente, no debemos escoger dv=ln(x)dxdv=ln(x)dx ya que entonces, tendríamos que calcular
la integral del logaritmo, que es precisamente lo que estamos haciendo. Por tanto,
2. Calculamos dudu y vv
Derivamos e integramos:
3. Aplicamos la fórmula
Sustituimos en la fórmula:
Por tanto, la integral del problema es
En algunas integrales tendremos que aplicar el método varias veces. En estos casos, es
importante mantener la elección de los factores uu y dvdv. La siguiente integral es un ejemplo de
ello.

11. Integral 2
Solución
El integrando es un producto de dos funciones.
1. Identificamos uu y dvdv
No importa si exex es uu ó dvdv porque tanto su derivada como su integral es exex.
Si escogemos dv=x2dv=x2, tendremos que calcular la integral
Así que es mejor escoger u=x2u=x2 para bajar el grado del monomio.
2. Calculamos dudu y vv
3. Aplicamos la fórmula
Aplicamos de nuevo integración por partes para calcular la integral que nos queda. Para no
deshacer los cálculos anteriores, mantenemos la elección de uu y dvdv:

12. Por tanto,
Volviendo al comienzo,
Integral 3
Solución
1. Identificamos uu y dvdv
No importa si cos(x)cos⁡(x) es dvdv ó uu porque tanto su integral como su derivada
son ±sin(x)±sin⁡(x).
Escogemos u=x2u=x2 para rebajar su grado.
2. Calculamos dudu y vv

13. 3. Aplicamos la fórmula
Aplicamos de nuevo integración por partes para calcular la integral que nos falta. Como dijimos en
el problema anterior, debemos mantener la elección de los factores uu y dvdv:
Aplicamos la fórmula:
Por tanto,

14. RESOLVER ESTOS EJERCICIOS EN EL CUADERNO DE DEBERES DE ACUERDO A LOS EJERCICIOS RESUELTOS EN
LA MATERIA